课件18张PPT。1 菱形的性质与判定
第1课时第一章 特殊平行四边形2.能综合运用菱形的知识解决有关问题. 1.菱形的定义和性质.一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.定义： 如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？（2）图中有哪些等腰三角形、直角三角形？（3）两条对角线AC,BD有什么特定的位置关系？议一议解析：（1）AB＝BC＝CD＝AD,
AO＝CO,BO＝DO,
∠DAB=∠DCB, ∠DAC=∠DCA=∠BAC=∠BCA,
∠ADC=∠ABC, ∠ADB= ∠CDB= ∠ABD= ∠CBD,
∠AOD=∠COD=∠AOB=∠COB=90°（2）等腰三角形有△ADC, △ABC ,△ABD, △BDC,
直角三角形有△ADO, △CDO, △AOB,△BCO（3）AC⊥BD 菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.菱形具有平行四边形的所有性质. 猜想：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
AB=BC=CD=DA，
OA=OC，OB=OD，
AC⊥BD，
∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA= ∠DAB= ∠DCB,
∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD= ∠ADC= ∠ABC. 菱形具有平行四边形的所有性质. 菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 验证： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？想一想 小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对
折，然后沿图(3)中的虚线剪下，打开即可得到一个菱形
的纸片.
你知道其中的道理吗？做一做(1)(2)(3) 木工师傅在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你能说出其中的道理吗？与同伴交流.议一议2.（珠海·中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD
上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离
是_____cm. 1．(怀化·中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．18 C．16 D．15答案：C解析：菱形的对角线平分一组对角.答案：43．（曲靖·中考）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α使衣帽架拉伸或收缩，当菱形的边长为18cm，α=120°时，A,B两点的距离为 cm.【答案】544.四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，
已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长.解析：∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC平分,D∴AO2+BO2=AB2,∴BO=3,BD=6.【规律方法】利用菱形的边、角、对角线特征，构造
出全等三角形、直角三角形，解决求线段、角的问题.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形的性质：
边：四条边都相等,对边分别平行.
角：对角相等.
对角线：互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角.课件19张PPT。1 菱形的性质与判定
第2课时2.会用这些判定方法进行有关的证明和计算.1.理解并掌握菱形的定义及判定方法.3.会综合运用菱形的性质与判定进行有关的证明和计算. 1.什么是菱形？一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.特殊性质主要体现在边和对角线上.2.菱形有哪些特殊性质？主要体现在哪些方面？菱形的特殊性质有：
(1)两条对角线互相垂直平分.
(2)四条边都相等.
(3)每条对角线平分一组对角.一组邻边相等的平行四边形是菱形∵ □ABCD，AB=BC,∴ □ABCD是菱形.菱形的判定方法一（定义法） 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：在□ABCD中，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∴四边形ABCD是菱形又∵ AC⊥BD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∴BA=BC,(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形).菱形的判定方法二证明：在四边形ABCD中,AB=CD，BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.菱形的判定方法三
四条边都相等的四边形是菱形.已知：四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，我们还可以得到判定菱形的方法：
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行证明． 判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形.判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.菱形的判定方法(1)有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.(3)对角线相等且互相平分的四边形是菱形.(2)对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形.1.判断下列说法是否正确：【跟踪训练】2.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，试探究重叠部分ABCD的形状，并说明理由.ACDB【解析】方法一：重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F
因纸条等宽，故AE=AF.
又 AB∥CD,AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵S□ ABCD=BC·AE=CD·AF，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD为菱形.ABCDEF方法二：重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F，
∠AEB=∠AFD=90°，
因纸条等宽，故AE=AF，
又 AB∥CD,AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF,
∴△ABE≌△ADF，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.ABCDEFA.B.C.D.2.（陕西·中考）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ）
A.16 B.8 C.4 D.1
【解析】选A.设这个菱形两条对角线长分别为a,b.由菱形
对角线互相垂直且平分，得
即a2+b2=16.3.（连云港·中考）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的
是（ ）
A.BA=BC
B.AC，BD互相平分
C.AC=BD
D.AB∥CD
【解析】选B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.4.（温州·中考）如图，在□ ABCD中，
EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交
AB，AD的延长线于点E,F. 已知BE=BP.
