课件13张PPT。第1课时1 认识一元二次方程第二章 一元二次方程ax2+bx+c=0(a?0)1．理解一元二次方程的概念并掌握其一般形式；
2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并从中体会方程的模型思想．你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?1.如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 2.观察下面等式：102＋112＋122＝132＋142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , . x＋1x＋2x＋3x＋4根据题意，可得方程：由上面二个问题我们可以得到二个方程： （1）(100 －2x) (50 － 2x) = 3600 （2）(x＋1)2(x＋2)2＋(x＋3)2(x＋4)2＝＋x2＋化简上面二个方程可得：
（1）4x2 －300x＋1400 = 0,
（2）x2－8x－20＝0.上述二个方程有什么共同特点？
1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数是2； 3.整式方程．观察这二个方程 （1）4x2 －300x＋1400=0, （2）x2－8x－20＝0.概念：只含有 的 ，并且都可以化
为 的形式，这样的
方程叫做一元二次方程．一个未知数x整式方程ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数, a≠0)我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．【定义】下列方程哪些是一元二次方程? 为什么?(2)2x2－5xy＋6y＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2(1)7x2－6x＝0答案: (1)、(4)．(3)2x2－ －1＝0 －13x(4) ＝0－y22【跟踪训练】1.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：3x2－5x＋1＝0x2+x－8＝03-5 111-8-70 4或7x2-4＝070 -4-7x2 +4＝02.关于x的方程(k－3)x2 ＋2x－1＝0,当k 时，是一元
二次方程．3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋2(k－1)x＋2k＋2＝0,当k
时，是一元一次方程．,当k 时，是一
元二次方程．≠3≠±1＝－1总结：ax2＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式；当a=0,b≠０时称为一元一次方程的一般形式．4．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4 尺，竖着比门框高2 尺，另一个醉汉让他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．4尺2尺xx－4x－2x2－12 x＋20＝01．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．
2．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系.
你准备如何去求方程中的未知数呢?课件18张PPT。第2课时1 认识一元二次方程1．经历对方程解的探索过程，理解方程解的意义；
2．会估算一元二次方程的解．1．回答下列问题：一元二次方程的一般形式是什么？
2．指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项．
（1）2x2―x+1=0 （2）―x2+1=0
（3）x2―x=0 （4）―x2=0一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)答案：二次项系数一次项系数常数项（1） 2 -1 1
（2） -1 0 1
（3） 1 -1 0
（4） -1 0 03.什么叫方程的解，什么叫解方程？方程的解就是符合方程的未知数的值．
求方程的解的过程叫做解方程． 这节课我们通过估算的方法探索方程的解的大致范围．1.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的
长为8 m，宽为5 m．如果地毯中央长方形图案的面积为
18m2，则花边多宽?【解析】设花边的宽为x m， 根据题意，可得方程 (8－2x)(5－2x)=18 即：2x2-13x+11=0． 对于方程(8－2x)(5－2x)=18，即2x2-13x+11=0
（1）x可能小于0吗?说说你的理由．
（2）x可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与
同伴进行交流．
（3）完成下表：
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解
方法吗?与同伴进行交流．1150-4-7-9答案：1m 其他求解方法略不可能 理由略不可能 理由略x8m110m7m6m【解析】由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m ； 如果设梯子底端滑动x m，那么滑
动后梯子底端距墙 m；根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2＝1026x＋62.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？10m在这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102，把这个方程化为一般形式为x2+12x-15=0 ．
（1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?为什么?
（2）底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么? 不正确，因为x=1不满足方程．不正确，因为x=2，3不满足方程．（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
（4）x的整数部分是几?十分位部分是几?
