§1 不等关系
课后篇巩固探究
A组
1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T(吨)满足关系为( )
A.T<40 B.T>40
C.T≤40 D.T≥40
答案:C
2.把下列各题中的“=”全部改成“<”,结论仍然成立的是 ( )
A.如果a=b,c=d,那么a-c=b-d
B.如果a=b,c=d,那么ac=bd
C.如果a=b,c=d,且cd≠0,那么
D.如果a=b,那么a3=b3
解析:由不等式性质知只有D选项仍然成立,即若a
答案:D
3.若a>b,则下列各式正确的是( )
A.alg x>blg x B.ax2>bx2
C.a2>b2 D.a·2x>b·2x
解析:对任意的x,2x>0.又因为a>b,所以a·2x>b·2x.
答案:D
4.若a>b>c,则的值为( )
A.正数 B.负数
C.非正数 D.非负数
解析:因为a>b>c,所以b-c>0,c-a<0,b-a<0.
所以>0.
答案:A
5.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是( )
A.-π≤2α-β<0 B.-π<2α-β<π
C.-<2α-β< D.0<2α-β<π
解析:由-<α<β<,得-π<α-β<0,-<α<.
所以-<α+(α-β)<,
即-<2α-β<.
答案:C
6.若1解析:因为-4所以-4<-|b|≤0.
又因为1答案:(-3,3)
7.已知1”“<”或“=”).?
解析:logba=,因为11.
所以logba<1,
所以logab>logba.
答案:>
8.已知a>b>c>d>0,且a,b,c,d成等差数列,则lg,lg,lg的大小顺序为 .?
解析:因为a,b,c,d成等差数列,
所以2b=a+c,2c=b+d.
所以=-<0.
所以.
同理,所以0<,
所以lg答案:lg9.若a≠-1,且a∈R,试比较与1-a的大小.
解因为-(1-a)=,
所以当a>-1且a≠0时,>1-a;
当a<-1时,<1-a;
当a=0时,=1-a.
10.用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,每次敲击后铁钉进入木板的长度满足后一次为前一次的.已知一个铁钉受击三次后全部进入木板,且第一次受击后铁钉进入木板的部分是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组.
解由题意知,第二次受击后铁钉没有全部进入木板;第三次受击后铁钉全部进入木板,所以
B组
1.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是( )
A.b-a>0 B.a3+b3<0
C.b+a<0 D.a2-b2>0
解析:利用赋值法,令a=1,b=0,排除A,B,C,故选D.
答案:D
2.如果a>0,且a≠1,M=loga(a3+1),N=loga(a2+1),那么M,N的大小关系为( )
A.M>N B.MC.M=N D.无法确定
解析:当a>1时,a3+1>a2+1,y=logax是增加的,
所以loga(a3+1)>loga(a2+1).
当0所以loga(a3+1)>loga(a2+1).
故选A.
答案:A
3.下列不等式:①x2+3>2x(x∈R);②a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R);③a2+b2≥2(a-b-1)中,正确的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:对于①,x2+3-2x=(x-1)2+2>0恒成立,故①正确;
对于②,a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),由a,b∈R,得(a-b)2≥0,而a+b>0或a+b=0或a+b<0,故②不正确;
对于③,a2+b2-2a+2b+2=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,故③正确,故选C.
答案:C
4.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是( )
A.lg(x2+1)≥lg 2x B.x2+1>2x
C.≤1 D.x+≥2
解析:A中x>0;B中当x=1时,x2+1=2x;C中对任意x,x2+1≥1恒成立,故≤1恒成立;D中当x<0时,x+<0.
答案:C
5.b g糖水中有a(b>a>0) g糖,若再添加m(m>0) g糖,则糖水就变甜了,根据这一事实可以提炼的一个不等式是 .?
解析:由题意知原有的b g糖水中,再添加m(m>0)g糖后,糖水变甜了,说明糖水中的糖的质量分数变大了,则(b>a>0,m>0).
答案:(b>a>0,m>0)
6.给出三个条件:①ac2>bc2;②;③a2>b2,其中能推出a>b的条件有 个.?
解析:只有①能推出a>b.
答案:1
7.已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,求4a-2b的取值范围.
解令4a-2b=x(a+b)+y(a-b),
所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.
所以所以
所以
所以-2≤4a-2b≤10.
8.已知a>0,b>0,且a≠b,比较与a+b的大小.
