§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
自主整理
1.分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法.那么，完成这件事共有N=_____________种方法.（也称加法原理）
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N=_____________种方法.（也称乘法原理）21·世纪*教育网
高手笔记
1.分类：“做一件事，完成它可以有n类办法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
（2）分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这两条基本原则，才可以保证集合形式表述的分类加法计数原理的“S=S1∪S2∪…∪Sn,Si∩Sj=”两条基本原则成立，前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即使用分类加法计数原理的“不漏不重”.
2.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.
名师解惑
1.如何正确选用两个计数原理？
剖析：两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理.21教育名师原创作品
2.在使用两个计数原理解题时，怎样才能有效防止“重复”和“遗漏”的发生？
剖析：（1）画“树形图”：当问题比较简单时，通过画“树形图”可以把所有的情况“不重不漏”地列举出来.21cnjy.com
（2）分类标准要统一：利用分类加法计数原理进行分类时，一定要以同一个标准进行分类.
（3）依次排序法:利用分步乘法计数原理时，把数字或字母分为先后，先排前面的数字或字母，再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完则结束.
讲练互动
【例1】高三·一班有学生50人，男30人，女20人；高三·二班有学生60人，男30人，女30人；高三·三班有学生55人，男35人，女20人.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）从高三·一班或二班或三班中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高三·一班、二班男生中，或从高三·三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法?21*cnjy*com
分析：（1）选一名校学生会主席分三类：从高三·一班中选一名，有50种选法；从高三·二班中选一名，有60种选法；从高三·三班中选一名，有55种选法，然后利用分类加法计数原理求解.
（2）选一名校学生会体育部长分三类：从高三·一班男生中选，有30种选法；从高三·二班男生中选，有30种选法；从高三·三班女生中选，有20种选法.然后再利用分类加法计数原理求解.
解：（1）50+60+55=165种，即所求选法有165种.
（2）30+30+20=80种,即所求选法有80种.
绿色通道:（1）中的分类标准是“班级”；（2）中的分类标准是班级和题目中要求的“性别”.在同一个问题中分类标准要统一.21教育网
变式训练
1.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）
A.25 B.26 C.36 D.37
解析：另两边长用x,y表示，且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形，必须x+y≥12.
当y取值11时，x=1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取值10时，x=2，3，…，10，可有9个三角形……当y取值6时，x只能取6，只有一个三角形.【出处：21教育名师】
∴所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36，故选C.
答案：C
【例2】用数字1，2，3可以组成多少个四位数？
分析：完成这件事可分为四个步骤：第一步确定千位数，第二步确定百位数，第三步确定十位数，第四步确定个位数，这四步依次完成了，这件事就完成了.所以可用分步乘法计数原理求解.www-2-1-cnjy-com
解：要组成一个四位数可以分成四个步骤：第一步确定千位上的数字，从3个数字里任选一个数字，共有3种选法；第二步确定百位上的数字，依题意数字允许重复，仍有3种选法；第三步确定十位数字，同理，也有3种选法；第四步，也有3种选法.根据分步乘法计数原理得到可以组成的四位数的个数是【版权所有：21教育】
N=3×3×3×3=34=81个.
绿色通道:要确定一个四位数，从四位数各个位上的数字如何确定的角度考虑，分为四个步骤，这种方法称为位置优先法.
变式训练
2.用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？
解：分四个步骤来完成涂色这件事.
涂A有5种方法；涂B有4种方法；
涂C有3种方法；涂D有3种方法（还可以使用涂A的颜色）.
根据分步乘法计数原理共有5×4×3×3=180种涂色方法.
【例3】一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本.
（1）从中取出1本书，共有多少种不同的取法？
（2）从中取出语文、数学、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）从中取出2本书，且语文、数学、英语每种只能选一本，有多少种不同的取法？
分析：（1）中利用分类加法计数原理；（2）中利用分步乘法计数原理；（3）中先分类，然后再分步，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解.www.21-cn-jy.com
解：（1）分三类，共有不同取法N=12+14+11=37种.
（2）分三步，共有不同取法N=12×14×11=1 848种.
（3）分三类，每类分两步.从语文、数学书中各选1本，有12×14种不同的选法；从语文、英语书中各选1本，有12×11种不同的选法；从数学、英语书中各选1本，有14×11种不同的选法，所以共有不同的选法N=12×14+12×11+14×11=454种.2-1-c-n-j-y
绿色通道:对于复杂的计数问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性.
变式训练
3.现有高一四个班学生共34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解：（1）分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34种.
（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040种.
（3）分六类，每类又分两步.从一班、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431种.
【例4】已知100到999的三位数，其中含有0的三位数有多少？
分析：综合应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，也可利用排除法求解.
解法一：分类法.将含有数字0的三位数分三类：
（1）只在个位上是0的，有9×9=81个；
（2）只在十位上是0的，有9×9=81个；
（3）个位与十位上都是0的，有9个.
由分类加法计数原理，共有81+81+9=171个
解法二：排除法.从所有的可能中减去不符合条件的排法的个数.从100到999所有的三位数共有999-99=900个，个位与十位均不为0的三位数由分步乘法计数原理共有9×9×9=729个，因此，含有数字0的三位数有900-729=171个.2·1·c·n·j·y
绿色通道:“分类则加，分步则乘”是一个基本原则，分类要求不重、不漏，本例中的解法一按照0出现的数位及个数分为三类，是从特殊位置来讨论的.正难反易，因此排除法也是一种重要方法，如本例的解法二.21*cnjy*com
变式训练
4.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有___________个.21世纪教育网版权所有
解析：用逆向思维，用总数减去个位数为0和5的情况.由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数：千位数字有5种，百位数字有5种，十位数字有4种，个位数字有3种，共5×5×4×3=300个；个位为0的四位数：千位数字有5种，百位数字有4种，十位数字有3种，共5×4×3=60个;个位为5的四位数：千位数字有4种，百位数字有4种，十位数字有3种，共4×4×3=48个.21·cn·jy·com
∴不能被5整除的数共有：300-60-48=192个.
答案：192
5.(2007高考陕西卷,文15)安排3名支教教师去4所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方案共有___________种.（用数字作答）
解析：3名教师分到4所学校任教，可分三步，每一步安排一名教师，有4种方法.根据分步乘法计数原理，共有4×4×4=64种方法.因为要求每校至多2人，要减去3名教师分到同一所学校的情况，共4种.所以共有64-4=60种分配方案.
答案：60
§2 排列
自主整理
1.一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照______________排成一列，叫作从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.我们把有关求_____________问题叫作排列问题.www.21-cn-jy.com
2.我们把_____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作_____________.【出处：21教育名师】
3.排列数A式的展开式为：A=_____________，规定A=_____________.当n=m时，A=_____________.
4.n的阶乘的展开式为：n!= _____________，规定0!=_____________，利用阶乘表示排列数A的展开式为：A=_____________.
高手笔记
排列数公式A=n（n-1）…（n-m+1）的特点是：从自然数n开始，后一个因数比前一个因数小1，最后一个因数是n-m+1，共m个因数相乘.当m=n时，排列数公式为A=n！.
名师解惑
1.如何理解排列的定义？
剖析：排列的定义包含两个方面的含义：一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排列”.因此，当两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，它们才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列.
定义中规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了,否则就变成了取出两个相同元素.
定义中的“一定顺序”是与位置有关的问题，对有些具体情况，如取出数字1，2，3组成三位数，就与位置有关，因123和132是不同的三位数；但如取出数字1，2，3，考虑它们的和，则与位置无关.
2.正确区分排列与排列数两个定义
剖析：“排列”与“排列数”是两个不同的定义.一个排列是指从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它是具体的形式，而不是数；而排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，即排列共有多少种形式，它是一个数，如从a,b,c中任取两个元素的排列有以下6种：ab,ac,ba,bc,ca,cb，每一种都是一个排列，而数字6就是排列数.
3.在解答有关排列问题的应用题时应注意什么？
剖析：（1）注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏；
（2）对受条件限制的位置与元素应首先排列，并适当选用直接法或排除法（间接法）；
（3）同一个问题，有时从位置出发较为方便，有时从元素出发较为方便，应注意灵活运用；
（4）从位置出发的“填空法”及对不相邻问题采用的“插空法”，是解答排列应用题中常用的有效方法，应注意培养运用这些方法的意识，同时要注意方法的积累;
（5）要通过解答排列应用题，深化对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在具体操作中确保：①分类要使得各类的并集等于全集，任意两类的交集等于空集，这样才能“不重不漏”；②分步要使得各步具有连续性和独立性，保证“不重不漏”.
4.排列问题的常见类型和解题策略是什么？
剖析：排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题，大部分排列问题都可以转化为这两类问题.对有约束条件的排列问题，应注意以下类型：
①某些元素不能排在或必须排在某一位置；
②某些元素要求连排（即必须相邻）；
③某些元素要求分离（即不能相邻）.
其基本解法是：有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理元素（位置）法（即优先法）;某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，称这种方法为“捆绑法”；某些元素不相邻排列时，可选排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，称这种方法为“插空法”.对于较复杂的排列问题常常通过试验、简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径.常用思维形式有直接和间接、逆向思维等.21教育网
讲练互动
【例1】计算下列各式的值：
（1）;
（2）A
分析：利用排列数A的展开式A=求解.
解：（1）=.
（2）由,解之得≤n≤4,n∈N+,
∴n=4.∴原式=A+A=2×8!=80 640.
绿色通道:使用排列数公式A时，注意m,n∈N+，m≤n等限制条件.
变式训练
1.证明：A
证明：左式=+k·==右边.∴等式成立.
【例2】7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工.
（1）若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？
（2）若正、副班长两职至少要选这三人中的1人担任，有多少种分工方案？
分析：显然这是一道排列应用题，问题（1）可分两步进行，优先安排受限制的正、副班长，然后再排其余5名班委职务.问题（2）的反面情形比较简单，可采用排除法求解.
解：（1）先安排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步乘法计数原理，共有AA=720种分工方案.21·cn·jy·com
（3）7人的任意分工方案有A种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A、B、C三人中至少有1人任正、副班长的方案有A-AA=3 600种.
绿色通道:排列问题的实质是每一个元素有一个特定的位置，并非一定要排成“一行”.“间接法”实际上是分类加法计数原理的变式应用，在处理“至多”或“至少”等问题时非常有效.当然问题（2）亦可以逐一分类，算式为AA+AA+A=3 600种.
变式训练
2.用2，3，4，5排成四位数：
（1）无重复数字的四位数有多少个？
（2）无重复数字的四位偶数有多少个？
（3）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？
（4）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？
（5）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？
解：（1）A=24个.
（2）个位上只能是2或4，有2A=12个.
（3）所有的四位数中，2在3的左边的数与2在3的右边的数各占一半，共有A=12个.
（4）2在千位上，3，4，5只能在另外的三个位置排列，有A=6个.
（5）法一：5不在十位、个位上，所以5只能在千位或百位上，有
2A=12个.
法二：从A中减去不符合要求的（5在十位、个位上），有A-2A=12个.
【例3】7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下各有不同站法多少种？21世纪教育网版权所有
（1）两名女生必须相邻而站；
（2）4名男生互不相邻；
（3）教师不站中间，女生不站两端.
分析：这是一个有限制条件的排列问题，可以运用“捆绑法”“插空法”等排队技巧.
解：（1）2名女生站在一起有站法A种，视为一个元素与其余5人全排，有A种排法，
∴有不同站法A·A=1 440种.
（2）先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男生，每空一人，有插入方法A种，21·世纪*教育网
∴共有不同站法A·A=144种.
（3）中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：（1）老师站两侧之一，另一侧由男生站，有·A·A种站法，（2）两侧全由男生站，老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一 ，有A·A·A种站法.【来源：21·世纪·教育·网】
∴共有不同站法·A·A+A·A·A=2 112种.
绿色通道:（1）为要求某些元素相邻，可用“捆绑法”；（2）为要求某些元素不相邻，用“插入法.
变式训练
3.五个人排成一排，按下列要求分别有多少种排法？
（1）其中甲不站排头；
（2）其中甲不站排头，乙不站排尾；
（3）其中甲、乙两人必须相邻；
（4）其中甲、乙两人必须不相邻；
（5）其中甲、乙中间有且只有一人；
（6）其中甲必须排在乙的右边.
解：（1）如先排甲，有4种排法，然后排其余4人，有A种排法，故有4×A=96种；如先排排头，有4种排法，然后其余4个位置有A种排法，故有4A=96种；如先不考虑排头，则5个人排成一排有A种排法，其中甲在排头有A种排法，所以甲不站排头有A-A=96种.21cnjy.com
（2）如甲在排尾，其余四人有A种排法，如甲排在中间三个位置中一个，而乙不在排尾，则有A×A×A=54种，共有A+54=78种；如先不考虑排头、排尾，则五个人排一排有A种排法，其中甲在排头有A种，乙在排尾有A种，甲在排头且乙在排尾共有A种.故共有A-2A+A=78种.2·1·c·n·j·y
（3）将甲、乙两人捆在一起作为一个元素，与其他3个元素作全排列有A种，然后甲乙再作全排列有A种，故有AA=48种.www-2-1-cnjy-com
（4）五个人排成一排有A种排法，除去甲、乙两人相邻的排法48种，故共有A-48=72种.如先排甲、乙以外的三个，则有A种排法；这三个之间及两端留出4个空位去排甲、乙两人有A种排法，故共有AA=72种.21*cnjy*com
（5）甲、乙两人有A种排法，从剩下的三人中选一人插入甲、乙中间，有A种，然后再将三人看作一个元素，和其他两个元素作全排列，有A种，故共有A·A·A=36种.
（6）五个人全排列有A种，甲在乙的左边的排法种数与甲在乙的右边的排法种数各占一半，故共有A=60种.【来源：21cnj*y.co*m】
【例4】5人围桌而坐，共有多少种坐法？
分析：对于环状排列我们可以想象成这5人是手拉手的排列，因此，可采用剪断直排列法求解.由于5个人有5个连接点，故有5种剪断直排列的方法，而对于同一环状排列，这5种剪断方法会形成5种不同的直排列.21教育名师原创作品
解：5人围桌而坐，共有A=24种不同的坐法.
绿色通道:一般地，当n个不同元素作圆形排列时，共有（n-1）!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有A种排法.21*cnjy*com
变式训练
4.4名学生和2名老师围圆桌入座.
（1）有多少种不同的入座方法？
（2）如果老师必须相邻，有多少种不同的入座方法？
解：（1）6人全排列有A种方法，由于6种剪断直排列对应同一种圆排，故共有A=120种不同的入座方法.2-1-c-n-j-y
（2）由于老师必须相邻，要将2名老师看作1人，故只有5种剪断法，但老师又可以相互交换位置，故共有=48种不同的入座方法.【版权所有：21教育】
§3 组合
自主整理
1.一般地，从n个不同的元素中，_______________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求_______________问题叫作组合问题.【来源：21·世纪·教育·网】
2.我们把_______________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_______________表示.
3.一般地，考虑C与A的关系：把“从n个不同的元素中选出m（m≤n）个元素进行排列”这件事，分两步进行：
第一步：从n个不同元素中取出m个元素，一共有_______________种取法.
第二步：_______________一共有A种排法.根据____________原理，我们得到“从n个不同元素中选出m（m≤n）个元素进行排列”一共有____________种排法.
即有A=____________.
4.C=____________=____________=____________，规定:C=____________.
5.组合数的性质：
性质1：____________________________________________________________.
性质2：____________________________________________________________.
高手笔记
1.使用组合数公式时，要注意C中m为非负整数，n∈N+，m≤n等限制条件.
2.排列与组合的定义中相同的语句是“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素”.定义中不同的语句是:排列的定义中“按着一定的顺序排成一列”；组合的定义中“并成一组”.21世纪教育网版权所有
3.排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.如，从A、B、C三个元素中，任意取出两个元素的所有排列为：AB，BA，AC，CA，BC，CB；所有组合为：AB，AC，BC.在排列的意义下，AB与BA、AC与CA、BC与CB不同，而在组合的意义下，AB与BA、AC与CA、BC与CB相同.