求证：（1）∠E=∠F.
（2）□ ABCD是菱形.【证明】(1)在□ABCD中，BC∥AD，
∴∠1=∠F,∵BE=BP,∴∠E=∠1,∴∠E=∠F.
（2）∵BD∥EF,
∴∠2=∠E，∠3=∠F,
∵∠E=∠F,
∴∠2=∠3,
∴AB=AD,
∴□ABCD是菱形.判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形.判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.菱形的判定方法课件18张PPT。2 矩形的性质与判定
第1课时2. 理解矩形与平行四边形的关系，正确运用矩形的性质解题．3．在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力.1．探索并掌握矩形的概念及其特殊的性质. 我们生活中充满了矩形这种几何图形，教室里的黑板，门窗，课桌的桌面，信封，明信片等都是矩形的形状，而你是否了解这种几何图形的性质呢？
这节课我们一起来学习一下吧！1.矩形是平行四边形吗？2.平行四边形经过怎样的变化就成为了矩形呢？思考：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.∟定义： 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.(1)随着∠a的变化,两条对角线的长度怎样变化的？(2)当∠a是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？
当∠a是钝角时呢？(3)当∠a是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？解析：随着∠a的变化，一条对角线在变长，一条在变短.解析：当∠a是锐角时，过∠a的顶点的那条对角线比另一条
长;当∠a是钝角时，过∠a的顶点的那条对角线比另一条短.解析：两条对角线相等.矩形性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角.【例】如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC,BD相交于点O, AB=OA=4cm.求：BD与AD的长.解析：∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC=2OA=8cm， ∠BAD＝90°. 在Rt△BAD中，根据勾股定理，得：答：BD=8cm，AD= cm.1.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
如果不是，简述你的理由.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.【跟踪训练】【解析】2.直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，
你能用矩形的有关性质解释这个结论吗？【解析】在矩形ABCD中，BO=OD，(矩形的对角线互相平分）
BD=AC，（矩形的对角线相等）∴2.（淄博·中考）如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，
点D,C分别落在D′,C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′
等于（ ）A.144° B.126°
C.108° D.72°B 1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分A3.（聊城·中考）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB,BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )【答案】A B.C.D.不确定A.4.已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于E.AC和CE相等吗？为什么？解析： AC=CE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD，∴AB∥CD，又CE∥DB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=CE，∴AC=CE.1.矩形的四个角都是
2.矩形的对角线
3.直角三角形斜边上的中线等于直角.相等.斜边的一半.课件27张PPT。2 矩形的性质与判定
第2课时2、会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生的分析能力 .1、掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质与判定的区别与联系.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质(1) 边：对边平行且相等(2) 角：四个角都是直角(3) 对角线：相等且互相平分O有一个角是直角的平行四边形是矩形.你还有其他的判定方法吗？□ABCD∠A=90°四边形ABCD是矩形矩形判定1:（定义法）由矩形的性质“矩形的对角线相等”我们可以猜想:
“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个
平行四边形是一个矩形”.得到的图形是什么图形呢？
和你的同桌交流一下，看看是否成了一个矩形.作一个两条对角线相等的平行四边形,证明： AB=DC,BD=CA,AD=DA，∴△BAD≌△CDA，∴∠BAD=∠CDA，∵AB∥CD，∴∠BAD +∠CDA=180°， ∴∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形.
（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形AC = BD推论:对角线互相平分且相等的四边形是矩形四边形ABCD
是矩形例 如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.【例题】证明: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=BD (矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO (矩形的对角线互相平分).
∵AE=BF =CG=DH,
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∵EO+OG=OF+OH,
即EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形).如图□ABCD中, ∠1=∠2.此时四边形ABCD是矩形吗?【跟踪训练】解:四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，DO=BO(平行四边
形的对角线互相平分).
又∵∠1=∠2,
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)归纳：有三个角是直角的四边形是矩形.有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角的四边形是矩形吗？已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）四边形ABCD
是矩形∠A=∠B=∠C=90°矩形判定3：有三个角是直角的四边形是矩形∠A= ∠B= ∠C=90°□ABCDAC=BD□ABCD∠A=90°四边形ABCD
是矩形(1)(2)(3)归纳（1）对角线相等的四边形是矩形.
