2.1 探究电场的力的性质
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.知道电荷间的相互作用是通过电场实现的．知道场与实物是物质存在的两种形式．
2．会推导点电荷的电场强度的公式，能应用公式进行有关的计算．(重点)
3．知道电场强度的叠加原理，能应用这一原理进行简单的计算．(难点)
4．知道电场线的定义和特点，会用电场线描述电场强度的大小和方向．(重点、难点)
电 场 和 电 场 强 度
1．电场
(1)电荷周围存在电场，电荷之间的相互作用力是通过电场发生的．
图2-1-1
(2)场与实物是物质存在的两种不同形式．
(3)静止的电荷产生的电场称为静电场．
2．电场强度
试探电荷与场源电荷
如图2-1-2所示，带电小球q是用来检验电场是否存在及其强弱分布情况的，称为试探电荷或检验电荷．
图2-1-2
被检验的电场是带电金属球Q所激发的，所以金属球Q所带电荷称为场源电荷或源电荷．
3．电场强度
(1)定义：电场中某点的电荷所受到的电场力F跟它的电荷量q的比值．
(2)定义式：E＝.
(3)方向：电场强度是矢量，规定电场中某点的电场强度的方向跟正电荷在该点所受的静电力的方向相同．
(4)国际单位：牛/库(N/C)或伏/米(V/m)．
1．电场看不见，摸不着，因此电场实际不存在．(×)
2．根据E＝，由于q有正、负，故电场中某点的场强有两个方向．(×)
3．据公式E＝可计算场强大小，但场强由场本身决定，与F、q大小无关．(√)
1．有同学认为：电场就是电场强度，你怎样认为？
【提示】 电场是一种特殊的物质，电场强度是描述电场强弱的物理量，二者不同．
2．根据电场强度的定义式E＝，是不是只有试探电荷q存在时，电场才存在？
【提示】 不是，电场是由场源电荷产生的，与试探电荷的存在与否没有关系．
在空间中有一电场，把一带电荷量为q的试探电荷放在电场中的A点所受的电场力为F.
探讨1：电场中A点的电场强度EA多大？
【提示】 EA＝.
探讨2：将电荷量为2q的试探电荷放在电场中的A点所受的电场力为多大？此时A点的电场强度EA′多大？
【提示】 电场强度由电场本身决定，与试探电荷无关，故EA不变，EA＝，而F′＝2qEA＝2F，答案2F，.
1．试探电荷与场源电荷的比较
定义
大小要求
试探电荷
用来检验电场是否存在及其强弱分布情况的电荷
尺寸和电荷量必须充分小，放入电场后，不影响原电场
场源电荷
产生电场的电荷
无要求，可大可小
2.对电场强度的理解
(1)公式E＝是电场强度的定义式，该式给出了测量电场中某一点电场强度的方法，应当注意，电场中某一点的电场强度由电场本身决定，与是否测量及如何测量无关．
(2)公式E＝仅定义了电场强度的大小，其方向需另外规定．物理学上规定电场强度的方向是放在该处的正电荷所受电场力的方向．
(3)由E＝变形为F＝qE，表明：如果已知电场中某点的电场强度E，便可计算在电场中该点放任何电荷量的带电体所受的静电力的大小．电场强度E与电荷量q的大小决定了静电力的大小；电场强度E的方向与电荷的电性共同决定静电力的方向；正电荷所受静电力方向与电场强度方向相同，负电荷所受静电力方向与电场强度方向相反．
1．(多选)在电场中的某点A放一试探电荷＋q，它所受到的电场力大小为F，方向水平向右，则A点的场强大小EA＝，方向水平向右．下列说法中正确的是( )
A．在A点放置一个－q试探电荷，A点的场强方向变为水平向左
B．在A点放置一个＋2q的试探电荷，则A点的场强变为2EA
C．在A点放置一个－q的试探电荷，它所受的电场力方向水平向左
D．在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，所受电场力为2F
【解析】 E＝是电场强度的定义式，某点场强大小和方向与场源电荷有关，而与放入的试探电荷没有任何关系，故选项A、B错；因负电荷受到电场力的方向与场强方向相反，故选项C正确；A点场强EA一定，放入的试探电荷所受电场力大小为F＝qEA，当放入电荷量为＋2q的试探电荷时，试探电荷所受电场力应为2F，故选项D正确．
【答案】 CD
2．如图2-1-3所示的是在一个电场中A、B、C、D四点分别引入试探电荷时，测得的试探电荷的电荷量跟它所受静电力的函数关系图像，那么下列叙述正确的是( )
图2-1-3
A．A、B、C、D四点的电场强度大小相等
B．A、B、C、D四点的电场强度大小关系是ED>EA>EB>EC
C．A、B、C、D四点的电场强度大小关系是EA>EB>ED>EC
D．无法确定这四个点的电场强度大小关系
【解析】 题图中给出了A、B、C、D四个位置上电荷量和它所受静电力大小的变化关系，由电场强度的定义式E＝可知，F-q图像的斜率代表电场强度．斜率大的电场强度大，斜率小的电场强度小．故选项B正确，选项A、C、D错误．
【答案】 B
3．如图2-1-4所示，在一带负电的导体A附近有一点B，如在B处放置一个q1＝－2.0×10－8 C的点电荷，测出其受到的静电力F1大小为4.0×10－6 N，方向如图所示，则B处场强是多少？如果换用一个q2＝4.0×10－7 C的点电荷放在B点，其受力多大？方向如何？
图2-1-4
【解析】 由场强公式可得
EB＝＝ N/C＝200 N/C
因为是负电荷，所以场强方向与F1方向相反．
q2在B点所受静电力
F2＝q2EB＝4.0×10－7×200 N＝8.0×10－5 N
因为q2是正电荷，F2方向与场强方向相同，也就是与F1反向．
【答案】 200 N/C，方向与F1相反 8.0×10－5 N 方向与F1相反
点 电 荷 的 电 场 电 场 的 叠 加 原 理
1．真空中点电荷的场强
(1)大小：E＝k.
(2)方向：Q为正电荷时，在电场中的某点P，E的方向由Q指向P；Q是负电荷时，E的方向由P指向Q.
2．电场强度的叠加原理
许多点电荷在某点的合场强，等于各点电荷在该点场强的矢量和，这叫做电场的叠加原理．
3．匀强电场中金属导体的电荷分布
(1)静电平衡：物理学中将导体中没有电荷移动的状态叫做静电平衡．
(2)导体的内部场强：处在静电平衡下的导体，内部场强处处为零．
(3)在导体表面附近，电场线与表面的关系：垂直．
(4)电荷分布：处于静电平衡下的导体，电荷只分布在导体的外表面．
1．在E＝中场强大小与q无关，同样在E＝中场强大小与Q也无关．(×)
2．公式E＝对于任何静电场都成立．(×)
3．场强的叠加满足平行四边形定则．(√)
在计算式E＝中，当r→0时，电场强度E将趋近于无穷大，这种说法对吗？为什么？
【提示】 不对．因为当r→0时，电荷量为Q的物体就不能看作点电荷了，计算式E＝也就不适用了．
如图2-1-5所示．Q和Q′均为正点电荷，且Q＝Q′.
图2-1-5
探讨1：正点电荷Q在q处产生的场强为多大？沿什么方向？
【提示】 强场大小为，方向沿Q、q的连线，水平向右．
探讨2：正点电荷Q和Q′在q处产生的合场强为多大？沿什么方向？
【提示】 场强大小为，方向斜向右上方，与水平方向夹角为45°.
