1.2 余弦定理
课后篇巩固探究
A组
1.在△ABC中,已知a=2,b=3,cos
C=,则边c长为
( )
A.2
B.3
C.
D.
解析:因为c2=a2+b2-2abcos
C=22+32-2×2×3×=9,所以c=3.
答案:B
2.在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则三角形的形状为
( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
解析:因为在△ABC中,C=60°,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcos
C=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选C.
答案:C
3.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则△ABC的最大内角为( )
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
解析:由已知得,c2=a2+b2+ab,所以c>a,c>b,故C为最大内角.由cos
C==-,得C=150°,故选D.
答案:D
4.在△ABC中,若a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的直径为( )
A.4
B.6
C.5
D.6
解析:因为S△ABC=acsin
B=·c·sin
45°=c=2,
所以c=4.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos
B=1+32-2×1×4=25,所以b=5.
所以△ABC外接圆直径2R==5.
答案:C
5.已知在△ABC中,a比b大2,b比c大2,最大角的正弦值是,则△ABC的面积是( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为a=b+2,b=c+2,所以a=c+4,A为最大角,所以sin
A=.
又A>B>C,所以A=120°,
所以cos
A=-,即=-,
所以(c+2)2+c2-(c+4)2=-c(c+2),解得c=3.
所以a=7,b=5,c=3,A=120°.
S△ABC=bcsin
A=×5×3×.
答案:A
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cos
B=,则c= .
解析:因为cos
B=,由余弦定理得42=a2+(2a)2-2a×2a×,解得a=2,所以c=4.
答案:4
7.设△ABC的内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4bc,则sin
A的值为 .
解析:由已知得b2+c2-a2=bc,于是cos
A=,从而sin
A=.
答案:
8.已知在△ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则= .
解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,
则=ca·cos
B=ca·
=(a2+c2-b2)=(52+72-62)=19.
答案:19
9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos
B=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解(1)由b2=a2+c2-2accos
B,
得b2=(a+c)2-2ac(1+cos
B),又b=2,a+c=6,cos
B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.
(2)在△ABC中,sin
B=,
由正弦定理得sin
A=.
因为a=c,所以A为锐角,
所以cos
A=.
因此sin(A-B)=sin
Acos
B-cos
Asin
B=.
10.已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sin
A-cos
A,1-sin
A),q=(2+2sin
A,sin
A+cos
A),p与q是共线向量,且≤A≤.
(1)求角A的大小;
(2)若sin
C=2sin
B,且a=,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解(1)因为p∥q,所以(sin
A-cos
A)(sin
A+cos
A)-2(1-sin
A)(1+sin
A)=-cos
2A-2cos2A=0,所以1+2cos
2A=0,所以cos
2A=-.
因为≤A≤,所以≤2A≤π,所以2A=,所以A=.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
由cos
A=,a=及余弦定理得b2+c2-bc=3.
又sin
C=2sin
B,由正弦定理得c=2b.
联立可得解得
所以a2+b2=()2+12=4=c2,所以△ABC是直角三角形.
B组
1.在△ABC中,若△ABC的面积S=(a2+b2-c2),则C=( )
A.
B.
C.
D.
解析:由S=(a2+b2-c2),得absin
C=×2abcos
C,
所以tan
C=1,又C∈(0,π),所以C=.
答案:A
2.在△ABC中,若sin
A-sin
A·cos
C=cos
Asin
C,则△ABC的形状是( )
A.正三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
解析:由正弦定理、余弦定理,知sin
A-sin
Acos
C=cos
Asin
C可化为a·c,整理,得a=b,所以△ABC是等腰三角形,选B.
答案:B
3.已知△ABC各角的对边分别为a,b,c,满足≥1,则角A的范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:将不等式≥1两边同乘以(a+c)(a+b)整理得,b2+c2-a2≥bc,所以cos
A=,所以0
答案:A
4.在△ABC中,若边长和内角满足a2-b2=bc,=2,则A= .
解析:因为=2,
所以c=2b.
又a2-b2=bc,所以cos
A=,又A∈(0,π),所以A=.
答案:
5.已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对边分别为a=3,b=4,c=6,则bccos
A+accos
B+abcos
C的值为 .
解析:bccos
A+accos
B+abcos
C
=bc·+ac·+ab·
=(b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2)
=(a2+b2+c2)=.