4.公式A=C·A表明从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的排列数的计算可分为两步：求C；再对取出的m个元素进行全排列.因此，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的一个组合，是相应的所有排列中的1个.如从A、B、C中取出A、B的排列为AB、BA，组合AB（或BA）是其中的1个.2·1·c·n·j·y
5.公式C=其形式上的特点是：分子是连续m个自然数之积，最大的数为n，最小的数是（n-m+1）;分母是m！.
名师解惑
1.如何区别组合与组合数？
剖析：“组合数”与“一个组合”是两个不同的概念，“一个组合”是指“从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的形式；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数.如，从A、B、C中任取两个元素的所有组合为：AB、AC、BC，它是具体的形式“AB、AC、BC”；而其组合数是具体的数，AB、AC、BC都算作1，1+1+1=3，即C=3.
2.如何理解组合数的两个性质?
剖析：（1）对C=C的理解：这个性质可以由组合数的定义给出，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，也就是说，从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应于从n个不同元素中取n-m个元素的唯一的一个组合，反过来也如此，因此有C=C.
（2）对C的理解：把n+1个元素分为不含某元素a和含某元素a两类.不含a这一类，从n+1个元素中取m个元素的组合，相当于从n个元素中取m个元素的组合，组合数为C；含a的这一类，a必被取出，从n+1个元素中取m个元素的组合，相当于从其余的n个元素中取m-1个元素的组合，组合数为C.根据加法原理，有C=C+C.
3.解答组合问题时的解题策略是什么？
剖析：解答组合应用题的总体思路为：（1）整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理.（2）局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理.（3）考察顺序，区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题.（4）辩证地看待“元素”与“位置”.排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定.有时“元素选位置”，问题解决得简捷；有时“位置选元素”效果会更好.21*cnjy*com
讲练互动
【例1】证明：C++C+…+C=C.
分析：本题运用公式C=C+C写出m+1个等式，然后把这些等式两边分别相加，等式两边相同的项消去后即得结论.
证明：C=C
C
C
……
CC
把以上m+1个式子相加，即得
C++C+……+C=C.
绿色通道:利用性质C+C=C证明等式时，要先将第一项C变成C，然后与第二项+结合利用组合性质，依次求和可得右端.21cnjy.com
变式训练
1.证明：C+3C.
证明：左边=（C+C）+2（C+C）+（C+）=C+2C+C=（C+C）+（C+C）=C+C=C=右边.∴等式成立.2-1-c-n-j-y
【例2】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有多少种？21教育名师原创作品
分析：取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各1台，它包括两种可能：2台甲型与1台乙型、1台甲型与2台乙型，所以可用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决.另外，也可以采用间接法.
解法一：从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台有C·C种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有C·C种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各1台的取法共有C·C+C·C=70种.故应选C.
解法二：从所有的9台电视机中取3台有C种取法，其中全部为甲型的有C种取法，全部为乙型的有C种取法，则至少有甲型与乙型各1台的取法有C-C-C=70种.
黑色陷阱:解决这类问题最容易出现的错误就是产生重复，比如首先从4台甲型电视机与5台乙型电视机中各取1台，有C·C种取法，再在剩下的7台电视机中任取1台，有C种取法，所以不同的取法共有C·C·C=140种，这种看起来很不错的解法实际上是错误的，因为它产生了重复.避免产生重复的方法就是进行“先分类后分步”.
变式训练
2.一份考卷有10道考题，分为A、B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，问考生有几种选答方法？
解：有3种选题方案：A组选4题、B组选2题；A组选2题、B组选4题及A、B组各选3题，故选答方法有2CC+（C）2=200种.
【例3】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？（1）都不是次品；（2）至少有1件次品；（3）不都是次品.
分析：第（1）题与顺序无关，都不是次品，即全部是正品，正品有195件；第（2）题与顺序无关，至少有1件次品，即有1件次品，2件次品，3件次品，4件次品四类情况，可用直接法解答，也可用间接法解答；第（3）题与顺序无关，不都是次品，即至少有1件是正品.www-2-1-cnjy-com
解：（1）都不是次品，即全部为正品，∴有C种.
（2）至少有1件次品，包括1件，2件，3件，4件次品的情况.
∴共有CC+CC+CC+C种或C-C种.
（3）不都是次品，即至少有1件正品，
∴共有CC+CC+CC+C种或C-C种.
绿色通道:解决“至多”或“至少”问题，通常采用直接分类法（简称直接法）和整体排异法（简称间接法）求解.当直接分类讨论的情形较多时，使用整体排异法较简便.
变式训练
3.从8名男同学和4名女同学中选出5人组成青年志愿队，按要求各有多少种选法？
（1）至少有一名女同学参加；
（2）至多有两名女同学参加；
（3）男女同学各至少有两名参加.
解：（1）法一：“至少有一名”可分为4种情况：1名，2名，3名，4名女同学参加，而题设要求选出5人，因此其余名额不足部分应由男生填补，故至少有一名女同学参加共有N=CC+CC+CC+CC=736种不同选法.www.21-cn-jy.com
法二：在整体组合C中去掉不满足题设要求的组合，即N=C-C=736种不同选法.
（2）法一：直接分类求解.共有N=C+CC+CC=672种不同选法.
法二：整体排异求解. 共有N=C-CC-CC=672种不同选法.
（3）可分两类：一类是2男3女，共有CC种不同选法；另一类是3男2女，共有CC种不同选法.根据分类加法计数原理，得符合条件的选法共有CC+CC=448种.
【例4】6本不同的书分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？
分析：6本书平均分给甲、乙、丙三人的问题可分为两步来解决，先把这6本书分成3堆，每堆2本，再把分好的3堆给甲、乙、丙三人.【出处：21教育名师】
解：6本书平均分给甲、乙、丙三人的方法共有CC=15×6=90种.
设6本书平均分成3堆的方法有x种，再将这3堆分给甲、乙、丙3人有A种方法，故Ax=90,解得x=15.即共有15种分法.【版权所有：21教育】
绿色通道:均匀有序分组的一般结论：n个元素分成有序的m组，每组r个元素，则分法总数为C…C（其中mr=n）.21·cn·jy·com
均匀无序分组的一般结论：n个元素分成无序的m组，每组r个元素，则分法总数为（mr=n）.
有序分组与无序分组的本质区别在于只分组，还是分组后再分配给别的不同对象.
变式训练
4.12个学生平均分成3组，参加制作航空模型的活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？21*cnjy*com
解法一：将12个学生平均分配到3个固定的组（即组有序）中的方法有CCC种. 事实上并无组别的限制，故将12个学生平均分成3组的方法有种.3个教师按每组1人分配到各组中去有A种方法.由乘法原理，符合题意的分组方法有·A=CC=495×70=34 650种.
解法二：3个教师代表甲、乙、丙3个组，先将12个学生选出4人分到甲组，有C种不同方法；再将其余8个学生选4人分到乙组有C种不同方法.由乘法原理，符合题意的分组方法有C·C·C=34 650种.
【例5】现有6本不同的书分给甲、乙、丙三人，
（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本，共有多少种不同的分法？
（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，共有多少种不同的分法？
（3）三人中的一人得4本，另外两人各得1本，共有多少种不同的分法？
分析：（1）甲从6本中选1本，乙从剩下的5本中选2本，剩下的3本给丙.利用乘法原理.
（2）本小题属不均匀分组且有顺序，分两步：分成三组，一组1本，一组2本，一组3本，共有CC种分组方法；再将不同的三组分给三个人，有A种分法.
解：（1）CC=60种.
（2）CCA=360种.
（3）解法一：从6本书中选出4本给三人中的一人有种分法,剩下2本书给2个人,每人一本有A种分法，利用乘法原理,共有·A=90种不同的分法.
解法二：将6本书分成3组，一组4本，两组各1本，共有种不同分法；
再把3组分给三个人，有A种分法，利用乘法原理，共有A=90种不同的分法.
绿色通道:本例是分组问题的典型范例，解决分组问题应弄清以下几点：
（1）分组对象是否明确;
（2）是否平均分组;
（3）是否局部平均分组;
（4）分组时有无顺序关系.
本例中（1）为非均匀分组且分组无顺序；应固定甲、乙、丙的本数；（2）为非均匀分组有顺序；（3）为局部均匀分组有顺序.21教育网
非均匀无序分组的一般结论是：n个元素分成m组，第i组有ri个元素（i=1，2，…，m），分法总数是C21·世纪*教育网
变式训练
5.6名护士，3名医生，分成三组到甲、乙、丙三村去下乡，每组2名护士，1名医生，共有多少种不同的分法？【来源：21cnj*y.co*m】
解法一：首先把护士分配到三村有CCC种，再把医生分配到三村有CCC种. 据乘法原理共有CCC·CCC=540种.
解法二：先分组后分配.3名医生各代表一组，将6名护士平均分组有种.再分到三名医生代表的三组中有A种，再将这三个组分配到三个村里去，有AA=540种.
§4 简单计数问题
自主整理
1.区别排列问题与组合问题的关键是元素是否_____________________.
2.解决相邻元素问题的方法是____________________.
3.解决元素不相邻问题的方法是____________________.
4.有特殊要求的元素问题常用____________________.
5.有特殊要求的位置问题常用____________________.
6.无序平均分组问题常用____________________.
7.相同元素分组问题常用____________________.
8.“至多”“至少”问题常用____________________.
高手笔记
1.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”.例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m≤n）个元素必相邻的排列有A·A个.其中A是一个“整体排列”，而A则是“局部排列”.21·cn·jy·com
2.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.运用插空法解决“元素不相邻问题”时，要同时借助框图和数数法求解.【来源：21cnj*y.co*m】
3.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
4.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有A种，m(m
名师解惑
1.解排列、组合应用题应注意哪些问题？
剖析：做排列、组合的应用题，一般来讲要解决好三大难题：一是确定问题的属性，即所给问题是排列还是组合；二是确定解题策略，即是要分类求解还是分步求解；三是选择恰当的解题方法，即是用直接法还是间接法.而这三大难题的关键则是真正弄清“三对关系”的深刻含义.
（1）“分类与分步”的关系
分类
复杂事件A的排列与组合问题，需要对A在一个标准下分类讨论，把A分解为n类简单事件A1，A2，…，An.【来源：21·世纪·教育·网】
分类的原则是：A=A1∪A2∪…∪An,Ai∩Aj=(i≠j,i、j=1,2,…,n).在这样的原则下对事件A分类，能够确保分类的不漏不重.21教育名师原创作品
把A分为A1，A2，…，An的同时，对应的办法S也随之被分为n类办法S1，S2，…，Sn，且S=S1∪S2∪…∪Sn,Si∩Sj=(i≠j;i、j=1,2,…,n).其结果用分类加法计数原理计算.
分步
事件A完成分类以后，对每一类要进行分步，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，这样就可以确保对每一类事件的分步不漏不重.事件的分步对应方法的分步.如A1分为n步B1，B2，…，Bn，则对应的有S1被分为n种方法S11，S12，…，S1n.其结果用分步乘法计数原理计算.
由此可见，我们可以得到两点结论：其一，分类与分步是区别选用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的唯一标准，即分类相加，分步相乘；其二，若把事件A分为n类简单事件A1,A2,…,An，并且完成事件Ak又需分作Sk步（k=1,2,3,…,n)，对应每一步又可有Ski(i=1,2,3,…,n)种不同方法，这样完成事件A就共有N=(S11·S12·S13…S1n)+(S21·S22·S23…S2n)+…+(Sn1·Sn2·Sn3…21*cnjy*com
Snn)种不同方法.
（2）“有序与无序”的关系
界定排列与组合问题的唯一标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题.排列与组合问题并存的时候，解答排列与组合问题，一般采用先组合后排列的方法解答.
（3）“元素与位置”的关系
解答排列与组合问题，界定哪些事物是元素，哪些事物是位置至关重要，又没有唯一的定势标准，所以要辩证地去看待元素与位置.解题过程中，要优先安排有限制条件的特殊元素和特殊位置，并灵活运用“捆绑法”和“插空法”，“直接法”和“间接法”.
2.排列、组合应用题的基本题型与解题策略是什么？
剖析：排列、组合应用题的常见类型及解题策略如下表：
类型特征
常见题型
解题策略
组合
排列
指定元素型
从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内
先C后A策略分类求解策略
C
C
从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内
从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素
从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每一个排列（或组合），都至少包含某r个元素中的s个元素
分类求解策略
从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每一个排列（或组合），都至多包含某r个元素中的s个元素
定位型
从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列，规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置
分步求解策略
相邻型
把n个不同元素作全排列，规定某r个元素连排在一起
捆绑策略
相离型
把n个不同元素作全排列，规定某r个元素中的任意两个元素都不相邻（r≤)
插空策略
平均分组型
把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有几种分法
排异除重策略
环状型
把n个不同元素围绕一个圆进行排列，共有几种不同的排列
顺序一定型
把n个不同元素作全排列，规定某r个元素必须按一定顺序排列，共有几种不同排列
讲练互动
【例1】7个人按下列要求并排站成一排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站在正中间，也不站在两端；
（2）甲、乙两人相邻；
（3）甲、乙之间相隔2人；
（4）甲站在乙的右边；
（5）甲、乙都与丙不相邻.
（6）若7个人站成两排，第一排3人，第二排4人，共有多少种站法？
（7）若7个人站成一个圆环，有多少种站法？
分析：（1）的限制条件甲不站在正中间与两端，意思是说甲只能站在余下的4个位置，因此可以先在这4个位置上排上甲而后再排其他人员，或者先从其余六人中选出三人排在正中间和两端.21教育网
（2）由于甲、乙两人相邻，因此可把甲、乙两人合看作一个元素（捆绑法）参加全排列，但不要忘记甲、乙两人的局部排列问题.21cnjy.com
（3）可以先从其余五人中选两人站在甲、乙之间，然后将此二人连同甲、乙四人看作一个元素（捆绑法）参加全排列，同样甲、乙之间也要进行全排列；还可以运用“数数法”将甲、乙站的位置确定出来，即甲、乙只能在1与4，2与5，3与6，4与7这四种位置上.
（4）甲不是站在乙的右边，就是站在乙的左边，两者必居其一，因此可以用“调序法”求解，或先按题目的要求从七个位置中选两个将甲、乙排好，然后再排其余人员.
（5）本题可分成甲、乙相邻但不与丙相邻及甲、乙不相邻且都不与丙相邻两类进行研究.
（6）把元素排成几排的问题，可化归为一排考虑，再在一排中分段处理.
（7）7人站成一个圆环，剪开排成一排，对应7个排列.故环状排列问题用剪断直排法处理.
（1）解法一：先让甲站在余下的四个位置中的任一位置上，有C种，再让余下的6人站在其他位置上，有A种不同站法，根据分步计数原理，共有N=C·A=2 880种不同站法.
解法二：甲不站正中间也不站在两端，可先从其余6人中任选3人站在这3个位置上（占位法），有A种站法，再让剩下的4人（含甲）站在其他4个位置上，有A种站法，根据分步乘法计数原理，知共有N=A·A=2 880种不同站法.www.21-cn-jy.com
解法三：先让甲以外的6人站成一排，有A种站法，再让甲插入这6个人之间的4个空档位置（不插在正中间），有A种方法.故共有N=A·A=2 880种不同的站法.
解法四：整体排异法.无限制条件的7人并排站成一排，有A种站法，去掉甲站在正中间及两端的情况，共有AA种，故共有N=A-AA=2 880种不同站法.
（2）解法一：捆绑法.先把甲、乙两人合在一起看作一个元素，参加全排列共有A种站法，然后甲、乙两人局部排列，共有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有N=A·A=1 440种不同站法.2·1·c·n·j·y
解法二：插空法.先让甲、乙以外的5个人站队，有A种站法，再把甲、乙两人合在一起作为一个元素插入5个人形成的6个空档中，有A种站法，最后甲、乙两人局部排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有N=AAA=1 440种不同站法.
（3）解法一：捆绑法.先从甲、乙以外的5人中任选2人站在甲、乙之间，有A种站法，再将甲、乙及中间二人共4人看作一个整体参加全排列，有A种站法，最后甲、乙进行局部排列，有A种站法.根据分步乘法计数原理，知共有N=A·A·A=960种不同站法.