1．电场强度公式E＝与E＝k的比较
公式
物理含义
引入过程
适用范围
E＝
是电场强度大小的定义式
F∝q，但E与F、q无关，E是反映某点处电场的性质
适用于一切电场
E＝k
是真空中点电荷电场强度的决定式
由E＝和库仑定律导出，E由Q、r决定
在真空中，场源电荷Q是点电荷
2.计算电场强度的几种方法
(1)用定义式E＝求解，常用于涉及试探电荷或带电体的受力情况．
(2)用E＝k求解，但仅适用于真空中的点电荷产生的电场．
(3)利用叠加原理求解，常用于涉及空间的电场是由多个电荷共同产生的情景．
4．真空中，A、B两点与点电荷Q的距离分别为r和3r，则A、B两点的电场强度大小之比为( )
A．3∶1 B．1∶3 C．9∶1 D．1∶9
【解析】 由点电荷场强公式有：E＝k∝r－2，故有＝＝＝9∶1，C项正确，A、B、D项错误．
【答案】 C
5．(多选)真空中距点电荷(电量为Q)为r的A点处，放一个带电量为q(q?Q)的点电荷，q受到的电场力大小为F，则A点的场强为( )
A. B. C．k D．k
【解析】 由电场强度的定义可知A点场强为E＝，又由库仑定律知F＝，代入后得E＝k，B、D对，A、C错．
【答案】 BD
6．直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图2-1-6.M、N两点各固定一负点电荷，一电量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为( )
图2-1-6
A.，沿y轴正向
B.，沿y轴负向
C.，沿y轴正向
D.，沿y轴负向
【解析】 处于O点的正点电荷在G点处产生的场强E1＝k，方向沿y轴负向；又因为G点处场强为零，所以M、N处两负点电荷在G点共同产生的场强E2＝E1＝k，方向沿y轴正向；根据对称性，M、N处两负点电荷在H点共同产生的场强E3＝E2＝k，方向沿y轴负向；将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的场强E4＝k，方向沿y轴正向，所以H点的场强E＝E3－E4＝，方向沿y轴负向．
【答案】 B
合场强的求解技巧
(1)电场强度是矢量，合成时遵循矢量运算法则，常用的方法有图解法、解析法、正交分解法等；对于同一直线上电场强度的合成，可先规定正方向，进而把矢量运算转化成代数运算．
(2)当两矢量满足大小相等，方向相反，作用在同一直线上时，两矢量合成叠加，合矢量为零，这样的矢量称为“对称矢量”，在电场的叠加中，注意图形的对称性，发现对称矢量可简化计算．
电 场 线 匀 强 电 场
1．电场线
(1)定义：电场线是在电场中画出的一些有方向的曲线，曲线上每一点的切线方向都表示该点的电场强度方向(如图2-1-7)．
图2-1-7
(2)几种常见电场的电场线
正点电荷 负点电荷 等量正点电荷
等量异种点电荷 匀强电场
图2-1-8
2．匀强电场
(1)定义：场强的大小和方向都相同的电场．
(2)匀强电场的电场线：间隔相等的平行直线．
1．电场线可以描述电场的强弱也能描述电场的方向．(√)
2．电场线不是实际存在的线，而是为了形象地描述电场而假想的线．(√)
3．只要电场线是平行的直线，该电场一定是匀强电场．(×)
1．有同学认为，由于两条电场线之间无电场线故无电场．你认为对吗？
【提示】 不对，电场线是人们为形象研究电场，人为画出的一些线，在电场中任何区域均可画电场线．
2．为什么电场中电场线不会相交？
【提示】 如果电场中电场线相交，在交点处有两个“切线方向”，就会得出电场中同一点电场方向不唯一的错误结论．
探讨1：电场线是怎样描述电场的强弱和方向？电场线实际存在吗？
【提示】 电场线的疏密描述电场的强弱，电场线上某一点的切线方向是该点的电场强度的方向．电场线不是实际存在的，是一些假想的曲线．
探讨2：电场线和带电粒子在电场中的运动轨迹相同吗？二者在什么条件下才重合？
【提示】 不相同．电场线是为了形象地描述电场而引入的假想曲线，带电粒子在电场中的运动轨迹是带电粒子在电场中实际通过的径迹，只有当电场线是直线，且带电粒子只受静电力作用(或受其他力，但方向沿电场线所在直线)，同时带电粒子的初速度为零或初速度方向沿电场线所在直线时，运动轨迹才和电场线重合．
1．电场线的基本性质
(1)电场线上每一点的切线方向就是该点电场强度的方向．
(2)电场线的疏密反映电场强度的大小(疏弱密强)．
(3)静电场中电场线始于正电荷或无穷远处，止于负电荷或无穷远处，不封闭，也不会中断．
(4)同一电场中，任意两条电场线都不会相交．
(5)电场线不是实际存在的线，是为了形象地描述电场而假想的线．
2．几种常见电场线的分布及特点
(1)点电荷的电场：正电荷的电场线从正电荷出发延伸到无限远处，负电荷的电场线由无限远处延伸到负电荷，如图2-1-9所示．
图2-1-9
①点电荷形成的电场中，不存在电场强度相等的点．
②若以点电荷为球心做一个球面，电场线处处与球面垂直．在此球面上电场强度大小处处相等，方向各不相同．
(2)等量同种电荷的电场：电场线分布如图2-1-10所示(以等量正电荷为例)，其特点有：
图2-1-10
①两点电荷连线的中点处电场强度为零，向两侧电场强度逐渐增大，方向指向中点．
②两点电荷连线中点沿中垂面(中垂线)到无限远，电场线先变密后变疏，即电场强度先变大后变小，方向背离中点．
(3)等量异种电荷的电场：电场线分布如图2-1-11所示，其特点有：
图2-1-11
①两点电荷连线上的各点的电场强度方向从正电荷指向负电荷，沿电场线方向先变小再变大，中点处电场强度最小．
②两点电荷连线的中垂面(中垂线)上，电场线的方向均相同，即电场强度方向都相同，总与中垂面(或中垂线)垂直且指向负点电荷一侧，从中点到无穷远处，电场强度大小一直减小，中点处电场强度最大．
3．电场线与带电粒子在电场中的运动轨迹的比较
电场线
运动轨迹
客观性
电场中并不存在，是为研究电场方便而人为引入的
粒子在电场中的运动轨迹是客观存在的
切线的
意义
曲线上各点的切线方向即为该点的电场强度方向，同时也是正电荷在该点的受力方向，即正电荷在该点产生加速度的方向
轨迹上每一点的切线方向即为粒子在该点的速度方向，但加速度的方向与速度的方向不一定相同
7．下列各电场中，A、B两点场强相同的是( )
【解析】 场强是矢量，有大小和方向，由点电荷的公式知，A图中两点距离场源相同，场强大小相同，但是方向不同，所以场强不同；B图中两点场强方向相同，但大小不同；D图中场强大小和方向均不相同；C图是匀强电场，场强大小和方向均相同．
【答案】 C
8．正电荷q在电场力作用下由P向Q做加速运动，而且加速度越来越大，那么可以断定，它所在的电场是下图中的( )
【解析】 带电体在电场中做加速运动，其电场力方向与加速度方向相同，加速度越来越大表明电荷所受电场力应越来越大，而电荷量不变，由电场力F＝Eq，可判定场强E越来越大．电场线描述电场强度分布的方法是，电场线密度越大，表示场强越大，沿PQ方向，电场线密度增大的情况才符合条件．
【答案】 D
9．下列关于带电粒子在电场中的运动轨迹与电场线的关系中，说法正确的是( )
A．带电粒子在电场中运动，如只受电场力作用，其加速度方向一定与电场线方向相同
B．带电粒子在电场中的运动轨迹一定与电场线重合
C．带电粒子只受电场力作用，由静止开始运动，其运动轨迹一定与电场线重合
D．带电粒子在电场中的运动轨迹可能与电场线重合
【解析】 电场线方向表示场强的方向，它决定电荷所受电场力的方向，从而决定加速度的方向，正电荷加速度方向与电场线的切线方向相同，负电荷则相反，选项A错误；带电粒子在电场中的运动轨迹应由粒子在电场中运动的初速度和受力情况来决定，电场线可能是直线也可能是曲线，带电粒子只在电场力作用下，只有满足“电场线是直线，且初速度的方向与电场线在一条直线上”时，运动轨迹才与电场线重合，选项B、C错误，选项D正确．
【答案】 D
1．电场线是曲线时，只受电场力作用而运动的带电粒子轨迹一定不能与电场线重合．
2．特殊情况下，比如电场线是直线(匀强电场或点电荷的电场)，点电荷从静止开始释放或初速度方向与电场线在一条直线上，仅在电场力作用下，其运动轨迹才跟电场线重合．
2.2 研究电场的能的性质(一)
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.通过探究电场力对带电粒子做功的特点，知道电场力做功和路径无关．(重点)
2．掌握将电场力做功与重力做功进行类比的方法，理解电场力做功与电势能变化的关系，认识电势能的相对性．(难点)
3．理解电势差的概念，会用UAB＝进行有关计算．(重点).