解因为-(a+b)=-b+-a
=
=(a2-b2)
=(a2-b2)
=,
又a>0,b>0,a≠b,
所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0.
所以-(a+b)>0.
所以>a+b.
9.实数a,b,c,d满足下列三个条件:①d>c;②a+b=c+d;③a+d解结论是:a证明如下:因为a+d所以d-b又因为a+b=c+d,所以c-a=b-d. ②
所以由①②,得
由d>c,得a2.1 一元二次不等式的解法
课后篇巩固探究
1.当00的解集为 ( )
A. B.
C. D.
解析:因为t∈(0,1),所以>t.
所以由(x-t)>0,得x>或x答案:B
2.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为( )
A.{x|x<-1或x>-lg 2}
B.{x|-1C.{x|x>-lg 2}
D.{x|x<-lg 2}
解析:由题意可知f(x)>0的解集为,因为f(10x)>0,所以0<10x<,所以x答案:D
3.设集合A={x|6+5x-x2>0},B={x|a2-x2<0},若A∩B=?,则a的取值范围是( )
A.{a|a≥6} B.{a|a>6}
C.{a|a≤-6或a≥6} D.{a|a≤-6}
解析:由6+5x-x2>0,得x2-5x-6<0,解得-1由a2-x2<0,得x>|a|或x<-|a|.
由A∩B=?,得|a|≥6,所以a≥6或a≤-6.
答案:C
4.若对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.[-2,2]
C.[-2,+∞) D.[0,+∞)
解析:令t=|x|,则t≥0,所以t2+at+1≥0对t≥0恒成立,当a≥0时,显然不等式恒成立.
当a<0时,y=t2+at+1在[0,+∞)上的最小值为1-,由题意得1-≥0,解得-2≤a≤2,所以-2≤a<0.
综上,a≥-2,故选C.
答案:C
5.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,-1)∪(3,+∞),则对函数f(x)=ax2+bx+c,下列不等式成立的是( )
A.f(4)>f(0)>f(1) B.f(4)>f(1)>f(0)
C.f(0)>f(1)>f(4) D.f(0)>f(4)>f(1)
解析:由题意知-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,所以所以
对二次函数f(x)=ax2+bx+c来说,其图像的对称轴为x=-=1,且开口向上.
由于|4-1|>|1-0|,所以f(4)>f(0)>f(1).
答案:A
6.函数y=log3(9-x2)的定义域为A,值域为B,则A∩B= .?
答案:(-3,2]
7.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是 .?
解析:由表格知,一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=-2,x2=3,且抛物线开口向上,所以ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}.
答案:{x|x<-2或x>3}
8.若关于x的不等式-x2+2x>mx的解集是{x|0解析:由已知得,0和2是方程-x2+2x-mx=0的两根,代入得m=1.
答案:1
9.若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0的解集为R,则实数a的取值范围是 .?
解析:当a-2=0,即a=2时,不等式化为-4<0,显然恒成立;
当a-2≠0时,由题意得
解得-2综上所述,a∈(-2,2].
答案:(-2,2]
10.已知f(x)=x2-x+1.
(1)当a=时,解不等式f(x)≤0.
(2)若a>0,解关于x的不等式f(x)≤0.
解(1)当a=时,有不等式f(x)=x2-x+1≤0,
所以(x-2)≤0,所以≤x≤2.
所以不等式的解集为.
(2)不等式f(x)=(x-a)≤0,
当0a,所以不等式的解集为;
当a>1时,当a=1时,不等式的解集为{x|x=1}.
11.已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,求实数a的取值范围.
解当a2-4=0时,a=±2,当a=-2时,解集为?;
当a=2时,解集为,不符合题意,舍去.
当a2-4≠0时,要使解集为?,
则有解得-2综上,a的取值范围是.
12.若不等式组
的整数解只有-2,求k的取值范围.
解因为x2-x-2>0,所以x>2或x<-1.
又2x2+(2k+5)x+5k<0,
所以(2x+5)(x+k)<0. ①
当k>时,-k<-,
由①得-k当k=时,①的解集为空集;
当k<时,-<-k,由①得-所以
因为原不等式组只有整数解-2,
所以所以-3≤k<2.
综上,k的取值范围是[-3,2).