答案:
6.已知点O是△ABC的重心,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a·+b·c·=0,则角C的大小是 .
解析:因为点O是△ABC的重心,所以=0,
又因为2a·+b·c·=0,所以2a=b=c=k(k>0),从而a=,b=k,c=k,由余弦定理得cos
C=,又因为C∈(0,π),所以C=,所以角C的大小是.
答案:
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan
C=3.
(1)求cos
C的值;
(2)若,且a+b=9,求c.
解(1)因为tan
C=3,所以=3,
又因为sin2C+cos2C=1,解得cos
C=±,
由tan
C>0知,C为锐角,所以cos
C=.
(2)由,得abcos
C=,即ab=20.
又因为a+b=9,则a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41.
由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos
C=41-2×20×=36,故c=6.
8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
解(1)由余弦定理知,cos
B=,cos
C=.
将上式代入=-,得=-,整理得a2+c2-b2=-ac.
所以cos
B==-=-.
因为B为三角形的内角,所以B=.
(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accos
B,即b2=(a+c)2-2ac-2accos
B得,
13=16-2ac,所以ac=3.
所以S△ABC=acsin
B=.1.1 正弦定理
课后篇巩固探究
A组
1.在△ABC中,若,则B的值为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析:因为,所以,
所以cos
B=sin
B,从而tan
B=1,
又0°答案:B
2.在△ABC中,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由已知得A=75°,所以B最小,故最短边是b.
由,得b=.
答案:A
3.在△ABC中,若b=8,c=8,S△ABC=16,则A等于
( )
A.30°
B.60°
C.30°或150°
D.60°或120°
解析:由三角形面积公式得×8×8·sin
A=16,
于是sin
A=,所以A=30°或A=150°.
答案:C
4.下列条件判断三角形解的情况,正确的是( )
A.a=8,b=16,A=30°有两解
B.b=9,c=20,B=60°有一解
C.a=15,b=2,A=90°无解
D.a=30,b=25,A=150°有一解
解析:对于A,sin
B=sin
A=1,所以B=90°,有一解;
对于B,sin
C=sin
B=>1,所以无解;
对于C,sin
B=sin
A=<1,
又A=90°,所以有一解;
对于D,sin
B=sin
A=<1,又A=150°,
所以有一解.
答案:D
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A∶B=1∶2,且a∶b=1∶,则cos
2B的值是( )
A.-
B.
C.-
D.
解析:由已知得,所以cos
A=,解得A=30°,B=60°,所以cos
2B=cos
120°=-.
答案:A
6.在△ABC中,若a=,A=45°,则△ABC的外接圆半径为 .
解析:因为2R==2,所以R=1.
答案:1
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B= .
解析:由正弦定理得,即,解得sin
B=,又因为b>a,所以B=或B=.
答案:
8.在△ABC中,若sin
A=2sin
Bcos
C,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC的形状是 .
解析:由sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理,
得a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形,且A=90°,
所以B+C=90°,B=90°-C,所以sin
B=cos
C.
由sin
A=2sin
Bcos
C,可得1=2sin2B,
所以sin2B=,sin
B=,所以B=45°,C=45°.
所以△ABC为等腰直角三角形.
答案:等腰直角三角形
9.在△ABC中,sin(C-A)=1,sin
B=.
(1)求sin
A的值;
(2)设AC=,求△ABC的面积.
解(1)由sin(C-A)=1,-π又A+B+C=π,所以2A+B=,
即2A=-B,0故cos
2A=sin
B,即1-2sin2A=,sin
A=.
(2)由(1)得cos
A=,sin
C=sin=cos
A.
又由正弦定理,得,BC==3,
所以S△ABC=AC·BC·sin
C
=AC·BC·cos
A=3.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列.
(1)求cos
B的值;
(2)边a,b,c成等比数列,求sin
Asin
C的值.
解(1)因为角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.
又A+B+C=π,所以B=,所以cos
B=.
(2)因为边a,b,c成等比数列,
所以b2=ac,根据正弦定理得sin2B=sin
Asin
C,
所以sin
Asin
C=sin2B=.
B组
1.已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是( )
A.x>2
B.x<2
C.2D.2解析:由题设条件可知解得2答案:C
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为( )
A.
B.
C.1
D.