（2）有一个角是直角的四边形是矩形.
（3）四个角都是直角的四边形是矩形.
（4）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形.
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.1.判断正误【跟踪训练】A. ∠ DAB= ∠ ABC= ∠ BCD=90°
B.AB CD, AB⊥AD
C.AO=BO, CO=DO
D.AO=BO=CO=DOCO2.如图，下列条件不能判定四边 形ABCD是矩形的是（ ）3．矩形的两条对角线所夹的钝角为120°，短边长为5cm，则其对角线长为___________．4.已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O，分别添加
下列条件之一：①∠ABC=90°;②AC⊥BD；③AB=BC;④AC
平分∠BAD; ⑤OA=OD.能使四边形ABCD是矩形的条件是
________.（填序号）10cm①⑤1.下列四边形中不是矩形的是（ ）
A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.四个角都相等的四边形
C.一组对边平行且对角相等的四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形C2.如图,矩形ABCD的两对角线交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD，BC于点E，F,连接CE,已知△CDE的周长为24 cm,则矩形ABCD的周长是_____cm.
【解析】易得EF垂直平分AC,
∴EA=EC.
∵△CDE的周长为24 cm,
∴DC+DA=24 cm,
∴矩形ABCD的周长为48 cm.
答案：48证明：∵AO=BO,CO=DO，
（圆的相等半径）
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
∵AB=CD(圆的直径相等）
∴四边形ACBD是矩形.
（对角线相等的平行四边形是矩形）3．如图，AB,CD是⊙O的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？证明你的结论．4.如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB,BC和AD,CD分别相交于点B,D．
（1）猜想线段AC和BD间的关系是______；
（2）试用理由说明你的猜想．【解析】（1）相等且互相平分.
(2)理由:∵MN∥PQ,AB,CB分别是∠MAC,∠PCA的平分线,
∴∠BAC+∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°,
同理∠ADC=90°,
∵CB,CD分别是∠PCA,∠QCA的平分线,
∴∠BCA+∠DCA=90°,
∴∠BCD=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD且互相平分.课件21张PPT。3 正方形的性质与判定
第1课时1．掌握正方形的定义及性质，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系．2．正确运用正方形的性质解题．1.有一个内角是 的平行四边形是矩形.
2.有一组 相等的平行四边形是菱形.
3.下列性质中①对角相等②对边相等③对角互补④对角线
相等⑤对角线互相平分⑥对角线互相垂直⑦一条对角线平分
一组对角，矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是 ；菱形具有而一般的平行四边形不具有的
性质是 .
4.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
（把序号填在横线上）
①等边三角形②平行四边形③矩形④线段⑤菱形⑥角.直角邻边③④⑥⑦③④⑤正方形的性质：·边··角··对角线·四条边都相等，对边平行.四个角都是直角相等、互相垂直且平分、每条对角线平分一组对角对称性·是轴对称图形，共有4条对称轴,也是中心对称图形.根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”√√√√√√√√√√√√√√√√【例】如图，在正方形ABCD中，两条对角线相交于O点，OA=2，求∠AOB、∠OAB的度数及BD，AB的长.【例题】解析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠AOB=90°,AC=2OA=4,AC=BD，∴∠OAB= ∠BAD= ×90°=45°,BD=4，在Rt△ABC中， AB2+BC2=AC2, ∴AB2=8，AB=菱形的判别方法：矩形的判别方法：①有一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的平行四边形①有一个角是直角的平行四边形
②有三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形正方形的判定1.定义法：2.对角线法：两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.3.矩形菱形法：既是矩形又是菱形的四边形是正方形.【规律方法】1.正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是（ ）
A.内角和为360° B.对角线平分内角
C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分
2.正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ）
A.对边平行且相等 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.四个角都是直角CB【跟踪训练】3.正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证：OE=OF.EABCDOGF证明：在正方形ABCD中OA=OD，∠AOD=∠AOE=90°，∵∠ODF+∠DFO=90°，∠FAG+∠AFG=90°，∴∠ODF=∠FAG，∴△DOF≌△AOE，∴OE=OF.（1）下列判断中正确的是（ ） A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形1.选择题：D（2）在四边形ABCD中O是对角线的交点，能判定这个四
边形是正方形的是（ ） A.AC = BD，AB∥CD，AB=CD B.AD∥BC，∠A =∠C C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D.AO=CO，BO=DO，AB=BCC（3）（晋江·中考）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2 011个正方形，则需要操作的次数是( ) .A.669 B. 670
C.671 D. 672【答案】B2.AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC于F，求证：EC=EF=FB证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°,∠ACB=45°.