2.2 一元二次不等式的应用
课后篇巩固探究
1.函数f(x)=lg的定义域为( )
A.(1,4) B.[1,4)
C.(-∞,1)∪(4,+∞) D.(-∞,1]∪(4,+∞)
解析:依题意应有>0,即(x-1)(x-4)<0,所以1答案:A
2.已知a1>a2>a3>0,则使得(1-aix)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:由(1-aix)2<1,得aix(aix-2)<0,
又ai>0,所以x<0,解得0要使上式对a1,a2,a3都成立,则0答案:B
3.不等式x>的解集是( )
A.(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
解析:因为x>,所以x->0,
即x(x2-1)=x(x+1)(x-1)>0.
画出示意图如图.
所以解集为(-1,0)∪(1,+∞).
答案:C
4.对任意a∈[-1,1],都有函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )
A.13
C.12
解析:设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立,且a∈[-1,1],
所以
所以所以x<1或x>3.
答案:B
5.若关于x的不等式x2+px+q<0的解集为{x|10的解集为( )
A.(1,2)
B.(-∞,-1)∪(6,+∞)
C.(-1,1)∪(2,6)
D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)
解析:由已知得,x2+px+q=(x-1)(x-2),
所以>0,即>0,
等价于(x-1)(x-2)(x+1)(x-6)>0,
解得x<-1或16.
答案:D
6.不等式<0的解集为 .?
解析:不等式等价于(x-2)2(x-3)(x+1)<0,如图,用穿针引线法易得-1答案:(-1,2)∪(2,3)
7.已知<1的解集为{x|x<1或x>2},则实数a的值为 .?
解析:因为<1,所以<0,
即[(a-1)x+1](x-1)<0.
又不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},
所以a-1<0,所以(x-1)>0.
所以-=2,所以a=.
答案:
8.如果关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于-1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是 .?
解析:令f(x)=x2+(m-1)x+m2-2,则
所以所以0答案:(0,1)
9.某商家一月至五月累计销售额达3 860万元,预测六月销售额为500万元,七月销售额比六月递增x%,八月销售额比七月递增x%,九、十月销售总额与七、八月销售总额相等.若一月至十月销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是 .?
解析:由题意得,3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,
解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),
所以x≥20,即x的最小值为20.
答案:20
10.解不等式.
(1)≥0; (2)>1.
解(1)原不等式等价于解得x≤1或x>2,所以原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}.
(2)原不等式可改写为+1<0,即<0,
所以(6x-4)(4x-3)<0,所以所以原不等式的解集为.
11.解关于x的不等式>a.
解将原不等式移项、通分化为<0.
若a>0,有>1,则原不等式的解集为;
若a=0,有<0,则原不等式的解集为{x|x>1};
若a<0,有<1,则原不等式的解集为.
综上所述,
当a>0时,原不等式的解集为;
当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};
当a<0时,原不等式的解集为.
12.若不等式>0对任意实数x恒成立,求m的取值范围.
解由于x2-8x+20=(x-4)2+4>0恒成立,
因此原不等式对任意实数x恒成立等价于mx2+2(m+1)x+9m+4>0对x∈R恒成立.
(1)当m=0时,不等式化为2x+4>0,不满足题意.
(2)当m≠0时,应有
解得m>.
综上,实数m的取值范围是.
3.1 基本不等式
课后篇巩固探究
A组
1.已知x,y∈R,下列不等关系正确的是( )
A.x2+y2≥2|xy| B.x2+y2≤2|xy|
C.x2+y2>2|xy| D.x2+y2<2|xy|
解析:x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|.
当且仅当|x|=|y|时等号成立.
答案:A
2.若x>0,y>0,且,则必有( )
A.2x=y B.x=2y C.x=y D.x=4y
解析:因为x>0,y>0,所以,即.又,所以必有,所以x=2y.
答案:B
3.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么( )
A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一
B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一
C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一
D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一
解析:因为a+b=cd=4,a+b≥2,所以≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.
又cd≤,所以≥4,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,等号成立.所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立,故选A.
答案:A
4.已知0A.log2a>0 B.2a-b<
C. D.log2a+log2b<-2
解析:因为0所以ab<,
所以log2a+log2b=log2(ab)答案:D
5.若a>0,b>0,则的大小关系是 .?
解析:因为,所以,当且仅当a=b>0时,等号成立.
答案:
6.设a>0,b>0,给出下列不等式:
(1)≥4;
(2)(a+b)≥4;
(3)a2+9>6a;
(4)a2+1+>2.
