课时作业10 垂直关系的性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．垂直
解析：因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.
答案：A
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝n，直线lα，直线mβ，则下列说法正确的个数是( )
①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l∥n，则l∥β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由线面平行的判定定理知②正确；由面面垂直的性质定理知①③正确．
答案：D
3．已知平面α⊥β，直线lα，直线mβ，若l⊥m，则l与β的位置关系是( )
A．l⊥β B．l∥β
C．lβ D．以上都有可能
解析：若l垂直于两平面的交线，则l⊥β；若l平行两平面的交线，m垂直两平面的交线，则l∥β；若l就是两平面的交线，m垂直两平面的交线，则lβ.故这三种情况都有可能．
答案：D
4．PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于( )
A．5 B．5
C．5 D．20
解析：∵PA＝PB＝PC，
∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心．
又△ABC为直角三角形，
∴O为斜边BA的中点．
在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴PO＝＝5.
答案：C
5.
如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：连接AC1，∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上的点C1在底面ABC上的射影H必在交线AB上．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，所以AC⊥BD.
答案：菱形
7．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
解析：由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.
答案：5
8．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.
解析：在三棱锥P－ABC中，
因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.
因为EF?平面PAC，所以EF⊥AB，
因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，
所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，
因为F是AC的中点，E是PC上的点，
所以E是PC的中点，所以＝1.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
10.
如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明：(1)如图所示，连接BD.
因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，
因为G是AD的中点，
所以BG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD.
所以BG⊥平面PAD.
(2)连接PG.
因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，
所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，
而PG∩BG＝G，
PG?平面PBG，
BG?平面PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又因为PB?平面PBG，
所以AD⊥PB.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(2016·贵阳市监测考试)如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
答案：B
12.
如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________(填序号)．
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
解析：分别取CE，DE的中点Q，P，连接MP，PQ，NQ，可证MNQP是矩形，所以①②正确；因为MN∥PQ，AB∥CE，若MN∥AB，则PQ∥CE，又PQ与CE相交，所以③错误；当平面ADE⊥平面ABCD时，有EC⊥AD，④正确．故填①②④.
答案：①②④
13.
如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)求二面角D′－AB－D的大小；
(2)若M是C′D′的中点，求二面角M－AB－D的大小．
解析：(1)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角，在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°.
所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
(2)因为M是C′D′的中点，所以MA＝MB，取AB的中点N，连接MN，则MN⊥AB.取CD的中点H，连接HN，则HN⊥AB.
从而∠MNH是二面角M－AB－D的平面角．∠MNH＝45°.
所以二面角M－AB－D的大小为45°.
14．(2016·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC.
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
解析：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，所以DC⊥平面PAC.
(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥平面PAC，所以AB⊥平面PAC.
又因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)取PB中点F.连接CE，EF，CF.
因为E为AB中点，所以PA∥EF.
又因为PA?平面CEF，EF?平面CEF，所以PA∥平面CEF.
因此，当F为PB中点时，
PA∥平面CEF.
课时作业1 简单几何体
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下面的几何体中是棱柱的有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
答案：C
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①②
解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
答案：C
3．下列图形中，是棱台的是( )
解析：由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.
答案：C
4．给出下列说法：①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆面；④分别以矩形长和宽(长和宽不相等)所在直线为旋转轴，旋转一周而得的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体才是圆锥，若以斜边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是由两个圆锥组成的组合体，故①错误；以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台，以其他的边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体不是圆台，②错误；③④是正确的．
答案：B
5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
解析：由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是________．
解析：等腰梯形的对称轴为两底中点的连线，此线把等腰梯形分成两个全等的直角梯形，旋转后形成圆台．
答案：圆台
7．已知正四棱锥V－ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为2，则它的斜高为________．
解析：由S底＝16，知底面边长为4，又侧棱长为2，故斜高h′＝＝2.
答案：2
8．下列说法正确的有________个．
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
②正棱锥的侧面是等边三角形．
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
解析：
①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．
②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．
③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．
答案：0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？
解析：图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；
图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体．
图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体．
10.
如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
解析：截面BCFE上方部分是棱柱BB′E－CC′F，其中平面BB′E和平面CC′F是其底面，BC，B′C′，EF是其侧棱．截面BCFE下方部分是棱柱ABEA′－DCFD′，其中平面ABEA′和平面DCFD′是其底面，AD，BC，EF，A′D′是其侧棱．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．有下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
解析：对于①③两点的连线不一定在圆柱、圆台的曲面上，当然有可能不是母线了，②④由母线的定义知正确．
答案：D
12．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合；
②点D与点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
解析：还原成正方体考虑．
答案：②④
13.
如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
解析：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)
14.
如图所示的直角梯形ABCD，AB⊥BC，绕着CD所在直线l旋转一周形成一个几何体，试说明该几何体的结构特征．
解析：如图所示，过A，B分别作AO1⊥l，BO2⊥l，垂足分别为O1，O2，
则Rt△CO2B绕l旋转一周所形成的几何体是圆锥，直角梯形O1ABO2绕l旋转一周所形成的几何体是圆台，Rt△DO1A绕l旋转一周所形成的几何体是圆锥．
综上，可知所求几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．
课时作业11 柱、锥、台的侧面展开与面积
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若圆柱的底面面积为S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS
C．πS D.πS
解析：设圆柱的底面半径为r，则πr2＝S，r＝.又侧面展开图是正方形，所以圆柱的侧面积S侧＝2＝4πS.
答案：A
2.
如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
解析：设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
答案：C
3．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )
A．48(3＋) B．48(3＋2)
C．24(＋) D．144
解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋)．
答案：A
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4，则该正方体的棱长为( )
A. B．2
C．4 D．2
解析：设正方体棱长为a，侧面的对角线长为a，所以正三棱锥A－CB1D1的棱长为a，其表面积为4××(a)2＝4，可得a2＝2，即a＝.
答案：A
5．如图是一个几何体的三视图，其中主视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A.π B.π
C.π D.π
解析：由三视图，可知该几何体是一个圆锥的一半，其中高为＝，故所求的体积为V＝××π×12×＝π.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．
在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，
则AD＝5.所以其表面积为2××(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.
答案：92
7．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，则该三棱锥的表面积为________．
解析：易知底面正三角形的中心到一边的距离为××2＝，则正三棱锥侧面的斜高为＝，所以S侧＝3××2×＝9，所以S表＝S侧＋S底＝9＋×(2)2＝9＋6.
答案：9＋6
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．
解析：
由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，如图所示，SA＝AB＝BC＝4，则SB＝4，AC＝4，则该几何体的表面积S＝4×8＋×4×(8＋4)＋×4×(8＋4)＋×4×4＋×4×4＝64＋32.
答案：64＋32
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
解析：
如图，设圆台的上底面周长为C.
因为扇环的圆心角是180°，
所以C＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20 cm，
同理可得SB＝40 cm，
所以AB＝SB－SA＝20 (cm)，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．
10．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)
解析：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，正四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形，圆锥的表面积为πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π (m2)；四棱柱的一个底面积为9 m2，正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48 (m2)，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24π＋39) (m2)．
所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8) (kg)．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(2016·全国卷丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A．18＋36 B．54＋18
C．90 D．81
解析：由三视图知该几何体是平行六面体，且底面是边长为3的正方形，侧棱长为3，所以该几何体的表面积为S＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×3＝54＋18.
答案：B
12．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面积与侧面积的比是________．
解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为2r，侧面展开图的弧长为2πr，所以圆锥的底面积与侧面积的比为πr2?：＝1：2.
答案：1：2
13．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积．
解析：
因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．
不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．
因为BC＝SB＝a，SD＝＝＝a，
所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.
故四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.
14．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大．
解析：(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)，设所求的圆柱的底面半径为r，它的侧面积S圆柱侧＝2πrx.
∵＝，(由相似三角形可知)
∴r＝R－·x，
∴S圆柱侧＝2πRx－·x2.
(2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值．这时圆柱的高是x＝－＝，
当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．
课时作业12 柱、锥、台的体积
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，则三棱锥的体积与原来长方体体积之比为( )
A．1：3 B．1：6
C．1：8 D．1：4
解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
则V三棱锥＝c＝.
又V长方体＝abc.故选B.
答案：B
2．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与其在底面上的射影所成的角为60°，则该棱锥的体积为( )
A．3 B．6
C．9 D．18
解析：如图所示O为正四棱锥底面中心，∠PCO＝60°，PC＝2，则在Rt△POC中，PO＝3，OC＝，AC＝2，AB＝＝，∴V锥＝×××3＝6，故选B.
答案：B
3．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )
A．26 B．28
C．30 D．32
解析：所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28.
答案：B
4．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )
A．12π B．45π
C．57π D．81π
解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，由三视图可得该几何体的体积V＝V圆锥＋V圆柱＝×π×32×＋π×32×5＝57π.故选C.