∴BF=EF.
又∵∠FEC=90°,
∴∠EFC=45°,
∴EC=EF（等角对等边）, ∴BF=EF=EC.∵∠AEF=∠B =90°,AB=AE
AF=AF ∴△ABF≌△AEF,3.将一个菱形绕两条对角线的交点旋转90°，所得图形与原来的图形重合，此时的菱形是正方形吗？为什么？解析：是正方形，此菱形的对角线相等4.（青海·中考）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E，OC1交BC于点F.
（1）求证：△AOE≌△BOF.
（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【解析】（1）在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°
∵∠AOE+∠EOB=90°, ∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，∴△AOE≌△BOF.所以：S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF= S△EOB+S△AOE=S△AOB=因为△AOE≌△BOF，(2)两个正方形重叠部分面积等于S正方形ABCD=（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；
（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等.（1）有三个角是直角；（2）是平行四边形，并且有一个角是直角；（3）是平行四边形，并且两条对角线相等.（1） 四条边都相等；（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等；（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直.（1）是矩形，并且有一组邻边相等；（2）是菱形,并且有一个角是直角.课件20张PPT。3 正方形的性质与判定
第2课时2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.1.掌握正方形的判定，并会用它们进行有关的论证和计算.请同学们画一个四边形，要求它既是矩形又是菱形.正方形的定义：由正方形的定义可知，
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形. 有_____________________________的
___________叫做正方形. 一组邻边相等且有一个角是直角平行四边形有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角平行四边形有一个角是直角 有一组邻边相等通过以上回忆，你觉得什么样的四边形是正方形呢?1、要使一个菱形成为正方形需要增加的条件是（ ）.2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是（ ）.3、要使一个平行四边形成为正方形需要增加的条件是：( ) 有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等且有一个角是直角下列三个图形都是正方形,你能说明为什么吗？有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 既是菱形又是矩形的四边形是正方形. 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.1.四个角都相等的四边形是正方形.
2.四条边都相等的四边形是正方形.
3.对角线垂直的平行四边形是正方形.
4.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
5.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
6.对角线垂直且相等的四边形是正方形.╳╳╳√√╳【跟踪训练】例1、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E,F． 求证： 四边形CFDE是正方形．证明：∵ CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC，
∴ DE＝DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
∵ ∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°，
∴ 四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴ 四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．【例题】例2、求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形. 已知：如图，四边形ABCD中对角线AC,BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO， BO＝DO，AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵AO＝CO,BO＝DO, ∴四边形ABCD是平行四边形,又AC＝BD, ∴平行四边形ABCD是矩形, 又∵AC⊥BD, ∴平行四边形ABCD是菱形，
即四边形ABCD是正方形.小结：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形. 要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形,从而得到这个四边形是正方形.1.已知：如图点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且A A′=BB′=CC′=DD′，
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.①由已知正方形证三角形全等；
②证菱形；
③再证直角；
④是正方形.证题思路分析【跟踪训练】ABCDEFG证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线，
DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG，同理：DG=DF，∴DE=DF，∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，又∵∠C=90°， ∴四边形CEDF是矩形，又DE=DF,∴四边形CEDF是正方形.2.在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形.1.（义乌·中考）下列说法不正确的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
【解析】选D.有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形.2.（滨州·中考)如图，四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，
（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么.
（2）要使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应该有怎样的情况？【解析】（1）四边形EFGH是平行四边形.