电 场 力 做 功 的 特 点 和 功 能 的 关 系
1．电场力做功的特点
如图2-2-1所示，电荷沿直线AB、折线ACB、曲线AB运动，电场力做功相同，即电场力做功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与经过的路径无关．
图2-2-1
2．电势能的概念
(1)定义：电荷在电场中具有的势能叫做电势能．
(2)大小：电荷在电场中某点的电势能等于电荷从这点移动到选定的参考点的过程中电场力所做的功．
(3)相对性：电荷在电场中具有的电势能具有相对性，规定了参考点(也就是电势能零点)才有具体值．通常取无穷远处或大地的电势为零．
3．电场力做功与电势能的关系
(1)公式：WAB＝EpA－EpB.
(2)电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加．
1．在非匀强电场中移动电荷，电场力做功与路径有关．(×)
2．规定不同的零势能点，电荷在电场中某点的电势能都是相同的．(×)
3．电场力对电荷做正功时，电势能减小．(√)
重力做功与重力势能的变化有什么关系？你能通过类比，得出电场力做功与电势能变化的关系吗？
【提示】
重力做功
电场力做功
重力做正功，重力势能减少
重力做负功，重力势能增加
电场力做正功，电势能减少
电场力做负功，电势能增加
探讨1：电场力做功和重力做功有什么相似之处？
【提示】 都与路径无关．
探讨2：在图2-2-1中带电小球沿三种不同的路径由A点到B点的过程中，电势能变化了多少？
【提示】 电势能变化相等，都是电势能减少了Eqd.
1．电场力做功的特点
电场力对电荷所做的功，与电荷的初末位置有关，与电荷经过的路径无关．
(1)在匀强电场中，电场力做功为W＝qEd，其中d为电荷沿电场线方向上的位移．
(2)电场力做功与重力做功相似，只由初末位置决定，移动电荷q的过程中电场力做的功是确定值．
2．电场力做功与电势能变化的关系
电场力做功与重力做功类似，与路径无关，取决于初末位置，类比重力势能引入了电势能的概念．电场力做功与电势能变化的关系是电场力做功必然引起电势能的变化．
(1)电场力做功一定伴随着电势能的变化，电势能的变化只有通过电场力做功才能实现，与其他力是否做功，及做功多少无关．
(2)电场力做正功，电势能一定减小；电场力做负功，电势能一定增大．电场力做功的值等于电势能的变化量，即：WAB＝EpA－EpB.
1．电场中有A、B两点，在将某电荷从A点移到B点的过程中，电场力对该电荷做了正功，则下列说法中正确的是( )
A．该电荷是正电荷，且电势能减少
B．该电荷是负电荷，且电势能增加
C．该电荷电势能增加，但不能判断是正电荷还是负电荷
D．该电荷电势能减少，但不能判断是正电荷还是负电荷
【解析】 电场力对电荷做正功，则电势能减少，但不能确定该电荷的正、负，故D正确．
【答案】 D
2．地球表面附近某区域存在大小为150 N/C、方向竖直向下的电场．一质量为1.00×10－4 kg、带电荷量为－1.00×10－7 C的小球从静止释放，在电场区域内下落10.0 m．对此过程，该小球的电势能和动能的改变量分别为(重力加速度大小取9.80 m/s2，忽略空气阻力)( )
A．－1.50×10－4 J和9.95×10－3 J
B．1.50×10－4 J和9.95×10－3 J
C．－1.50×10－4 J和9.65×10－3 J
D．1.50×10－4 J和9.65×10－3 J
【解析】 设小球下落的高度为h，则电场力做的功W1＝－qEh＝－1.5×10－4 J，电场力做负功，电势能增加，所以电势能增加1.5×10－4 J；重力做的功W2＝mgh＝9.8×10－3 J，合力做的功W＝W1＋W2＝9.65×10－3 J，根据动能定理可知ΔEk＝W＝9.65×10－3 J，因此D项正确．
【答案】 D
3. (多选)如图2-2-2是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分落在收集板中央的两侧．对矿粉分离的过程中，下列表述正确的有( )
图2-2-2
A．带正电的矿粉落在右侧
B．电场力对矿粉做正功
C．带负电的矿粉电势能变大
D．带正电的矿粉电势能变小
【解析】 由题图可知，电场方向水平向左，带正电的矿粉所受电场力方向与电场方向相同，所以落在左侧；带负电的矿粉所受电场力方向与电场方向相反，所以落在右侧，选项A错误．无论矿粉所带电性如何，矿粉均向所受电场力方向偏转，电场力均做正功，选项B正确．电势能均变小，选项C错误，选项D正确．
【答案】 BD
电场中的功能关系
(1)电场力做功对应电势能的变化．本题中电场力做负功，电势能增加．
(2)重力做功只对应重力势能的变化．
(3)合外力做功对应动能的变化.2题中动能的变化量等于重力和电场力做功的代数和．
电 势 差
1．定义：物理学中，把叫做电场中A、B两点间的电势差．
2．定义式：UAB＝.
3．单位：国际单位制中，电势差的单位是伏特，符号是V,1 V＝1 J/C.
4．电势差是只有大小没有方向的物理量，是标量．
5．物理意义：在电场中如果移动1库仑正电荷从一点到另一点，电场力所做的功是1焦耳，这两点间的电势差就是1伏特．
1．电势差UAB等于将电荷q从A点移到B点时电场力所做的功．(×)
2．若UAB>0，说明φA>φB，但无法判断φA、φB的正负．(√)
3．电场力做正功，电势差一定为正，电场力做负功，电势差一定为负．(×)
(1)电势差和零势能点的选取有没有关系？
(2)电场中A、B两点间UAB和UBA是否相同？
【提示】 (1)电势差是绝对的，与零势能点的选取无关．
(2)不同，UAB＝－UBA.
如图2-2-3所示，带电荷量为q＝＋5.0×10－8 C的点电荷从A点移至B点，克服静电力做功3.0×10－6 J．外力F做功5.0×10－6 J.
图2-2-3
探讨1：电荷q从A点移至B点的过程中，电势能变化了多少？
【提示】 电势能增加了3.0×10－6 J.
探讨2：A、B两点的电势差UAB多大？
【提示】 UAB＝＝ V＝－60 V.
1．公式UAB＝的理解
(1)UAB＝是电势差的定义式．UAB决定于电场本身，与试探电荷q在电场中做功情况无关．
(2)UAB＝中，WAB为q从初位置A移动到末位置B静电力做的功，WAB可为正值，也可为负值，q为电荷所带电荷量，正电荷取正值，负电荷取负值．
(3)由UAB＝可以看出，UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点时电场力所做的功WAB.
2．应用公式WAB＝qUAB应注意的问题
(1)公式WAB＝qUAB，既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场．
(2)三个物理量都是标量，但都有正负，在计算时会涉及正、负号的问题．在实际应用中对符号的处理有两种方法：
①计算时将各物理量的正、负号代入直接参与运算，得出的结果是正是负一目了然．
②计算时各物理量均代入绝对值，不涉及正负号，计算完成后再判断出结果是正还是负．
4．一个带正电的质点，电量q＝2.0×10－9 C，在静电场中由a点移到b点，在这过程中，除电场力外，其他力做的功为6.0×10－5 J，质点的动能增加了8.0×10－5 J，则a、b两点间的电势差Uab为( )
A．3×104 V B．1×104 V
C．4×104 V D．7×104 V
【解析】 由动能定理，外力对物体做功的代数和等于物体动能的增量，得电场力对物体做的功W＝8.0×10－5 J－6.0×10－5 J＝2.0×10－5 J．由W＝qUab得：Uab＝1.0×104 V.