答案：C
5．(2016·云南省第一次统一检测)如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)，则被削掉的那部分的体积为( )
A. B.
C.－2 D．2π－
解析：由三视图可知，剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成，其体积V＝××π×12×2＋××2×1×2＝＋，∴被削掉的那部分的体积为π×12×2－＝.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
解析：由俯视图与左视图，可知该三棱锥的底面积为×4×3＝6，由左视图，可知该三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为×6×2＝4.
答案：4
7．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是________．
解析：由题意知r：R＝1：3，r、R分别为上、下底面的半径，故(V－52)：V＝1：27，解出V＝54.
答案：54
8．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，则它们的体积大小关系是________．
解析：设正方体棱长为a，则圆柱高为a，又设圆柱底面圆的半径为r，则4a2＝2πra，
即r＝.
∴V正方体＝a3，V圆柱＝πr2a＝a3.
∵4>π>0，
∴V正方体
答案：V正方体三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，求三棱锥P－ABC的体积．
解析：因为PA⊥底面ABC，且底面ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P－ABC的体积V＝××2××3＝.
10.
如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．
解析：
如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．
所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×(52＋5×2＋22)×4－π×22×2＝π.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A. B.
C. D.
解析：从A点向BC作垂线，垂足为Q，所求旋转体的体积可视为两个圆锥的体积之差：V旋＝V大－V小＝π()2×2.5－π()2×1＝π.
答案：D
12．已知圆锥的母线长为5 cm，侧面积为15π cm2，则此圆锥的体积为________ cm3.
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则有πrl＝15π，知r＝3，
∴h＝＝4.
∴其体积V＝Sh＝πr2h＝×π×32×4＝12π.
答案：12π
13．如图，已知某几何体的三视图如图(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解析：(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，
可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积
S＝5×22＋2××2×1＋2××2＝22＋4(cm2)，
所求几何体的体积
V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
14．如图，A1A是圆柱的一条母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A＝AB＝2.求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．
解析：因为VA1－ABC＝S△ABC·AA1，而A1A＝2，要使得三棱锥A1－ABC的体积最大，只需三角形ABC的面积最大．
记AB边上的高为CD，则S△ABC＝·AB·CD＝CD.
显然CD有最大值1，所以VA1－ABC＝×CD×AA1≤×1×2＝.
故三棱锥A1－ABC的体积的最大值为.
课时作业13 球
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为( )
A．1：9 B．1：27
C．1：3 D．1：1
解析：设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1，S2，∵r1：r2＝1：3，∴S1?：S2＝4πr?：4πr＝r?：r＝1：9.故选A.
答案：A
2．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )
A．V正方体＝V圆柱＝V球
B．V正方体C．V正方体>V圆柱>V球
D．V圆柱>V正方体>V球
解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为a，R，r，则S正方体＝6a2，S球＝4πR2，S圆柱＝6πr2，由题意，知S正方体＝S球＝S圆柱，所以a＝r，R＝r，所以V正方体＝a3＝πr3，V球＝πR3＝πr3，V圆柱＝2πr3，显然可知V正方体答案：B
3．(2016·广州市综合测试(一))一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A．20π B.
C．5π D.
解析：由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝1，其高h＝1，∴球半径为R＝＝＝，∴该球的体积V＝πR3＝×π＝.
答案：D
4．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( )
A．1：1 B．2：1
C．3：2 D．4：3
解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为r，则圆柱的底面圆半径为r，圆柱的高为2r，于是圆柱的全面积为S1＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2，球的表面积为S2＝4πr2.
∴＝＝.
答案：C
5.
一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( )
A．π B．3π
C．4π D．6π
解析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．
∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长.
∴此四面体的外接球的表面积为4π×()2＝3π.
故选：B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，三棱锥P－ABC的体积为________．
解析：依题意有，三棱锥P－ABC的体积
V＝S△ABC·|PA|＝××22×3＝.
答案：
7．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________ cm.
解析：设大铁球的半径为R cm，由πR3＝π×3＋π×3＋π×3，得R3＝216，得R＝6.
答案：6
8．(2016·河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是________ cm，表面积是________ cm2.
解析：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝(R－1) cm，
则(R－1)2＋32＝R2，
解之得R＝5 cm，
所以该球表面积为
S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．
答案：5 100π
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB将扇形分成两部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V2之比．
解析：△ABO旋转成圆锥，扇形ABO旋转成半球，设OB＝R.V半球＝πR3，V锥＝·R·R2＝R3，
∴(V半球－V锥)：V锥＝1：1.
10．某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10 cm的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h.
∵2πr＝π·10，∴r＝2.
h＝＝4.
∴该蛋筒冰淇淋的表面积S＝＋2π·22＝28π(cm2)．
体积V＝π·22×4＋π·23＝(＋1)π(cm3)．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．球O的截面把垂直于截面的直径分成1?3两部分，若截面圆半径为，则球O的体积为( )
A．16π B.
C. D．4π
解析：设直径被分成的两部分分别为r、3r，易知()2＝r·3r，得r＝1，则球O的半径R＝2，故V＝π·R3＝π.
答案：C
12．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．
解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径为r＝1，△ABC的边长为2，于是知圆锥的底面半径为，高为3.故所求体积为V＝×π×3×3＝3π.
答案：3π
13．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的外接球的体积．
解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，
因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.
(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，
则外接球的半径r＝＝3，
因此外接球的体积V＝πr3＝×27π＝36π，
所以该几何体的外接球的体积是36π.
14．(2017·大同一中高二(上)月考)如图所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．
解析：S球＝×4π×22＝8π(cm2)，
S圆台侧＝π(2＋5)＝35π(cm2)，
S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
即该几何体的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又V圆台＝×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V半球＝××23＝(cm3)，
所以该几何体的体积为
V圆台－V半球＝52π－＝(cm3)．
课时作业14 直线的倾斜角和斜率
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．经过原点O(0,0)与点P(1,1)的直线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．135°
解析：设过点O与点P的直线的倾斜角为α.因为直线OP的斜率k＝＝1，又0°≤α<180°，所以α＝45°
答案：B
2．若直线经过点A(m2,0)，B(2，m)，且倾斜角为60°，则实数m＝( )
A．1或－1 B．2或－2
C．1或－2 D．－1或2
解析：因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝.又直线经过点A(m2,0)，B(2，m)，所以＝，即m2＋m－2＝0，解得m＝1或－2.
答案：C
3．如图所示，直线l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，则( )
A．k1C．k3解析：设直线l1、l2、l3的倾斜角分别是α1、α2、α3，则90°<α1<180°，0°<α3<α2<90°，
∴tanα1<0，tanα2>tanα3>0.
∴k1答案：D
4．已知直线l1过点A(－1，－1)和B(1,1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是( )
A．1 B．－1
C．2 D．不存在
解析：设直线l1的倾斜角为α.因为直线l1过点A(－1，－1)和B(1,1)，所以直线l1的斜率为＝1.又0°≤α<180°，所以α＝45°，则直线l2的倾斜角为90°，所以直线l2的斜率不存在．
答案：D
5．过点P(0，－2)的直线l与以A(1,1)，B(－2,3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.
B.∪．
课时作业15 直线方程的点斜式
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2017·马鞍山四校联考)方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(2,0)的一切直线
B．通过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线
C．通过点(－2,0)的一切直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的一切直线
解析：方程y＝k(x－2)表示的直线都过点(2,0)且存在斜率．故选B.
答案：B
2．(2017·宿州高二期末)斜率为－1，且在y轴上的截距为1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：直线的斜截式方程为y＝－x＋1，
即x＋y－1＝0.故选B.
答案：B
3．下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；
④所有的直线都是点斜式和斜截式方程．
正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①中方程k＝表示的直线不能过(－1,2)，
而y－2＝k(x＋1)表示过(－1,2)、斜率为k的直线，
所以两者不能表示同一直线，①错误；②③正确；
④中，用点斜式、斜截式不能表示垂直于x轴的直线，
所以结论错误．故选B.
答案：B
4．(2017·莱州高二期末)直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有( )
A．k1B．k1b2
C．k1>k2且b1>b2
D．k1>k2且b1解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，
由题图可知90°<α1<α2<180°，所以k10，所以b1答案：A
5．已知M，N，则过点M和N的直线方程为( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
解析：因为直线过M，N，
所以直线方程为y－＝(x－2)，即4x－2y＝5，故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为 －，则直线l的方程为________．
解析：由点斜式得y－5＝－(x＋2)，即y＝－x＋.
答案：y＝－x＋
7．如果对任何实数k，直线(3＋k)x－2y＋1－k＝0都过一定点A，那么点A的坐标是________．
解析：直线方程变为k(x－1)＋3x－2y＋1＝0，
当x＝1时，3－2y＋1＝0，y＝2，所以直线过定点A(1,2)．
答案：(1,2)
8．若直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，且l在y轴上的截距为6，则a＝________.
解析：令x＝0得y＝(a－1)×2＋a＝6，
得a＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知△ABC的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求：
(1)AB所在直线的方程；
(2)AC边所在直线的方程．
解析：根据已知条件，画出示意图如图所示．
(1)由题意知，直线AB平行于x轴，
由A，B两点的坐标知，
直线AB的方程为y＝1.