解析:因为3a=2b,所以b=a.
由正弦定理可知.
答案:D
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+,则C=( )
A.
B.
C.π
D.
解析:由1+,从而cos
A=,所以A=,由正弦定理得,解得sin
C=,又C∈(0,π),所以C=或C=(舍去),选B.
答案:B
4.设a,b,c三边分别是△ABC中三个内角A,B,C所对应的边,则直线xsin(π-A)+ay+c=0与bx-ycos+sin
C=0的位置关系是( )
A.平行
B.重合
C.垂直
D.相交但不垂直
解析:由已知得k1=-,k2=,因为,所以k1·k2=-=-=-1,所以两直线垂直,故选C.
答案:C
5.已知在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,则的取值范围是 .
解析:在锐角三角形ABC中,A,B,C均小于90°,
所以所以30°由正弦定理得=2cos
B∈(),
故的取值范围是().
答案:()
6.在△ABC中,已知sin
B·sin
C=cos2,A=120°,a=12,则△ABC的面积为 .
解析:因为sin
B·sin
C=cos2,所以sin
B·sin
C=,所以2sin
Bsin
C=cos
A+1.
又因为A+B+C=π,所以cos
A=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-cos
B·cos
C+sin
B·sin
C,
所以2sin
Bsin
C=-cos
B·cos
C+sin
B·sin
C+1,
所以cos
B·cos
C+sin
B·sin
C=cos(B-C)=1.
因为B,C为△ABC的内角,所以B=C.
因为A=120°,所以B=C=30°.
由正弦定理得,b==4,
所以S△ABC=absin
C=×12×4=12.
答案:12
7.△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=b(b+c),求证:A=2B.
证明由已知及正弦定理得,sin2A=sin2B+sin
B·sin
C,
因为A+B+C=π,所以sin
C=sin(A+B),
所以sin2A=sin2B+sin
B·sin(A+B),
所以sin2A-sin2B=sin
B·sin(A+B).
因为sin2A-sin2B=sin2A(sin2B+cos2B)-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2Acos2B-cos2Asin2B
=(sin
Acos
B+cos
Asin
B)(sin
Acos
B-cos
Asin
B)
=sin(A+B)·sin(A-B),
所以sin(A+B)·sin(A-B)=sin
B·sin(A+B).
因为A,B,C为△ABC的三个内角,所以sin(A+B)≠0,
所以sin(A-B)=sin
B,所以只能有A-B=B,即A=2B.
8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知cos
B=,
(1)判断△ABC的形状;
(2)若sin
B=,b=3,求△ABC的面积.
解(1)因为cos
B=,
所以cos
B=,所以sin
A=2cos
Bsin
C.
又sin
A=sin
[π-(B+C)]
=sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C,
所以sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=2cos
Bsin
C.
所以sin
Bcos
C-cos
Bsin
C=sin(B-C)=0.
所以在△ABC中,B=C,所以△ABC为等腰三角形.
(2)因为C=B,所以0因为sin
B=,所以cos
B=.
所以sin
A=sin
[π-(B+C)]=sin(B+C)
=sin
2B=2sin
Bcos
B=,
所以S△ABC=bcsin
A=×3×3×=3.§2 三角形中的几何计算
课后篇巩固探究
1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=,则角B的平分线的长是( )
A.
B.2
C.1
D.
解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=,由正弦定理可知BD=1.
答案:C
2.在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos
B,
即7=AB2+4-2×2×AB×.
整理得AB2-2AB-3=0.
解得AB=3或AB=-1(舍去).
故BC边上的高AD=AB·sin
B=3×sin
60°=.
答案:B
3.若△ABC的周长等于20,面积是
10,A=60°,则BC边的长是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bcsin
A,得10bc×sin
60°,即bc=40.
又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos
A=b2+c2-2bccos
60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.
答案:C
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csin
A=acos
C.当sin
A-cos取最大值时,A的大小为( )
A.
B.
C.
D.
解析:由正弦定理得sin
Csin
A=sin
Acos
C.
因为0A>0,
从而sin
C=cos
C.
又cos
C≠0,所以tan
C=1,则C=,
所以B=-A.
于是sin
A-cossin
A-cos(π-A)
=sin
A+cos
A=2sin.
因为0即A=时,2sin取最大值2.