其中正确的是 .?
解析:因为a+≥2=2,b+≥2=2,
所以≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,所以(1)正确;
因为(a+b)=1+1+≥2+2·=4,当且仅当a=b>0时,等号成立,所以(2)正确;
因为a2+9≥2=6a,当且仅当a=3时,等号成立,所以当a=3时,a2+9=6a,所以(3)不正确;
因为a2+1+≥2=2,
当且仅当a2+1=,即a=0时,等号成立,又a>0,所以等号不成立,所以(4)正确.
答案:(1)(2)(4)
7.若a,b为正实数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则,当且仅当时取等号,利用以上结论,函数f(x)=取得最小值时,x的值为 .?
解析:由题意可知f(x)=,当且仅当时,等号成立,解得x=.
答案:
8.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值.
解由x2+y2+xy=1可得(x+y)2=xy+1,
又xy≤,
所以(x+y)2≤+1,整理得(x+y)2≤1,
当且仅当x=y时取等号.
所以x+y∈.
所以x+y的最大值为.
9.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≤2.
证明因为,当且仅当a=时取等号,
同理,当且仅当b=时取等号.
所以(a+b)==2,当且仅当a=b=时取等号.
所以≤2.
B组
1.已知m>0,n>0,α=m+,β=n+,m,n的等差中项为1,则α+β的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由已知得,m+n=2,所以α+β=m++n+=(m+n)+=2+.
因为m>0,n>0,所以mn≤=1.
所以α+β≥2+=4.
当且仅当m=n=1时,等号成立.
所以α+β的最小值为4.
答案:B
2.给出下列四个命题:①若a-1,则;③若正整数m和n满足m0,且x≠1,则ln x+≥2,其中真命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
解析:当a=-2,b=1时,ab2,故①不成立;
对于②,,因为a≥b>-1,所以≥0,故②正确;
对于③,(m对于④,当0答案:B
3.在算式4×□+△=30的□、△中,分别填入一个正整数使算式成立,并使填入的正整数的倒数之和最小,则这两个正整数构成的数对(□,△)应为( )
A.(4,14) B.(6,6) C.(3,18) D.(5,10)
解析:可设□中的正整数为x,△中的正整数为y,则由已知可得4x+y=30.
因为,当且仅当,即y=2x时,等号成立,又4x+y=30,所以x=5,y=10,故选D.
答案:D
4.当x>3时,x+≥a恒成立,则a的最大值为 .?
解析:因为x>3,所以x+=x-3++3
≥2+3=5.
当且仅当x-3=,即x=4时,等号成立.
所以由题意可知a≤5.
答案:5
5.若a>1,0解析:因为a>1,0所以-(logab+logba)=(-logab)+(-logba)≥2,
当且仅当-logab=-logba,即a>1,0答案:(-∞,-2]
6.已知a,b,c为不全相等的正数,求证:>3.
证明
=-3
=-3.
因为a>0,b>0,c>0,
所以≥2,≥2,≥2.
又a,b,c不全相等,
所以>6.
所以-3>6-3=3.
故原不等式成立.
7.已知a>b>c,且恒成立.求n的最大值.
解因为,a>b>c,
所以(a-c)≥n.
又(a-c)=(a-b+b-c)
=2+≥2+2=4.
当且仅当a-b=b-c,即a+c=2b时,等号成立.
由恒成立,得n≤4,所以n的最大值为4.
3.2 基本不等式与最大(小)值
课后篇巩固探究
1.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则的最小值是 ( )
A. B.1 C.4 D.8
解析:由a>0,b>0,ln(a+b)=0,得
所以=2+
≥2+2=4,
当且仅当a=b=时,等号成立.
所以的最小值为4.
答案:C
2.若x>4,则函数y=-x+( )
A.有最大值-6 B.有最小值6
C.有最大值-2 D.有最小值2
解析:因为x>4,所以x-4>0.
所以y=-x+=--4≤-2-4=-6,当且仅当x-4=,即x=5时,等号成立.
答案:A
3.已知x>1,y>1,且ln x,,ln y成等比数列,则xy有( )
A.最小值e B.最小值
C.最大值e D.最大值
解析:因为x>1,y>1,且ln x,,ln y成等比数列,
所以ln x·ln y=.
所以=ln x·ln y≤,当且仅当x=y=时,等号成立,所以ln x+ln y≥1,即ln xy≥1,所以xy≥e.