【答案】 B
5．电场中有A、B两点，一个点电荷在A点的电势能为1.2×10－8J，在B点的电势能为8.0×10－9J.已知A、B两点在同一条电场线上，如图2-2-4所示，该点电荷的电荷量为1.0×10－9C，那么( )
图2-2-4
A．该电荷为负电荷
B．该电荷为正电荷
C．A、B两点的电势差UAB＝4.0 V
D．把电荷从A移到B，电场力做功为W＝4.0 J
【解析】 点电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，从A到B电场力做正功，所以该电荷一定为负电荷，且WAB＝EpA－EpB＝1.2×10－8J－8.0×10－9J＝4.0×10－9J，故A项正确，B、D项错误；UAB＝＝V＝－4.0 V，所以C项错误．
【答案】 A
6．在电场中把一个电荷量为6×10－6C的负电荷从A点移到B点，克服电场力做功3×10－5J，再将电荷从B点移到C点，电场力做功1.2×10－5J，求A与B、B与C、A与C间的电势差.
【解析】 电荷从A移到B时，克服电场力做功，表示电场力做负功，因此WAB＝－3×10－5 J，电荷从B移到C，WBC＝1.2×10－5 J.
根据电荷移动时电场力做的功和电势差的关系得：
UAB＝＝ V＝5 V
UBC＝＝ V＝－2 V
UAC＝UAB＋UBC＝5 V＋(－2 V)＝3 V.
【答案】 5 V －2 V 3 V
2.3 研究电场的能的性质(二)
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.知道电势的概念，进一步巩固比值定义法的应用，知道电势具有相对性．(重点)
2．了解电势与电势差的区别与联系．
3．理解电场的等势面的意义、特点，等势面与电场线的关系．知道几种典型的等势面．(难点、重点)
电 势
1．定义：把电荷在电场中某一点的电势能与其所带电荷量的比值，叫做这一点的电势．
2．电势的表达式：φM＝，单位：伏特(V)．
3．标量：只有大小，没有方向，但有正、负，表示比零电势点高或比零电势点低．
4．电势的相对性：电场中某点电势的大小，跟零电势位置的选择有关，通常取无限远或大地的电势为零．
5．电势差与电势之间的关系：UAB＝φA－φB.
1．电荷在电场中某点的电势能越大，该点的电势就越高．(×)
2．电势是相对的，常取无穷远处或大地的电势为零．(√)
3．电势是标量，没有方向，但有大小及正、负之分．(√)
电场强度越大的地方电势一定越高吗？
电势越高的地方电势能一定越大吗？
【提示】 因为电场强度大小与电势高低没有直接关系，所以电场强度大的地方电势不一定高，电势高的地方电势能也不一定大．
如图2-3-1所示的匀强电场，场强为E，取O点为零电势能点，A点距O点为l，AO连线与电场线的夹角为θ.
探讨1：
电荷量为q的正电荷在A点的电势能Ep为多少？电势能与电荷量的比值是多少？
图2-3-1
【提示】 Ep＝Eqlcos θ，＝Elcos θ.
探讨2：电荷量为2q的正电荷在A点的电势能Ep′为多少？电势能与电荷量的比值是多少？
【提示】 E′p＝2Eqlcos θ，＝Elcos θ.
1．电势和电势差的区别
电势φ
电势差U
定义
电势能与电量的比值φ＝
电场力做功与电量的比值U＝
决定因素
由电场和在电场中的位置决定
由电场和场内两点位置决定
相对性
有，与零电势点的选取有关
无，与零电势点的选取无关
2.电势高低的判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低．
(2)场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低．
(3)电势能判断法：对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高．
1．(多选)下列关于电势和电势能的说法中正确的是( )
A．克服电场力做功时，电荷的电势能减少
B．电荷在电场中某点的电势能与其电荷量的比值，叫做这一点的电势
C．沿着电场线的方向，电势逐渐降低
D．电场中电势为正值的地方，电荷的电势能必为正值
【解析】 克服电场力做功时，电势能增加，A错误．根据电势的定义知B正确．沿电场线方向，电势逐渐降低，C正确．电势为正，电势能的正、负与电荷的正、负有关，D错误．
【答案】 BC
2．(多选)如图2-3-2所示，电场中有A、B两点，则下列说法正确的是( )
图2-3-2
A．电势φA>φB，场强EA>EB
B．电势φA>φB，场强EAC．将＋q由A点移到B点，电场力做正功
D．将－q分别放在A、B两点时具有电势能EpA>EpB
【解析】 B处电场线密，场强大；沿电场线方向电势降低，A点电势大于B点电势．正电荷由A运动到B，电场力做正功，电势能减小；负电荷由A运动到B，电场力做负功，电势能增加，EpB>EpA.
【答案】 BC
3．(多选)将一电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图2-3-3所示，金属球表面的电势处处相等．a、b为电场中的两点，则( )
图2-3-3
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．检验电荷－q在a点的电势能比在b点的大
D．将检验电荷－q从a点移到b点的过程中，电场力做负功
【解析】 由题图可知，a处电场线比b处密，所以Ea>Eb，选项A正确；沿着电场线的方向电势不断降落，a点电势高于金属球的电势，金属球的电势高于b点电势，所以φa>φb，选项B正确；负电荷在高电势点的电势能小，选项C错误；检验电荷－q从a点移到b点时，电势能增大，故电场力做负功，选项D正确．
【答案】 ABD
1．沿着电场强度的方向电势不断降低，也可认为沿着电场线的方向电势不断降低．
2．根据定义式φ＝判定电势大小，但应注意电势能Ep和试探电荷q的正负与电势高低的关系．
电 场 的 等 势 面
1．定义
电场中电势相等的点构成的线(面)叫等势线(面)．
2．等势面的特点
(1)在同一等势线(面)上的任意两点间移动电荷，电场力做功为零．
(2)等势面跟电场线垂直．
(3)电场线总是从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
(4)等势面密集处电场线密集，说明此处电场强度较大．
3．几种常见的等势面
图2-3-4
1．同一等势线上任意两点间的电势差为零．(√)
2．等势面上，不仅各点的电势相同，且电势能也相同．(×)
3．电场线的方向一定从电势低的等势面指向电势高的等势面．(×)
沿等量异种电荷连线的中垂线移动电荷，电场力是否做功？
【提示】 等量异种电荷连线的中垂线是一条等势线，故不做功．
探讨1：以点电荷为球心的某一球面上的电场强度是否相同？电势是否相同？
【提示】 电场强度是矢量，大小相等，方向不同，电势相同．
探讨2：在同一等势面上移动电荷时，电场力是否做功？
【提示】 同一等势面上电势差为零，根据WAB＝qUAB知，电场力不做功．
1．等势面的特点
(1)在所画等势面中，任意相邻两等势面上电势之差是相等的．
(2)在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功．
(3)等势面一定跟电场线垂直，即跟场强的方向垂直，电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面．
(4)在空间没有电荷的地方两等势面不相交.