(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于45°，
所以kAC＝tan45°＝1，
又点A(1,1)，
所以直线AC的方程为y－1＝1·(x－1)，
即y＝x.
10．直线l的斜率为－，且和两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程．
解析：直线l的斜率为－，设在y轴上的截距为b(b>0)，
则方程为y＝－x＋b，所以与x轴的交点为(6b,0)，
所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝·6b·b＝3，解得b＝1，直线l的方程为y＝－x＋1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．直线y＝ax－的图象可能是( )
解析：由直线方程知直线的斜率k＝a，在y轴上的截距b＝－，
当k>0时b<0，可排除A，
当k<0时b>0，可排除D，
由a≠0可排除C.故选B.
答案：B
12．若直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
解析：设直线l的斜率为k，
则直线方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－.
令－3<1－<3，
解得k<－1或k>.
答案：(－∞，－1)∪
13．一直线l1过点A(2，－3)，其倾斜角等于直线l2：y＝ x的倾斜角的2倍，求这条直线l1的点斜式方程．
解析：直线l2：y＝ x的斜率为，
∴直线l2的倾斜角为30°，
则直线l1的倾斜角为60°，斜率为tan60°＝，
∴直线l1的点斜式方程为y－(－3)＝(x－2)．
14．是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求直线l的方程．
解析：假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成面积为5的三角形．
显然直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＋4＝k(x＋5)．
分别令y＝0，x＝0，
可得直线l与x轴的交点为，
与y轴的交点为(0,5k－4)．
因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，
所以·|5k－4|＝5，
所以·(5k－4)＝±10，
即25k2－30k＋16＝0(无解)或25k2－50k＋16＝0，
所以k＝或k＝，
所以直线l的方程为y＋4＝(x＋5)或y＋4＝(x＋5)．
可化为8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
课时作业16 直线方程的两点式和一般式
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．经过点A(2，－1)，B(－4,5)的直线的一般式方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：因为直线过A(2，－1)，B(－4,5)，所以由直线方程的两点式得直线方程为＝，化为一般式得x＋y－1＝0.
答案：D
2．直线－＋＝－1在x轴，y轴上的截距分别为( )
A．2,3 B．－2,3
C．－2，－3 D．2，－3
解析：由－＋＝－1得＋＝1，则在x轴，y轴上的截距分别为2，－3.
答案：D
3．光线从A(－3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1,6)，则BC所在直线的方程为( )
A．5x－2y＋7＝0 B．2x－5y＋7＝0
C．5x＋2y－7＝0 D．2x＋5y－7＝0
解析：点A(－3,4)关于x轴的对称点A′(－3，－4)在反射光线所在的直线上，所以所求直线为＝，即5x－2y＋7＝0.
答案：A
4．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍， 则( )
A．a＝，b＝1 B．a＝，b＝－1
C．a＝－，b＝1 D．a＝－，b＝－1
解析：直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为＝－1，解得b＝－1，又因为x－y－＝0的倾斜角为60°，所以直线ax＋by－1＝0的倾斜角为120°，从而可得斜率k＝－＝－，解得a＝－，故选D.
答案：D
5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图像只可能是( )
解析：因为ab≠0，则
①当a>0，b>0时，其图像可能为：
此时没有符合的．
②当a>0，b<0时，其图像可能为：
因此B符合．
③当a<0，b>0时，其图像可能为：
没有符合的．
④当a<0，b<0时，其图像可能为：
也没有符合的．
综上，选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第________象限．
解析：由题意知A·B·C≠0，直线方程变形为y＝－x－.∵A·C<0，B·C<0，∴A·B>0，∴其斜率k＝－<0，又y轴上的截距b＝－>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：三
7．直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________.
解析：由题意斜率存在，倾斜角为45°，则k＝1.所以－＝1，解得a＝－或3.
当a＝3时，2a2－7a＋3与a2－9同时为0，所以应舍去，所以a＝－.
答案：－
8．若直线l经过点P(1,2)，且在y轴上的截距与直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．
解析：直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距等于3，即直线l经过点M(0,3)，则直线l的斜率k＝＝－1，故直线l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知?ABCD的顶点A(1,2)，B(2，－1)，C(3，－3)，求直线BD的方程．
解析：因为平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点M为AC的中点，所以M，
直线BM的方程为x＝2，
即直线BD的方程为x－2＝0.
10．若直线经过点A(1,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线的方程．
解析：当直线经过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距都是0，符合题意，设其方程为y＝kx，又直线经过点A(1,4)，所以4＝k，即方程为y＝4x；当直线不经过坐标原点时，设其方程为＋＝1，又直线经过点A(1,4)，所以＋＝1，解得a＝，此时直线方程为＋＝1，即x＋2y－9＝0.故所求直线方程为y＝4x或x＋2y－9＝0.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知直线经过A(a,0)，B(0，b)和C(1,3)三个点，且a，b均为正整数，则此直线方程为( )
A．3x＋y－6＝0
B．x＋y－4＝0
C．x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0
D．无法确定
解析：由已知可得直线方程为＋＝1.
因为直线过C(1,3)，
则＋＝1.
又因为a，b为正整数，
所以a＝4，b＝4时适合题意，a＝2，b＝6时适合题意，
此时，方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.
答案：C
12．直线y＝x＋k与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的取值范围是________．
解析：由已知得k≠0，
令x＝0，y＝k，令y＝0，x＝－2k，
则与两坐标轴围成的面积|k|·|－2k|≤1，
即k2≤1，
所以－1≤k≤1.
综上，k的取值范围是．
答案：
13．求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．
解析：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a，b，
则有S＝|a·b|＝1，
∴ab＝±2.设直线的方程是＋＝1，
∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得＋＝1，
即b＝，
∴ab＝＝±2.当＝－2时，化简得a2＋a＋2＝0，方程无解；
当＝2时，化简得a2－a－2＝0，
解得或
∴直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
14．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：
(1)△AOB的周长为12；
(2)△AOB的面积为6.
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解析：(1)存在．设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意可知a＋b＋＝12.①
又因为直线过点P，
所以＋＝1，②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得或.
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)存在．设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意可知解得或
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
课时作业17 两条直线的位置关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题中，正确的是( )
A．斜率相等的两条直线一定平行
B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等
C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行
D．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3平行
解析：A错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D正确，由于直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的斜率分别为k1＝1－，k2＝－＝1－，则k1＝k2，所以l1∥l2.
答案：D
2．由三条直线l1：2x－y＋2＝0，l2：x－3y－3＝0和l3：6x＋2y＋5＝0围成的三角形是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形
解析：kl2＝，kl3＝－3，∴kl2·kl3＝－1，∴l2⊥l3.
答案：A
3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值是( )
A．－8 B．0
C．2 D．10
解析：由题意可知kAB＝＝－2，所以m＝－8.
答案：A
4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(6，y)，且l1⊥l2，则y＝( )
A．－2 B．1
C．2 D．4
解析：因为l1⊥l2，且直线l1的斜率k1不存在，所以直线l2的斜率k2＝0，则y＝1.
答案：B
5．下列直线中，与已知直线y＝－x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
解析：先看斜率，A、D选项中斜率为－，排除掉；再看纵截距，要使纵截距小于0，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)，则点D的坐标为____________．
解析：设D(a，b)，由平行四边形ABCD，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，即，解得，所以D(－1,6)．
答案：(－1,6)
7．已知直线l过点(－2，－3)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．
解析：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，又直线l与该直线垂直，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－2，－3)，因此直线l的方程为y－(－3)＝－×，即3x＋2y＋12＝0.
答案：3x＋2y＋12＝0
8．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,0)，B(0,2)，C(a,0)，若AB⊥BC，则a＝________.
解析：因为kAB＝＝2，所以直线BC的斜率存在，且kBC＝＝－.由2·＝－1，得a＝4.
答案：4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行，求实数a的值．
解析：①当a＝0时，两直线的斜率不存在，直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时l1∥l2，满足题意．
②当a≠0时，l1：y＝－x＋，l2：y＝x－，
直线l1的斜率为k1＝－，直线l2的斜率为k2＝，
又两直线平行，则，解得a＝.
综上，可得a＝0或.
10．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值．
解析：(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝.
∴若这两条直线垂直，则k＝.
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，
解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析：因为直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，
所以＝1，所以a＝0，
又直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，所以－＝1，所以b＝－2，因此a＋b＝－2.
答案：B
12．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
解析：设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，
所以4·＝－1，解得x＝－9.
答案：(－9,0)
13．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是直角三角形，求m的值．
解析：当∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，
即·＝－1，得m＝－7.
同理：当∠B为直角时，得m＝3，
当∠C为直角时，得m＝±2.
14．已知直线l1：(a－1)x＋y＋b＝0，l2：ax＋by－4＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(1,1)；
(2)l1∥l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
解析：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋b＝0.①
又l1过点(1,1)，∴a＋b＝0.②
由①②，解得或.
当a＝0，b＝0时不合题意，舍去．
∴a＝2，b＝－2.