解法二：数数法与插空法相结合.先让甲、乙以外的5人站队，有A种站法，再在5人形成的6个空档中的1与4，2与5，3与6，4与7的位置上排上甲、乙，共有4A种站法，根据分步乘法计数原理，有N=A·4A=960种不同站法.www-2-1-cnjy-com
（4）解法一：组合法——顺序一定用组合.先在7个位置中选2个位置排上甲、乙（甲在乙的右边——顺序一定问题），有C种站法，再在余下的5个位置上站其余5人，有A种站法，根据分步乘法计数原理，知共有N=C·A=2 520种.2-1-c-n-j-y
解法二：调序法.甲在乙的右边与甲在乙的左边的情况是一一对应的，因此，甲在乙的右边的站法是7人任意站法的一半.故共有N=A=2 520种.21*cnjy*com
（5）解法一：直接法.分类求解.将问题分成甲与乙相邻但不与丙相邻及甲、乙、丙互不相邻两类研究.第一类情况可先让其余4人站队，有A种站法，他们之间形成5个空档，再把甲、乙两人看作一个整体与丙共两个元素插入5个空档，有A种站法，最后甲、乙两人进行局部排列，有A种站法，故这类情况有A·A·A种不同站法；第二类情况也可先让其余4人站队，有A种方法，再把甲、乙、丙3人插入5个空档，共有A种方法，因此这类情况有A·A种，根据分类加法计数原理，知共有N=A·A·A+A·A=2 400种不同站法.【出处：21教育名师】
解法二：间接法.整体排异，7个人排成一排，有A种方法.甲、乙都与丙相邻的站法，即丙站在甲、乙中间的站法共有A·A种；甲与丙相邻或乙与丙相邻的站法均为A·A种.但甲、丙相邻与乙、丙相邻的站法中都包括了丙站在甲、乙中间，故根据分类计数原理和整体排异策略知，共有N=A-2A·A+A·A=2 400种不同方法.【版权所有：21教育】
（6）A=5 040种不同站法.
（7）=720种不同的站法.
绿色通道:“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”或“相间”，是常见的有限制条件的排列问题.“在”一般用“直接法”求解，“不在”可用“间接法”；“相邻”问题一般用“捆绑法”，“不相邻”问题用“插空法”；“顺序一定”可用“调序法”或“组合法”.一般来说，解排列、组合应用题除了上述方法外，有时还用“占位法”或“数数法”，更多情况下需要对问题进行恰当的分类或分步.分类时要注意“类与类”之间的并列性和独立性、完整性；分步时要注意“步与步”之间的连续性和独立性、依赖性，做到不重不漏..
变式训练
1.安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日.不同的安排方法共有________________种.（用数字作答）
解析：因为甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，可安排在其余5日值班，有A种方法；再安排其余5人，有A种方法.根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有A·A=2 400种.
答案：2 400
【例2】由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的共有________________个.21世纪教育网版权所有
解析：没有重复数字的六位数共有CA=600个，其中个位数小于十位数的与十位数小于个位数的各占一半.∴符合题意的共有300个.
答案：300
变式训练
2.(2006高考北京卷，3)在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A.36个 B.24个 C.18个 D.6个
解析：由各位数字之和为奇数，分两类：三位数都是奇数或两个偶数一个奇数，满足条件的三位数共有A+CA=24个.
答案：B
【例3】现有10个完全相同的小球分配到三个班级，每个班级至少分得1个小球，问有多少种不同分法？
分析：对于相同元素的分组分配问题，常规解法烦琐而易错，若掌握隔板法，则操作方便且易懂.将10个完全相同的小球排成一行，10个球之间出现9个空档，用“隔板”把10个小球隔成有序的三份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球.
解：根据以上分析，分球的方法实际上为隔板的隔法：即9个空插入2个隔板，其方法数为：N=C=36种.
绿色通道:n个相同的元素分配到m个不同的单元中（n≥m)，不能有空放，常用隔板法，有C种不同的分配方法.
变式训练
3.8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法？
解法一：与例3不同的是，此题中的盒子可以为空.还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间及两端插入两块隔板.首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有C种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有C种，但这两种放法中有重复的，要除以2；最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中.故共有CC=C=45种.
解法二：分三类：第一类，把8个小球放入一个盒内，有C种放法.第二类，把8个小球放入两个盒内，先去掉一个空盒有C种方法，然后在8个小球的7个空隙中插入一个隔板分成两份，分别放入两个盒内有C种方法，故第二类共有C·C种方法.第三类，三个盒子都不空，利用隔板法将8个小球分成三份，分别放入3个盒中，共有C种方法，故共有C+C·C+C=45种方法.
【例4】有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有多少种？
分析：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步分组法求解.
解：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下8人中选1人承担乙项任务，最后从另外7人中选1人承担丙项任务，根据乘法原理可知不同的方法种数共计C·C·C=2 520种.
绿色通道:有序分配问题通常是根据需要选出人员分配给各个任务或项目..
变式训练
4.(2006高考重庆卷，8)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）
A.30种 B.90种 C.180种 D.270种
解：设三个班级为甲、乙、丙，则5名实习教师分配到三个班级，由题意知，一定有一个班级只分配到一名实习教师，其余两个班级每个班级分到了两名实习教师.故分步：第一步，选一名教师安排在一个班级中有CC种方法；第二步，余下的4名教师平均分配给剩下的两个班级，有CC种方法.故共有CC·CC=90种分配方案.
【例5】有甲、乙、丙、丁四种不同的种子，要选出三种在三块不同的土地上试种.若甲被选，则甲必在第一块土地上试种，问不同的试种方法有多少种？
分析：列举法即一一列举，它虽然不如其他方法简捷，但思维更加严谨、清晰.
解：如果甲被选，则有甲、乙、丙，甲、丙、乙，甲、丙、丁，甲、丁、丙，甲、乙、丁，甲、丁、乙6种不同的选法；
如果甲未被选，则有乙、丙、丁，乙、丁、丙，丙、乙、丁，丙、丁、乙，丁、乙、丙，丁、丙、乙6种不同的选法.
故有N=6+6=12种.
绿色通道:当完成一件事情没有直接的公式可用且数目较小时，我们可以按着“次序”一一地“数”出来，这就是列举法.用列举法解排列组合问题时，通常要借助图表来表示，这样不仅可以帮助我们在选取时避免重复和遗漏，而且可以使分析过程更清晰明了..
变式训练
5.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字都不相同的填法有多少种？21·世纪*教育网
解：采用树形图如下：
故填法有9种.
§5 二项式定理
自主整理
1.(a+b)n=_______________________________________________________________.
这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式，（a+b)n的二项展开式有_______________项，其中各项的系数_______________称为二项式系数，_______________称为二项展开式的第_______________项，又称为二项式通项.21教育网
2.在二项式定理中，如果设a=1,b=x，则得到公式：
(1+x)n=____________________________________________________________.
3.当n依次取1,2,3,…时，(a+b)n展开式的二项式系数如下图所示：
图中所示的表叫作二项式系数表，它有这样的规律：①表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数字的_______________，即_______________；②与首末两端“等距离”的两个二项式系数_______________，即_______________.
高手笔记
1.二项展开式的项数为n+1项.
2.各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
3.字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.21·cn·jy·com
4.二项式的系数从C,C,一直到C,C.
5.Tr+1=Can-rbr,可以表示（a+b)n的二项展开式中的任意一项，只要r确定.
6.Tr+1是（a+b)n的二项展开式的第r+1项，而不是第r项.
7.二项式系数与项的系数是不同的，如(a+bx)n(a、b∈C)的展开式中，第r+1项的二项式系数是C，而第r+1项的系数为C21*cnjy*com
名师解惑
1.如何应用二项式的通项公式解题？
剖析：通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数.
（1）运用通项公式Tr+1=C解题，一般都需先转化为方程（组）求出n、r，然后代入通项公式求解.
（2）求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.【出处：21教育名师】
2.二项展开式的性质
剖析：（1）如果n是偶数，则中间一项（第+1项）的二项式系数最大；如果n为奇数，则中间两项（第n+项与+1项）的二项式系数相等并且最大.
（2）所有二项式系数的和等于2n，即C+C+…+C=2n.
(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等.即C++…=C+C+…=2n-1.www.21-cn-jy.com
3.运用二项式定理解题时有哪些常用的方法？
剖析：（1）赋值法.
在(a+b)n展开式中令a=b=1，得C+C+…+C=2n;令a=1,b=-1得C-C+C-C+…=0,
∴C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.这种由一般到特殊的方法是“赋值法”.
（2）利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧.
讲练互动
【例1】写出(x-y)11的展开式中：（1）通项Tr+1;(2)二项式系数最大的项；（3）项的系数绝对值最大的项；（4）项的系数最大的项；（5）项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和.21·世纪*教育网
分析：本题的最大特点是展开式的二项式系数与项的系数有的相同，有的仅差一负号.因此，系数最大和最小的项可直接利用二项式系数最大和最小的项来解决.二项式系数的和可利用和为2n这一性质求解；各项系数的和可利用二项式定理或赋值法求解.
解：（1）Tr+1=(-1)r·Cx11-ryr.
(2)展开式中二项式系数最大的项为中间两项T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.
(3)由于本题中系数绝对值最大的项就是二项式系数最大的项，因此，系数绝对值最大的项也是中间两项T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.21cnjy.com
(4)由（3）知，项的系数最大的项是T7=Cx5y6.
(5)由（3）知，项的系数最小的项是T6=-Cx6y5.
(6)展开式中，二项式系数的和为C+C+…+C=211.
(7)展开式中，各项系数的和为C+…+(-1)11C=(1-1)11=011=0.
绿色通道:本题是关于二项式系数性质应用的典型示例.此题起点较低，却包含了各种题型，在学习中应予以重视.2·1·c·n·j·y
变式训练
1.求（x2-)9展开式中的①第6项;②第3项的系数;③含x9的项;④常数项.
解：①T6=C59(x2)4()5=x3.
②T3=C (x2)7()2=9x12,∴第3项系数为9.
③首先利用通项公式去求含x9的项是第几项，再求这一项，即知系数.
设第r+1项，含x9，则
T r+1=C(x2)9-r()r，
x的幂指数为2(9-r)-r=9,∴r=3.
∴含x9项为第4项，T4=C（x2)6()3=x9.
④设常数项为第r+1项，Tr+1=C(x2)9-r·()r,则x的幂指数为18-3r=0,即r=6,∴第7项为常数项，T7=C69（x2)9-6()6=.【来源：21cnj*y.co*m】
【例2】求(x2+3x+2)5的展开式中含x的项.
分析：由x2+3x+2=(x+1)(x+2),利用二项展开式求解.也可以利用组合数及乘法原理.
解法一：（x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,含x的项是(x+1)5展开式中的一次项与（x+2)5展开式中的常数项之积和(x+1)5展开式中的常数项与(x+2)5展开式中的一次项之积的代数和.
∴含x的项为Cx·C·25+C·1·Cx·24=240x.
解法二：（x2+3x+2)5展开式中的一次项是5个括号中有1个括号内取3x，其他4个括号内取常数项2相乘得到的.即C·3x·C·24=240x.【版权所有：21教育】
绿色通道:对于二项式的展开式问题有两种思路：一是转化为二项式（可因式分解）；二是利用组合及乘法原理（不能因式分解）.通常第二种思路更简捷.21*cnjy*com
变式训练
2.求（1+x)6(1-x)5展开式中含x3项的系数.
解：（1+x)6(1-x)5=(1+x)(1-x2)5.
在（1-x2)5展开式中含x2的项是C·15-1(-x2)1,故(1+x)6(1-x)5的展开式中含x3项的系数为C（-1）=-5.21世纪教育网版权所有
【例3】设(3x-1)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0.求：
（1）a8+a7+…+a1;
(2)a8+a6+a4+a2+a0.
分析：有关求系数和的问题，一般采用“赋值法”，令二项式中的项取一个或几个值，得到一个或几个等式，然后再根据需要求得结果.【来源：21·世纪·教育·网】
解：令x=0,得a0=1.
(1)令x=1，得(3-1)8=a8+a7+…+a1+a0①
∴a8+a7+…+a2+a1=28-a0=256-1=255.
（2）令x=-1，得
(-3-1)8=a8-a7+a6…-a1+a0，②
∴①+②得28+48=2(a8+a6+a4+a2+a0),
∴a8+a6+a4+a2+a0= (28+48)=32 896.
绿色通道:“赋值法”的模式揭示了人们由“一般认识到特殊认识”的重要思维理念，揭示了“特殊存在于一般之中”的辩证关系.www-2-1-cnjy-com
变式训练
3.求（1+2x+x2)10(1-x)5展开式中各项系数的和.
解：（1+2x+x2)10(1-x)5=(1+x)20(1-x)5=(C+Cx+Cx2+…+Cx20)［C+C(-x)+C (-x)2+…+C(-x)5］=A0+A1x+A2x2+…+A25x25.21教育名师原创作品
对于x取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x=1，则0=A0+A1+A2+…+A25.
∴展开式中各项系数和为0.
【例4】求（1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10展开式中x2项的系数.
分析：把(1+x)n(2≤n≤10且n∈N)展开，找全x2项进行系数合并再进行处理.
解：∵（1+x)2=1+C12x+Cx2，
∴x2的系数为C，
(1+x)3=1+x+C23x2+Cx3.
∴x2的系数为C23.
同理：（1+x)4展开式中x2项系数为C…(1+x)10展开式中x2项系数为C.
∴x2项的系数为C+C+C+…+C=C=165.
∴展开式中x2项系数为165.
绿色通道:综合运用二项式定理问题，灵活运用展开式的通项公式进行求解.
变式训练
4.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6展开式中，x2项的系数是______________.（用数字作答）
解：C+C+…+C=C+C+…+C=C=35.
【例5】用二项式定理证明：
32n+2-8n-9是64的倍数（n∈N).
分析：①变为二项式形式；②与64联系上.
证明：32n+2-8n-9=9n+1-8(n+1)-1=(8+1)n+1-8(n+1)-1=8n+1+C8n+C8n-1+…+C82++8+
C-8(n+1)-1=82(8n-1+C+18n-2+…+C).
∵括号内每一项都是自然数，和为自然数，
∴上式是64的倍数，即32n+2-8n-9是64的倍数.
绿色通道:利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.2-1-c-n-j-y
变式训练
5.9192除以100的余数是多少？
解法一：9192=(100-9)92=10092-C·10091·9+C·10090·92-…-C·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.
∵992=(10-1)92=1092-C·1091+C·1090-…+C·102-C·10+(-1)92=1092-C·1091+C·1090-…+C·102-920+1=(1092-C·C+C·1090-…+C·102-1 000)+81，
∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.
解法二：∵9192=(90+1)92=C·9092+C·9091+…+C·902+C·90+1，由于前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C·90+1=8 281=8 200+81，
∴被100除余81.
1.1 回归分析
自主整理
假设样本点为（x1,y1）,(x2,y2),…,(xn,yn)，设线性回归方程为y=a+bx，使这n个点与直线y=a+bx的_____________最小，即使得Q（a,b）=_____________达到最小.利用最小二乘法的思想求得.21世纪教育网版权所有
当b=_____________，a=_____________时，Q（a,b）取最小值.
高手笔记
1.对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.21cnjy.com
2.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线，从整体上看各点与此直线的距离平方之和最小，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系.21·cn·jy·com
名师解惑
1.相关关系与函数关系有哪些相同点和不同点？
剖析：相同点：两者均指两个变量的关系.
不同点：（1）函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系；（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.www.21-cn-jy.com
2.如何理解相关关系的不确定性？
剖析：教材中利用始祖鸟的5个标本求出股骨长度x与肱骨长度y的回归直线方程为y=-3.660+1.197x，那么将第6个标本中股骨长度x=50代入回归直线方程，可以预测第6个标本中的肱骨长度的估计值约为56 cm.是不是当股骨长度x=50时，肱骨长度y一定为56呢？不一定.但如果有大量化石供研究时，股骨长度为50 cm的始祖鸟的肱骨的平均值应为56 cm.2·1·c·n·j·y
讲练互动
【例】关于人体的脂肪含量（百分比）和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组数据：
年龄x
23
27
39
41
45
49
50
脂肪y
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
年龄x
53
54
56
57
58
60
61
脂肪y
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
(1)求y与x之间的回归直线方程；
（2）给出37岁人的脂肪含量的预测值.