连接AC,
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，
同理HG∥AC，HG= AC，
∴EF HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等.平行四边形矩形菱形正
方
形3.你能用恰当的方式表示出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系吗？一、正方形的定义：课件14张PPT。2018-10-13画一画，猜一猜 请同学们画一个四边形，
要求它既是矩形又是菱形。2018-10-13 正方形
正方形的性质与判定（1）2018-10-13平行四边形矩形菱形正
方
形请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图2018-10-13正方形的定义 (P20)有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（spuare）。2018-10-13正方形的性质边----角----对角线----对边平行，４边相等４个角都是直角相等、垂直且互相平分，
每一条对角线平分一组对角既是中心对称图形，
又是轴对称图形．对称性----2018-10-13根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”√√√√√√√√√√√√√√√√2018-10-13活动1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?2.怎样使菱形的衣帽架变成正方形的衣帽架?3.昨天,我去超市买了一条方巾，现在想请同学们帮助检验
一下方巾是否是正方形的。2018-10-13矩形菱形正方形有一组邻边相等有一个角是直角识别正方形的方法2018-10-13已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，从下列条件中取出哪些条件后，可使平行四边形ABCD成为正方形。（１） ＡＢ＝ＡＤ； （２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０； （４） ＡＣ⊥ＢＤ。合作探究2018-10-13矩形菱形（２）
（３）（１）
（４）平行四边形正方形（１） ＡＢ＝ＡＤ； （２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０； （４） ＡＣ⊥ＢＤ。2018-10-13例题解析 1.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?2018-10-13 2.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?2018-10-13小结 2018-10-13作业 1、补充完整
2、p21 随堂练习
3、习题1.7完成1、2、3课件17张PPT。10/13/20182.矩形的性质与判定—性质
第一章 特殊平行四边形
10/13/2018两组对边
分别平行四边形平行四边形的性质有：边： 对边平行且相等角：对角相等；邻角互补 对角线：对角线互相平分回忆平行四边形是中心对称图形.10/13/2018有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.四边形两组对边
分别平行 平行
四边形一个角
是直角矩形的定义：矩形是轴对称图形吗？如果是，那么有几条对称轴？轴对称图形10/13/2018一、矩形与平形四边形之间的关系即：矩形是一种特殊的平行四边形探索新知：10/13/2018 矩形还有哪些特殊性质？ 矩形有哪些性质？具有平行四边形的所有性质边：矩形的对边平行且相等角：矩形对角相等；邻角互补对角线：矩形对角线互相平分10/13/2018猜想1、矩形的四个角都是直角．矩形的特殊性质：性质1、矩形的四个角都是直角．10/13/2018已知：如图，矩形ABCD.∴ AC=BD.求证：AC=BD. 2： 矩形的对角线相等．性质10/13/2018矩形的特殊性质性质1、矩形的四个角都是直角．性质2、矩形的两条对角线相等．几何语言:∵四边形ABCD是矩形 AC = BD∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°10/13/2018矩形的性质
边的性质：
矩形的对边平行且相等.
角的性质：
矩形的四个角都是直角.
对角线的性质：
矩形的对角线相等，且互相平分.10/13/20181.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A.对角线相等 B.四个角相等
C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直AD练习1：10/13/20183、如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=3cm，BC=4cm 则AC= cm，BO= cm，
矩形的周长为 cm,
矩形的面积为 cm252.5 练习1：1412矩形的两条边和对角线构成一个 三角形， 是斜边.
求矩形的边长和对角线的问题可转化为直角三角形，利用 解决.直角对角线勾股定理10/13/2018议一议 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半10/13/2018练习解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等）.∴OA=OD，∵∠AOD=120°，又 ∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）.