答案:A
5.在△ABC中,若C=60°,c=2,周长为2(1+),则A为( )
A.30°
B.45°
C.45°或75°
D.60°
解析:根据正弦定理,得2R=
=
=,所以sin
A+sin
B+sin
60°=,所以sin
A+sin
B=,即sin
A+sin(A+C)= sin(A+60°)+sin
A=sin(A+30°)= sin(A+30°)=,所以A+30°=75°或A+30°=105°,所以A=45°或A=75°.
答案:C
6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是 .
解析:设另两边分别为3x,2x,则
cos
60°=,解得x=,
故两边长为3和2,
所以S=×3×2×sin
60°=.
答案:
7.已知在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是△ABC的角平分线,则AD= .
解析:如图,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
所以×3×2sin
60°=×3ADsin
30°+×2AD×sin
30°,所以AD=.
答案:
8.在△ABC中,若AB=a,AC=b,△BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,∠BAC= .
解析:设∠BAC=θ,则BC2=a2+b2-2abcos
θ.S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=absin
θ+BC2=(a2+b2)+ab·sin(θ-60°),即当∠BAC=θ=150°时,S四边形ABDC取得最大值.
答案:150°
9.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为 .
解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4的边所对的角为120°.
由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)·cos
120°,则a=10,所以三边长为6,10,14,
S△ABC=×6×10×sin
120°=15.
答案:15
10.已知△ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a+3c=0,则sin
A∶sin
B∶sin
C= .
解析:因为G是△ABC的重心,所以=0,又2a+3c=0,所以2a-3c()=0,即(2a-3c)+(b-3c)=0,则所以a∶b∶c=3∶2∶2,由正弦定理,得sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶2∶2.
答案:3∶2∶2
11.(2017全国2高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cos
B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解(1)由题设及A+B+C=π,得sin
B=8sin2,
故sin
B=4(1-cos
B).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos
B+15=0,
解得cos
B=1(舍去),cos
B=.
(2)由cos
B=得sin
B=,
故S△ABC=acsin
B=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得
b2=a2+c2-2accos
B
=(a+c)2-2ac(1+cos
B)
=36-2×
=4.
所以b=2.
12.(2017全国3高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin
A+cos
A=0,a=2,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
解(1)由已知可得tan
A=-,所以A=.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,
即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.
(2)由题设可得∠CAD=,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.§3 解三角形的实际应用举例
课后篇巩固探究
1.
如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了四种测量方案:(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c)
①测量A,C,b ②测量a,b,C ③测量A,B,a ④测量a,b,B
则一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为( )
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
解析:已知三角形的两角及一边,可以确定三角形,故①③正确;已知两边及夹角,可以确定三角形,故②正确;已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个,故④错误.故选A.
答案:A
2.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20
m,则折断点与树干底部的距离是( )m.
A.
B.10
C.
D.20
解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,
所以∠OAB=60°.
由正弦定理知,,
所以AO=(m).
答案:A
3.已知一艘船以4
km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2
km/h,则经过
h,该船实际航程为( )
A.2
km
B.6
km
C.2
km
D.8
km
解析:如图,因为||=2
km/h,||=4
km/h,∠AOB=120°,
所以∠OAC=60°,||=
=2(km/h).
经过
h,该船的实际航程为2=6(km).
答案:B
4.甲船在B岛的正南方10
km处,且甲船以4
km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6
km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是( )
A.
min
B.
h
C.21.5
min
D.2.15
h
解析:如图,设经过x
h后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在△BPQ中,BP=(10-4x)
km,BQ=6x
km,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos∠PBQ,即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6x·cos
120°=28x2-20x+100.
当x=-时,s最小,此时
h=
min.
答案:A
5.已知一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )
A.20()海里/时
B.20()海里/时
C.20()海里/时
D.20()海里/时
解析:设货轮航行30分后到达N处,
由题意可知∠NMS=45°,∠MNS=105°,
则∠MSN=180°-105°-45°=30°.
而MS=20海里,在△MNS中,
由正弦定理得,
即MN=
=
==10()(海里).
故货轮的速度为10()÷=20()(海里/时).
答案:B
6.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10
000
m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为( )
A.2
500(-1)
m
B.5
000
m
C.4
000
m
D.4
000
m
解析:如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10
000
m,
所以∠ACB=45°.