请同学们自己算一算，注意组内同学交流哦！下面是小亮的求解过程：由此，他猜测1＜x＜1.5．进一步计算：所以1.1＜x＜1.2，由此他猜测x整数部分是1，十分位部分是1．你的结果是怎样的呢？用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；
②根据题意所列的具体情况再次进行排除；
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据． 【规律方法】上述求解是利用了“两边夹”的思想五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和。你能求出这五个整数分别是多少吗？【跟踪训练】A同学的做法：
设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程：
x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2
即：x2-8x-20=0．所以x=-2或10.因此这五个连续整数依次为-2， -1，0，1，2；或10，11，12，13，14.B同学的做法：
设五个连续整数中的中间一个数为x，那么其余四个数
依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.根据题意，可得方程：(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2
即：x2-12x=0．所以x=0或12.因此这五个连续整数依次为-2，-1，0，1，2；或10，11，12，13，14.1.（天水·中考）若关于x的一元二次方程(m?1)x2+5x+
m2?3m+2=0有一个根是0，则m的值等于（ ） A.1 B.2 C.1或2 D.0B2.（鞍山?中考）已知x=2是关于x的方程x2-2a=0的一个解，则2a-1的值为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】选D.把x=?2代入方程x2-2a=0得，4－2a＝0，∴a＝2.∴2a-1＝3.3.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系：h=10+2.5t-5t2，那么他最多有多长时间完成规定动作?【解析】根据题意，得10+2.5t-5t2=5,即 2t2-t-2=0列表：所以1＜t＜2,进一步列表计算：所以1.2＜t＜1.3,因此他完成动作的时间最多不超过1.3s．1.学习了估算ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）近似解的方法：“两边夹”；
2.知道了估算的步骤；
（1）先确定大致范围
（2）再取值计算，逐步逼近
3.想一想：有没有更便捷的方法求一元二次方程的解呢？课件18张PPT。1.认识一元二次方程(1)第二章 一元二次方程10/13/2018数学与生活你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?10/13/2018你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?与一元一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型。“知识” 知多少10/13/2018教室地面有多宽幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？10/13/2018挑战自我解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：你能化简这个方程吗? （8－2x）（5－2x） (8 － 2x) (5 － 2x) = 18.5xxxx （8－2x）（5－2x）818m210/13/2018你能行吗？观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， ．你能化简这个方程吗?x＋1x＋2x＋3x＋4根据题意，可得方程：
.10/13/2018生活中的数学如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m.
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙 m;
根据题意，可得方程：你能化简这个方程吗?6x＋672＋(x＋6)2 ＝102xm8m10m7m6m10m1m10/13/2018 上面的方程都是只含有 的 ，并且都可以化为 的形式，这样的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念由上面三个问题，我们可以得到三个方程：把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．(8-2x)(５-２x)=18;即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２即 x2 － 8x － 20＝0.（ x＋６）２＋７２＝１０２即 x2 ＋12 x －15 ＝0.上述三个方程有什么共同特点？一个未知数x整式方程ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)10/13/2018“行家”看“门道”下列方程哪些是一元二次方程?(2)2x2－5xy＋6y＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2(1)7x2－6x＝0解: (1)、 (4) 10/13/2018内涵与外延1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k _______ 时，是一元二次方程．2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 时，是一元二次方程．当k 时，是一元一次方程．≠3≠±1＝－110/13/2018解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为 尺,依题意得方程：培养能力之源泉１．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2即x2－12 x ＋20 ＝ 04尺2尺xx－4x－2(x－4)(x－2)10/13/2018培养能力之阵地２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．解：将原方程化简为：
9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)9x2＋12x＋4＝9x2 5x2 ＋ 36 x － 32＝0二次项系数为 ，5＋ 36－ 32一次项系数为 ，常数项为 .536－ 324 x2 －24x ＋36－ 4 x2＋ 24x－ 36＋ 12x＋ 4＝010/13/2018回味无穷本节课你又学会了哪些新知识呢？
１．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．
２．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系
你准备如何去求方程中的未知数呢?10/13/2018知识的升华第32页随堂练习
习题2.1 1 、2题
祝你成功！10/13/2018知识的升华１．根据题意，列出方程：（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽为(x＋2) m，依题意得方程： (x＋5) (x＋2) ＝54即x2 ＋ 7x－44 ＝025xxX＋5X＋254m210/13/2018知识的升华（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242. x2 ＋2x－8 0＝0.即解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意得方程：10/13/2018知识的升华2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：3x2－5x＋1＝0x2 ＋ x－8＝0或－7x2 ＋0 x＋4＝03－5＋11＋1－8－70 43－5 111－8－70 4或7x2 － 4＝070 － 4－7x2 ＋4＝010/13/2018结束寄语运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学思想——方程的思想.