(2)∵l1∥l2，∴a－b(a－1)＝0，③
由题意知a>0，b>0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为，
则××＝2，
得ab＝4，④
由③④，得a＝2，b＝2.
课时作业18 两条直线的交点
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．直线3x＋y－5＝0与x＋y－1＝0的交点是( )
A．(2，－1) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－2，－1)
解析：由得
答案：A
2．下列直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是( )
A．4x－2y－6＝0
B．y＝2x
C．y＝2x＋5
D．y＝－2x＋3
解析：因为直线2x－y－3＝0的斜率为2，所以与直线2x－y－3＝0相交的直线的斜率不为2，排除A，B，C，故选D.
答案：D
3．已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是( )
A．(1，－3) B．(3，－1)
C．(－3,1) D．(－1,3)
解析：由得由三条直线相交于一点，可知m×1＋n×2＋5＝0
即m＋2n＋5＝0，结合选项可知A项正确．
答案：A
4．若直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：因为直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0相交，所以a≠－1.由，解得，即两直线的交点坐标为.由题意可得，所以，解得－1答案：A
5．无论m、n取何实数，直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0都过一定点P，则P点坐标为( )
A．(－1,3) B.
C. D.
解析：直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0整理为m(3x＋y)－n(x－2y＋1)＝0，
解方程组得交点坐标为.
因此无论m，n取何实数直线必经过点.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．
解析：因为两直线的交点在y轴上，且直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点是，所以点在直线Ax＋3y＋C＝0上，则A×0＋3×＋C＝0，解得C＝－4.
答案：－4
7．经过直线l1：x＋3y＋5＝0和l2：x－2y＋7＝0的交点及点A(2,1)的直线l的方程为________．
解析：由，解得，即直线l1和l2的交点为.又直线l过点A(2,1)，所以直线l的方程为＝，即3x－41y＋35＝0.
答案：3x－41y＋35＝0
8．直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为________．
解析：由题知，直线l1的方程为y＝(x＋2)，因为直线l2与l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－，所以直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立l1与l2的方程得交点坐标是(1，)．
答案：(1，)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解析：(1)由，解得，所以交点为.
因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率为－3，
所以直线l的方程为y＋＝－3，
15x＋5y＋16＝0.
(2)法一：解方程组得P(0,2)．
因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
10．直线l被直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
解析：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，
由题意，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，
且满足，
即，解得，
所以A(－2,5)，B(0，－1)．
因此直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0
D．x＋2y－3＝0
解析：设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0.故选D.
答案：D
12．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝.
答案：
13．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0.
(1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值；
(2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值．
解析：(1)∵直线l1，l2，l3交于一点，∴l1与l2不平行，∴m≠4.
由，得
即l1与l2的交点为
代入l3的方程，得－3m·－4＝0，
解得m＝－1或.
(2)若l1，l2，l3交于一点，则m＝－1或；
若l1∥l2，则m＝4；
若l1∥l3，则m＝－；
若l2∥l3，则不存在满足条件的实数m.
综上，可得m＝－1或或4或－.
14．已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
解析：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得.
所以P′(－2,7)．
(2)法一：联立方程组解得
所以直线l1与l的交点为.
在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2,0)，过点(2,0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2.
设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0，y0)，
则解得
即交点坐标为.
又点(2,0)关于点对称的点的坐标为，
所以过两点，的直线方程为＝，整理，得7x＋y＋22＝0.
则所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
法二：在直线l1上任取一点P(x1，y1)(P∈l1)，设点P关于直线l的对称点为Q(x′，y′)，则
解得
又点P在直线l1上运动，所以x1－y1－2＝0.
所以－－2＝0，
即 7x′＋y′＋22＝0.
所以所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，
由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b.
任取y＝3x＋3上的一点(0,3)，则该点关于点A(3,2)的对称点一定在直线l′上，设其对称点为(x′，y′)．
则解得
代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.
故直线l′的方程为y′＝3x′－17，
即所求直线的方程为3x－y－17＝0.
课时作业19 平面直角坐标系中的距离公式
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2016·西安高新一中月考)点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为( )
A. B.
C. D．2
解析：直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝，选A.
答案：A
2．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为( )
A．10 B．5
C．8 D．6
解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)，所以|AB|＝＝＝10.
答案：A
3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为( )
A．－6或 B．－或1
C．－或 D．0或
解析：＝，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或.
答案：A
4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( )
A．3x－4y＋4＝0
B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0
D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
解析：在直线3x－4y＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则＝3，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
答案：D
5．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( )
A．y＝1
B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0
D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
解析：∵kAB＝＝－2，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，
即：2x＋y－1＝0，又AB的中点C(4,1)，∴PC的方程为y＝1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知A(a,3)，B(－2,5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________．
解析：依题意及两点间的距离公式，得＝13，整理得a2－a－6＝0，解得a＝3或a＝－2.
答案：3或－2
7．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．
解析：设P(a,0)，则有＝6，解得a＝－12或8，∴点P的坐标为(－12,0)或(8,0)．
答案：(－12,0)或(8,0)
8．与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________，
解析：由题意设所求直线方程为7x＋24y＋c＝0，则有＝3，解得c＝70或c＝－80.
答案：7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
解析：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA|＝
＝，
|PB|＝＝，
由|PA|＝|PB|，得＝，解得x＝1，
所以|PA|＝＝2.
10．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．
解析：∵l1∥l2，∴＝≠，
∴或
(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－22或n＝18.
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
l2的方程为2x－4y－1＝0，
∴＝，解得n＝－18或n＝22.
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A．10 B．8
C．6 D．4
解析：实际上就是求原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方．
答案：B
12．平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为______________________．
解析：设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝＝1，
∴c＝3或c＝－7，
即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
答案：3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0
13．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．
(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)由斜率公式，得kBC＝5，
所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋5y＋3＝0.
(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝，BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，
所以点A到直线BC的距离d＝＝，
故S△ABC＝××＝3.
14．已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
解析：(1)①当l的斜率k不存在时显然满足要求，
∴l的方程为x＝2；
②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由点到直线距离公式得＝2，
∴k＝，∴l的方程为3x－4y－10＝0.
故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，
最大距离为＝.
课时作业20 圆的标准方程
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是( )
A.π B．2π
C．2π D．2π
解析：由圆的标准方程可知，其半径为，周长为2π，故选B.
答案：B
2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
解析：把P(m,5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24.所以点P在圆外，故选A.
答案：A
3．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
解析：由圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，易知答案为C.
答案：C
4．圆C：(x－)2＋(y＋)2＝4的面积等于( )
A．π B．2π
C．4π D．8π
解析：由圆C的方程为(x－)2＋(y＋)2＝4，知半径r＝＝2，则圆的面积S＝πr2＝4π.故选C.
答案：C
5．圆心为(2，－3)，一条直径的两端点分别在x轴、y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：利用平面几何知识得
r＝＝.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为________．
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
7．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于第________象限．
解析：(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，故圆心位于第四象限．
答案：四
8．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋.
答案：5＋
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a；
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内，另一点在圆N外，求a的范围．
解析：(1)因为点M(6,9)在圆N上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10，
又a>0，所以a＝.
(2)因为|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，所以310．求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)，B(3，－2)的圆的标准方程．
解析：有两种方法．
方法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
方法二：因为圆过A，B两点，所以圆心一定在AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)，
则解得
即圆心为(2,1)，r＝＝.
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是( )
A．(5,1) B．(4,1)
C．(＋2，－3) D．(3，－2)
解析：点(0，－5)与圆心(2，－3)所在的直线方程为y＝x－5，解方程组
得或，
经检验点(3，－2)符合题意．
答案：D
12．(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2，
所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
13．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解析：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝|AB|＝为半径．
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)解法一：直线AB的斜率k＝＝－3，
则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，
即x－3y＋3＝0.
由，解得，
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.
则?.
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
14．如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱，求支柱CD的长度．(精确到0.01 m)
解析：建立如图所示的直角坐标系，则圆心在y轴上．
设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，
那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
因为P，B都在圆上，所以它们的坐标P(0,4)，B(10,0)都适合圆的方程，
于是得到方程组
解得b＝－10.5，r2＝14.52，
所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.
把点C的横坐标x＝－2代入上述方程，
得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，
于是y＝－10.5
≈14.36－10.5＝3.86，
即CD的长约为3.86 m.
课时作业2 直观图
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°
D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同
解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．
答案：B
2．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )
解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2.
答案：A
3．(2017·太原高一期末)如图所示的用斜二测法画的直观图，其平面图形的面积为( )
A．3 B.
C．6 D．3
解析：该直观图的原图为直角三角形，两条直角边分别为4和3，所以平面图形的面积为×3×4＝6.
答案：C
4．已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )
A．16 B．64
C．16或64 D．以上都不对
解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x′轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y′轴，则正方形的边长为8，面积为64.