(5)等势面可以是封闭的，也可以是不封闭的．
(6)在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏．
2．等势面的应用
(1)由等势面可以判断电场中各点电势的高低及差别．
(2)由等势面可以判断电荷在电场中移动时电场力做功的情况．
(3)由于等势面和电场线垂直，已知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电场的大体分布．
(4)由等差等势面的疏密，可以定性地确定某点场强的大小．
4. (多选)如图2-3-5所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有A、B两点，则( )
图2-3-5
A．A点场强小于B点场强
B．A点场强方向指向x轴负方向
C．A点场强大于B点场强
D．A点电势高于B点电势
【解析】 由于电场线与等势面总是垂直，所以B点电场线比A点密，B点场强大于A点场强，故A正确，C错误．电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误．由图中数据可知D正确．
【答案】 AD
5．(多选)如图2-3-6所示，虚线a、b和c是某静电场中的三个等势面，它们的电势分别为φa、φb和φc，一带正电的粒子射入电场中，其运动轨迹如实线KLMN所示．由图可知( )
图2-3-6
A．粒子从K到L的过程中，电场力做负功
B．粒子从L到M的过程中，电场力做负功
C．粒子从K到L的过程中，电势能增加
D．粒子从L到M的过程中，动能减少
【解析】 由题目条件可知，a、b、c是孤立点电荷激发的电场中的三个等势面，因为运动粒子带正电，且沿K→L→M→N运动，所以受到的是静电斥力，可以判断场源电荷必为正电荷，即电势高低关系为φa>φb>φc.因为φK＝φN<φM<φL，所以由K到L过程中电场力做负功，电势能增加，A、C正确．由L到M过程中，电场力做正功，电势能减小，动能增加，B、D错误．
【答案】 AC
6．如图2-3-7所示，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面．下列判断正确的是( )
图2-3-7
A．1、2两点的场强相等
B．1、3两点的场强相等
C．1、2两点的电势相等
D．2、3两点的电势相等
【解析】 根据电场线和等势面越密集，电场强度越大，有E1>E2＝E3，但E2和E3电场强度方向不同，故A、B错误．沿着电场线方向，电势逐渐降低，同一等势面电势相等，故φ1>φ2＝φ3，C错误，D正确．
【答案】 D
1．电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
2．在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏．
电 势 差 与 电 场 强 度 的 关 系
1．在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积．公式形式：U＝Ed.
2．在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿场强方向每单位距离上的电势差．公式形式：E＝.
1．公式UAB＝Ed仅适用于匀强电场中的计算，在非匀强电场中不能用来计算．(√)
2．沿电场线方向任意相同距离上的电势差必相等．(×)
3．在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与两点间距离的乘积．(×)
如图2-3-8是一个非匀强电场AB＝BC，则能否比较UAB和UBC的大小？
图2-3-8
【提示】 虽然公式U＝Ed只适用于匀强电场．但可以用它来定性分析非匀强电场问题．根据电场线分布情况，AB段平均场强大于BC段平均场强．故UAB>UBC.
探讨1：电势差和电场强度的物理意义有什么不同？
【提示】 电势差描述电场中的能量和电场力做功的性质．电场强度描述的是电场力的性质．
探讨2：怎样在匀强电场中推导出E＝？
【提示】 如图所示的匀强电场中，把一点电荷q从A移到B，电场力做的功为
WAB＝qE··cos θ＝qE·＝qEd
因此，WAB＝qUAB＝qEd，则E＝.
1．对关系式UAB＝Ed的理解
(1)电场强度描述的是电场力的性质，电势差描述的是电场能的性质．E和U描述电场的角度虽不同，但作为反映同一电场的两个物理量，必然存在一定的关系．
(2)公式中的“d”指电场中两点沿电场场强方向的距离，如果电场中两点不沿场强方向，d的取值应为两点连线在场强方向的投影，或为两点所在等势面间的垂直距离．
(3)电场强度与电势差的关系式也可写作E＝UAB/d，它的意义是：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
2．UAB＝Ed的两个推论
(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降低都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等．如果把某两点间的距离平均分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n.
(2)在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等．
3．在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析
如图2-3-9所示，若ab＝bc，由于电场线密处场强较大，即ab段的平均场强小于bc段的平均场强，故可以判断Uab图2-3-9
7．对公式E＝的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差
B．a点和b点距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中的d是指a点和b点之间的距离
D．公式中的d是匀强电场中a、b两个等势面间的垂直距离
【解析】 E＝中的d是指电场线方向上两点的距离，而且仅适用于匀强电场，故D正确．
【答案】 D
8．如图2-3-10，a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图，由此可知c点的电势为( )
图2-3-10
A．4 V B．8 V
C．12 V D．24 V
【解析】 Uad＝φa－φd＝20 V－4 V＝16 V，在匀强电场中，相互平行的等长线段两端点电势差相等，故Ubc＝Uad，又因为Ubc＝φb－φc，所以φc＝φb－Uad＝24 V－16 V＝8 V，B正确．
【答案】 B
9.如图2-3-11为某一电场的电场线和等势面分布，其中图中实线表示电场线，虚线表示过a、c两点的等势面，电势分别为φa＝50 V，φc＝20 V那么a、c连线的中点b的电势φb为( )
图2-3-11
A．φb＝35 V B．φb>35 V C．φb<35 V D．上述情况都有可能
【解析】 根据电势差与场强的关系：U＝Ed可知，在d相同的情况下，E越大，U也越大．由电场线的疏密可知ab间的场强大于bc间的场强，所以：Uab>Ubc；即φa－φb>φb－φc,50 V－φb>φb－20 V，所以φb<35 V.
【答案】 C
对公式UAB＝Ed的三点提醒
(1)公式UAB＝Ed只适用于匀强电场，但对非匀强电场，可用于定性分析．
(2)注意公式UAB＝Ed中“d”的含义．
(3)在匀强电场中沿任意方向，相等间距对应的电势差相同，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等．
2.4 电容器 电容
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.知道电容器的概念，认识常见的电容器，通过实验感知电容器的充、放电现象．
2．理解电容器的电容概念及其定义，并能用来进行有关的计算．(重点)
3．掌握平行板电容器中动态问题的分析．(重点、难点)
电 容 器 和 电 容
1．电容器
(1)电容器：物理学中，把能储存电荷和电能的装置叫做电容器．
(2)电容器的构造：任何两个彼此绝缘又相隔很近的导体，都可以看成是电容器．
(3)电容器带电荷量：是指某一极板所带电荷量的绝对值．
(4)电容器的充放电
充电：使两个极板分别带上等量异种电荷的过程叫做充电．
放电：使两个极板上的电荷中和的过程，叫做放电．
2．电容
(1)定义：电容器所带电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，叫做电容器的电容．
(2)定义式：C＝.
(3)单位：法拉(F)，1 F＝106 μF＝1012 pF.