一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.课件13张PPT。1.认识一元二次方程(2)第二章 一元二次方程2018-10-13教室地面有多宽幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？2018-10-13估算一元二次方程的解解：设教室未铺地毯区域的宽为xm , 根据题意得你能求出x吗?怎么去估计x呢？(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.即2x2-13x+11 = 0.x可能小于0吗?说说你的理由.x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.因此,x取值的大致范围是:0则有8-2x=6, 5-2x=3.从而也可以解得x=1.怎么样,你还敢挑战吗?
你能总结出估算的方法步骤和提高估算的能力吗? 0.5 1 1.5 2 28 18 10 4 …2018-10-13生活中的数学如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？解：如果设梯子底端滑动x m，根据题意得你能猜得出x取值的大致范围吗?72+(x+6)2=102即 x2+12x-15=02018-10-13估算一元二次方程的解完成下表(取值计算,逐步逼近): 0.5 1 1.5 2 -8.75 -2 5.25 13你能猜得出x取值的大致范围吗?可知x取值的大致范围是:1１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， ．即 x2-8x-20=0.根据题意，可得方程：
.你能求出这五个整数分别是多少吗?2018-10-13回味无穷本节课你又学会了哪些新知识呢？
学习了估算一元二次方程
ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）
近似解的方法；
知道了估算步骤:
先确定大致范围;
再取值计算,逐步逼近.
想一想,有没有便捷的方法去求方程中的未知数呢?2018-10-13知识的升华P35习题2.2 1 、2题
祝你成功！2018-10-13知识的升华根据题意,列出方程,并估算方程的解：1.一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？解：设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2) m, 根据题意得： x (x＋2) ＝120.即x2 ＋ 2x－120 ＝0.xx+2120m2根据题意,x的取值范围大致是0一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.课件15张PPT。第2课时2 用配方法求解一元二次方程1．会用配方法熟练地解一元二次方程；
2．知道“配方”是一种数学方法，体会转化的数学思想．利用配方法解一元二次方程的步骤： （1）移项:把常数项移到方程的右边;
（2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
（3）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
（4）求解：解一元一次方程得到一元二次方程的解．将下列各式填上适当的项，配成完全平方式．1．x2+2x+_____=(x+____)22．x2-4x+_____=(x-____)23．x2+_____+36=(x+____)24．x2+10x+___ =(x+____)25．x2-x+______=(x-____)2121(-2)2212x6525(-0.5)20.5请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别．1．x2+6x+8=02．3x2+18x+24=0这两个方程有什么联系？由此你想到怎样解二次项系数不是1的一元二次方程呢？【规律方法】如果方程的系数不是1，我们可以在方程的两边同时除以二次项系数，这样转化为系数是1的方程就可以利用学过的知识解方程了！2x2+8x+6=03x2+6x-9=0-5x2+20x+25=0x2+4x+3=0x2+2x-3=0x2-4x-5=0【例1】解方程3x2+8x－3=0．分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程．【解析】两边都除以3，得：
移项，得：
配方，得： （方程两边都加上一次项系
数一半的平方）
即：
所以:【例题】 解方程:x2+12x-15=0 【解析】移项得 x2+12x=15
两边同时加上62，得 x2+12x+62=15+62
即(x+6)2=51
两边开平方，得
所以 【跟踪训练】【例2】一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中
的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t―5 ,小球
何时能达到10m高？【解析】根据题意得
15t-5t2=10
方程两边都除以-5，得
t2-3t=-2
配方，得即∴【例题】请你描述一下，刚才的实际问题中t有两个值，它们所在时刻小球的运动状态.1.（上海·中考）已知一元二次方程x2+x-1=0，下列判断正确的是( )A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定答案：选B.2.（常德·中考）方程x2-5x-6=0的两根为（ ）
A.6和-1 B.-6和1 C.-2和-3 D. 2和3
【解析】选A.移项，得 x2-5x＝6
配方, 得x2-5x＋（- ）2=6＋（- ）2.
即（x- ）2= x- = ,
所以 x1=6，x2=-1. 3.（綦江·中考）解方程x2-2x-1=0
【解析】把常数项移到方程的右边，得
x2-2x＝1
配方得
x2-2x＋（-1）2=1＋（-1）2
即（x-1）2=2
由此可得 x-1= ,
所以 x1=1+ ，x2=1- . 4.解方程:3x2-6x+4=0 【解析】把常数项移到方程的右边，得
3x2 -6x＝-4
二次项的系数化为1，得 x2 -2x＝
两边都加上（-1）2，得
x2-2x＋（-1）2= ＋（-1）2.