分析：两个变量呈现近似的线性关系，可通过公式计算出其线性回归方程，并根据方程求出其预测值.
解：设方程为y=a+bx，根据已知列表为：
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
23
9.5
529
218.5
2
27
17.8
729
480.6
3
39
21.2
1 521
826.8
4
41
25.9
1 681
1 061.9
5
45
27.5
2 025
1 237.5
6
49
26.3
2 401
1 288.7
7
50
28.2
2 500
1 410
8
53
29.6
2 809
1 568.8
9
54
30.2
2 916
1 630.8
10
56
31.4
3 136
1 758.4
11
57
30.8
3 249
1 755.6
12
58
33.5
3 364
1 943
13
60
35.2
3 600
2 112
14
61
34.6
3 721
2 110.6
∑
673
381.7
34 181
19 403.2
由表可得
b=≈0.5765,
a=-b≈-0.447 8.
∴线性回归方程为y=0.576 5x-0.447 8.
当x=37时，y≈20.882 7.
∴37岁人的脂肪含量的预测值为20.882 7.
绿色通道:对于样本点较多时，可列表分项计算.
变式训练
某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系.从这个工业部门内随机抽取了10个企业作样本，有如下资料：21教育网
产量x（千件）
生产费用y（千元）
40
150
42
140
48
160
55
170
65
150
79
162
88
185
100
165
120
190
140
185
求x、y之间的线性回归方程.
解：x、y成线性相关关系.
列表：
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
40
150
1 600
6 000
2
42
140
1 764
5 880
3
48
160
2 304
7 680
4
55
170
3 025
9 350
5
65
150
4 225
9 750
6
79
162
6 241
12 798
7
88
185
7 744
16 280
8
100
165
10 000
16 500
9
120
190
14 400
22 800
10
140
185
19 600
25 900
∑
777
1 657
70 903
132 938
∴==77.7,
=165.7,
b=≈0.398,
a=-b=165.7-0.398×77.7=134.8.
∴线性回归方程为y=134.8+0.398x.
1.2相关系数
自主整理
判断两个变量之间的线性相关关系的方法有：
（1）_______________________________________________________________.
（2）_______________________________________________________________.
高手笔记
1.假设两个随机变量的数据分别为（x1，y1），（x2，y2)，…，（xn，yn），则变量间线性相关系数r的计算公式为21世纪教育网版权所有
r=
2.（1）r∈［-1，1］，|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高.
（2）|r|值越接近0,Q越大,变量之间的线性相关程度越低.
(3)当r＞0时,lxy＞0,b=＞0,两个变量正相关.
当r＜0时,lxy＜0,b=＜0,两个变量负相关.
当r=0时,两个变量线性不相关.
名师解惑
如何用变量间线性系数r来恒量两变量间的线性相关程度的大小?
剖析：误差Q(a，b）=［yi-(a+bxi)］2=lyy+n［-(a+b)］2+lxx(b-)2-.
当b=,a=-b时，Q（a，b）最小=lyy-=lyy（1-）=lyy·（1-r2）.
∵Q(a,b)≥0，
∴1-r2≥0，即r∈［-1，1］.
（1）|r|值越大，1-r2越接近于0，误差Q（a，b）越小，两变量之间的线性相关程度越高.
（2）|r|值越接近于0，1-r2越大，误差Q（a，b）越大，两变量之间的线性相关程度越低.
（3）当r=0时，两变量线性不相关.
讲练互动
【例1】维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x（克/升）去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据.
甲醛浓度(克/升)18
20
22
24
26
28
30
缩醛化度(克分子%)26.86
28.35
28.75
28.87
29.75
30.00
30.36
求相关系数r.
解：列表如下
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
18
26.86
324
483.48
2
20
28.35
400
567
3
22
28.75
484
632.5
4
24
28.87
576
692.88
5
26
29.75
676
773.5
6
28
30.00
784
840
7
30
30.36
900
910.80
∑
168
202.94
4 144
4 900.16
==24,=,
r=
==0.96.
由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的线性相关关系.
绿色通道:当相关系数|r|越接近1时,两个变量的相关关系越强,当相关系数|r|越接近0时,两个变量的相关关系越弱.21教育网
变式训练
1.以下是收集到的新房屋的销售价格y和房屋的大小x的数据.
房屋大小/m2
115
110
80
135
105
销售价格/万元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据的散点图;
(2)用最小二乘估计求线性回归方程；
(3)求相关系数r,并作出评价.
解:(1)略.
(2)
i
xi
yi
xi2
yi2
xiyi
1
115
24.8
13 225
615.04
2 852
2
110
21.6
12 100
466.56
2 376
3
80
18.4
6 400
338.56
1 472
4
135
29.2
18 225
852.64
3 942
5
105
22
11 025
484
2 310
∑
545
116
60 975
2 756.8
12 952
==109，==23.2，
b==0.196，
a=-b=23.2-0.196×109=1.836.
∴回归方程为y=1.836+0.196x，
（3）r=
=0.96，
拟合程度较高.
【例题2】为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系,现随机测得10对母女的身高,所得数据如下表所示.21cnjy.com
母亲身高x/cm
159
160
160
163
159
154
159
158
159
157
女儿身高y/cm
158
159
160
161
161
155
162
157
162
156
（1）试对x与y进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm时，女儿的身高为多少？
（2）求相关系数r.
解：（1）
i
xi
yi
xi2
yi2
xiyi
1
159
158
25 281
24 964
25 122
2
160
159
25 600
25 281
25 440
3
160
160
25 600
25 600
25 600
4
163
161
26 569
25 921
26 243
5
159
161
25 281
25 921
25 599
6
154
155
23 716
24 025
23 870
7
159
162
25 281
26 244
25 758
8
158
157
24 964
24 649
24 806
9
159
1622
5 281
26 244
25 758
10
157
156
24 649
24 336
24 492
∑
1 588
1 591
252 222
253 185
252 688
==158.8，=159.1，
b=≈0.78，
a=-b=159.1-0.78×158.8=35.
∴回归直线方程为y=35+0.78x.
当x=161时,y=160.58 cm,即女儿身高为160.58 cm.
（2）r==
≈0.715.
绿色通道:解相关性检验的必要性，如果不作相关性检验，我们仍然可以求出x与y的回归直线方程，但这时的回归直线方程已经没有任何实际价值了，它也就不能反映变量x与y之间的变化规律.21·cn·jy·com
只有在x与y之间具有相关关系时,求回归直线方程才有实际意义,也才可以用于预测取值的情况.
变式训练
2.设变量x,y存在相关关系,今测得下列10组数据.
x
2
3
4
5
6
8
10
12
14
16
y
15
20
25
30
35
45
60
80
82
105
（1）写出y关于x的线性回归方程；
（2）预测x=25时y的取值；
(3)求线性相关系数r.
解：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∑
xi
2
3
4
5
6
8
10
12
14
16
80
yi
15
20
25
30
35
45
60
80
82
105
497
xi2
4
9
16
25
36
64
100
144
196
256
850
yi2
225
400
625
900
1 225
2 025
3 600
6 400
6 724
11025
33 149
xiyi
30
60
100
150
210
360
600
960
1 148
1 680
5 298
=8，=49.7，
b=≈6.3，
a=-b=49.7-6.3×8=-0.7，
∴线性回归方程为y=-0.7+6.3x.
当x=25时,y=156.8，
r==
=0.992 5.
x与y之间有很强的线性相关性.
1.3可线性化的回归分析
自主整理
1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的________________,从_____________中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的参数进行拟合.www.21-cn-jy.com
2.对于非线性回归模型一般可转化为_________________，从而得到相应的回归方程.
高手笔记
1.幂函数曲线y=axb.作变换μ=lny,v=lnx c=lna，得线性函数μ=c+bv.
2.指数曲线y=aebx.作变换μ=lny,c=lna,得线性函数μ=c+bx.
3.倒指数曲线y=aebx.作变换μ=lny,c=lna,v=，得线性函数μ=c+bv.
4.对数函数y=a+blnx.作变换v=lnx，得线性函数y=a+bv.
名师解惑
如何根据原始数据求拟合函数?
剖析：（1）可先由原始数据作散点图.
（2）对于一些函数模型的图形要熟悉.
如:①幂函数y=axb型的图象为:
②指数曲线y=aebx
(3)倒指数曲线y=aebx
(4)对数曲线y=a+blnx
（3）由散点图找出拟合函数的类型.
（4）将非线性函数转化为线性函数.
（5）求出回归方程.
讲练互动
【例1】某地今年上半年患某种传染病人数y与月份x之间满足函数关系模型为y=aebx，确定这个函数解析式.21·世纪*教育网
月份x
1
2
3
4
5
6
人数y
52
61
68
74
78
83
分析：函数模型为指数型函数，可转化为线性函数，从而求出.
解：设μ=lny，c=lna，则μ=c+bx.
由已知
X
1
2
3
4
5
6
μ=lny
3.95
4.11
4.22
4.304
4.356 7
4.418 8
=21，=25.359 5，2=91，2=107.334，=90.341 3，=3.5，=4.226 58，21cnjy.com
b===0.09,
c=-b=4.226 58-0.09×3.5=3.911 58，
∴μ=3.911 58+0.09x.
∴y=e3.911 58·e0.09x.
绿色通道:基础模型为指数型,可两边取对数转化为线性函数关系,求出回归方程..
变式训练
1.某工厂今年第一季度生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件，为了估测以后每个月的产量，可用函数y=aebx来模拟该产品的月产量y与月份x的关系，求模拟函数.2-1-c-n-j-y
解：设μ=lny，c=lna，则μ=c+bx.
月份x
1
2
3
4
产量y
1
1.2
1.3
1.37
x
1
2
3
4
μ
0
0.182 3
0.262 4
0.314 8
=10，=0.759 5，2=30，2=0.201 2，
μi=2.411，=2.5，=0.189 9，
b====0.102 45，
c=-b=0.189 9-0.102 45×2.5=-0.066，
∴μ=-0.066+0.102 45x.
y=e-0.066·e0.102 45x.
【例2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:
身高x/cm
60
70
80
90
100
110
体重y/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x/cm
120
130
140
150
160
170
体重y/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)画出散点图.
(2)能否建立恰当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.2·1·c·n·j·y
(3)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78 kg的在校男生的体重是否正常?21*cnjy*com
解：(1)作散点图.
(2)从散点图可看出函数模型为y=aebx型.
设μ=lny，c=lna，则μ=c+bx.
x
60
70
80
90
100
110
μ
1.813
2.067
2.301 6
2.497
2.709 4
2.862
x
120
130
140
150
160
170
μ
3.041
3.290 6
3.437 5
3.659 7
3.855 4
4.008 2
xi=1 380, μi=35.542 4, xi2=173 000, xiμi=4 369.249,
=115,=2.961 9,b=
=0.0197,c=-b=2.961 9-0.019 7×115=0.696 4,
∴μ=0.696 4+0.019 7x,y=e0.696 4·e0.019 7x.
当x=175时,μ=4.143 9,
∴y=eμ=e4.143 9=63.048.
=1.237＞1.2,此男子偏胖.
绿色通道:根据给出的数据,画出散点图,选择散点图所符合的函数模型再转化为线性关系解答.
变式训练
2.一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据如下表：
温度x/℃
21
23
25
27
29
32
35
产卵个数y/个
7
11
21
24
66
115
325
求y与x之间的回归方程.
解：（1）画出散点图.
两变量符合指数函数y=aebx.
令μ=lny，c=lna，则μ=c+bx.
x
21
23
25
27
29
32
35
μ
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
=192，=25.286，=5 414，μi=733.741，=27.428 6，=3.612 3.【来源：21·世纪·教育·网】
b==0.272，
c=-b=-3.843，
∴μ=3.843+0.272x.
y=e-3.843·e0.272x.
同步测控
我夯基，我达标
1.设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的关系为y=cekx，其中c、k为常量，如果某游客从大气压为1.01×105 Pa的海平面地区,到了海拔为2 400 m、大气压为0.90×105 Pa的一个高原地区,则k与c的取值分别是( )【来源：21cnj*y.co*m】
解析:将和分别代入y=cekx,得
答案：A
2.我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示.
年份
1990
1991
1992
1993
产值/亿元
18 598.4
21 662.5
26651.9
34 560.5
年份
1994
1995
1996
1997
产值/亿元
46 670.0
57 494.9
66 850.5
73 142.7
年份
1998
1999
2000
产值/亿元
76 967.1
80 422.8
89 404.0
则反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型可能为（ ）
A.y=aekx B.y=a+bxwww-2-1-cnjy-com
C.y=axb D.y=ae【出处：21教育名师】
解析：画出散点图观察，可用y=a+bx刻画国民生产总值发展变化的趋势.
答案:B
3.下列数据x,y符合哪一种函数模型( )
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
2
2.69
3
3.38
3.6
3.8
4
4.08
4.2
4.3
A.y=2+13x B.y=2ex C.y=2e D.y=2+lnx
解析：取x=1,2，…，10分别代入各解析式判断.
答案:D
4.指数曲线y=aebx的图象为( )
解析：∵y=a ebx，∴a＞0时y＞0，排除A、C,且x∈R，排除D,选B.
答案:B
5.倒指数曲线y=ae的图象为( )
解析:y=a，当a＞0,b＞0时，图象为A.
答案:A
6.幂函数曲线y=xb,当b＞1时的图象为( )
解析:当b＞1时,图象为A,当0＜b＜1时为B,当b＜0时为C,当b=1时为D.
答案:A
7.x、y满足
x
0.2
0.6
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
y
0.04
0.36
1
1.4
1.9
2.5
3.2
3.98
4.82
则x、y之间符合函数模型____________________________.
解析:画出散点图,形如y=xb，其中b=2.
答案:y=x2
8.x、y满足
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
y
0.26
0.35
0.51
0.71
1.1
1.41
2.05
则x、y之间符合函数模型____________________________.
解析:画出散点图，形如y=a·ebx，其中a=2，b=1.
答案：y=exln2
我综合，我发展
9.若x，y满足
x
0.1
0.2
0.3
0.5
1
2
3
4
5
y
20
9
6
4
2
0.94
0.65
0.51
0.45
则x,y满足函数关系为____________________________.
解析:画出散点图，形如y=，其中b=2.
答案:y=
10.若x、y满足
x
0.4
0.5
1
2
y
0.082
0.135
0.367 8
0.607
x
5
10
20
30
y
0.818 7
0.904 8
0.951
0.967 5
则x、y满足函数关系是____________________________.
解析：画出散点图,当x无限大时，y逐渐接近于1，符合函数模型y=aebx.
其中a=1，b=-1.
答案：y=
11.为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：
天数x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y/个
6
12
25
49
95
190
（1）作出y关于x的散点图.
（2）写出y关于x的模拟函数.
解:(1)作散点图.
(2)由散点图知x、y之间满足函数关系为y=ae bx.
设μ=lny,c=lna,则μ=c+bx.
x
1
2
3
4
5
6
μ
1.791 8
2.484 9
3.218 9
3.891 8
4.553 9
5.247 0
=21,=21.188 3,2=91,μi=86.237,=3.5,=3.531 4,
b====0.69,
c=-b=3.531 4-0.69×3.5=1.115 9,
∴c =1.115 9+0.69x.∴y=e1.115 9·e0.69x.
12.我国1950—1959年人口数据资料如下表:
年份
1950
1951
1952
1953
1954
时间t
0
1
2
3
4
人数y/万人
55 196
56 300
57 482
58 796
60 266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
时间t
5
6
7
8
9
人数y/万人
61 456
62 828
64 563
65 994
67 207
若y与t之间满足y=aebt关系，求函数解析式;若按此增长趋势估计大约在哪一年我国人口达到14亿？
解：设μ=lny，c=lna,则μ=c+bt.
t
0
1
2
3
μ
10.918 6
10.938 4
10.959 2
10.981 8
t
4
5
6
7
μ
11.006 5
11.026 1
11.048 2
11.075 4
t
8
9
μ
11.097 3
11.115 5
=45,=110.167 0,=285,μi=497.593 6,=4.5,=11.016 7,
b===0.0223,
c=-b=11.016 7-0.022 3×4.5=10.916 4,
∴μ=10.916 4+0.022 3t. y=e10.916 4+0.022 3t.