答案:A
4.已知函数f(x)=|lg x|,若a≠b,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
解析:由已知得|lg a|=|lg b|,a>0,b>0,
所以lg a=lg b或lg a=-lg b.
因为a≠b,所以lg a=lg b不成立,
所以只有lg a=-lg b,
即lg a+lg b=0,所以ab=1,b=.
又a>0,a≠b,所以a+b=a+>2.故选C.
答案:C
5.若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( )
A.6+2 B.7+2
C.6+4 D.7+4
解析:由题意得所以
又log4(3a+4b)=log2,
所以log4(3a+4b)=log4ab.
所以3a+4b=ab,所以=1.
所以a+b=(a+b)=7+≥7+2=7+4,当且仅当,即a=4+2,b=3+2时取等号,故选D.
答案:D
6.若正数a,b,c满足c2+4bc+2ac+8ab=8,则a+2b+c的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.2
解析:方法一:c2+4bc+2ac+8ab=(c+2a)(c+4b)=8,
因为a,b,c均为正数,所以由基本不等式得(c+2a)·(c+4b)≤,所以a+2b+c≥2.
当且仅当c+2a=c+4b,即a=2b时,等号成立.
方法二:(a+2b+c)2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc,
因为c2+8ab+2ac+4bc=8,所以(a+2b+c)2=a2+4b2-4ab+8=(a-2b)2+8≥8,所以a+2b+c≥2.
答案:D
7.(2017山东高考)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .?
解析:∵直线=1过点(1,2),∴=1.
∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=4+≥4+2=8.
当且仅当b=2a时“=”成立.
答案:8
8.(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 .?
解析:∵a,b∈R,且ab>0,
∴=4ab+
≥4.
答案:4
9.已知x>0,y>0,且=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 .?
解析:因为x>0,y>0,且=1,
所以x+2y=(x+2y)
=4+≥4+2=8,当且仅当,即x=4,y=2时,x+2y取得最小值8,
所以m2+2m<8,解得-4答案:(-4,2)
10.已知正常数a,b和正变数x,y,满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.
解由已知得x+y=(x+y)·1=(x+y)·=a+b+≥a+b+2=()2,
当且仅当时等号成立,所以x+y的最小值为()2=18.
又a+b=10,所以ab=16.
所以a,b是方程x2-10x+16=0的两根,所以a=2,b=8或a=8,b=2.
11.已知a,b都是正实数,且a+b=1.
(1)求证:≥4;
(2)求的最小值.
(1)证明因为a+b=1,a>0,b>0,
所以(a+b)
=2+≥2+2=4,
当且仅当a=b=时,等号成立.所以≥4.
(2)解因为a+b=1,a>0,b>0,
所以
≥2·,
又,所以0所以1+≥5.
所以,当且仅当a=b=时,等号成立.
所以的最小值为.
12.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?
注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,
则f(x)=560+48x+
=560+48x+(x≥10,x∈N+),
所以f(x)=560+48x+
≥560+2=2 000,
当且仅当48x=,即x=15时,等号成立.
因此,当x=15时,f(x)取最小值2 000.
答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.
4.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课后篇巩固探究
A组
1.不等式2x+y+1<0表示的平面区域在直线2x+y+1=0的( )
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
答案:D
2.不等式组表示的平面区域是( )
A.矩形 B.三角形
C.直角梯形 D.等腰梯形
解析:画出平面区域(如图阴影部分),该区域是等腰梯形.
答案:D
3.直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
解析:如图所示,不等式组表示的平面区域为阴影部分,直线与阴影只有一个公共点(5,0).
答案:B
4.若不等式组表示的平面区域经过四个象限,则实数λ的取值范围是( )
A.(-∞,4) B.[1,2]
C.(1,4) D.(1,+∞)
答案:D
5.若点A(3,3),B(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是 .?
解析:由题意得(3+3-a)(2-1-a)<0,解得1答案:(1,6)
6.若用三条直线x+2y=2,2x+y=2,x-y=3围成一个三角形,则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式(组)表示为 .?
答案:
7.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 .?
解析:如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件,故a的取值范围应是5≤a<7.
答案:[5,7)
8.设f(x)=x2+ax+b,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,试求点(a,b)构成的平面区域的面积.
解f(-1)=1-a+b,f(1)=1+a+b,
由
得不等式组
即
作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示).