即（x-1）2=
因为实数的平方都是非负数，所以无论x取任何实数，
（x-1）2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实根. 1．解二次项系数不是1的一元二次方程的思路： 在方程的两边同时除以二次项系数转化为
二次项系数是1的一元二次方程．
2．解一元二次方程的步骤；
3．利用一元二次方程解决实际问题．课件32张PPT。用配方法求解一元二次方程平方根的定义
完全平方式
旧意新释分析：把 看成整体，再利用平方根定义，两边开平方，得出方程的解.旧意新释分析：方程左边正好可利用完全平方公式
化成再利用平方根定义，两边开平方，得旧意新释∴原方程没实数解练 习分析：方程左边不是完全平方，但 加1，可化成完全平方.利用等式性质1，方程两边同时加1，便可以解方程. 探究1：再利用平方根定义，两边开平方，得解：方程两边同时加1，得探究1： x2+12x+ =(x+6)2; x2+8x+ =(x+ )2;
x2-4x+ =(x- )2;
x2-8x+ =(x- )2.
观察：每一个等式左边所加的项与一次项的系数有什么关系？规律：当二次项系数为1时，等式左边所加的项是一次项系数一半的平方，等式左边变成完全平方式.424探究2：填上适当的数，使下列等式成立做一做例1 解方程x2+8x-9=0你能从这道题的解法归纳出一般的解题步骤吗?2.把常数项移到方程的右边1.将方程化成一般形式3.二次项系数为1，方程两边同时加上一次
项系数一半的平方4.用直接开平方求解 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.5.写出原方程的解归纳一般的解题步骤做一做解下列方程做一做解下列方程做一做解下列方程 例2 解方程 3x2+8x-3=0你能从这道题的解法归纳出一般的解题步骤吗?2.把二次项系数化为16.写出原方程的解1.将方程化成一般形式3.把常数项移到方程的右边4.方程两边同时加上一次项系数一半的平方5.用直接开平方求解归纳配方法解方程的一般步骤课堂
练习1.解下列方程课堂
练习1.解下列方程∴ 原方程无实数根课堂
练习1.解下列方程方案设计 在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.xxx（12－2x）m16mx （16－2x）m 设计方案如图，其中花园四周小路的宽度
都相等，你能求出小路的宽度吗?12m花 园解：设小路的宽度为xm,根据题意，可列方程答：小路的宽度为2m.16m12m 小强的设计方案如图，你能求图中的x吗?花 园 （16－x）m（12－x）m答：图中的x为4m. 印度古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起.”解：设总共有x只猴子，根据题意得 答:一共有猴子48只或者16只.课堂小测验1.解方程课堂小测验1.解方程课堂小测验2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m,另三边用木栏围成，木栏长40m.鸡场解：设与墙垂直的一边长xmxx40-2x根据题意，可列方程答：与墙垂直的一边长10m,鸡场的面积能达到200 .课堂小测验(2)鸡场的面积能达到300 ？墙鸡场x根据题意，可列方程40-2x∴原方程无实数解x2.把二次项系数化为16.写出原方程的解1.将方程化成一般形式3.把常数项移到方程的右边4.方程两边同时加上一次项系数一半的平方5.用直接开平方求解用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤:
回味无穷课件18张PPT。2.4 用因式分解法解一元二次方程2.用公式法解一元二次方程应先将方程化为_________；1用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为___________________的形式；一般形式(x+m)2=n（n≥0） 3.解析：解析：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？解析：设这个数为x，根据题意，
可列方程
x2=3x
∴ x2-3x=0配方法公式法解方程：x2 － 3x=0．当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2. 关键是熟练掌握分解因式的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”1.用分解因式法解方程:(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2).(3) (x+1)2-25=0解析：原方程可变形为
[(x+1)+5][(x+1)-5]=0
∴ (x+6)(x-4)=0
∴x+6=0或x-4=0
∴x1=-6 ， x2=4【规律方法】用分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1.方程的右边为0，左边可分解因式；
2.把左边分解因式；
3.根据“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”转化为两个一元一次方程；
4.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
(1)x2-4=0; (2)(x+1)2-25=0.解析：(x+2)(x-2)=0,∴x+2=0或x-2=0.∴x1=-2, x2=2.1.你能用分解因式法解下列方程吗？解析：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,∴x+6=0或x-4=0.∴x1=-6, x2=4.解析：设这个数为x,根据题意,得∴x=0或2x-7=0.2x2=7x.2x2-7x=0,x(2x-7) =0,1.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 参考答案：