答案：C
5．若用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则该圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且长度为10 cm
B．平行于z′轴且长度为5 cm
C．与z′轴成45°且长度为10 cm
D．与z′轴成45°且长度为5 cm
解析：平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．
解析：如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图．
从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝OC＝，
C′D′＝O′C′sin45°＝×＝.
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.
答案：
7．一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为________．
解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为＋1，高为2，故面积为××2＝2＋.
答案：
8．一条边在x轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________．
解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为，故面积为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．
解析：
10．画棱长为2 cm的正方体的直观图．
解析：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm.
(2)过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2 cm.
(3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AC，最短的是AD
解析：由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB答案：B
12．如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是______________________．
解析：由题图可知，△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝，BO＝2.
答案：OD13.
用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB的直观图．
解析：(1)在已知图中，以O为坐标原点，以OB所在的直线及垂直于OB的直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，过点A作AM垂直x轴于点M，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O′，画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上取点B′，M′，使O′B′＝OB，O′M′＝OM，过点M′作M′A′∥y′轴，取M′A′＝MA.连接O′A′，B′A′，如图2.
(3)擦去辅助线，则△O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图．
14．画正六棱柱的直观图．
解析：画法如下：
(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；
(2)画底面：画正六边形的直观图ABCDEF(O′为正六边形的中心)；
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，使AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′；
(4)连线成图：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，F′A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′，如图所示．
课时作业21 圆的一般方程
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，5) B.
C. D.
解析：由(－2)2＋12－4k>0，得k<.
答案：B
2．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，
∴圆心为C(－1,0)．
又所求直线与直线x＋y＝0垂直，
∴所求直线的斜率为1，
故所求直线的方程为y＝x＋1，
即x－y＋1＝0.
答案：A
3．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，那么D，E，F满足( )
A．D≠0，E≠0，F＝0 B．D≠0，E＝0，F＝0
C．D＝0，E≠0，F＝0 D．D＝0，E＝0，F≠0
解析：配方得2＋2＝.
∵圆与x轴相切于原点，
∴
∴
答案：C
4．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
解析：圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案：C
5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B.或
C．2或0 D．－2或0
解析：配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离d＝＝，所以a＝2或0，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________________________．
解析：由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0.
答案：x＋2y＋1＝0
7．已知点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－x＋y－4＝0的外部，则a的取值范围是______________________．
解析：∵点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－x＋y－4＝0的外部，∴(a＋1)2＋(a－1)2－(a＋1)＋a－1－4>0，解得a>或a<－.故a的取值范围是a>或a<－.
答案：a>或a<－
8．若曲线x2＋y2＋a2x＋(1－a2)y－4＝0关于直线y－x＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a＝________.
解析：曲线x2＋y2＋a2x＋(1－a2)y－4＝0表示圆，若它关于直线y－x＝0的对称曲线仍是其本身，则它是圆心在此直线上的圆，而圆心坐标是，则－＝－，解得a＝±.
答案：±
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
解析：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为，
依题意有
即解得
因此圆的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0.
10．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
解析：∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.
联立，解得，即圆心C为(－3,6)，
则半径r＝＝2.
又|AB|＝＝4，
∴圆心C到AB的距离d＝＝4，
∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4＋2，
∴△PAB的面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(2016·全国卷甲)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－
C. D．2
解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－.故选A.
答案：A
12．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________．
解析：将圆的方程配方，得2＋(y＋1)2＝－k2＋1，∵r2＝1－k2≤1，∴rmax＝1，此时k＝0.
故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
答案：x2＋(y＋1)2＝1
13．求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心是，
由题意知，解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
14．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
解析：设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．
由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，
所以x＝，y＝，
于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，
所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，
整理得2＋y2＝.
所以点M的轨迹方程为2＋y2＝.
课时作业22 直线与圆的位置关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2017·扬州竹西中学月考)如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A．P在圆外 B．P在圆上
C．P在圆内 D．P与圆的位置关系不确定
解析：由题意，得<2，
得a2＋b2>4，即点P(a，b)在圆x2＋y2＝4外．
答案：A
2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析：设所求直线为2x＋y＋c＝0，
则＝，解得c＝±5，故选A.
答案：A
3．(2017·江西上高二中月考)过点M(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，且直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是( )
A. B.
C. D.
解析：因为点M(－2,4)在圆C上，设切线为y－4＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋4＝0.
所以d＝＝5，解得k＝.
所以l：y－4＝(x＋2)，即4x－3y＋20＝0.
因为直线l与直线l1平行，
所以－＝，即a＝－4，
所以直线l1的方程是－4x＋3y－8＝0，
即4x－3y＋8＝0.
所以直线l1与直线l间的距离为＝.选D.
答案：D
4．(2017·蚌埠一中月考)若圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆的方程为( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：设圆心(a,0)，由题意，得
＝，得|a|＝5，即a＝±5.
因为圆位于y轴左侧，所以a＝－5.
所以圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
答案：D
5．(2017·甘肃天水市高一期末)已知点P(x，y)满足x2＋y2－2y＝0，则u＝的取值范围是( )
A．
B．(－∞，－]∪[，＋∞)
C.
D.∪
解析：圆x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，
u＝表示圆上的点P(x，y)与A(0，－1)连线的斜率，如图，
由|CD|＝1，|AC|＝2，可得∠CAD＝30°，
则kAD＝，同理kAE＝－，
则u∈(－∞，－]∪[，＋∞)．故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________________．
解析：∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，
∴圆的方程为x2＋y2＝5.
∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－.
由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
7．(2016·全国卷乙)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
答案：4π
8．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线和圆心(2,0)与点(1，)的连线垂直，由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1，)的直线的斜率为＝－，故所求直线的斜率为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知圆C的方程为(x－1)2＋y2＝9，求过M(－2,4)的圆C的切线方程．
解析：因为r＝3，圆心C(1,0)到点M(－2,4)的距离d＝5>r，
所以点M(－2,4)在圆C外，切线有两条．
(1)当切线的斜率存在时，设过点M(－2,4)的圆C的切线方程为y－4＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋4＝0.
由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3，
得＝3.
解得k＝－，代入切线方程得7x＋24y－82＝0.
(2)当切线的斜率不存在时，圆心C(1,0)到直线x＝－2的距离等于半径3，
所以x＝－2也是圆C的切线方程．
综上(1)(2)，所求圆C的切线方程为x＋2＝0或7x＋24y－82＝0.
10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，求圆的方程．
解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意，知直线x＋2y＝0过圆心，
∴a＋2b＝0.①
又点A在圆上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
∵直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，
∴()2＋2＝r2.③
由①②③可得或
故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若过点A(0，－1)的直线l与圆x2＋(y－3)2＝4的圆心的距离为d，则d的取值范围为( )
A． B．
C． D．
解析：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)，半径为2，点A(0，－1)在圆外，则当直线l经过圆心时，d最小，当直线l垂直于点A与圆心的连线时，d最大，即d的最小值为0，最大值为＝4，所以d∈．
答案：A
12．(2017·江西广昌一中月考)已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a等于________．
解析：由题可得＝，得
a＝－1或a＝－－1(舍去)．
答案：－1
13．已知圆M：x2＋y2＋2y－7＝0和点N(0,1)，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1，k2，满足k1k2＝4，求△ABC面积的最大值．
解：(1)圆M：x2＋y2＋2y－7＝0的圆心为M(0，－1)，半径为2，
点N(0,1)在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，
所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则2－r＝|PM|.
因为动圆P经过点N，所以r＝|PN|，|PM|＋|PN|＝2＞|MN|，
所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为2的椭圆．
由a＝，c＝1，得b2＝2－1＝1，
所以曲线E的方程为x2＋＝1.
(Ⅱ)直线BC斜率为0时，不合题意
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC：x＝ty＋m，
联立方程组得
(1＋2t2)y2＋4mty＋2m2－2＝0,
y1＋y2＝－，y1y2＝
又k1k2＝4，知y1y2＝4(x1－1)(x2－1)＝4(ty1＋m－1)(ty2＋m－1)
＝4t2y1y2＋4(m－1)t(y1＋y2)＋4(m－1)2.
代入得(1－4t2)＝4(m－1)＋4(m－1)2
又m≠1，化简得(m＋1)(1－4t2)＝2(－4mt2)＋2(m－1)(1＋2t2)，
解得m＝3，故直线BC过定点(3,0)
由Δ＞0，解得t2＞4，
S△ABC＝·2·|y2－y1|＝
＝＝≤
(当且仅当t2＝时取等号)．
综上，△ABC面积的最大值为.
14．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解析：(1)设圆A的半径为r，
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程x＝－2，
此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0.
∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋2＝r2.
又∵|MN|＝2，r＝2，∴|AQ|＝＝1.
解方程|AQ|＝＝1，得k＝，
∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.
综上所得，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
课时作业23 圆与圆的位置关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是( )
A．相切 B．内含
C．相交 D．相离
解析：因为两圆的圆心距d＝＝10<12－1＝11，所以两圆内含．
答案：B
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．3x－y－9＝0
C．x＋3y＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.