1．电容器充电后，两极板分别带上等量的异种电荷＋Q和－Q，所以电容器的带电荷量为零．(×)
2．电容为C的电容器所带电荷量为Q，若电荷量增大为2Q，则电容变为2 C．(×)
3．某电容器所带电荷量为Q时，电压为U，则带电荷量为2Q时，电压为2U.(√)
1．有些同学认为“电容越大，电容器所带的电量就越多，反之就越少”，这种观点正确吗？
【提示】 这种观点是错误的，其原因是不能将电容器“能容纳电荷的多少”与“实际所带电量的多少”区分开来．电容是表征电容器容纳电荷本领大小的物理量，电容越大说明其容纳电荷的本领越大，但不能说其所带的电量一定越多．
2．根据公式C＝，能否说电容C与电容器所带的电荷量Q成正比，与两极板间的电势差U成反比？
【提示】 电容是用比值法定义的物理量，不能说C与Q成正比，与U成反比．
照相机上的闪光灯是通过电容器供电的，拍照前先对电容器充电，拍照时电容器瞬间放电，闪光灯发出耀眼的白光．
探讨1：电容器在充、放电过程中的能量是如何转化的？
【提示】 电容器在充电过程中，由电源获得的电能储存在电容器中．放电过程中，电场能转化为其他形式的能．
探讨2：电容器所带电荷量越大，容纳电荷的本领一定越大，这种说法对吗？
【提示】 不对．容纳电荷的本领用电容来描述，电容器的电容大，所带电荷量不一定越大．
1．电容由电容器本身的构造决定
电容器的电容是反映电容器容纳电荷本领的物理量，用比值C＝来定义，但它却是由电容器自身的构造决定的，与所带电荷量Q和所加电压U无关．即使电容器不带电，其电容仍然存在，并且是一个确定的值．
2．通过Q-U图像来理解C＝，如图2-4-1所示，在Q-U图像中，电容是一条过原点的直线，其中Q为一个极板上所带电荷量的绝对值，U为两极板间的电势差，可以看出，电容器电容也可以表示为C＝，即电容器的电容的大小在数值上等于两极板间的电压增加(或减小)1 V所需增加(或减少)的电荷量．
图2-4-1
1．电容器是一种常用的电子元件，下列对电容器的认识正确的是( )
A．电容器的电容表示其储存电荷的能力
B．电容器的电容与它所带的电荷量成正比
C．电容器的电容与它两极板间的电压成正比
D．电容的常用单位有μF和pF,1 μF＝103 pF
【解析】 电容是表示电容器容纳电荷的本领的物理量，A正确．电容是电容器本身的性质，只与正对面积、极板间的距离和电介质的性质有关，与电容器的带电荷量和两极板间的电压无关，B、C不正确．电容器的常用单位的换算关系是1 μF＝106 pF，D不正确．
【答案】 A
2．对电容C＝，以下说法正确的是( )
A．一只电容器充电量越大，电容增加的越大
B．对于固定的电容器，它的充电量跟加在两极板间电压的比值保持不变
C．可变电容的充电量跟加在两极板间的电压成反比
D．由C＝可知，如果一个电容器没有电压，就没有充电量，也就没有其电容
【解析】 电容的定义式C＝，但电容由电容器本身的因素决定，包括结构、电介质等因素，而与电容器所带的电量Q与两板间的电势差U无关．
【答案】 B
3．(多选)有一个正放电的电容器，若使它的电荷量减少3×10－6 C，其电压降为原来的，则( )
A．电容器原来带的电荷量是9×10－6 C
B．电容器原来带的电荷量是4.5×10－6 C
C．电容器原来的电压可能是5 V
D．电容器原来的电压可能是5×10－7 V
【解析】 由C＝得＝，解得Q＝4.5×10－6 C，故A错误、B正确；当U1＝5 V时，C1＝＝ F＝0.9 μF；当U2＝5×10－7 V时，C2＝＝ F＝9 F．这么大的电容可以说在哪里都没有，F的单位非常大，一般的电容都是μF以及pF.故电压不可能为5×10－7 V．故C项正确．
【答案】 BC
平 行 板 电 容 器 的 电 容
1．电容器的电容由电容器本身的构造因素决定，与电容器所带电荷量和两极板间的电势差无关．
2．平行板电容器的两板之间的正对面积S越大，电容C越大；板间距离d越大，电容C则越小；插入电介质后电容C增大．
3．平行板电容器公式：C＝.
1．根据C＝，当电容器两端的电压增大时，电容减小．(×)
2．将电介质插入平行板电容器时，电容器的电容将变小．(×)
3．由两组铝片组成的可变电容器是通过改变正对面积来改变电容的．(√)
如图2-4-2，在研究平行板电容器的电容时，给电容器充上一定量的电荷，将电容器两极板靠近时，发现静电计的偏角减小，为什么会出现这样的现象？
图2-4-2
【提示】 根据C＝，当两极板靠近时d减小，则C增大．再根据C＝，U＝，由于Q不变，C增大，故U减小，则静电计指针偏角减小．
如图2-4-3所示，电路由电容器、电源、开关用金属导线连接而成．
图2-4-3
探讨1：若保持开关闭合，两板间距离减小时，电容器的电容和电荷量如何变化？
【提示】 由C＝，Q＝CU可知，d减小，C、Q均增大．
探讨2：若断开开关S.两板间距离减小时，两板间的电压如何变化？
【提示】 断开开关S后，两板带电量不变，由C＝，Q＝CU可知，两板间的距离d减小，C增大，U变小．
1．公式C＝和C＝的比较
C＝
C＝
特点
定义式
决定式
意义
对某电容器Q∝U，但＝C不变，反映容纳电荷的本领
平行板电容器，C∝ε，C∝S，C∝，反映了影响电容大小的因素
适用范围
任何电容器
平行板电容器
联系
电容器容纳电荷的本领由Q/U来量度，由本身的结构(如平行板电容器的ε、S、d等因素)来决定
2.两类典型问题
一类是平行板电容器始终与电源两极相连保持电压U不变，另一类是电容器充电后与电源断开保持电量Q不变．
分析思路如下：
4．(多选)传感器是把非电学量(如速度、温度、压力等)的变化转化成电学量变化的一种元件，在自动控制中有着相当广泛的应用．如图2-4-4所示是一种测定液面高度变化的电容式传感器的示意图，金属芯线与导电液体形成一个电容器，电容C的大小变化就能反映液面的升降情况，C与h的关系是( )
图2-4-4
A．C增大表示h增大
B．C增大表示h减小
C．C减小表示h减小
D．C减小表示h增大
【解析】 金属芯线和导电液体相当于电容器的两极板，液面的升和降分别对应两极板正对面积的增大和减小，由C＝可知，选项A、C正确．
【答案】 AC
5．如图2-4-5所示，让平行板电容器带电后，静电计的指针偏转一定角度，若不改变A、B两极板带的电荷量而减小两极板间的距离，同时在两极板间插入电介质，那么静电计指针的偏转角度( )
图2-4-5
A．一定增大 B．一定减小
C．一定不变 D．可能不变
【解析】 极板带的电荷量Q不变，当减小两极板间距离，同时插入电介质，则电容C一定增大．由U＝可知两极板间电压U一定减小，静电计指针的偏转角度也一定减小，选项B正确．
【答案】 B
6．用控制变量法可以研究影响平行板电容器的因素(如图2-4-6)．设两极板正对面积为S，极板间的距离为d，静电计指针偏角为θ.实验中，极板所带电荷量不变，则( )
图2-4-6
A．保持S不变，增大d，则θ变大
B．保持S不变，增大d，则θ变小
C．保持d不变，增大S，则θ变大
D．保持d不变，增大S，则θ不变
【解析】 根据电容的决定式C＝可知，当S不变时，增大d，则电容C减小；电容器上的电荷量Q不变，再据U＝可知，电压U增大，故静电计指针偏角θ变大，故A对B错．保持d不变，增大S时，电容C增大，电容器上的电荷量Q不变，所以U减小，偏角θ减小，故C和D均错．
【答案】 A
电容器动态分析的思路
(1)确定不变量：是电压U不变，还是电量Q不变．
(2)用决定式C＝分析平行板电容器的电容变化情况．
(3)用定义式C＝及变形式Q＝CU，分析电容器带电量或两板间电压的变化情况．
(4)由于U＝＝，故匀强电场强度E＝＝，可以分析电容器极板间场强的变化情况．
2.5 探究电子束在示波管中的运动
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.了解示波器的构造.
2.探究电子束在偏转电极中的偏转，并观察带电油滴在匀强电场中的偏转.
3.掌握示波管中电子束的运动规律，会运用力学知识解决带电粒子在电场中的加速和偏转问题．(难点)
带 电 粒 子 在 电 子 枪 中 的 运 动
设阴极金属丝释放出的电子初速度为零，则电子从电子枪阳极小孔射出的速度v0，可由动能定理计算．表达式为qU＝mv，解得v0＝.
1．从电子枪中发出的电子只有在匀强电场中加速，才能应用动能定理．(×)
2．带电粒子仅在电场力作用下运动时，动能一定增加．(×)
3．带电粒子在电容器两板间加速时，若电压不变，增大板间距离时，并不改变粒子末速度大小，但改变运动时间．(√)
带电粒子在电场中运动时，什么情况下重力可以忽略？什么情况下不能忽略重力？
【提示】 (1)当带电粒子的重力远小于电场力时，粒子的重力就可以忽略．
(2)微观带电粒子，如电子、质子、离子、α粒子等除有说明或有明确暗示外，处理问题时均不计重力．而带电的液滴、小球等除有说明或有明确暗示外，处理问题时均应考虑重力．
如图2-5-1所示，平行板电容器两板间电压为U，板间距离为d.一质量为m，带电量为q的正离子在左板附近由静止释放．
图2-5-1
探讨1：正离子在两板间做什么规律的运动？加速度多大？
【提示】 正离子在两板间做初速度为零的匀加速直线运动．加速度a＝.