1. 2. 2.用分解因式法解下列方程3.观察下列各式,也许你能发现些什么?【解析】通过观察上述的式子，可得以下两个结论：
（1）对于一元二次方程（x-p）（x-q）=0，那么它的两个
实数根分别为p、q；
（2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p、q，那么这
个一元二次方程可以写成（x-p）(x-q)=0的形式， 一般地,要在实数范围内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o)的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.二次三项式ax2+bx+c 的因式分解即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)4.（2010·惠安中考）解方程:x2-25=0
【解析】(x+5)(x-5)=0
∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.课件23张PPT。第二章 一元二次方程2.4 用因式分解法求解一元二次方程配方法我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square)平方根的意义:完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2.用配方法解一元二次方程的方法的助手:配方法用配方法解一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.公式法一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solving by formular).老师提示:
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.你能解决这个问题吗一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得小颖做得对吗?小明做得对吗?你能解决这个问题吗一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得小亮做得对吗?分解因式法当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法.老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”分解因式法用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).分解因式法解一元二次方程的步骤是:2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.1.化方程为一般形式;1 .x2-4=0; 2.(x+1)2-25=0.解：1.(x+2)(x-2)=0,∴x+2=0,或x-2=0.∴x1=-2, x2=2.淘金者你能用分解因式法解下列方程吗？2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,∴x+6=0,或x-4=0.∴x1=-6, x2=4.这种解法是不是解这两个方程的最好方法?
你是否还有其它方法来解?争先赛1.解下列方程:解：设这个数为x,根据题意,得∴x=0,或2x-7=0.2x2=7x.2x2-7x=0,x(2x-7) =0,先胜为快一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.用分解因式法解 参考答案：
1.我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?观察下列各式,也许你能发现些什么一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解回味无穷当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.明确1、用因式分解法解一元二次方程时，等号的一边必须是0.
2、另一边可分解成两个因式乘积的形式.自学指导2自学课本68页例1，明确：
1、对题目中的两个方程的一边都是采用哪种方法因式分解的？提取的公因式有什么不同点？2、你能仿照课本上的方法解这两个方程
吗？解下列方程：
(1)5x2=4x (2)x-2=x(x-2)学以致用用分解因式法解下列方程：
(1)(x+2)(x-4)=0
(2)4x(2x+1)=3(2x+1)想一想你能用分解因式法解下列方程吗？
(1)x2-4=0
(2)(x+1)2-25=0
(3)x2-10x+25=0合作探究1、一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.2、解下列方程：
(1)5(x2-x)=3(x2+x)
(2)(x-2)2=(2x+3)2知识链接分解因式
1、x2-3x
2、x-2-x(x-2)
3、(x-2)2-(2x+3)2
4、x2-10x+25自学指导1<2分钟>自学课本从67到68页“议一议”上面的内容，明确：
1、小颖、小明、小亮解方程的方法有什么不同？
2、谁的解法不对？错在什么地方？为什么？课件24张PPT。6 应用一元二次方程
第1课时1.了解几种特殊图形的面积公式.
2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题.
1.列方程解应用题有哪些步骤?
对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握.