令y=140 000万，
则10.916 4+0.022 3t=ln140 000=11.849 4，
∴t=41.838 5.
即大约在1950年后的第42年(即1992年)我国人口达到14亿,由此看来,计划生育是我国的基本国策.21世纪教育网版权所有
我创新，我超越
13.在平炉炼钢中,由于矿石与炉气中的氧气作用,铁水的总含量不断下降.现测得含碳量y(百分比)与熔化时间t(小时)的关系如下表：21教育网
时间t
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
含碳量y(百分比)
9.73
7.46
6.04
4.35
2.74
2.06
时间t
6.2
6.4
6.6
6.8
7
含碳量y(百分比)
1.48
0.98
0.57
0.41
0.25
求回归方程.
分析:画出散点图观察样本点分布在一条指数函数曲线y=aebx的周围,再应用换元转化为线性回归问题求解.21·cn·jy·com
解:设z=lny，c=lna.
时间t
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
z=lny
2.275
2.010
1.798
1.470
1.008
0.723
时间t
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
z=lny
0.392
-0.020
-0.562
-0.892
-1.386
则=66，=6876，=400.4，ti=32.778 2，=6，=0.619 6，
b====-1.845，
c=-b=11.689，
∴z=-1.845t+11.689.
∴y=e-1.845 t+11.689.
§2 独立性检验
自主整理
1.设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值,
变量A：A1，A2=1；
变量B：B1，B2=1.
通过观察得到下表所示数据:
A
B
B1
B2
总计
A1
a
A2
总计
其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据.2·1·c·n·j·y
设n=a+b+c+d,用_______________估计P(A1B1), ______________估计P(A1), __________估计P(B1).【来源：21·世纪·教育·网】
若有式子
,
则可以认为______________独立.
同理,若，则可以认为______________独立；若，则可以认为______________独立；若，则可以认为______________独立.
但是,在中，由于表示的是______________，不同于概率，即使变量之间独立，式子两边也不一定恰好相等.但是当两边相差______________时,变量之间就不独立.www-2-1-cnjy-com
2.选取χ2作统计量,用它的大小来检验变量之间是否独立.
χ2=______________________________________________________________________
当数据量较大时,在统计中,用以下结果对变量的独立性进行判断.
(1)当χ2≤______________时,没有充分的证据判定变量A,B有关联,可以认为变量A,B是没有关联的;21*cnjy*com
(2)当χ2＞______________时,有90%的把握判定变量A,B有关联;
(3)当χ2＞______________时,有95%的把握判定变量A,B有关联;
(4)当χ2＞______________时,有99%的把握判定变量A,B有关联.
高手笔记
1.独立性检验的基本思想
先假设两个分类变量X与Y无关系,即X与Y相互独立,计算χ2的观测值k,把k与临界值进行比较,可以判断X与Y有关系的程度及无关系.在该假设下,构造的随机变量χ2应该很小,如果实际计算出的χ2的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理,根据χ2的含义可以利用统计估算出概率P(χ2≥6.635)≈0.01,即有1%的把握认为X与Y无关,也就是说有99%的把握认为X与Y有关联.【来源：21cnj*y.co*m】
2.独立性检验的一般步骤
(1)假设两个分类变量X与Y无关联;
(2)计算出χ2=
(3)把χ2的值与临界值比较确定X与Y有关联的程度或无关联.
名师解惑
从教科书中,我们得到“有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌是有关的”这一结论,有的同学认为这一结论应该这样理解:即100个抽烟的人中,有99个患有肺癌.请问这样理解是否正确?【出处：21教育名师】
剖析：不正确.
首先要区别“事件发生的概率”与“独立性检验中X与Y有关联的概率”.
(1)事件发生的概率.例如袋中有100个球,其中99个白球,1个黑球,随机取一个球,则取到白球的概率为99%.21世纪教育网版权所有
(2)两个变量X与Y有关系的概率.例如教科书中吸烟与患肺癌之间有关系的概率为99%,并非指吸烟者中有99%的人患肺癌,而是指我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”,(而在吸烟者中,只有2.82%的人患肺癌）我们得到的结论是：吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，这里所说的“吸烟与患肺癌有关系”是指统计上的关系，而非因果关系，至于吸烟者患不患肺癌，应该由医学检查来确定，而非统计学上的事了.
讲练互动
【例1】在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶,利用独立性检验的方法判断秃顶与患心脏病是否有关系.21教育网
分析：计算χ2的值,然后与临界值进行比较.
解：根据题目所给的数据得到如下列联表：
患心脏病
患其他病
总计
秃顶
214
175
389
不秃顶
451
597
1 048
总计
665
772
1 437
故χ2=≈16.373＞6.635，
所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.
黑色陷阱:因为这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论只适合住院的病人群体,不要脱离这个前提而将结论推广到一般人群..www.21-cn-jy.com
变式训练
1.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生,得到如下列联表:21·世纪*教育网
喜欢数学课程
不喜欢数学课程
总计
男
37
85
122
女
35
143
178
总计
72
228
300
由表中的数据，你认为在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？
解：χ2=≈4.513＞3.841,
在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下，χ2应该很小，并且P（χ2＞3.841)≈0.05，21·cn·jy·com
而我们所得到的χ2的观察值4.513超过3.841,这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论是错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”.【版权所有：21教育】
【例2】某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况进行了n=1 700次观测,列联表如下:
有地震
无地震
水位有变化
98
902
水位无变化
82
618
问观测结果是否说明地下水位的变化与地震的发生有关系?
分析：判断两个分类变量是否相关,只须计算χ2的值然后与临界值比较即可.
解：列联表:
有地震
无地震
总计
水位有变化
98
902
1 000
水位无变化
82
618
700
总计
180
1 520
1 700
χ2=≈1.59＜2.706，
∴没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关.
绿色通道:当χ2≤2.706时,一般认为没有充分证据显示“X与Y有关系”..
变式训练
2.为了研究性格与血型的关系抽取80人测试，血型与性格汇总如下，试判断性格与血型是否相关.
O型或A型
B型或AB型
总计
A型
18
16
34
B型
17
29
46
总计
35
45
80
解:由列联表中的数据得到
χ2=≈2.030≤2.706.
所以认为没有充分的证据显示血型与性格有关系.
【例3】在一项有关医疗保健的社会调查中,发现调查的男性为530人,女性为670人,其中男性中喜欢吃甜食的为117人,女性中喜欢吃甜食的为492人,判断喜不喜欢甜食与性别是否有关系.2-1-c-n-j-y
分析：先由题目中的条件画出列联表,然后计算χ2.
解：作列联表如下:
喜欢甜食
不喜欢甜食
总计
男
117
413
530
女
492
178
670
总计
609
591
1 200
χ2=≈312.272＞6.635，
∴有99%的把握认为喜不喜欢甜食与性别有关系.
绿色通道:统计方法是可能犯错误的,好的统计方法就是要降低犯错误的概率..
变式训练
3.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了339名50岁以上的人,调查结果如下表所示:
患慢性气管炎
未患慢性气管炎
合计
吸烟
43
16
2205
不吸烟
13
121
134
合计
56
283
339
试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？
解：根据列联表中的数据，得到
χ2==7.469.因为7.469＞6.635,所以我们有99%的把握说50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关.21cnjy.com
§1 离散型随机变量及其分布列
自主整理
1.随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个_____________.www.21-cn-jy.com
2.随机变量的取值能够_____________的随机变量称为离散型随机变量.
3.设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取ai的概率为pi(i=1,2，…)，记作
p(X=ai)=Pi(i=1,2，…)
或把上式列成表
X=ai
a1 a2 …
P(X=ai)
p1 p2 …
称为__________________________________________________________________________。
并且有①pi_____________0，②p1+p2+…=_____________.
如果随机变量X的分布列如上表，则称随机变量X服从这一分布(列)，并记为_____________.
高手笔记
1.随机变量是将随机试验的结果数量化.
2.随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件.
3.随机变量X取每一个值ai的概率P(X=ai)等于其相应的随机事件Ai发生的概率P(Ai).
4.若X为一个随机变量，则Y=aX+b(a,b为常数)也为随机变量.
5.离散型随机变量的分布列中
第一行表述了随机变量X的所有可能的取值,在这里要注意按一定的次序来填写；第二行表述了随机变量X取相应上行中数值ai的概率的大小pi=P(X=ai)，i=1,2，…
6.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于其在这个范围内取每一个值的概率之和.
7.离散型随机变量的分布列不仅清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究随机试验数量特征的基础.21·世纪*教育网
名师解惑
1.随机变量与以前学过的变量有什么区别与联系？
剖析：随机变量作为一个变量，当然有它的取值范围，这和以前学过的变量一样.不仅如此，还有它取每个值的可能性的大小，如：从装有无差别的6只黑球、4只白球的袋中，随机抽取3只球，所得的白球个数是一随机变量X，其取值为X=0，1，2，3；而取每个值的可能性的大小，可通过其相应的随机事件发生的大小——即其概率来反映.即“若X=2”，对应事件A2：“取出的3只球中恰有两只白球”，其概率：21*cnjy*com
P(A2)=
若“X=3”对应事件A3：“取出的3只球中恰有三只白球”的概率：P(A3)=
所以随机变量X=2的可能性大小为，而X=3的可能性大小为.
综上，随机变量X不仅有它的取值范围{x1，x2，…，xn，…}，而且还有取每个值的可能性大小——概率P(X=xi)，i=1,2，…，n，…，这是与通常的变量所不同的.
2.常见的离散型随机变量的分布列有哪些？
剖析：(1)单点分布：它的分布列为
X
C
P
1
(2)两点分布：它的分布列为
X
0
1
P
q
p
其中0(3)超几何分布：P(X=k)=(其中k为非负整数)
称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
(4)二项分布：P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0，1,2，…，n)
称X服从参数为n，p的二项分布.
3.求离散型随机变量的分布列的步骤?
剖析：首先，明确随机变量的所有可能取值；
其次，求出与这些可能取值等价的事件的概率；
最后，在确定概率和为1后，按要求写出分布列.
讲练互动
【例1】将一枚均匀硬币抛掷一次，试指出下列四种描述中，哪个是描述此随机试验的随机变量X，并求出X的分布列.2·1·c·n·j·y
(1)出现正面的次数；
(2)出现正面或反面的次数；
(3)掷硬币的次数；
(4)出现正反面的次数之和.
分析：解决本题的关键是判断随机变量，确定X的取值.
在一个随机试验中，用来描述此随机试验的随机变量有多种形式，但不论选哪一种形式，它对应的都是随机试验所有可能的结果.由于某些随机试验结果的属性不同，结果的数量化本身就是多样的，如正面向上取1反面向上取0.同时随机试验可能出现的结果的确认标准应该是一个，如掷硬币这样的随机试验可能的结果，一个标准是正面向上的次数，或者是反面向上的次数，但不论以正面向上还是以反面向上，只能取一种划分方法，如出现正面的次数，这时X的取值为0、1.www-2-1-cnjy-com
解：掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量X，X的取值是0、1，故(1)是；而(2)中标准模糊不清；
(3)中掷硬币次数就是1，不是随机变量；(4)中出现正面和反面次数之和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量.【来源：21cnj*y.co*m】
∴(1)的分布列是
X
0
1
P
绿色通道:题中分布列为二点分布列，有很多随机现象都是用此分布列来表示，如某一随机事件发生用1表示，则不发生用0表示，其事件发生的次数就是一个随机变量，这个随机变量的分布列便是二点分布列.
变式训练
1．将一颗骰子掷2次，求下列随机变量的分布列.
(1)两次掷出的最大点数；
(2)第一次掷出点数减去第二次掷出点数的差.
解：
(1)分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
(2)分布列如下：
X
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
P
【例2】一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2，3,4，5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列.21世纪教育网版权所有
分析：随机取出3个球的最大号码X所有可能取值为3,4，5,6.
“X=3”对应事件“取出的3个球，编号为1,2，3”；“X=4”对应事件“取出的3个球中”恰取到4号球和1,2，3号球中的2个；“X=5”对应事件“取出的3个球中”恰取到5号球和1,2，3,4号球中的2个；“X=6”对应事件“取出的3个球中”恰取到6号球及1,2，3,4，5号球中的2个，而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式和排列组合知识来求解，从而获得X的分布列.【来源：21·世纪·教育·网】
解：随机变量X的取值为3,4，5,6.
从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“X=3”包含的基本事件总数为C，事件“X=4”包含的基本事件总数为；事件“X=5”包含的基本事件总数为；事件“X=5”包含的基本事件总数为C；事件“X=6”包含的基本事件总数为C；从而有2-1-c-n-j-y
P(X=3)=；
P(X=4)=
P(X=5)==；
P(X=6)==.
∴随机变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
绿色通道:确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列组合知识求出X取每个值的概率..21cnjy.com
变式训练
2．一批零件有9个合格品，3个不合格品，安装机器时，从中任取一个，若取出不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列.【出处：21教育名师】
解：设在取得合格品以前取出的不合格品数记为X，则X是一个随机变量，且其取值为0,1，2,3，“X=0”表示从12个零件中取出一件，取到合格品，其概率P(X=0)==，“X=1”表示从12个零件中取2件，第一次取到不合格品，第二次取到合格品，其概率P(X=1)= =【版权所有：21教育】
同理，P(X=2)=，
P(X=3)=，则分布列为：
X
0
1
2
3
P
【例3】设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2，3,4)，求：(1)P(X=1或X=2)；
(2)P((3)函数F(x)=P(X分析：利用分布列的性质p1+p2+…=1解题.
解：(1)P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)=+==0.3.
(2)P((3)F(x)=
由上可知P(X∴x的最大值为4.
绿色通道:
已知分布列时，可求分布函数F(x)，由本题可知离散型随机变量的分布函数是分段函数.
变式训练
3．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表：
X
-1
0
1
P
1-2q
q2
(1)求q的值；
(2)求P(X>-1).
解：(1)因为离散型随机变量的分布列满足：
①pi≥0，i=1,2，…
②p1+p2+…=1，
所以有
解得q=1-.
故X的分布列为：
X
-1
0
1
P
-1
-
(2)P(X>-1)=P(X=0)+P(X=1)=-1+-=,或者P(X>-1)=1-P(X=-1)=1-=.
【例4】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次若取出的是黑球则不再放回，直到取出白球为止，求取球次数的概率分布列.21教育网
分析：先考虑取球次数这一随机变量的可能取值，然后求出每一种取值的概率，最后写出分布列.
解：由题意得取球次数X是一随机变量.
若每次取出黑球不再放回，所以X的可能取值为1,2，3,4，5，“X=1”表示“从中取出一个球，取到白球”，则P(X=1)=.“X=2”表示“从中取两个球，第一次取到黑球，第二次取到白球”，则P(X=2)==，同理P(X=3)==，P(X=4)==，P(X=5)==.21·cn·jy·com
所以若每次取出黑球不再放回，取球次数X的分布列为：
X
3
4
5
P
绿色通道:本题的关键是求随机变量X取每一个可能值时的概率.也可以这样解：P(X=1)= ；P(X=2)=×=；P(X=3)= ××=；P(X=4)=×××=；P(X=5)= ××××=.21*cnjy*com
变式训练
4．某射手有5发子弹，射击一次命中概率是0.9，如果命中就停止射击，求耗用子弹数的分布列.
分析：只要确定了X取哪些值以及各值代表的随机事件的概率即可.
解：X的取值只有1,2，3,4，5，当X=1时，P(X=1)=0.9，当X=2时，要求第一次没射中，第二次射中，故P(X=2)=0.1×0.9=0.09，同理，当X=3时，要求前两次没有射中，第三次射中，P(X=3)=0.12×0.9=0.009，类似地，P(X=4)=0.000 9，第5次射击不同，只要前4次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以P(X=5)=0.14=0.000 1，所以分布列为：21教育名师原创作品
X
1
2
3
4
5
P
0.9
0.09
0.009
0.000 9
0.000 1
§2 超几何分布
自主整理
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的个数，那么P(X=k)=______________(其中k为非负整数).