探讨2：正离子到达负极板时的速度多大？
【提示】 由动能定理Uq＝mv2可得v＝.
1．电场中的带电粒子的分类
(1)带电的基本粒子
如电子、质子、α粒子、正离子、负离子等，这些粒子所受重力和电场力相比要小得多，除非有特别的说明或明确的标示，一般都不考虑重力(但并不能忽略质量)．
(2)带电微粒
如带电小球、液滴、尘埃等，除非有特别的说明或明确的标示，一般都要考虑重力．某些带电体是否考虑重力，要根据题目说明或运动状态来判定．
2．解决带电粒子在电场中加速时的基本思路
1．如图2-5-2所示，M和N是匀强电场中的两个等势面，相距为d，电势差为U，一质量为m(不计重力)、电荷量为－q的粒子，以速度v0通过等势面M射入两等势面之间，此后穿过等势面N的速度大小应是( )
图2-5-2
A. B．v0＋
C. D.
【解析】 由动能定理得：qU＝mv2－mv，v＝，故C正确．
【答案】 C
2．两平行金属板相距为d，电势差为U，一电子质量为m、电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射出，最远到达A点，然后返回，如图2-5-3所示，OA＝h，此电子具有的初动能是( )
图2-5-3
A. B．edUh C. D.
【解析】 由动能定理：－F·s＝－mv
所以－eE·h＝0－mv－e··h＝0－Ek0
故Ek0＝.
【答案】 D
3.如图2-5-4所示，在点电荷＋Q的电场中有A、B两点，将质子和α粒子分别从A点由静止释放到达B点时，它们的速度大小之比为多少？
图2-5-4
【解析】 设A、B两点间的电势差为U，由动能定理知，对质子：mHv＝qHU，对α粒子：mαv＝qαU，所以＝＝＝.
【答案】 ∶1
电 子 束 在 示 波 管 中 的 运 动 规 律
1．如图2-5-5所示，偏转电极YY′两极间的电场是匀强电场．
图2-5-5
2．电子在两极间受到一个大小和方向都不变的电场力的作用．电子束垂直进入偏转极板间将做类平抛运动．
(1)电子经过极板的时间t：t＝；
(2)垂直于偏转极板方向偏移距离y：y＝at2＝；
(3)垂直于偏转极板方向的分速度vy：vy＝at＝ ；
(4)离开偏转电场时的速度偏转角φ：tan φ＝＝ .
3．电子离开偏转电极后的运动
(1)电子离开偏转电极后不再受电场力作用，电子做匀速直线运动．
(2)电子打在荧光屏上发生的偏移y′＝.
1．示波管偏转电极间的电场是匀强电场．(√)
2．示波管的荧光屏上显示的是电子的运动轨迹．(×)
3．电子枪的加速电压越大，电子束离开偏转电场时的偏转角越小．(√)
如图2-5-6所示是物体做平抛运动和带电粒子在电场中做类平抛运动的轨迹图，观察图片，思考问题：
图2-5-6
它们在受力方面有什么共同的特点？
【提示】 飞机上抛出的物体受重力作用，带电粒子在电场中受电场力的作用，共同特点是受力方向和初速度的方向垂直．
如图2-5-7所示，两平行金属板间存在竖直向下的匀强电场，一质量为m、带电量为q的粒子的速度v0垂直于电场方向射入两极之间．已知，两板间距为d，板长度为l，两板间电压为U.不计粒子的重力．
图2-5-7
探讨1：粒子在两板间做什么性质的运动？在板间运动的加速度和运动时间是多少？
【提示】 粒子在两板间做类平抛运动，加速度a＝，运动时间t＝.
探讨2：粒子离开电场时沿电场方向的速度和偏移量y各是多少？
【提示】 v⊥＝at＝ y＝at2＝.
1．带电粒子偏转规律
(1)速度：分速度vx＝v0，vy＝at
合速度大小v＝
图2-5-8
合速度方向
tan θ＝＝＝.
(2)位移：分位移x＝v0t，y＝at2
合位移s＝
合位移方向tan α＝＝.
2．带电粒子先加速再偏转时的规律
图2-5-9
(1)加速电场中：qU1＝mv.
(2)偏转电场中的规律
偏转的距离y＝＝
偏转角度tan θ＝＝.
3．两个结论
图2-5-10
(1)粒子从偏转电场射出时，其速度反向延长线与初速度方向延长线交于一点，此点平分沿初速度方向的位移．
证明：tan θ＝ ①
y＝ ②
tan θ＝ ③
由①②③得x′＝.
(2)位移方向与初速度方向间夹角的正切tan α为速度偏转角的正切tan θ的，即tan α＝tan θ.
证明：tan α＝，tan θ＝
故tan α＝tan θ.
4．如图2-5-11所示，质子(H)和α粒子(He)，以相同的初动能垂直射入偏转电场(不计粒子重力)，则这两个粒子射出电场时的侧位移y之比为( )
图2-5-11
A．4∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．1∶4
【解析】 由y＝和Ek0＝mv，得：y＝，可知y与q成正比，B正确．
【答案】 B
5．示波器的示意图如图2-5-12，金属丝发射出来的电子被加速后从金属板的小孔穿出，进入偏转电场．电子在穿出偏转电场后沿直线前进，最后打在荧光屏上．设加速电压U1＝1 640 V，偏转极板长l＝4 m，金属板间距d＝1 cm，当电子加速后从两金属板的中央沿板平行方向进入偏转电场．求：
图2-5-12
(1)偏转电压U2为多大时，电子束的偏移量最大？
(2)如果偏转板右端到荧光屏的距离L＝20 cm，则电子束最大偏转距离为多少？
【解析】 (1)设电子被电压U1加速后获得速度大小为v0，则有qU1＝mv
在金属板间电子的最大偏移量
y1＝＝0.5 cm
则y1＝at2＝·()2＝
解得U2＝2.05×10－2 V.
(2)电子离开偏转电场后做匀速直线运动，可看作从极板的正中心沿直线射出，如图所示．
由几何知识，得＝
解得y＝0.55 cm.
【答案】 (1)2.05×10－2 V (2)0.55 cm
带电粒子在电场中运动问题的处理方法
带电粒子在电场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看带电粒子与一般物体相比多受到一个电场力；从处理方法上看仍可利用力学中的规律分析：如选用平衡条件、牛顿定律，动能定理、功能关系，能量守恒等．
第2章 电场与示波器
章末分层突破
① ②k
③大小 ④方向
⑤qUAB ⑥路径
⑦ ⑧
⑨Ed ⑩
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? ?