可知平面区域为矩形ABCD,|AB|=,|BC|=,
所以所求区域面积为=1.
9.某工厂生产甲、乙两种产品,需要经过金工和装配两个车间加工,有关数据如下表:
加工时间/(小时/件)
产品
总有效工时/小时
甲
乙
车间
金工
4
3
480
装配
2
5
500
列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
解设分别生产甲、乙两种产品x件和y件,于是满足条件
所以满足的生产条件是图中阴影部分中的整数点.
B组
1.在平面直角坐标系中,若点A(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-1,+∞) D.(0,1)
解析:在直线方程x-2y+4=0中,令x=-2,则y=1,则点(-2,1)在直线x-2y+4=0上,又点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,由图可知,t的取值范围是t>1,故选B.
答案:B
2.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是( )
A. B. C. D.
解析:不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分的△ABC.
由得A(1,1),
又B(0,4),C,
所以S△ABC=×1=.
设y=kx+与3x+y=4的交点为D(xD,yD),
则S△BCD=S△ABC=,
所以xD=,所以yD=,
所以=k×,所以k=.
答案:A
3.已知点(1,2)和点(-1,3)在直线2x+ay-1=0的同一侧,则实数a的取值范围是 .?
解析:因为(2a+1)(3a-3)>0,
所以a<-或a>1.
答案:∪(1,+∞)
4.若区域A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 .?
解析:如图,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.
又D(0,1),B(0,2),E,C(-2,0).
所以S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=2-.
答案:
5.以原点为圆心的圆全部在不等式组表示的平面区域的内部,则圆的面积的最大值为 .?
解析:根据条件画出平面区域如图中阴影所示,要使以原点为圆心的圆面积最大,则圆与直线x-y+2=0相切.此时半径r=,此时圆面积为S=π()2=2π.
答案:2π
6.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 .?
解析:不等式表示的平面区域如图,
当x+y=a过A时,表示的区域是△AOB,此时a=.
当a>时,表示区域是三角形.
当x+y=a过B(1,0)时,表示的区域是△DOB,此时a=1;当0故当0答案:(0,1]∪
7.已知点P(1,-2)及其关于原点对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,求b的取值范围.
解点P(1,-2)关于原点对称点为P'(-1,2),
由题意知解得故满足条件的b的取值范围为.
8.一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A需要10 min打磨,6 min着色,6 min上漆;桌子B需要5 min打磨,12 min着色,9 min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450 min,着色每天至多工作480 min,请列出满足生产条件的数学关系式,并在直角坐标系中画出每天生产两类桌子数量的允许范围.
解设家具厂每天生产A类桌子x张,B类桌子y张.
对于A类x张桌子需要打磨10x min,着色6x min,上漆6x min;对于B类y张桌子需要打磨5y min,着色12y min,上漆9y min.
所以题目中包含的限制条件为
上述条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,每天生产两类桌子数量的允许范围为阴影内的整数点.
4.2 简单线性规划
课后篇巩固探究
A组
1.(2017北京高考)若x,y满足则x+2y的最大值为( )
A.1 B.3 C.5 D.9
解析:由题意画出可行域(如图).
设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.
答案:D
2.(2017山东高考)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
解析:可行域为如图所示阴影部分(包括边界).
把z=x+2y变形为y=-x+z,作直线l0:y=-x并向上平移,当直线过点A时,z取最大值,易求点A的坐标为(-1,2),所以zmax=-1+2×2=3.
答案:D
3.已知在平面直角坐标系xOy内的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=的最大值为( )
A.4 B.3 C.4 D.3
解析:画出可行域,而z=x+y,所以y=-x+z.令l0:y=-x,将l0平移到过点(,2)时,截距z有最大值,故zmax=+2=4.
答案:C
4.已知x,y满足则点P(x,y)到直线x+y=-2的距离的最小值为( )
A. B.2 C. D.
解析:不等式组
所表示的可行域如图阴影部分.
其中点P(1,1)到直线的距离最短,其最小值为=2.故选B.
答案:B
5.若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为 .?
解析:由y=|x-1|=及y=2画出可行域如图阴影部分.
令2x-y=z,则y=2x-z,画直线l0:y=2x并平移到过点A(-1,2)时,-z最大,即zmin=2×(-1)-2=-4.
答案:-4
6.若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为 .?
解析:根据得可行域如图,根据z=x+2y得y=-,平移直线y=-,在点M处z取得最小值.