答案：C
3．圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：由题意，得两圆的标准方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝4和(x＋2)2＋(y－2)2＝4，∴圆心距d＝＝5.∵5>2＋2，∴两圆相离，∴公切线有4条．
答案：D
4．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且取得最小面积的圆的方程是( )
A．x2＋y2＋x－y＝0
B．x2＋y2－x＋y＝0
C．x2＋y2＋x－y＋＝0
D．x2＋y2＋x＋y＋＝0
解析：利用圆系方程来求．
答案：C
5．若M＝{(x，y)|x2＋y2≤4)}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )
A．(0，－1] B．(0,1]
C．(0,2－] D．
解析：∵M∩N＝N，∴(x－1)2＋(y－1)2＝r2在x2＋y2＝4的内部．
∴d≤2－r，即≤2－r，∴0答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，∴圆心距d＝＝.∵两圆没有公共点，∴<5－1或>5＋1，解得－24.
答案：(－∞，－4)∪(－2，2)∪(4，＋∞)
7．两圆相交于两点(1,3)，(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋C＝0上，则m＋C的值为________．
解析：由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心的连线，可得＝－1，所以m＝5.又两公共点(1,3)和(5，－1)的中点(3,1)在直线x－y＋C＝0上，所以C＝－2.所以m＋C＝3.
答案：3
8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，求城市B处于危险区内的时间为________h.
解析：如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得|MN|＝20，∴时间为1 h.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；
(2)相交．
解析：将两圆方程写成标准方程．
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为
C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
(2)当110．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．
解析：由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理，得方程3x－4y＋6＝0，又由于方程3x－4y＋6＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x－4y＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，故3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在的直线方程．
∵圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，
∴圆心为C1(－1,3)，半径r＝3，
∴圆心C1到直线AB的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝.
∴AB所在的直线方程为3x－4y＋6＝0，公共弦AB的长为.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过( )
A．2.4米 B．3米
C．3.6米 D．2.0米
解析：以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示坐标系．
由半圆的半径为可知，半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝10(y≥0)，
由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高．
此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，
得y＝3(负值舍去)．
故选B.
答案：B
12．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________．
解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，
即a2＋b2>3＋2.
答案：a2＋b2>3＋2
13．求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解析：由题意，设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，
圆心为.
由题意，得－＋－4＝0，
∴λ＝－7.
∴所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.
14．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆相切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，
为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，
解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
课时作业24 空间直角坐标系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．点A(－3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是( )
A. B.
C．(－2,3,5) D.
解析：所求中点坐标为，即.
答案：B
2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标，z坐标分别相等，∴Q(0，，)．
答案：B
3．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．
∴a＝，b＝，c＝5.
答案：C
4．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )
A．(0,0,6) B．(6,0,1)
C．(6,0,0) D．(0,6,0)
解析：设P(x,0,0)，|PA|＝，|PB|＝，由|PA|＝|PB|，得x＝6.
答案：C
5．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点距离的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：|AB|＝＝＝≥.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．
解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．
答案：(a，b，c)
7．已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
解析：点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．
答案：(2，－3,1)
8．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．
解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点O，设D(x，y，z)，
则＝，4＝，－1＝，
∴x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)．
答案：(5,13，－3)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，M，N分别为AB，BC的中点，以O为原点，射线OM，ON，OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求A，B，C，D，E，F的坐标．
解析：∵正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，
∴OB＝，OP＝＝＝2，
∴由上可得A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0,2)．
又∵E，F分别为PA，PB的中点，
∴由中点坐标公式可得E，F.
10．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长．
解析：以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2，∴N(1,0,1)，M.
由两点间的距离公式，得
|MN|＝＝，
∴MN的长为.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．三棱锥O－ABC中，O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,3)此三棱锥的体积为( )
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：OA，OB，OC两两垂直，VO－ABC＝··1·2·3＝1.
答案：A
12．已知点P到线段AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.
解析：由中点坐标公式，得线段AB中点的坐标为.又点P到线段AB中点的距离为3，所以＝3，
解得z＝0或z＝－4.
答案：0或－4
13．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
解析：由题意，得点B与点A关于xOz平面对称，
故点B的坐标为(－2,3，－1)；
点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；
点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)；
由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，
故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．
14．已知三点A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解析：AB＝
＝，
AC＝
＝，
BC＝
＝，
因为BC>AB，所以，若A，B，C三点共线，有BC＝AC＋AB或AC＝BC＋AB，
若BC＝AC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，
此方程无解；
若AC＝BC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程也无解．
所以不存在实数a，使A、B、C共线．
课时作业3 三视图
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
解析：本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A，B，C，都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．
答案：D
2．如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为( )
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．
A．④③② B．①③②
C．①②③ D．④②③
解析：由于甲中的俯视图是圆，则甲对应的几何体是旋转体，又主视图和左视图均是矩形，所以该几何体是圆柱；易知乙对应的几何体是三棱锥；由丙中的俯视图，可知丙对应的几何体是旋转体，又主视图和左视图均是三角形，所以该几何体是圆锥．
答案：A
3．(2016·河北名师俱乐部3月模拟)某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则( )
A．3∈A B．5∈A
C．2∈A D．4∈A
解析：由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的长为4，BF的长为2，EF的长为2，EC的长为4，故选D.
答案：D
4．如图为某组合体的三视图，则俯视图中的长和宽分别为( )
A．10,4 B．10,8
C．8,4 D．10,5
解析：根据三视图中的“主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等”，可知俯视图的长和主视图的长相等，为2＋6＋2＝10，俯视图的宽与左视图的宽相等，为1＋2＋1＝4，所以选A.
答案：A
5．(2016·东北四市联考(二))如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P－A1B1A的侧视图为( )
解析：如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P－A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．桌上放着一个半球，如图所示，则在它的三视图及右面看到的图形中，有三个图相同，这个不同的图应该是________．
解析：俯视图为圆，主视图与左视图均为半圆．
答案：俯视图
7.
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，高为3，则其左视图的面积为________．
解析：由三视图的画法可知，该几何体的左视图是一个矩形，其底面边长为2sin60°＝，高为3，∴面积S＝3.
答案：3
8．(2016·山东安丘市高二上期末)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧视图的面积是________．
解析：
根据三视图可知该几何体是一个四棱锥，其底面是正方形，侧棱相等，所以这是一个正四棱锥．其侧视图与正视图是完全一样的正三角形．故其面积为×22＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.
试画出如图所示的正四棱台的三视图．
解析：如图．
10．根据图中的三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．
解析：由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由上面一个正四棱台和下面一个正方体组合而成的，它的实物草图如图所示．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(2016·广东省台山市华侨中学高二上期末)定义：底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱．将正三棱柱截去一个角(如图1所示，M，N分别是AB，BC的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为( )
解析：N的投影是C，M的投影是AC的中点．对照各图．选D.
答案：D
12．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．
答案：①②③⑤
13．如图所示，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和它的主视图和左视图(单位：cm)．请在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．
解析：依据三视图的绘图原则，可作出该几何体的俯视图如图．
14．某建筑由相同的若干房间组成，该楼房的三视图如图所示，问：
(1)该楼房有几层？从前往后最多要经过几个房间？
(2)最高一层的房间在什么位置？请画出此楼房的大致形状．
解析：(1)由主视图和左视图可以知道，该楼房有3层；由俯视图知道，从前往后最多要经过3个房间；
(2)从主视图和左视图可以知道，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间．楼房大致形状如图所示．
课时作业4 公理1、公理2、公理3及应用
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )
A．P?l?α B．P∈l∈α
C．P?l∈α D．P∈l?α
解析：直线和平面可看作点的集合，点是基本元素．故选D.
答案：D
2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
解析：若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a、b异面矛盾，其余情况均有可能．
答案：C
3．(2017·安庆市石化一中高二上期中)若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )
A．a平行于α内的所有直线
B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等
D．α内存在无数条直线与a成90°角
解析：因为直线a平行于平面α，所以a与平面α内的直线平行或异面，故A错误；α内有无数条直线与a平行，故B正确；直线a上的点到平面α的距离相等，故C正确；α内存在无数条直线与a成90°角，故D正确．故选A.
答案：A
4．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．可能相交、平行、也可能异面
解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．
答案：D
5．(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
解析：由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设平面α与平面β相交于直线l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________．
解析：因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.
答案：M∈l
7．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．
解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．
答案：0
8.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．
答案：③④
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．完成下列各题：
(1)将下列文字语言转换为符号语言．
①点A在平面α内，但不在平面β内；
②直线a经过平面α外一点M；
③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．
(2)将下列符号语言转换为图形语言．
①a?α，b∩α＝A，A?a；
②α∩β＝c，a?α，b?β，a∥c，b∩c＝P.
解析：(1)①A∈α，A?β.
②M∈a，M?α.
③α∩β＝l.
(2)①
②
10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
解析：(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC?平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．下列说法中正确的个数是( )
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①中，交线也可能是1条；②a也可能在过b的平面内；③中a不平行于平面α，则a可能在平面α内，平面α内有与a平行的直线；④中，a可能在β内．故四个命题都是错误的，选A.