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为______________的超几何分布.21·世纪*教育网
高手笔记
1.超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X=k)=①(k≤l，l是n和M中较小的一个).www-2-1-cnjy-com
2.在超几何分布中，只要知道N、M和n，就可以根据公式①求出X取不同值时的概率P，从而列出X的分布列.2-1-c-n-j-y
名师解惑
1.如何判断随机变量X是否服从超几何分布？
剖析：判断超几何分布时必须满足以下两条：
(1)总数为N件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，其余的N-M件为乙类(或正品).
(2)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品的件数.
2.当随机变量X服从参数为N、M、n(M≤N，n≤N)的超几何分布时，X的所有可能取值有哪些？
剖析：当N-M≥n时，X的所有可能取值为：0,1,2，…，l(l为M与n中较小的一个)，例如(1)从10件产品(含有4件次品)中取3件，其中含有的次品数X的所有可能取值为0，1,2，3.21*cnjy*com
(2)从10件产品(含有2件次品)中取3件，其中含有的次品数X的所有可能取值为0，1,2.
当N-M例如：(1)从10件产品(含8件次品)中取4件，其中含有的次品数X的所有可能取值为2,3，4.(2)从10件产品(含5件次品)中取8件，其中含有的次品数X的所有可能取值为3,4，5.
讲练互动
【例1】从含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：
(1)取到的次品件数X的分布列；
(2)至少取到1件次品的概率.
分析：
根据题意，取到的次品件数X为离散型随机变量，且X服从参数为N=100，M=5，n=3的超几何分布.
解：(1)∵X服从参数为N=100，M=5，n=3的超几何分布，它的可能取值为0，1,2，3，由公式P(X=k)=(其中k为非负整数)，可得随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(2)根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率为：P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.138 06+0.005 88+0.000 06=0.144 00.
故至少取到1件次品的概率约为0.144 00.
绿色通道:准确找出随机变量X的取值，是解决此类问题的关键.
变式训练
1．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥数训练，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.
(1)求X的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数X>1”的概率.
解：(1)X可能取的值为0，1,2，3，P(X=k)=，k=0,1，2,3.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(2)由(1)，“所选3人中女生人数X>1”的概率为
P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=.
【例2】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.21教育网
分析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，且X服从参数为N=30，M=10，n=5的超几何分布.21cnjy.com
解：∵X服从超几何分布，且X的可能取值为0，1,2，3,4，5，则至少摸到3个红球的概率为：
P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=≈0.191 2.
故中奖的概率约为0.191 2.
绿色通道:由超几何分布的概念、公式以及上述两例我们知道：第一，当研究的事物涉及二维离散型随机变量(比如：次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为一个超几何分布；第二，在超几何分布中，只要知道参数N、M、n就可以根据公式求出X取不同值时的概率，进而列出X的分布列.【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练
2.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得次品数X的分布列，并求P(≤X≤).
分析：先弄清楚随机变量X的取值，符合超几何分布，运用超几何分布的概率计算.
解：X的可能取值为0，1,2.
P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
P(≤X≤)=P(X=1)+P(X=2)=.
【例3】某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如下表：21世纪教育网版权所有
摸出的5个球中带“奖”字球的个数
奖品
0
无
1
无
2
肥皂一块
3
洗衣粉一袋
4
雨伞一把
5
自行车一辆
(1)若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率；
(2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率.
分析：可以将10个球看作10件“产品”，5个印有“奖”字的球可以看作5件“次品”，任意取5个球中印有“奖”字的球数可以看作是任取5件“产品”中所含“次品”数.
解：(1)设X为摸取5个球中印有“奖”字的球的个数，则X服从参数为N=10，M=5，n=5的超几何分布.21·cn·jy·com
X的可能取值为0，1,2，3,4，5，则X的分布列为：
P(X=k)=(k=0,1，2,3，4,5)，
若要获得奖品，只需X≥2，则
P(X≥2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)
=1-
(2)若要获得自行车，必须X=5，则
P(X=5)=.
绿色通道:由上面的计算可以看出，顾客获得奖品的概率为≈0.896 8，希望很大.但获得自行车的概率为≈0.004 0，希望不大..www.21-cn-jy.com
变式训练
3．已知某社区的10位选民代表中有5位支持候选人A，现随机采访他们中间的4位，求其中至少有2名支持候选人A的概率.2·1·c·n·j·y
解：P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-
教材链接
［P40思考交流］下列随机变量X是否服从超几何分布，如果服从，那么各分布的参数分别是多少？
(1)一个班级共有45名同学，其中女生20人，现从中任选7人，其中女生的人数为X；
(2)从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中取出n张牌，取出的黑桃的张数为X.
答：(1)X服从参数为N=45，M=20，n=7的超几何分布.
(2)X服从参数为N=52，M=13，n(n≤52)的超几何分布.
§3 条件概率与独立事件
自主整理
1.已知__________________的条件下A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)，当P(B)>0时，我们有P(A|B)=_________________(其中，A∩B也可以记成AB).
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率P(B|A)=_________________.
2.一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)=_________________，则称A，B相互独立.可以证明，如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.如果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)= _________________.21cnjy.com
高手笔记
1.P(B|A)是指在事件A发生的前提下事件B发生的概率；
P(B)是指事件B发生的概率.
例如：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取.
①用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则P(B)=.
②若已经知道第1名同学没有抽到奖券(设该事件为A)，则这时最后一名同学抽到中奖奖券的概率P(B|A)=.故P(B|A)≥P(B)，特别地，当P(B|A)=P(B)时，可以断定A、B两个事件一定相互独立.21·世纪*教育网
2.P(AB)表示在基本事件空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的基本事件空间Ωa中，计算B发生的概率，用古典概型公式则有：
P(B|A)=
P(AB)=
∵Ωa中基本事件数≤Ω中基本事件数，故有P(B|A)≥P(AB).
3.条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即
0≤P(B|A)≤1；
如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
名师解惑
1.条件概率的求解策略是什么？
剖析：求条件概率一般有两种方法，一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)=，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数.21教育网
二是直接根据定义计算，P(B|A)=，特别要注意P(AB)的求法.
2.常见事件的关键词与概率间的关系.
剖析：
关键词表述
事件符号
概率
A、B互斥
A、B相互独立
A、B中至少有一个发生
A∪B
P(A∪B)
P(A)+P(B)
1-P()·P()
A、B同时都发生
A∩B
P(A∩B)
0
P(A)·P(B)
A、B都不发生
∩
P(∩)
1-［P()+P()］
P()·P()
A、B中恰有一个发生
A∪B
P(A∪B)
P(A)+P(B)
P(A)·P()+P()·P(B)
A、B至多有一个发生
A∪A∪
P(A∪B∪ )
1
1-P(A)·P(B)
3.相互独立事件与互斥事件的区别与联系
剖析：(1)事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生对另一个事件是否发生没有影响.
(2)事件的独立性是对两个任意事件而言，而事件的对立是对一个试验中的两个事件而言.
(3)独立事件不是对立事件，一般情况下必定不是互斥事件；对立事件是互斥事件，不能是独立事件；互斥事件一般不是对立事件，一定不是独立事件.21·cn·jy·com
(4)在实际应用中，事件的独立性常常不是根据定义判断，而是根据实际问题(意义)来加以判断，如一部仪器上工作的两个元器件，它们各自的工作状况是互相独立的；两个人同时射击一个目标，各自命中状况也是互相独立的.www.21-cn-jy.com
讲练互动
【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.
分析：
(1)(2)属于古典概型，(3)利用条件概率公式P(B|A)=求解.
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)==20.
根据分步乘法计数原理，n(A)=×A=12，于是
P(A)=.
(2)因为n(AB)=A=6，所以
P(AB)=
(3)方法1：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为
P(B|A)=.
方法2：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以P(B|A)=.
绿色通道:利用条件概率公式求解时，求事件AB的概率(或其基本事件个数)是解决问题的关键.
变式训练
1．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出的点数之和大于等于10”的概率是多少？
解：设“第一颗骰子掷出6点”为事件A，“掷出的点数之和大于等于10”为事件B.
则P(B|A)=.
【例2】一只盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是二等品”，试求条件概率P(B|A).2·1·c·n·j·y
分析：
本题属古典概型条件概率问题，可用公式P(B|A)=来解决.
解：
将产品编号，1,2，3为一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取到第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间为【出处：21教育名师】
Ω={(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)}.
事件A有9个基本事件，AB有6个基本事件.
所以P(B|A)= =.
绿色通道:本题的解法是求条件概率的常用方法，当基本事件空间容易列出时，可考虑此法..
变式训练
2．盒中有5个红球，11个蓝球，红球中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球摸到的可能性都相同，若已知取到的球是玻璃球，问它是蓝球的概率是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
解：记A={取得蓝球}，B={取得玻璃球}，根据题意引出图表如下：
玻璃
木质
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16
已知取到的球是玻璃球，求它是蓝球的概率，这就是求B发生的条件下A发生的概率，记作P(A|B)，由上表可知，n(B)=6，n(AB)=4，∴P(A|B)==.【版权所有：21教育】
【例3】从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将它们放在验钞机上检验，结果提示其中有假钞，求2张都是假钞的概率.21教育名师原创作品
分析：由题意知，验钞机提示抽出的两张钞票中至少有一张为假钞，从而问题转化为在“抽到的两张中至少有1张为假钞”的前提下，求“抽到的两张都是假钞”的概率.
解：若A表示“抽到的两张都为假钞”，B表示“抽到的两张中至少有1张为假钞”，所求概率为P(A|B)，21*cnjy*com
又P(AB)=P(A)=
P(B)=，由条件概率公式得
P(A|B)=.
绿色通道:准确理解题意，弄清楚在什么条件下发生的事件是求解条件概率的关键.
变式训练
3．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：2-1-c-n-j-y
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率.
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.
解：设第i次按对密码为事件Ai(i=1,2)，则A=A1∪(1A2)表示不超过2次就按对密码.
(1)因为事件A1与事件A1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)=P(A1)+P(1A2)=.
(2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)=P(A1|B)+P(1A2|B)=+×=.
【例4】甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
分析：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意P(A)、P(B)、P(AB)已知，故可直接由条件概率公式求解.
解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意得P(A)=0.20，P(B)=0.18，P(AB)=0.12，所以
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是
P(A|B)===0.67.
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是
P(B|A)===0.60.
绿色通道:本题直接利用条件概率公式求解，要注意分清谁是条件.
变式训练
4．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？
解：设A=“能活到20岁”，B=“能活到25岁”，则P(A)=0.8，P(B)=0.4，而所求概率为P(B|A)，由于BA,故A∩B=B,于是P(B|A)==0.5.
所以这个动物能活到25岁的概率是0.5.
【例5】设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8、0.9，求：
(1)两人都击中目标的概率；
(2)两人中有1人击中目标的概率；
(3)在一次射击中，目标被击中的概率；
(4)两人中，至多有1人击中目标的概率.
分析：设出已知事件，然后利用互斥事件、对立事件、独立事件将所求事件分解成已知事件的和或积，从而得出相应的事件等式，最后利用有关概率公式求解即可.
解：设事件A={甲射击一次，击中目标}，事件B={乙射击一次，击中目标}，A与B相互独立，则P(A)=0.8，P(B)=0.9.
(1)两人都击中目标的事件为A·B，
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72.
即两人都击中目标的概率为0.72.
(2)设事件C={两人中有1人击中目标}，则C=A·+B·，∵A·与B·A互斥，且A与B独立，
∴P(C)=P(A·+B·)
=P(A·)+P(B·)
=P(A)·P()+P(B)·P()
=P(A)·［1-P(B)］+P(B)·［1-P(A)］
=0.8×0.1+0.9×0.2=0.26.
即两人中有1人击中目标的概率为0.26.
(3)设D={目标被击中}={两人中至少有1人击中目标}，本问有三种解题思路.
方法一：∵D=A·+B·+·B，则A与，B与，A与B相互独立，A·、B·、A·B彼此互斥，∴P(D)=P(A·+B·+A·B)=P(A·)+P(B·)+P(A·B)=P(A)·P()+P(B)·P(A)+
P()·P(B)=P(A)·［1-P(B)］+P(B)·［1-P(A)］+P(A)·P(B)=0.8×0.1+0.9×0.2+0.8×0.9=0.98.www-2-1-cnjy-com
即目标被击中的概率是0.98.
方法二：利用求对立事件概率的方法.
两人中至少有1人击中的对立事件为两人都未击中，所以两人中至少有1人击中的概率为P(D)=1-P(·)=1-P()·P()=1-0.2×0.1=0.98.
即目标被击中的概率是0.98.
方法三：∵D=A+B，且A与B独立，∴P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)=0.8+0.9-0.8×0.9=0.98.21*cnjy*com
故目标被击中的概率是0.98.
(4)设E={至多有1人击中目标}，则本问有两种思路：
方法一：∵E=A·+B·+·，且A与、B与、与B独立，且A·、·、·彼此互斥，21世纪教育网版权所有
∴P(E)=P(A·+B·+·B)
=P(A·)+P(B·)+P(·)
=P(A)·P()+P(B)·P()+P()·P()
=0.8×0.1+0.9×0.2+0.1×0.2=0.28.
故至多有1人击中目标的概率为0.28.
方法二：∵=“两人都击中”，∴=A·B，且A与B独立.∴P()=P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=【来源：21cnj*y.co*m】
0.72.∵D与对立，∴P(D)=1-P()=1-0.72=0.28.
故至多有1人击中目标的概率为0.28.
绿色通道:由上述解法可以看出，灵活、有效地将一些比较复杂的事件分解成为互斥事件和相互独立事件的和或积，列出事件等式，是求解概率问题的关键所在..
变式训练
5．某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
(1)都抽到某一指定号码；
(2)恰有一次抽到某一指定号码；
(3)至少有一次抽到某一指定号码.
解：(1)记“第1次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第2次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立，于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.002 5.
(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)∪(B)表示，由于事件AB与AB互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义，所求得的概率为
P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.05×(1-0.05)+(1-0.05)×0.05=0.095.
(3)“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)∪(AB)∪(AB)表示.由于事件AB，A，B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件定义，所求的概率为
P(AB)+P(A)+P(B)=0.002 5+0.095=0.097 5.
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［P45思考交流］有人以为，把一枚均匀硬币掷4次，事件“第一次出现正面，第2次出现反面，第3次出现正面，第4次出现反面”的发生是正常的，而“4次都是正面”的发生就不太正常，好像前者发生的概率大.你同意这种观点吗？
答：不同意，设Ai表示“第i次出现正面”，i=1,2，3,4，由题意知A1，A2，A3，A4相互独立，且P(Ai)=，i=1,2，3,4，事件“第1次出现正面，第2次出现反面，第3次出现正面，第4次出现反面”的概率为：
P(A1A34)=P(A1)P(2)P(A3)P(4)=×××=.
而事件“4次都是正面”发生的概率为
P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=×××=.
说明两个事件发生的概率相同.
§4 二项分布
自主整理
进行n次试验，如果满足以下条件：
（1）每次试验只有________________相互________________的结果，可以分别称为“________________”和“________________”；21*cnjy*com
（2）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为________________；
（3）各次试验是相互独立的.
设X表示这n次试验中________________次数,则
P(X=k)= ________________(其中k可以取________________).
一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为__________.
高手笔记
1.二项分布的识别策略
(1)凡是所考虑的试验可以看作是一个只有两个可能结果A和A的试验的n次独立重复,则n次试验中A发生的次数X就服从二项分布.2-1-c-n-j-y
(2)凡是服从二项分布的随机变量一定只取有限个实数为其值,否则,随机变量不服从二项分布.
例如:某射手射击击中目标的概率为0.8,从开始射击到击中目标所需的射击次数X.
分析:本例中的试验虽然满足:①一次试验结果只有两个,“击中”和“不击中”;②各次试验是相互独立的,且每次试验“击中”发生的概率都是0.8.但是X的取值不是有限个,而是无限个,即1,2,3,4,…,故本例中X不服从二项分布.事实上,X服从几何分布,其分布列为P(X=k)=(1-p)k-1·p (k=1,2,3,…).【版权所有：21教育】
(3)凡服从二项分布的随机变量在被看作观察n次试验中某事件发生的次数时,此事件在每次观察中出现的概率相等,否则不服从二项分布.
例:(1)有一批产品共有N件,其中M件次品,采用不放回抽样方法,用X表示n(n≤N-M且n≤M )次抽取中出现次品的件数.
