利用导数探究函数的零点问题专题讲座

课件45张PPT。 利用导数探究
函数的零点问题专题讲座深圳市民办学校高中数学教师
欧阳文丰(2014年全国卷）已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围？ 　函数零点是新课标教材的新增内容之一,纵观近几年全国各地的高考试题,经常出现一些与零点有关的问题,它可以以选择题、填空题的形式出现，也可以在解答题中与其它知识交汇后闪亮登场，可以说“零点”成为了高考新的热点和亮点.函数与方程函数与图像结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。等价关系：方程f(x)=0有实数根唯一零点的存在性定理等价关系除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？导数在函数零点问题上的应用导数的应用数形结合零数零位参数范围研究两条曲线的交点个数的基本方法
(1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图形交点个数得出答案.
(2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.1、三次函数的图象四种类型2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，因此只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：例1：
函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.例题选讲一、三次函数的零点问题函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.几何画板演示函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.几何画板演示 已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围.巩固练习1几何画板演示巩固练习2当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值.
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和[1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，
所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1).
探究提高　解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t).巩固练习3(2)证明　由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.
由题设知1－k＞0.
当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根.
当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，
则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x).
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根.
综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点.探究提高　研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.例题选讲二、非三次函数的零点问题几何画板演示附：非三次函数的零点问题也是通过导数求极值来画出其图象，采用类似于三次函数的方法探究零点。例题选讲f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：探究提高　对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：
(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
(2)求导数，得单调区间和极值点；
(3)画出函数草图；
(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.1、已知函数f(x)=x3-3ax -1, a>0
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 若f(x)在x= -1处取得极值，直线 y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．课后测试几何画板演示解:(1)设曲线y=f(x)与x轴切于点 ,则

,即

解得
当 时,x轴是y=f(x)的切线.3.已知函数 , g(x)=-lnx
(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数
h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.(2)?当x>1时,g(x)=-lnx<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0
故h(x)在 无零点.?当x=1时,若 ,则f(1)=
h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,x=1是h(x)的一个零点
若 ,则h(1)=f(1)<0,h(x)无零点.?当00无零点,只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数.

(?)当a≥0时, ,f(x)在(0,1)单调递增且f(0)>0
故f(x)(0,1)上无零点.
(??)当a≤-3时, , f(x)在(0,1)单调递减
且 ,f(x)在(0,1)内仅有一个零点. (???)当-3 故f(x)在(0,1)上的最小值为a)若 ,即 时,f(x)在(0,1)上无零点b)若 ,即 时,f(x)在(0,1)上有一个零点c)当 ,即 时
综上所述:当 或 时,h(x)有一个零点。
当 或 时,h(x)有两个零点。
当 时,h(x)有三个零点。 故当 ,f(1)>0,f(x)在(0,1)内有两个零点
当 时,f(1)≤0,f(x)在(0,1)内有一个零点. 真 题 感 悟