由正弦定理,得,
又cos
75°=,
所以BD=·cos
75°=2
500(-1)(m).
答案:A
7.台风中心从A地以20
km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30
km内的地区为危险区,城市B在A的正东40
km处,B城市处于危险区内的持续时间为( )
A.0.5
h
B.1
h
C.1.5
h
D.2
h
解析:设t
h后,B市处于危险区内,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40cos
45°≤302.
化简得4t2-8t+7≤0,所以t1+t2=2,t1·t2=.
从而|t1-t2|==1.
答案:B
8.
如图,已知海岸线上有相距5
n
mile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距3
n
mile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5
n
mile的C处,则两艘船之间的距离为 n
mile.
解析:连接AC,BC=AB=5
n
mile,∠ABC=60°,
所以△ABC为等边三角形,所以AC=5
n
mile,
且∠DAC=180°-75°-60°=45°.
在△ACD中,由余弦定理得CD2=(3)2+52-2×3×5×cos
45°=13,所以CD=
n
mile.
故两艘船之间的距离为
n
mile.
答案:
9.
如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°.已知塔高60
m,则山高为 .
解析:在△ABC中,BC=60
m,∠BAC=15°,∠ABC=30°,
由正弦定理,得AC==30()(m).
所以CD=AC·sin
45°=30(+1)(m).
答案:30(+1)m
10.
如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=50
m,则山高MN=
m.
解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=50
m,所以AC=50
m.
在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,
由正弦定理得,,因此AM=50
m.
在Rt△MNA中,AM=50
m,∠MAN=60°,由=sin
60°,得MN=50=75(m).
答案:75
11.
如图,CM,CN为某公园景观湖畔的两条木栈道,∠MCN=120°.现拟在两条木栈道的A,B两处设置观景台,记BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米).
(1)若a,b,c成等差数列,且公差为4,求b的值;
(2)已知AB=12,记∠ABC=θ,试用θ表示观景路线A-C-B的长,并求观景路线A-C-B长的最大值.
解(1)因为a,b,c成等差数列,且公差为4,
所以a=b-4,c=b+4,
因为∠MCN=120°,
所以由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos
120°,解得b=10.
(2)由题意,得,
所以AC=8sin
θ,BC=8sin(60°-θ),
所以观景路线A-C-B的长AC+BC=8sin
θ+8sin(60°-θ)=8sin(60°+θ)(0°<θ<60°).
所以当θ=30°时,观景路线A-C-B长的最大值为8百米.
12.
如图,一艘船由西向东航行,测得某岛M的方位角为α,前进5
km后测得此岛的方位角为β.已知该岛周围3
km内有暗礁,现该船继续东行.
(1)若α=2β=60°,问该船有无触礁危险
(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险
解(1)设岛M到直线AB的距离MC为d
km,则
AC=dtan
α
km,BC=dtan
β
km.
由AC-BC=AB,
得dtan
α-dtan
β=5,d=.
当α=2β=60°时,d=>3,
所以此时没有触礁的危险.
(2)方法一:要使船没有触礁危险,只要使d>3,
即>3.
因为0<β<α<,所以tan
α-tan
β>0,
所以tan
α-tan
β<,
所以当α,β满足tan
α-tan
β<时,该船没有触礁的危险.
方法二:设CM=x
km,由,
即,解得x=,
所以当>3时没有触礁危险.
13.某海军护航舰艇在某海域执行护航任务时,收到某渔船在航行中发出的求救信号,海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10
n
mile的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9
n
mile/h的速度航行,海军舰艇立即以21
n
mile/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进 并求出靠近渔船所用的时间(角度精确到0.1°,时间精确到1
min).
解如图,设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x
h,
则AB=21x
n
mile,
BC=9x
n
mile,
AC=10
n
mile,
∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°,
根据余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos
120°,
即(21x)2=102+(9x)2-2×10×9xcos
120°,
亦即36x2-9x-10=0,
解得x1=,x2=-(舍去),
所以AB=14
n
mile,BC=6
n
mile.
由余弦定理可得cos
∠BAC=
=≈0.928
6,所以∠BAC≈21.8°,
所以方位角为45°+21.8°=66.8°,又因为
h=40
min,所以舰艇应以北偏东66.8°的方向航行,靠近渔船需要40
min.