∴BD=2AB=2×4=8 ( cm ) .10/13/2018议一议今天你有哪些收获？1、矩形与平行四边形之间的关系
2、矩形的性质及推论10/13/2018你会解答吗？△AOB等边三角形对角线的长是6cm10/13/2018想一想：10/13/2018闯关课件13张PPT。2018-10-132.矩形的性质与判定—应用
第一章 特殊平行四边形
2018-10-1313 October 2018复习回顾：矩形1、定义：有一个角是 的 叫做矩形。2、性质和判定：同平行四边形平行四边形直角四个角都是直角对角线相等且互相平分3、对角线相等的平行四边形.2、有三个角是直角的四边形.1、有一个角是直角的平行四边形.ABCD∟∟∟∟O2018-10-1313 October 20183、直角三角形的性质及判定方法：角：直角三角形两锐角互余。线段：边角关系：1、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边
的平方。2、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线
等于斜边的一半。1、直角三角形中，30°角所对的直角边
等于斜边的一半。2、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，
那么这条直角边所对的角等于30°。链接：直角三角形ABCD2018-10-131、已知矩形的一条对角线与一边的夹角
是40°，则两条对角线所成的锐角的
度数是（ ）
A、100° B、90° C、80° D、70°热身运动2、矩形的一边长为6，各边中点围成的四
边形的周长是20 ，则矩形的对角线长
为 ，面积为 。2018-10-13热身运动3、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成
一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、等腰梯形4、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，
若AE⊥BD于E，且
OE∶OD＝1∶2，
AE＝ cm，
则∠AOD = ，
DE＝ cm。2018-10-13（1）求证：DE＝BF；（2）若四边形 BEDF是
菱形，则四边形
AGBD是什么特殊
四边形？并证明
你的结论． 热身运动2018-10-131、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落
在BC边上的F点处。矩形中的折叠问题（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；（2）若AB＝6cm，
AD＝10cm，
求线段CE的
长及△AEF的
面积.2018-10-132、如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF。（1）连结CF，四边形AECF是什么特殊的四边形？为什么？（2）若AB＝4cm，AD＝8cm，你能求出线段BE及折痕EF的长吗？矩形中的折叠问题2018-10-133、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。（1）求对角线OB所在直线的解析式；OCABxy2018-10-133、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。（2）如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M。OCABxy② 试求直线MN的解析式. ① 判断△OBM是什么三角形，并说明理由；2018-10-13 1、给你一张矩形的纸片，你能折叠出一个菱形吗？能折叠出一个正方形吗？课外兴趣题：动一动，想一想2018-10-132、如图，P是矩形ABCD内一点，
PA＝3，PD＝4，PC＝5，
则PB＝ 。EF课外兴趣题：动一动，想一想提示：过点P作其中一边的垂线，利用勾股定理来解。2018-10-13再 见课件12张PPT。2.矩形的性质与判定—判定
第一章 特殊平行四边形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。复习与回顾矩形的判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形例如：∠A= ∠B= ∠C=90°四边形ABCD是矩形例如：例1
练习
小结判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形证明：∵ ∠A= ∠B= ∠C=90°，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∠B + ∠C = 180°，
∴AD∥BC， AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形。例题 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是
等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.1. 对角线相等且一组对边也相等的四边形是矩形．
2. 两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形．
3. 有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形．
4. 有三个角都相等的四边形是矩形． 5. 具备条件____的四边形是矩形． A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直
C．一组对角是直角 D．有三个角是直角 6. 能够判断一个四边形是矩形的条件是 A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
判断题选择题（ ）（ ）（ ）（ ）[ ][ ]课堂练习×√√×CD巩固练习如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD 交于O，如图，
①若∠1=∠2，则平行四边形
ABCD是矩形吗？为什么？
②若△AOB是正三角形，
则平行四边形ABCD是矩形
是矩形吗？为什么？
ADBCO)12(练一练(二)1.已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠AOD= 120°，AB=4cm，求矩形对角线的长。2.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于
点O，△AOB是等边三角形，AB＝ 4 cm。求这
个平行四边形的面积。练一练(三)3.已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线相
交于点E，F， G，H。求证：EG＝FH。4.已知:如图,在△ABC中,∠C＝ 90°,CD为中线,
延长CD到点E,使得 DE＝CD。连结AE，BE，
则四边形ACBE为矩形。
小 结:矩形的判定方法分两类：
从四边形来判定和从平行四边形来判定．常用的判定方法有三种：
定义和两个判定定理．遇到具体题目，
可根据条件灵活选用恰当的方法．小结：提示：判定一个四边形是矩形，应先认清是任
意四边形，还是平行四边形，然后选择适
当的方法判定。
平行四边形的判定有一个角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形有三个角是直角对角线互相平分且相等