电场强度、电势、电势能大小的判断
1.场强大的地方，电势不一定高，场强小的地方电势不一定低．反过来，电势高的地方场强不一定大，电势低的地方场强也不一定小．
2．电场强度和电势的大小判断一般借助于电场线．电场线的疏密程度反映电场强度的强弱，电场线在某点的切线方向表示该点的场强方向．沿着电场线的方向，电势逐渐降低．
3．电势能的变化可以根据电场力所做的功来判断．电场力做正功，电势能减小，电场力做负功，电势能增加．
(多选)如图2-1所示，在正点电荷Q的电场中有M、N、P、F四点，M、N、P为直角三角形的三个顶点，F为MN的中点，∠M＝30°.M、N、P、F四点处的电势分别用φM、φN、φP、φF表示，已知φM＝φN，φF＝φP，点电荷Q在M、N、P三点所在平面内，则( )
图2-1
A．点电荷Q一定在MP的连线上
B．连接PF的线段一定在同一等势面上
C．将正试探电荷从P点搬运到N点，电场力做负功
D．φP大于φM
【解析】 由φM＝φN，可知点电荷Q一定在MN连线的中垂线上，过F作MN的垂线交MP与O点．设MF＝FN＝l，则由几何关系MO＝＝l，FO＝ltan 30°＝l，OP＝MP－MO＝MN cos 30°－l＝l，即FO＝OP＝l，ON＝OM＝l，故点电荷一定在MP的连线上的O点，选项A正确
(另解：根据题意φM＝φN，φP＝φF，可知点电荷Q一定在MN的中垂线与PF连线的中垂线的交点处，作PF连线的中垂线交MP于点O，连接O、F两点，由几何知识知OF为MN的中垂线，故点电荷Q一定在MP的连线上的O点，A正确)；点电荷形成的电场的等势面是以点电荷为球心的同心球面，线面不可能在球面上，故B选项错误；由图可知OF＜OM，故φF＝φP＞φM＝φN，将正试探电荷从高电势搬运到低电势，电场力做正功，选项C错误、D正确．
【答案】 AD
带电粒子在复合场中的运动
1.带电粒子在复合场中的运动是指带电粒子在运动过程中同时受到电场力及其他力的作用．较常见的是在运动过程中，带电粒子同时受到重力和电场力的作用．
2．由于带电粒子在复合场中的运动是一个综合电场力、电势能的力学问题，研究的方法与质点动力学的研究方法相同，它同样遵循运动的合成与分解、力的独立作用原理、牛顿运动定律、动能定理、功能原理等力学规律．
如图2-2所示，匀强电场中有一半径为r的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行．a、b为轨道直径的两端，该直径与电场方向平行．一电荷量为q(q>0)的质点沿轨道内侧运动，经过a点和b点时对轨道压力的大小分别为Na和Nb.不计重力，求电场强度的大小E、质点经过a点和b点时的动能．
图2-2
【解析】 质点所受电场力的大小为F＝qE ①
设质点质量为m，经过a点和b点时的速度大小分别为va和vb，由牛顿第二定律有
F＋Na＝m ②
Nb－F＝m ③
设质点经过a点和b点时的动能分别为Ek a和Ek b，有
Ek a＝mv ④
Ek b＝mv ⑤
根据动能定理有Ekb－Eka＝2rF ⑥
联立①②③④⑤⑥式得
E＝(Nb－Na)
Ek a＝(Nb＋5Na)
Ek b＝(5Nb＋Na)
【答案】 E＝(Nb－Na)
Eka＝(Nb＋5Na) Ekb＝(5Nb＋Na)
1．珠子只受重力作用时，在最低位置A时动能为零，压力等于重力．
2．珠子受到重力和水平方向的电场力时，珠子在所受合方向过圆心的位置动能最大、压力也最大．
电场中的功能关系
带电的物体在电场中具有一定的电势能，同时还可能具有动能和重力势能等．因此涉及与电场有关的功和能的问题可用以下两种功和能的方法来快速简捷的处理．因为功能关系既适用于匀强电场，又适用于非匀强电场，且使用的同时不需考虑中间过程；而力与运动的关系不仅只适用于匀强电场，而且还需分析其中间过程的受力情况、运动特点等．
1．用动能定理处理，应注意：
(1)明确研究对象、研究过程．
(2)分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功．
(3)弄清所研究过程的初、末状态．
2．应用能量守恒定律时，应注意：
(1)明确研究对象和研究过程及有哪几种形式的能参与了转化．
(2)弄清所研究过程的初、末状态．
(3)应用守恒或转化列式求解．
如图2-3所示，在倾角θ＝37°的绝缘斜面所在空间存在着竖直向上的匀强电场，场强E＝4.0×103 N/C，在斜面底端有一与斜面垂直的绝缘弹性挡板．质量m＝0.20 kg的带电滑块从斜面顶端由静止开始滑下，滑到斜面底端与挡板相碰后以碰前的速率返回．已知斜面的高度h＝0.24 m，滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.30，滑块带电荷q＝－5.0×10－4 C．取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80.求：
图2-3
(1)滑块从斜面最高点滑到斜面底端时的速度大小；
(2)滑块被挡板弹回能够沿斜面上升的最大高度；
(3)滑块从开始运动到停下来的整个过程中产生的热量Q.(计算结果保留两位有效数字)
【解析】 (1)滑块沿斜面滑下的过程中，受到的滑动摩擦力为f＝μ(mg－qE)cos 37°，设到达斜面底端时的速度为v1，根据动能定理
(mg－qE)h－f＝mv－0，
解得v1＝2.4 m/s.
(2)设滑块第一次与挡板碰撞后沿斜面返回上升的最大高度为h1，根据动能定理
－(mg－qE)h1－f＝0－mv，
解得h1＝0.10 m.
(3)滑块最终将静止在斜面底端，因此重力势能和电势能的减少量等于克服摩擦力做的功，即等于产生的热量Q＝(mg－qE)h＝0.96 J.
【答案】 (1)2.4 m/s (2)0.10 m (3)0.96 J
1.如图2-4，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc.则( )
图2-4
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
【解析】 a、b、c三点到固定的点电荷P的距离rbEc>Ea，故带电粒子Q在这三点的加速度ab>ac>aa.由运动轨迹可知带电粒子Q所受P的电场力为斥力，从a到b电场力做负功，由动能定理＝mv－mv<0，则vb0，vc>vb，又|Uab|>|Ubc|，则va>vc，故va>vc>vb，选项D正确．
【答案】 D
2．(多选)两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图2-5所示．c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则( )
图2-5
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．c点的电场强度比d点的大
D．c点的电势比d点的低
【解析】 根据电场线的分布图，a、b两点中，a点的电场线较密，则a点的电场强度较大，选项A正确．沿电场线的方向电势降低，a点的电势低于b点的电势，选项B错误．由于c、d关于正电荷对称，正电荷在c、d两点产生的电场强度大小相等、方向相反；两负电荷在c点产生的电场强度为0，在d点产生的电场强度方向向下，根据电场的叠加原理，c点的电场强度比d点的大，选项C正确．c、d两点中c点离负电荷的距离更小，c点电势比d点低，选项D正确．
【答案】 ACD
3．如图2-6，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，则( )
图2-6
A．直线a位于某一等势面内，φM>φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM>φN
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
【解析】 由电子从M点分别运动到N点和P点的过程中电场力所做的负功相等可知，N、P两点在同一等势面上，且电场线方向为M?N，故选项B正确，选项A错误．M点与Q点在同一等势面上，电子由M点运动到Q点，电场力不做功，故选项C错误．电子由P点运动到Q点，电场力做正功，故选项D错误．
【答案】 B
4．(多选)如图2-7所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10 m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点．用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定．两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m．已测得每个小球质量是8.0×10－4 kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则( )
图2-7
A．两球所带电荷量相等
B．A球所受的静电力为1.0×10－2 N
C．B球所带的电荷量为4×10－8 C
D．A、B两球连线中点处的电场强度为0
【解析】 用丝绸摩擦过的玻璃棒接触A球，使A球带正电，由题意知A、B两球接触后分开，则两球所带电荷量相等，选项A正确；两球平衡后受力如图所示，球B所受静电力F＝mgtan α＝6.0×10－3 N，球A、B所受静电力大小相等，选项B错误；由F＝及q1＝q2知，小球所带电荷量q＝4×10－8 C，选项C正确；A、B两球所带电荷在其连线的中点处产生的电场强度大小相等、方向相反，场强为0，选项D正确．
【答案】 ACD
5．如图2-8，质量为m的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，处于静止状态．施加一水平向右的匀强电场后，A向右摆动，摆动的最大角度为60°，则A受到的电场力大小为________．在改变电场强度的大小和方向后，小球A的平衡位置在α＝60°处，然后再将A的质量改变为2 m，其新的平衡位置在α＝30°处，A受到的电场力大小为________．
图2-8
【解析】 带电小球A，受到电场力向右摆动的最大角度为60°，末速度为零，此过程中电场力F对小球做正功，重力G做负功，细线拉力T不做功，根据动能定理，则有：
Flsin α－mgl(1－cos α)＝0
解得：F＝mg
改变电场强度的大小和方向后，平衡位置在α＝60°处时，根据正弦定理，则有：
＝
而在新的平衡位置在α＝30°处，根据正弦定理则有：
＝
解得：F＝mg
【答案】 mg mg