(2)有一批产品共有N件,其中M件次品,采用放回抽样方法,用Y表示n(n≤N-M且n≤M)次抽取中出现次品的件数.
(1)中X不服从二项分布,而服从超几何分布,
P(X=k)=(k=0,1,2,…,n)
(2)中Y服从二项分布,因为“放回”抽样能保证第一次、第二次、第三次、……抽取时抽到次品的概率为.
2.对P(X=k)=C(1-p)n-k (k=0,1,2,…,n)的理解与认识
如果1次试验中,事件A发生的概率是p,那么A发生的概率就是1-p.由于在1次试验中事件A要么发生,要么不发生,所以在n次独立重复试验中A恰好发生k次,则在另外的n-k次中A没有发生,但A发生.因为P(A)=p,P(A)=1-p，所以公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k恰好为［(1-p)+p］n展开式中的第k+1项，这一点充分揭示了排列组合、二项式定理和概率三者之间的密切联系.
名师解惑
1.“恰有k次发生”和“某指定的k次发生”的区别
剖析：对于独立重复试验来说，恰有k次发生实质上是k种彼此互斥事件的情况，其概率为Cpk(1-p)n-k,而某指定的k次发生是指某指定的试验要发生，另外的试验则不发生，其概率为pk(1-p)n-k.
例:社会福利组织定期发行某种奖券,每券1元,中奖率为p,某人购买1张奖券,如果没有中奖,下次再继续购买1张,直到中奖为止,求此人购买次数X的分布列.
解:购买奖券次数X的可能取值为全体自然数,事件“X=k”表示“此人购买第k张奖券,前k-1张都没有中奖,而第k张中奖”,由于各期中奖与否是相互独立的,因此P(X=k?)=(1-p) k-1p(k=1,2,3,4,…).
X
1
2
…
k
…
…
P
p
(1-p)p
…
(1-p)k-1p
…
…
独立重复试验是指在相同的条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都有两种结果（事件A要么成功要么失败），并且在任何一次试验中，事件发生的概率是均等的.在本题中中奖之前是一定要发生“不中奖”这一事件,因此为独立事件,而不是n次独立重复试验.这一点很易引起误解,一定要区分开.www.21-cn-jy.com
2.区别“事件A恰好发生k次”与“最后一次一定是事件A发生”的差异
剖析：在n次独立重复试验中事件A发生的概率为p,如果X表示事件A在n次独立重复试验中事件A发生的次数，则事件“A恰好发生k次”的概率是P（X=k）=Cpk(1-p)n-k，而“最后一次一定是事件A发生”暗含在前n-1次试验中事件A应出现k-1次，此时事件A发生的概率为P（X=k）=Cpk-1(1-p)n-kp=Cpk(1-p)n-k.
例:甲、乙两队进行比赛,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,比赛实行五局三胜制,X为本场比赛的局数,求X的概率分布列.
解:单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,则乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4,比赛三局结束有两种情况:甲队胜三局或乙队胜三局,因而有P(X=3)=0.63+0.43=0.28；比赛四局结束有两种情况:前三局中甲胜2局,第四局甲胜或前三局中乙胜2局,第四局乙胜,因而P(X=4)=C×0.62×0.4×0.6+C×0.42×0.6×0.4=0.374 4;比赛五局结束有两种情况:前四局中甲胜2局乙胜2局,第五局甲胜或乙胜,P(X=5)=C×0.62×0.42×0.6+C×0.42×0.62×0.4=0.345 6.
所以X的概率分布列为：
X
3
4
5
P
0.28
0.374 4
0.345 6
在本题中,获胜的队都是最后一局要取得胜利,也就是说事件A在最后一次要发生,前n-1次试验中事件A发生k-1次,因此在计算二项分布的概率时应先计算前n-1次试验中事件A发生k-1次的概率Cpk-1(1-p)n-k,然后再乘上最后一次事件A发生的概率p即可.
讲练互动
【例1】在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1个,求:
(1)不放回抽样时,抽到次品数X的分布列;
(2)放回抽样时,抽到次品Y的分布列(保留三位有效数字).
分析：首先确定X和Y的可取值,然后求出每种取值下的随机事件的概率,列出对应表格即为分布列.
解:(1)不放回抽样,抽到的次品数X=0,1,2,而P(X=0)=，P(X=1)=,P(X=2)=【出处：21教育名师】
=,故X的分布列为:
X
0
1
2
P
（2）放回抽样时，抽到的次品数Y=0,1,2,3,而P(Y=0)?=0.83=0.512,P(Y=1)=C (0.8)2×0.2=0.384,P(Y=2)=C·0.8×(0.2)2=0.096,P(Y=3)=0.23=0.008.
故Y的分布列为:
Y
0
1
2
3
P
0.512
0.384
0.096
0.0088
绿色通道:从本例中可以看出超几何分布与二项分布的区别与联系：超几何分布是不放回抽样；二项分布是有放回抽样.【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练
1.某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意地连续取出2件,其中次品数X的概率分布是21教育名师原创作品
X
0
1
2
P
解析：由题意“任意地连续取出2件”可认为两次独立重复试验,则次品数X服从二项分布,即X—(2,0.05),
∴X=0时,P0=C02(0.95)2=0.902 5;
X=1时,P1=C0.95×0.05=0.095;
X=2时,P2=C0.052=0.002 5.
则X的概率分布为:
X
0
1
2
P
0.902 5
0.095
0.002 5
答案：0.902 5 0.095 0.002 5
【例2】A、B两位同学各有五张卡片，现以抛掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时，A赢得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片,如果某人已赢得所有卡片，则游戏中止，求投硬币的次数不大于7时游戏中止的概率.21世纪教育网版权所有
分析：本题首先要确定离散型随机变量X的取值,然后利用互斥事件、独立事件、独立重复试验的概率知识求解.21*cnjy*com
解:设X表示游戏中止时掷硬币的次数,正面出现的次数为m,反面出现的次数为n,则
可得当m=5,n=0或m=0,n=5时,X=5;
当m=6,n=1或m=1,n=6时,X=7.
所以X的取值为5,7.
P(X≤7)=P(X=5)+P(X=7)=2×()5+2C()7=
绿色通道:本题综合考查了等可能事件、互斥事件、相互独立事件、重复试验概率的计算，入手点高，综合性强，运用限制条件进行分类讨论和枚举X的取值是本题的一大特色..
变式训练
2.甲、乙两名围棋手进行比赛，已知每一局甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，比赛时可采用三局两胜或五局三胜制，问:在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？
解：在三局两胜中，甲获胜的情况有：两局全胜；三局中前两局一胜一负、第三局胜，则甲获胜的概率为P1=0.62+C×0.6×0.4×0.6=0.648.2·1·c·n·j·y
在五局三胜中,甲获胜的情况有:三局全胜;四局中前三局二胜一负,第四局胜;五局中前四局二胜二负，第五局胜.则甲获胜的概率为:P2=0.63+C0.62×0.4×0.6+C×0.62×0.42×0.6=0.682 56.
∵P1＜P2,
∴五局三胜的情况下，甲获胜的可能性大.
【例3】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.求:
(1)至少3人同时上网的概率;
(2)至少几个人同时上网的概率小于0.3.
分析：本题是相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算问题,运用相应的概率公式列式计算.
解：(1)至少3人同时上网的概率,等于1减去至多2人同时上网的概率,即1-C(0.5)6-C (0.5)6-C(0.5)6=1-=.21cnjy.com
(2)至少4人同时上网的概率为
C(0.5)6+C(0.5)6+C(0.5)6=＞0.3.
至少5人同时上网的概率为
（C+C）（0.5）6=＜0.3.
因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.
绿色通道:若设6个员工中同时上网的人数为X，则X—B(6,).
变式训练
3.设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率是0.6，试求：
（1）同时射击一发炮弹而命中飞机的概率是多少？
（2）若有一架飞机侵犯，要以0.99的概率击中它，问需多少门高射炮？
解：（1）两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机包括两发炮弹中恰有一发命中或两发都命中.设命中飞机为事件A，则P(A)=Cp(1-p)+Cp2=2×0.6×0.4+0.62=0.84,
即两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率为0.84.
(2)设需n门高射炮，同时发射一发炮弹命中飞机的概率为0.99，则
P(A)=Cp(1-p)n-1+Cp2(1-p)n-2+…+Cpn
=1-p()=1-Cp0(1-p)n
=1-0.4n=0.99.
即0.4n=0.01,∴n==5,
即要以0.99的概率击中敌机，需5门高射炮.
【例4】将一枚骰子，任意地抛掷500次，问1点出现（指1点的面向上）多少次的概率最大？
分析：设500次中1点恰好出现X次，则X—B（500，），通过比较P（X=k）和P(X=k+1)的大小来判断P(X=k)的单调性，进而求出概率最大的X值.21·cn·jy·com
解：
=.
注意到k为正整数，由＞1,得k≤82,即当k≤82时,P(X=k)＜P(X=k+1),这时P(X=k)是单调增加的.当k≥83时，P(X=k)是单调减小的，从而P(X=82)是最大的.
故掷500次中1点出现82次的概率最大.
绿色通道:本题巧妙地利用P(X=k)的单调性，求得P(X=k)的最大值.
变式训练
4.某小组有10台各为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12分钟，问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？
解：由于每台机床正在工作的概率是=，而且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况，故某一时刻正在工作的机床台数X服从二项分布，即www-2-1-cnjy-com
X—B（10，）且
P(X=k)=C()k()10-k(k=0,1,2,…,10).
48千瓦可供6台机床同时工作，“用电超过48千瓦”就意味着“有7台或7台以上的机床在工作”，这一事件的概率为
P(X≥7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=C()7()3+C()8()2+C ()9()1+C()10()0=.
【例5】有一批食品出厂前，要进行五项指标抽检，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂.已知每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率是0.2.
(1)求这批食品不能出厂的概率(保留三位有效数字);
(2)求直至五项指标全部检验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字).
分析：设五项指标中抽检时不合格的指标数为X，则X—B（5，0.2）.
解：(1）五项指标抽检，有2项、3项、4项、5项指标不合格，则这批食品均不能出厂，其对立事件是五项指标抽检，全合格或有一项指标不合格，所以这批食品不能出厂的概率为
P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-［C(1-0.2)5+C0.21(1-0.2)4］=0.262 72≈0.263.
（2）直至五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品是否出厂,即为:前4项指标检验中恰有一项指标不合格,故所求的概率为
p2=C0.21(1-0.2)3=0.409 6≈0.410.
绿色通道:(1)中利用了对立事件的概率来简化计算;(2)中的随机变量虽然也服从二项分布,但参数发生了变化,由(1)中的n=5变为n=4.
变式训练
5.某金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机的功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相对独立的，现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率为多大？
解：设X表示某一时间同时工作的机床数，则P(X=k)=C()k()10-k，0≤k≤10，由于供电部门只提供50千瓦，所以同时工作的机床数不超过5台时，均能正常工作.所以能正常工作的概率:
p=(X=k)= ()k·()10-k.
教材链接
［P49思考交流］下列随机变量X服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？
（1）掷n枚相同的骰子，X为“1”点出现的个数.
（2）n个新生婴儿,X为男婴的个数.
（3）某产品的次品率为p,X为n个产品中的次品数.
（4）女性患色盲的概率为0.25%,X为任取n个女人中患色盲的人数.
答：(1)X服从二项分布,其参数为n,p=.
(2)X服从二项分布,其参数为n,p=.
(3)X服从二项分布,其参数为n,p.
(4)X服从二项分布,其参数为n,p=25%.
［P57思考交流］
1.如果用X表示10次投掷中正面朝上的次数.
(1)X服从二项分布吗?与其他同学交流你的理由.
(2)这个分布的参数是多少?
(3)求出X的分布列,并计算出“投掷一枚均匀的硬币10次,恰有5次正面朝上”的概率.
答：(1)X服从二项分布,因为掷均匀的硬币,一次试验出现的结果只有两个,即“正面朝上”与“反面朝上”;各次试验相互独立;每次试验“正面朝上”的概率都是,恰好满足二项分布的定义.21教育网
(2)其参数n=10,p=.
(3)（分布列略）投掷一枚均匀的硬币10次,恰好5次正面朝上的概率为:
P(X=5)=C()5(1-)5=≈0.246.
2.有的同学可能会继续思考,10次投掷中恰有一半正面朝上的可能性不大,那么增加投掷次数,比如100次,恰好出现一半“正面朝上”（即50次“正面朝上”）的可能性会不会大一些呢？21·世纪*教育网
答：X—B（100，）,则投掷均匀硬币100次,恰好50次上面朝上的概率为P(X=50)=C（）50（1-）50=C（）100≈0.08.【来源：21cnj*y.co*m】
可以看出，当投掷次数由10增加到100时，概率反倒变得更小了.
§5 离散型随机变量的均值与方差
自主整理
1.设随机变量X的可能取值为a1,a2,…,ar,取ai的概率为pi(i=1,2,…,r),即X的分布为
P(X=ai)=pi(i=1,2,…,r).
则定义X的均值为_________________，即随机变量X的取值ai乘上取值ai的概率P（ X=ai）再求和.
X的均值也称作X的数学期望(简称期望),它是一个数,记为_________________,即
EX=_________________.
均值EX刻画的是X取值的“_________________”，均值能够反映随机变量取值的“_________________”，这是随机变量X的一个重要特征.
2.一般地,设X是一个离散型随机变量,我们用_________________来衡量X与EX的平均偏离程度,E(X-EX)2是_________________的期望,并称之为随机变量X的方差,记为_________________.方差越小,则随机变量的取值就越_________________在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越_________________.
高手笔记
1.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.
2.EX是一个实数,由X的分布列唯一确定.即作为随机变量X是可变的,可取不同值,而EX是不变的,它描述X取值的平均状态.
3.EX=a1p1+a2p2+…+arpr直接给出了EX的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后再相加.
4.∵E(aX+b)=aEX+b,∴随机变量X的线性函数Y=aX+b的期望等于随机变量X的期望的线性函数.此式可有如下几种特殊形式:
当b=0时,E(aX)=aEX，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积.21*cnjy*com
当a=1时,E(X+b)=EX+b,此式表明随机变量与常量和的期望,等于随机变量的期望与这个常量的和.
当a=0时,E(b)=b,此式表明常量的期望等于这个常量.
5.DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度,DX越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之DX越小,X的取值越集中在EX附近.统计中常用来描述X的分散程度(称为标准差).
6.DX与EX一样也是一个实数,由X的分布列唯一确定.
7.要注意:D(aX+b)=a2DX，而易错记为
D(aX+b)=aDX+b;
D(aX+d)=aDX.
名师解惑
1.期望和方差有哪些性质?
剖析：(1)期望的性质:
E(c)=c(c为常数),
E(aX+b)=aEX+b.
(2)方差的性质:
D(c)=0(c为常数),
D(aX+b)=a2DX.
(3)期望与方差的联系:
DX=EX2-(EX)2.
2.几个常用离散型随机变量的期望与方差的求解公式是什么？
剖析：（1）两点分布：设X服从两点分布
X
1
0
P
p
q
则EX=p,DX=pq.
（2）超几何分布：设X服从参数为N，M,n的超几何分布，
即P(X=k)=(k=0,1,2,…,l=min｛M,n｝).
则EX=,DX=（此公式只作为了解，不要求记忆）.
（3）二项分布：设X服从二项分布B（n,p）,即
P(X=k)=Cpkqn-k(k=0,1,2, …,n),
则EX=np，DX=npq.
讲练互动
【例1】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:
甲保护区:
X1
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙保护区:
X2
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评价这两个保护区的管理水平.
分析：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值大小还是不够的,比如:两个随机变量的均值相等了(即数学期望值相等),这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化,即计算其方差(或是标准差).方差大说明随机变量取值分散性大;方差小说明取值分散性小,或者说取值比较集中、稳定.www.21-cn-jy.com
一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件次数的均值,即数学期望;二是要看发生违规事件的波动情况,即方差值的大小(当然,亦可计算其标准差,同样说明道理).
解：甲保护区的违规次数X1的数学期望和方差为:
EX1=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;
DX1=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.
乙保护区的违规次数X2的数学期望和方差为：
EX2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3;
DX2=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.