答案：A
12．如图所示，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
解析：图(1)中，直线GH∥MN；
图(2)中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图(3)中，连接MG，HN，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图(4)中，G，M，N共面，
但H?平面GMN，因此GH与MN异面．
所以图(2)，(4)中GH与MN异面．
答案：(2)(4)
13．求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内．
证明：(1)如图所示，设直线a、b、c相交于点O，直线d和a、b、c分别相交于A、B、C三点，直线d和点O确定平面α，由O∈平面α，A∈平面α，O∈直线a，A∈直线a，知直线a?平面α.同理，b?平面α，c?平面α，故直线a、b、c、d共面于α.
(2)如图所示，设直线a、b、c、d两两相交，且任何三线不共点，交点分别是M、N、P、Q、R、G.
由直线a∩b＝M，知直线a和b确定平面α.由a∩c＝N，b∩c＝Q，知点N、Q都在平面α内．
故cα，同理可证dα.所以直线a、b、c、d共面于α.
由(1)(2)可知，两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内．
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
证明：连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，F为AA1的中点，
所以EF綊A1B.
又因为A1B綊D1C，
所以EF綊D1C，
所以E，F，D1，C四点共面，
可设D1F∩CE＝P.
又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以据公理3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．
课时作业5 公理4及定理
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
解析：a与c不可能平行，否则由a∥b，得b∥c与b∩c＝A矛盾．故选D.
答案：D
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析：在空间中两角相等，角的两边不一定平行，即定理的逆命题不一定成立．故选D.
答案：D
3．(2017·安徽宿州十三校联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1的所有面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60°的有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：
如图，△AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，所有与B1C平行或与AC平行的直线都与AB1成60°角．所以异面的有2条．
又△AB1D1也是等边三角形，同理满足条件的又有2条，共4条，选D.
答案：D
4．如图，在四面体S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
解析：连接SG1，SG2并延长，分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，则M，N分别为AB，AC的中点，由重心的性质，知＝，∴G1G2∥MN.又M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC，再由平行公理可得G1G2∥BC，故选B.
答案：B
5．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．不共面的四点可以确定________个平面．
解析：任何三点都可以确定一个平面，从而可以确定4个平面．
答案：4
7．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________．
①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．
解析：
(注：这儿画了其中的特例来说明有这几种图形)
答案：①②③④
8．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是________．
解析：因为B1B∥A1A，所以∠BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角，连接BD.
在Rt△B1BD中，设棱长为1，则B1D＝.
cos∠BB1D＝＝＝.
所以AA1与B1D所成的角的余弦值为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，
所以PN∥BC.①
又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，
所以A1M綊NC.
所以四边形A1NCM为平行四边形，
于是A1N∥MC.②
由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
解析：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，
易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(2017·江西师大附中月考)已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60°角的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：把a平移至a′与b相交，其夹角为60°.
60°角的补角的平分线c与a、b成60°角．
过空间这一点作直线c的平行线即满足条件．
又在60°角的“平分面”上还有两条满足条件，选C.
答案：C
12．(2017·江西新余一中月考)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．
解析：EH＝3，FG＝6×＝4，
设EH，FG间的距离为h，
则S梯形EFGH＝＝28，得h＝8 (cm)．
答案：8 cm
13．在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1)EF綊E1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：(1)连接BD，B1D1，
在△ABD中，
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF綊BD.
同理，E1F1綊B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为A1A綊B1B，A1A綊D1D，所以B1B綊D1D.
所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD綊B1D1.
所以EF綊E1F1.
(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M.
因为MF1綊B1C1，B1C1綊BC，所以MF1綊BC.
所以四边形BCF1M是平行四边形．所以MB∥CF1.
因为A1M綊EB，所以四边形EBMA1是平行四边形．
所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1.
同理可证：A1F∥E1C.又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反，
所以∠EA1F＝∠E1CF1.
14．如图，P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE∥AC，DE＝AC.
证明：如图，连接PD，PE并延长分别交AB，BC于M，N.
因为D，E分别是△PAB，△PBC的重心，所以M，N分别是AB，BC的中点，连接MN，则MN∥AC，且MN＝AC.①
在△PMN中，因为＝＝，
所以DE∥MN，且DE＝MN.②
由①，②，根据公理4，得：
DE∥AC，且DE＝×AC＝AC.
课时作业6 平行关系的判定
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.
答案：D
2．使平面α∥平面β的一个条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，aα，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
D．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内的两条直线
解析：A，B，C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.
答案：D
3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1E与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．
答案：A
4．已知A，B是直线l外的两点，则过A，B且和l平行的平面有( )
A．0个
B．1个
C．无数个
D．以上都有可能
解析：若直线AB与l相交，则过A，B不存在与l平行的平面；若AB与l异面，则过A，B存在1个与l平行的平面；若AB与l平行，则过A，B存在无数个与l平行的平面，所以选D.
答案：D
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．不存在 B．有1条
C．有2条 D．有无数条
解析：在AA1上取一点G，使得AG＝AA1，连接EG，DG，可证得EG∥D1F，所以E，G，D1，F四点共面，所以在平面ADD1A1内，平行于D1G的直线均平行于平面D1EF，这样的直线有无数条．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如果直线a，b相交，直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．
解析：根据线面位置关系的定义，可知直线b与平面α的位置关系是相交或平行．
答案：相交或平行
7．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
解析：由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.
又∵BC平面ABC，EF平面ABC，∴EF∥平面ABC.
同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
答案：平行
8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．
解析：
如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH为过点G且与平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.
答案：12
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．(2017·赣州博雅高中月考)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点．判断直线A1B与平面ADC1的关系．
解析：A1B∥平面ADC1，证明如下：
如图，连接A1C交AC1于F，
则F为A1C的中点．连接FD.
因为D是BC的中点，
所以DF∥A1B.
又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1.
10．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
证明：(1)因为B1B綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD，又BD?平面B1D1C，
B1D1?平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.
同理A1D∥平面B1D1C.
又A1D∩BD＝D，
所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.
取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，
又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，
所以B1E∥AG.易得GF∥AD.
又因为GF＝AD，
所以四边形ADFG是平行四边形，
所以AG∥DF，所以B1E∥DF，
DF?平面EB1D1，B1E?平面EB1D1
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.
|能力提升|(20分钟，40分)
11.
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE：EB＝AF：FD＝1：4，H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
解析：由题意，知EF∥BD，且EF＝BD，HG∥BD，且HG＝BD，∴EF∥HG，且EF≠HG，∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，EH与平面ADC不平行，故选B.
答案：B
12．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)
解析：①中连接点A与点B上面的顶点，记为C，则易证平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均与平面MNP相交．
答案：①④
13.
(2016·全国卷丙)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求四面体N－BCM的体积．
解析：(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，
由N为PC中点知TN∥BC，
TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，
所以四边形AMNT为平行四边形，
于是MN∥AT.
因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA.
如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距离为，
故S△BCM＝×4×＝2.
所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝×S△BCM×＝.
14．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
(1)求证：BE∥平面MDF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.
课时作业7 平行关系的性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.
如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行和异面
解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
∴AB∥GH.
答案：A
2．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a?α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.
其中正确的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对．
答案：A
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE：EA＝BF：FC，且DH：HA＝DG：GC
D．AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC
解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC.
答案：D
4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
解析：当直线a平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.
答案：A
5．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为( )
A．16和12 B．15和13
C．17和11 D．18和10
解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，
∴x2－81＝(28－x)2－25，
∴x＝15,28－x＝13.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8,12，过AB的中点E作平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．
解析：截面四边形为平行四边形，则l＝2×(4＋6)＝20.
答案：20
7．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四边上的点，且它们共面，AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH为菱形时，AE?EB＝________.
解析：因为AC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝EF，AC平面ABC，所以EF∥AC，所以＝ ①.同理可证＝ ②.又四边形EFGH是菱形，所以EF＝EH，由①②，得＝.又AC＝m，BD＝n，所以＝.
答案：m?n
8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.
解析：由线面平行的性质知MN∥PQ∥AC，所以＝，又AC＝a，
所以PQ＝a.
答案：a
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.
已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.
证明：因为EH∥FG，EH?平面BCD，
FG?平面BCD，
所以EH∥平面BCD，
又因为EH?平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，
所以EH∥BD.
10.
如图，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
解析：(1)证明：因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，BC平面PBC，
所以l∥BC.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE綊AM.
所以四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE.
又因为AE平面PAD，MN平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
解析：
如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.
则CE∥AA′，∴CE∥α.
C′E∥BB′，∴C′E∥β.
又∵α∥β，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E.
∴平面CC′E∥平面α.
∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．
答案：D
12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为________．
解析：因为平面α∥平面BC1E，
所以A1F綊BE，
所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E，
所以FA＝B1E＝1.
答案：1
13．平面内两正方形ABCD与ABEF，点M，N分别在对角线AC，FB上，且AM?MC＝FN?NB，沿AB折起，使得∠DAF＝90°.