由得
此时zmin=4+2×(-5)=-6.
答案:-6
7.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值为 .?
解析:不等式组所表示的可行域如图阴影部分.
令t=x+2y,则当直线y=-x+t经过原点O(0,0)时,t取最小值,即t的最小值为0,则z=3x+2y的最小值为30=1.
答案:1
8.若实数x,y满足不等式组则(x+2)2+(y+1)2的最小值为 .?
解析:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分.
表示可行域内的点D(x,y)与定点M(-2,-1)间的距离.显然当点D在点A(1,2)时,|DM|最小,这时|DM|=3,故(x+2)2+(y+1)2的最小值是18.
答案:18
9.已知x,y满足约束条件求z=5x-8y的最大值.
解作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分.
作直线l0:5x-8y=0,平移直线l0,由图可知,当直线平移到经过A点时,z取最大值.解方程组得A(6,0),所以zmax=5×6-8×0=30.
10.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.
解如图所示,令a=x,b=y,z=9a-b,即已知-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,求z=9x-y的取值范围,画出不等式表示的可行域如图阴影部分.
由z=9x-y,得y=9x-z,当直线过点A时,z取最大值,当直线过点B时,z取最小值.
由得A(3,7),
由得B(0,1),
所以zmax=9×3-7=20,zmin=-1,
所以9a-b的取值范围是[-1,20].
B组
1.在约束条件下,目标函数z=x+y的最大值为( )
A. B. C. D.
解析:由z=x+y,得y=-2x+2z.
作出可行域如图阴影部分,平移直线y=-2x+2z,当直线经过点C时,直线y=-2x+2z在y轴上的截距最大,此时z最大.
由解得点C坐标为,代入z=x+y,得z=.
答案:C
2.已知x,y满足约束条件则(x+3)2+y2的最小值为( )
A. B.2 C.8 D.10
解析:画出可行域(如图).
(x+3)2+y2表示点A(-3,0)与可行域内点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,
所以|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.
答案:D
3.若关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:由线性约束条件可画出如图所示的可行域,要使可行域内存在点P(x0,y0),使x0-2y0=2成立,只需点A(-m,m)在直线x-2y-2=0的下方即可,即-m-2m-2>0,解得m<-.故选C.
答案:C
4.设不等式组所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称.对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B,则|AB|的最小值为( )
A. B.4 C. D.2
解析:如图所示.由约束条件作出可行域,得D(1,1),E(1,2),C(3,3).
要求|AB|min,可通过求可行域内的点到直线3x-4y-9=0距离最小值的2倍来求得.
经分析,点D(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离d==2最小,故|AB|min=4.
答案:B
5.已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一解是(1,3),则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-1) B.(0,1)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
解析:作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,由z=y-ax,得y=ax+z,要使目标函数y=ax+z仅在点(1,3)处取最大值,则只需直线y=ax+z仅在点B(1,3)处的截距最大,由图像可知a>kBD,因为kBD=1,所以a>1,即a的取值范围是(1,+∞).
答案:D
6.设实数x,y满足则z=的取值范围是 .?
解析:令k=,则y=kx.因为x≠0,所以k存在,直线y=kx恒过原点,而在可行域中,当直线过边界点(1,2)时,斜率有最大值,k=2;当直线过边界点(3,1)时,斜率有最小值,k=,所以斜率k的取值范围是,又z==k+,利用函数单调性的定义可知k∈时,z=k+为减函数;k∈[1,2]时,z=k+为增函数,可得z的取值范围为.
答案:
7.若x,y满足约束条件
(1)求目标函数z=x-y+的最值;
(2)求点P(x,y)到直线y=-x-2的距离的最大值.
解(1)根据约束条件,作出可行域如图,则直线x+y=1,-x+y=1,2x-y=2的交点分别为A(3,4),B(0,1),C(1,0).
平移直线x-y+=0,由图像可知过点A时,z取得最小值,zmin=×3-4+=-2,
过点C时,z取得最大值,zmax==1.
故z的最大值为1,最小值为-2.
(2)由图像可知,所求的最大值即是点A到直线x+y+2=0的距离,则d=.
8.在直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点M的横、纵坐标分别为茎叶图中的中位数和众数,若点N(x,y)的坐标满足的最大值.