因为EX1=EX2，DX1＞DX2,所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的,但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散,波动性较大.
绿色通道:期望决定了随机变量的取值的平均水平、集中位置，而方差求的是随机变量的稳定与波动情况.要防止只由期望来评价两者稳定性,而应该进一步考查其方差.
变式训练
1.有10张卡片,其中8张标有数字2,两张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片数字和为X,求EX和DX.21·世纪*教育网
解：这3张卡片上的数字之和X这一随机变量的可能取值为6,9,12.
X=6表示取出的3张卡片上标有2,则P(X=6)=.
X=9表示取出的3张卡片上两张标有2,一张为5,则P(X=9)=.
X=12表示取出的3张卡片中的两张为5,一张为2,则
P(X=12)=.
∴X的分布列为:
X
6
9
12
P
∴EX=6×+9×+12×=7.8.
DX=×(6-7.8)2+×(9-7.8)2+×(12-7.8)2=3.36.
2.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X、Y的分布
列为：X
10
9
8
7
6
5
0
P
0.5
0.2
0.1
0.1
0.05
0.05
0
Y
10
9
8
7
6
5
0
P
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
计算X、Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.
解：依题意,有EX=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环).
EY=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环).
DX=(10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1+…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5.21教育网
DY=(10-5.6)2×0.1+(9-5.6)2×0.1+(8-5.6)2×0.1+…+(5-5.6)2×0.2+(0-5.6)2×0.2=10.24.【来源：21·世纪·教育·网】
所以EX＞EY，说明甲的平均水平比乙高.又因为DX＜DY，说明甲射中的环数比较集中、稳定;而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好.
【例2】交5元钱,可以参加一次摸奖,一袋中有同样大小的球10个,其中,有8个标1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是抽2球的钱数之和,求抽将人获利的数学期望.www-2-1-cnjy-com
分析：抽到的2个球的钱数之和X是个随机变量,其中每一个X取值时所代表的随机事件的概率是容易获得的,但此题所求为另一个随机变量,即参加摸奖者获利Y的数学期望,X与Y关系为Y=X-5,利用公式Y=aX+b,则EY=aEX+b可获解答.【来源：21cnj*y.co*m】
解:设X为抽到的2球钱数之和.则X的可能取值如下:
X=2抽到2个1元;
X=6抽到1个1元,1个5元;
X=10抽到2个5元.
所以,由题:
P(X=2)=,P(X=6)=,P(X=10)=,
EX=2×+6×+10×=.又设Y为抽奖者获利可能值,则Y=X-5,所以获利的期望为EY=EX-5=-5=-=-1.4.【出处：21教育名师】
绿色通道:本题若直接求摸奖者获利Y的数学期望较为困难,利用Y=aX+b,及EY=aEX+b转化为求X的数学期望使问题得到了简化.【版权所有：21教育】
变式训练
3.NBA总决赛采用7场4胜制,即若某队先胜4场则比赛结束.由于NBA有特殊的政策和规则能进入决赛的球队实力都较强,因此可以认为,两个队在每一场比赛中取胜的概率相等.根据不完全统计,主办一场决赛,组织者有望通过出售电视转播权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益2 000万美元(相当于篮球巨星乔丹的年薪).求:
(1)所需比赛场数的分布列;
(2)组织者收益的数学期望.
解：所需比赛场数X是随机变量,其取值为4,5,6,7,｛X=k｝,k=4,5,6,7,表示比赛最终获胜队在第k场获胜后结束比赛,显然在前面k-1场中获胜3场,从而21教育名师原创作品
P(X=k)=C()k-1,k=4,5,6,7.
(1)分布列为:
X
4
5
6
7
P
(2)所需比赛场数的数学期望为
EX=4×+5×+6×+7×=≈6,组织者收益的数学期望为×2 000=11 625万美元.
【例3】如图,A、B两点之间有6条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4,现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量.
(1)设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为X,当X≥6时,则保证信息畅通,求线路信息畅通的概率.
(2)求选取的三条网线可通过信息总量的期望是多少.
分析：先分析X的所有可能取值,然后求出X取每一个值的概率,进而列出分布列.
解：X的所有可能取值为4,5,6,7,8,9.
当X=4时，有1+1+2=4,
∴P(X=4)=
当X=5时，有1+1+3=1+2+2=5,
∴P(X=5)=.
当X=6时，有1+1+4=1+2+3=6,
∴P(X=6)=.
当X=7时，有1+2+4=2+2+3=7,
∴P(X=7)=.
当X=8时，有1+3+4=2+2+4=8,
∴P(X=8)=.
当X=9时，有2+3+4=9,
∴P（X=9）=.
X
4
5
6
7
8
9
P
(1)P(X≥6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)=+++=.
(2)线路通过信息量的数学期望EX=4×+5×+6×+7×+8×+9×=6.5.
绿色通道:本题求X的分布列是关键，而求X取每一个值时的概率综合了排列组合的有关知识.
变式训练
4.一次考试共有12道选择题,每道选择题有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零分.”某考生已确定有8道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断两个选项是错误的,有一道题可判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求该考生:21·cn·jy·com
(1)得60分的概率;
(2)得多少分的可能性最大?
(3)所得分数X的数学期望.
解：(1)设“有两道题可判断两个选项是错误的”选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，∴P(A)=,P(B)=,P(C)= .2·1·c·n·j·y
所以得60分的概率为p=×××=.
（2）得40分的概率为p=×××=;
得45分的概率为p=C·×××+×××+×××=;
得50分的概率为
p=×××+C·×××+C·×××+×××=;
得55分的概率为p=C·×××+×××+×××=.
得45分或50分的可能性最大.
(3)EX=×40+×(45+50)+×55+×60=.
【例4】某广场上空有一排成直线型的4盏装饰灯,晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯,每盏灯出现红灯的概率都是,出现绿灯的概率都是.现将这4盏灯依次记为A1,A2,A3,A4,并令ai=21*cnjy*com
（1）求X=2时的概率；
（2）求X的概率分布列及X的数学期望EX.
分析：因为对于每一个ai(i=1,2,3,4)的值只有两个结果0或1，且每一个ai(i=1,2,3,4)出现1的概率都是.故随机变量X—B（4，）.21世纪教育网版权所有
解:(1)由题意得P(X=2)=C()2()2=.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,而P(X=k)=C()k()4-k(k=0,1,2,3,4),?
∴X的概率分布列为:
X
0
1
2
3
4
P
显然X—B(4,),∴EX=4×=.
绿色通道:当随机变量X服从二项分布时,其期望可直接利用公式EX=np求解.
变式训练
5.某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班的同学和2个B班的同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因甲、乙两景点各有一个同学交换景点观光.2-1-c-n-j-y
(1)求甲景点恰有2个A班同学的概率;
(2)求甲景点A班同学数X的分布列及期望.
解：(1)甲、乙两景点各有一个同学交换后,甲景点恰有2个A班同学有下面几种情况:
①互换的A班同学,则此时甲景点恰好有2个A班同学的事件记为A1,则P(A1)=.
②互换的是B班同学，则此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为A2，则P(A2)=.
故P=P(A1)+P(A2)= +=.
(2)设甲景点内A班同学数为X，则X的分布列为：
X
1
2
3
P
EX=×1+×2+×3=.
教材链接
［P59思考交流］投掷一枚均匀的骰子，只可能出现1点，2点，…,6点,怎样解释这个均值3.5呢?
答：当大量重复做投掷骰子试验时,出现点数的算术平均数(均值)应该是3.5.
［P60思考交流］如果采取方案2,或者损失60 000元,或者损失2 000元,怎样解释平均损失2 600元呢?如果采取方案3,有可能一分钱不花,而方案2至少需要花2 000元,如何理解选择方案2平均损失最小呢?21cnjy.com
答:对于一次试验而言,方案2或者损失60 000元或者损失2 000元,但如果重复这类试验,从平均意义上说,方案2的平均损失为2 600元.
对于一次试验而言,方案3有可能一分钱不花,而方案2至少要花费2 000元,但如果此类事件多次重复发生,则方案2的平均损失为2 600元,方案3的平均损失为3 100元,故从这个角度上说,选择方案2的平均损失最小.
§6 正态分布
自主整理
1.离散型随机变量的取值是可以_______________的,但在实际应用中,还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值,是不可以一一列举的,这种随机变量称为连续型随机变量.
2.如果一个随机变量X可以取某一区间中的一切值,那么在取出的样本中,样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率,设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线称为随机变量X的______________.这条曲线对应的函数称为X的______________,记为______________.21·cn·jy·com
3.如果知道了X的分布密度曲线,则X取值于任何范围(例如｛a＜X＜b｝)的概率,都可以通过计算该曲线下相应的______________而得到,因此,我们说X的分布密度函数f(x)完全描述了X的规律.计算面积的方法,实际上是计算分布密度函数f(x)在一个区间上的______________.2-1-c-n-j-y
4.正态分布是现实中最常见的分布,它有两个重要的参数:______________和______________(σ＞0),通常用______________表示X服从参数为μ和σ2的正态分布.当μ和σ给定后,就是一个具体的正态分布.当n很大时,二项分布也可以用______________分布来近似描述.21*cnjy*com
5.随机变量服从正态分布,则它在区间(μ-2σ,μ+2σ)外取值的概率只有______________,而在区间(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有______________,由于这些概率值很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中______________.
高手笔记
1.μ为总体的均值(或期望),即EX=μ.
σ2(σ＞0)为总体的方差,σ为总体的标准差,即DX=σ2,=σ.
2.正态分布的性质
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
(3)曲线在x=μ处达到峰值.
(4)曲线与x轴之间的面积为1.
(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定:σ越小,曲线起“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.www.21-cn-jy.com
(7)若X—N(μ,σ2),则对于任何实数a＞0,概率P(μ-a＜x＜μ+a)=(x)dx.
3.正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ-σ＜X＜μ+σ)=68.3%
P(μ-2σ＜X＜μ+2σ)=95.4%
P(μ-3σ＜X＜μ+3σ)=99.7%
名师解惑
1.正态分布的题型及求解策略
剖析：(1)借助正态分布密度曲线的图象及性质解题.
结合实例、图象,理解正态曲线的性质,并会运用性质去解决简单的问题,要特别注意正态曲线的对称性,以及当μ一定时,曲线的形状与σ大小的关系.21·世纪*教育网
(2)对于有关正态分布的计算问题,要记住当正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率值,将所给问题转化到上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用.【出处：21教育名师】
2.质量控制的基本思想——3σ原则
剖析：一般认为凡服从正态分布的随机变量X取(μ-3σ,μ+3σ)之间的概率为0.997,所以只有0.003的概率在区间之外,称这样的事件为小概率事件,所以,在一个总量比较大的总体中取一件,一定落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内,所以用这样的方法来检验总体是否合格.
讲练互动
【例1】某班有48名同学,一次考试后数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,问从理论上讲成绩在80分到90分之间的有多少人?21教育网
分析：要求成绩在80分到90分之间的人数,需先求出分数落在这个范围内的概率,然后乘以总人数即可.
解:设X表示这个班学生的数学成绩,则X—N(80,102),成绩在80分到90分之间的学生的比例为
P(80-10＜x＜80+10)= ×0.683=0.341 5,
所以,成绩在80分到90分之间的人数为
48×0.341 5≈16(人).
绿色通道:记住相关数据:P(μ-σ＜x＜μ+σ)=68.3%.
变式训练
1.某地区数学考试的成绩x服从正态分布,其密度函数曲线如下图.成绩x位于区间(52,68］的概率是多少?【来源：21cnj*y.co*m】
分析：这是道典型的由图形求函数,由函数求概率的题目,我们发现x—N(μ,σ2),其中μ=60,f(x)=,21教育名师原创作品
∴σ=8.而区间(52,68］关于x=μ对称,
∴P(52＜x≤68)=P(60-8＜x≤60+8)=P(μ-σ＜x≤μ+σ)=0.682 6.
解:∵x服从正态分布,设其密度函数f(x)=由图形知μ=60,顶点为(60, ),∴σ=8.
设x位于区间(52,68］上的概率为P(52＜x≤68)=P(60-8＜x≤60+8)=P(μ-σ＜x≤μ+σ)=0.683.【版权所有：21教育】
【例2】设在一次数学考试中,某班学生的分数X—N(110,202),已知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数.
分析：要求及格的人数,先要求出P(90≤X≤150),而求此概率需将问题转化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后利用对称性求解.21cnjy.com
解:∵X—N(110,202),∴μ=110,σ=20.
P(110-20＜X＜110+20)=0.683.
∴X＞130的概率为×(1-0.683)=0.158 5,
X≥90的概率为0.683+0.158 5=0.841 5.
∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人),
130分以上的人数为54×0.158 5≈9(人).
绿色通道:本题是利用正态曲线的对称性结合三个特殊概率值求概率,要学会应用这种方法.
变式训练
2.公共汽车车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在0.15%以下设计的.如果某地区成年男子的身高X—N(175,36)(单位：cm),则该地区公共汽车车门高度应设计为多少?www-2-1-cnjy-com
解：设该地区公共汽车车门的高度应设计为x cm,则根据题意便有P(X≥x)＜0.15%.因为X—N(175,36),所以μ=175,σ=6,P(X≥x)=1-P(X＜x)＜0.15%2［1-P(X＜x)］＜0.3%.
由图可知
P(175-(x-175)＜X＜x)＞99.7%.
因为P(μ-3σ＜X＜μ+3σ)=99.7%.
所以x＞175+3σ=193,
即该地区公共汽车车门高度至少应设计为193 cm.
【例3】某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分为不及格,求:2·1·c·n·j·y
(1)成绩不及格的人数占多少?
(2)成绩在80—90间的学生占多少?
分析：利用正态分布曲线作出草图,结合特殊值求解.
解:(1)设学生的得分情况为随机变量X,
X—N(70,102),则μ=70,σ=10,
P(70-10＜X＜70+10)=0.683,
∴不及格的学生的比为×(1-0.683)=0.158 5,
即成绩不及格的学生占15.85%.
(2)成绩在80—90间的学生的比为
［P(50＜X＜90)-P(60＜X＜80)］=×(0.954-0.683)=0.135 5,
即成绩在80—90间的学生占13.55%.
绿色通道:利用正态曲线的对称性及P(μ-σ＜X＜μ+σ)=68.3%解决本题.
变式训练
3.设X服从N（0,1）,求下列各式的值.
(1)P(X≥0);(2)P(X≥2).
解:(1)P(X≥0)=P(X≤0).
∵P(X≤0)+P(X≥0)=1,
∴P(X≥0)= .
(2)P(-2＜X＜2)=P(μ-2σ＜X＜μ+2σ)=0.954.
∴P(0＜X＜2)=P(-2＜X＜2)=0.477.
∵P(X＞0)= ,∴P(X≥2)=P(X＞0)-P(0＜X＜2)=0.023.
【例4】某工厂生产的产品的直径，服从正态分布N(5,0.01)单位:cm.质检部从生产的一批产品中取出一件测量为4.63 cm,则这批产品是否合格?21世纪教育网版权所有
分析：本题是用3σ原则检测产品的应用.
解:由于产品服从正态分布N(5,0.01),∴从大批产品中取一件必定落在区间（μ-3σ,μ+3σ）内，即抽取一件的尺寸一定在区间(4.7,5.3)内,而4.63(4.7,5.3).
∴小概率事件发生了,所以这批产品不符合规格.
绿色通道:本题反映了质量控制的基本思想及3σ原则,若随机变量X—N(μ,σ2),则X在（μ-3σ,μ+3σ）外取值的概率只有0.3%,通常认为这种小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练
4.某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布,其参数为μ=500 g,σ2=1.为了检查设备运行是否正常,质量检查员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检查员随机地抽取一个产品,测得其质量为504 g,他立即要求停止生产检查设备.他的决定是否有道理呢?
解:如果设备正常运行,产品质量服从正态分布,由于正态分布的参数为μ=500,σ2=1.根据正态分布的性质可知,产品质量在μ-3σ=500-3=497(g)和μ+3σ=500+3=503(g)之间的概率为0.997,而质量超出这个范围的概率只有0.003,这是一个几乎不可能出现的事件.但是,检查员随机抽出的产品为504 g,这说明设备的运行极可能不正常,检查员的决定是有道理的.