(1)证明：折叠后MN∥平面CBE；
(2)若AM：MC＝2：3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN∥平面CBE？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
解析：(1)证明：如图，设直线AN与直线BE交于点H，连接CH，
因为△ANF∽△HNB，所以＝.
又＝，所以＝，所以MN∥CH.
又MN?平面CBE，CH?平面CBE，
所以MN∥平面CBE.
(2)存在，过M作MG⊥AB，垂足为G，连接GN，则MG∥BC，MG?平面CBE，BC?平面CBE，所以MG∥平面CBE.
又MN∥平面CBE，MG∩MN＝M，所以平面MGN∥平面CBE.
所以点G在线段AB上，且AG：GB＝AM：MC＝2：3.
14.
如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
解析：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，AB?平面EFGH，EF?平面EFGH.
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0∴＝，则＝＝＝1－.
∴FG＝6－x.
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0∴四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
课时作业8 直线与平面垂直的判定
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知直线l⊥α，α∥β，则( )
A．l∥β B．lβ
C．l⊥β D．以上均有可能
解析：由于α∥β，则平面β内存在两条相交直线m，n分别平行于平面α内两条相交直线a，b，又l⊥α，则l⊥a，l⊥b，所以l⊥m，l⊥n，所以l⊥β.
答案：C
2．已知直线a、b和平面α，下列推理中错误的是( )
A.?a⊥b B.?b⊥α
C.?a∥α或aα D.?a∥b
解析：当a∥α，b∥α时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误．故选D.
答案：D
3．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．AC1⊥BD1
解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；
由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；
从而BD⊥AC1，即选项B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，
所以AC1⊥BD1不正确．选D.
答案：D
4．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中错误的个数是( )
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由于BD∥B1D1，故①正确；由于BD⊥AC，BD⊥CC1，故BD⊥平面ACC1，故BD⊥AC1，故②正确；同理AC1 ⊥B1D1，AC1⊥B1C，故AC1⊥平面CB1D1，故①②③全正确．选A.
答案：A
5．(2017·淮安一中月考)在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．BC⊥平面PAE
C．DF⊥平面PAE D．AE⊥平面APC
解析：因为D，F分别为AB，AC的中点，
所以DF∥BC，故BC∥平面PDF，故A项正确．
又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC，PE⊥BC，所以BC⊥平面PAE，
又DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故B、C项正确．
由于AE与AP不垂直(否则，等腰三角形PAE将有两个直角)，故AE与平面APC不垂直．选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在三棱锥P－ABC中，最多有________个直角三角形．
解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．
答案：4
7．有下列四种说法，正确的序号是________．
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.
解析：①正确；对于②，若直线nα，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，只有a，b相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．
答案：①
8．已知点O为三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的________心．
解析：因为PA＝PB＝PC，
所以OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；
若PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，
所以BC⊥PO.
所以BC⊥平面PAO.
所以BC⊥AO.
同理AC⊥OB.
所以O是△ABC的垂心．
若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．
答案：外 垂 内
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.
证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，
∴底面ABCD为直角梯形，
AD＝＝.
∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.
又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，
∴SD⊥SA.
连接BD，则BD＝＝，∴BD2＝SD2＋SB2，
∴SD⊥SB.
又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.
10．S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，
在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，
∴DE∥BC，∴DE⊥AB，
∵SA＝SB，
∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.
又SE∩DE＝E，
∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.
在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.
(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，
由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴SD⊥BD，
又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(2017·太原五中高二月考)已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D．4
解析：假设在BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，
连接AQ(图略)，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD，
又由于PQ⊥QD，所以QD⊥平面APQ，
则QD⊥AQ，
即∠AQD＝90°，
易得△ABQ∽△QCD，
设BQ＝x，
所以有x(a－x)＝8，
即x2－ax＋8＝0，(*)
所以当Δ＝a2－32≥0时，(*)方程有解，
因此，当a≥4时，存在符合条件的点Q，
所以a的最小值是4，故选D.
答案：D
12．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．
解析：tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°.
答案：30°
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为CC1中点，O为底面ABCD的中心．
求证：A1O⊥平面GBD.
证明：连接GO，A1G.
∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC＝A，
∴DB⊥平面A1ACC1，
而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB.
在矩形A1ACC1中，设A1A＝1，
∵tan∠AA1O＝，tan∠GOC＝，
∴∠AA1O＝∠GOC，则∠A1OA＋∠GOC＝90°，
∴A1O⊥OG.∵OG∩DB＝O，
∴A1O⊥平面GBD.
14．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：(1)因为AB为⊙O的直径，
所以AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
又因为PA∩AM＝A，
所以BM⊥平面PAM.
又AN平面PAM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB平面PBM，所以AN⊥PB.
又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
所以PB⊥平面ANQ.
又NQ平面ANQ，所以PB⊥NQ.
课时作业9 平面与平面垂直的判定
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )
A．平面ABD⊥平面BDC
B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC
D．平面ABC⊥平面BED
解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC?平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．
答案：D
2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是________．
①三角形的两边
②梯形的两边
③圆的两条直径
④正六边形的两条边
A．①③ B．②
C．②④ D．①②③
解析：由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交，也可能直线在平面内．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直，故选A.
答案：A
3.
如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.
答案：A
4．(2017·马鞍山四校联考)对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：
①若m∥α，n⊥m，则n⊥α；②若m⊥α，n⊥m，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④若m⊥α，mβ，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①中n与α位置关系不确定；②中n可能在α内；③中α与γ位置关系不确定；由面面垂直的判定定理可知④正确．故选A.
答案：A
5．如图长方体中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：取BD的中点O，连接CO，C1O.由AB＝AD＝2，得CO⊥BD，且CO＝BD＝.
又C1B＝C1D，所以C1O⊥BD，
则∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角．
在Rt△C1CO中，OC＝，CC1＝，
则tan∠C1OC＝，所以∠C1OC＝30°.故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD与平面PAC的位置关系是______________．
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.
答案：平面PBD⊥平面PAC
7．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的大小为________．
解析：如图，设S在底面内的射影为O，
取AB的中点M，
连接OM，SM，
则∠SMO为所求二面角的平面角，
在Rt△SOM中，
OM＝AD＝1，
SM＝＝，
所以cos∠SMO＝＝，
所以∠SMO＝45°.
答案：45°
8．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若aα，bβ，cβ，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，bβ，a∥b，则α⊥β.
其中正确的命题是________(填序号)．
解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．
答案：③
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.
(2017·蚌埠一中高二期中)如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B，A′C，P为A′C的中点．
(1)求证：EP∥平面A′FB；
(2)求证：平面A′EC⊥平面A′BC.
证明：(1)因为E，P分别为AC，A′C的中点，
所以EP∥A′A，又A′A?平面AA′B，
而EP?平面AA′B，
所以EP∥平面AA′B，即EP∥平面A′FB.
(2)因为E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，所以EF∥BC.因为BC⊥AC，所以EF⊥AE，
故EF⊥A′E，所以BC⊥A′E.
而A′E与AC相交，所以BC⊥平面A′EC.
又BC?平面A′BC，所以平面A′EC⊥平面A′BC.
10．(2016·北京卷节选)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为
( )
A．60°
B．30°
C．45°
D．15°
解析：易得BC⊥平面PAC，所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角，在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故选C.
答案：C
12.
如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
解析：取BC中点M，则AM⊥BC，
由题意得AM⊥平面BDC，
∴△AMD为直角三角形，
AM＝MD＝a.
∴AD＝a×＝a.
答案：a
13．(2016·石家庄市第一次模考)在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′－ABD.
(1)当C′D＝时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；
(2)当AC′⊥BD时，求三棱锥C′－ABD的高．
解析：(1)证明：当C′D＝时，取AB的中点O，连接C′O，DO，
在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，则C′O＝DO＝1，
∵C′D＝，∴C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，
又C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD?平面ABD，
∴C′O⊥平面ABD，
∵C′O?平面ABC′，
∴平面C′AB⊥平面DAB.
(2)当AC′⊥BD时，由已知AC′⊥BC′，BD∩BC′＝B，
∴AC′⊥平面BDC′，
∵C′D?平面BDC′，∴AC′⊥C′D，△AC′D为直角三角形，
由勾股定理，C′D＝＝＝1，
而△BDC′中，BD＝1，BC′＝，
∴△BDC′为直角三角形，S△BDC′＝×1×1＝.
三棱锥C′－ABD的体积V＝×S△BDC′×AC′＝××＝.
S△ABD＝×1×＝，设三棱锥C′－ABD的高为h，则由×h×＝，解得h＝.
14.
如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.
(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；
(2)求二面角P－AD－E的大小．
解析：(1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE.
又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.
又PE?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAD.
(2)如题图，取AD的中点F，连接PF，EF，
则PF⊥AD，EF⊥AD，
∴∠PFE就是二面角P－AD－E的平面角，
又PE⊥平面PAD，∴PE⊥PF.
∵EF＝AB＝，PF＝＝1，
∴cos∠PFE＝＝.
∴二面角P－AD－E的大小为45°.