解由茎叶图可得中位数为23,众数为23,所以点M为(23,23),
所以=23x+23y.设z=23x+23y,
作出不等式组对应的平面区域如图.
作一平行于z=23x+23y的直线,当直线和圆相切时,z=23x+23y取得最大值.
由圆心到直线的距离d==2,
解得|z|=46.
所以z=46或z=-46(舍去),
故的最大值是46.
4.3 简单线性规划的应用
课后篇巩固探究
A组
1.已知点(x,y)构成的平面区域如图阴影部分,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为 ( )
A.- B.
C. D.
解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则-m=kAC==-,解得m=.
答案:B
2.如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若C是该目标函数z=ax-y唯一的最优解,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:最优解为点C,则目标函数表示的直线斜率在直线BC与AC的斜率之间.
因为kBC=-,kAC=-,所以a∈.
答案:B
3.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为 .?
解析:由约束条件作出其可行域如图.
由图可知,当直线x=m过直线y=2x与x+y-3=0的交点(1,2)时,m取得最大值,此时m=1.
答案:1
4.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,则所需租赁费最少为 元.?
解析:设甲种设备需要生产x天,乙种设备需要生产y天,此时该公司所需租赁费为z元,
则z=200x+300y.
又因为
画出该不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.
解即点A(4,5).
由z=200x+300y,
得直线y=-x+过点A(4,5)时,
z=200x+300y取得最小值,为2 300元.
答案:2 300
5.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是 .?
解析:画出可行域如图阴影部分,易知当a∈(0,1)时不符合题意,故a>1.
由得交点A(2,9).
由图像可知,当y=ax的图像经过该交点A时,a取最大值,此时a2=9,所以a=3.
故a∈(1,3].
答案:(1,3]
6.某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?
解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z元,则
而z=0.28x+0.9y,如图,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A时,z最小,又直线x+y=35 000和直线y=x的交点A.
即x=,y=时,饲料费用最低.
答:谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.
B组
1.某学校用800元购买A,B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B两种用品应各买的件数为 ( )
A.1件,4件 B.3件,3件
C.4件,2件 D.不确定
解析:设买A种用品x件,B种用品y件,剩下的钱为z元,
则
求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).
答案:B
2.已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=( )
A.-16 B.-6 C.- D.6
解析:由z=x+3y得y=-x+.
先作出的图像,因为目标函数z=x+3y的最大值为8,
所以直线2x+y+k=0过直线x+3y=8与直线y=x的交点A,由解得A(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6.故选B.
答案:B
3.已知在图中的可行域内(阴影部分,且包括边界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则a的值为( )
A.-3 B.3
C.-1 D.1
解析:当a=0时,z=x.仅当直线x=z过点A(1,1)时,
目标函数z有最小值1,与题意不符.
当a>0时,y=-x+.
斜率k=-<0,仅当直线z=x+ay过点A(1,1)时,直线在y轴的截距最小,此时z也最小,
与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾.
当a<0时,y=-x+,斜率k=->0,
为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个,
当且仅当斜率-=kAC,即-,故a=-3.
答案:A
4.已知点M在不等式组所表示的平面区域上,点N在曲线x2+y2+4x+3=0上,则|MN|的最小值是( )
A. B.1 C.-1 D.
解析:如图,画出平面区域(阴影部分所示),
由圆心C(-2,0)向直线3x+4y-4=0作垂线,圆心C(-2,0)到直线3x+4y-4=0的距离为=2,又圆的半径为1,所以可求得|MN|的最小值是1.故选B.
答案:B
5.毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景,于是先派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,则他们合理设计租船方案后,所付租金最少为 元.?
船型
每只船限载人数
租金/(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
解析:设租大船x只,小船y只,
则租金z=12x+8y,
作出可行域如图,由图可知,当直线z=12x+8y经过点(9.6,0)时,z取最小值,但x,y∈N,所以当x=9,y=1时,zmin=116.
答案:116
6.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表:
a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为 百万元.?
解析:设购买铁矿石A,B分别为x万吨和y万吨,
购买铁矿石的费用为z百万元,
则
目标函数z=3x+6y,作出可行域如图.
由
得
记P(1,2),当目标函数z=3x+6y过点P(1,2)时,z取到最小值15.
答案:15
7.(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧播放时长
(分钟)
广告播放时长
(分钟)
收视人次
(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?
解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.
考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.
为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.
图1
图2
又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
解方程组得点M的坐标为(6,3).
所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