前面，我们学习了一元二次方程的解法，现在，我们要学习利用一元二次方程解决实际问题——面积问题. 2.直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
3.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
4.梯形的面积公式是什么？
5.菱形的面积公式是什么？
6.平行四边形的面积公式是什么？
7.圆的面积公式是什么？【例1】要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?【解析】这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7.【例题】 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm
依题意得解得 左、右边衬的宽度为:故上、下边衬的宽度为:解方程得(以下请自己完成)方程的哪个根合乎实际
意义?为什么?解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm,依题意得【例2】学校为了美化校园环境，在一块长40m、宽20m的长方形空地上计划新建一块长9m、宽7m的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1m2，请你给出你认为合适的三种不同的方案. （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2m2？如果能，
请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.【例题】【解析】(1)方案1：长为 m，宽为7m;方案2：长为16m，宽为4m;方案3：长=宽=8m;注：本题方案有无数种（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面
积不能增加2m2.由题意得长方形长与宽的和为16m.设长方形花圃的长为xm，则宽为（16-x）m.x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0，∴此方程无解.∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2m21．用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.【解析】设这个矩形的长为xcm,则宽为 cm,即x2-10x+30=0这里a=1,b=－10,c=30,∴此方程无解.∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.【跟踪训练】2.某校为了美化校园,准备在一块长32m,宽20m的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540m2.(2)【解析】（1)如图，设道路的宽为xm，则化简得，其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.∴图(1)中道路的宽为1m.则横向的路面面积为 （2）解析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540m2.解法一、 如图，设道路的宽为xm，32x m2,纵向的路面面积为 20x m2.注意：这两个面积的重叠部分是x2,所列的方程是不是？图中的道路面积不是m2.(2)而是从其中减去重叠部分，即应是m2其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：草坪面积为32×20-100=540 （m2）答：所求道路的宽为2m.解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）横向路面:如图，设路宽为xm，32xm2纵向路面面积为:20xm2草坪矩形的长（横向）为:草坪矩形的宽（纵向:）为：相等关系是：草坪长×草坪宽=540m2(20-x)m（32-x)m再往下的计算、格式书写与解法一相同.(2)1.如图是宽为20m,长为32m的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570m2,问:道路宽为多少米?【解析】设道路宽为xm，化简得，其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1m.则2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.化简得，答:小路的宽为3 m.【解析】设小路宽为x m，则3. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2，
（1）求S与x的函数关系式;
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？【解析】(1)设宽AB为xm，
则BC为(24-3x)m，这时面积
S=x(24-3x)=-3x2+24x
(2)由(1)可知，-3x2+24x=45
化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得 ≤x＜8
∴x2=3不合题意， ∴AB=5，即花圃的宽AB为5m1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应
用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答.2.这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所
得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否都符合实际问
题的要求. 通过本课时的学习，需要我们掌握：课件21张PPT。6 应用一元二次方程
第2课时1.掌握列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、
列、解、检、答．
2.建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比
较几个对象的变化状况． 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?分解因式法 (x-p)(x-q)=0直接开平方法配方法x2=a (a≥0)(x+m)2=n (n≥0)公式法【例1】 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个？ 开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，
他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______人
患了流感； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，
用代数式表示，有_______人患了流感．【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人．【例题】列方程1＋x +x(1+x)=121解方程，得x1=____, x2=_____平均一个人传染了____个人．1010-12 平均每人传染10人，第二轮传染的人数是110人，第三轮为10×(1+10+110)＝1210，三轮共传染了1+10+110+1210＝1331人三轮传染的总人数为：(1+x)+x(1+x)+x[1+x+x(1+x)]=(1+10)+10(1+10)+10×[1+10+10(1+10)]= 11+110+1210=1331如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？【例题】【例2】两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？【例题】【解析】
容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为：
乙种药品成本的年平均下降额为：
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．（5000－3000）÷2＝1000（元）（6000－3600）÷2＝1200（元）设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品成本为5000（1－x）2元，于是有5000（1－x）2=3000解方程，得:x1≈0.225，x2≈1.775根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％6000 ( 1－y )2 = 3600设乙种药品的下降率为y列方程解方程，得y1≈0.225，y2≈－1.775根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.甲乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5％乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率．得到的结论就是：甲乙两种药品的平均下降率相同成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大．不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率． 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，
它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个
对象的变化状况？【思考】如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200n mile处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
(1)小岛D和小岛F相距多少海里?
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，
军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E
处，那么相遇时补给船航行了多少海
里?（结果精确到0.1n mile）【跟踪训练】【分析】
(1）依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．
（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．（2）设相遇时补给船航行了xn mile，则DE=xn mile，
AB+BE=2xn mile，EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x) n mile，
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2
整理得：3x2-1200x+100000=0
解这个方程得：
∵300-2x＞0，x＜150，x2不合题意，舍去.
所以，相遇时补给船大约航行了118.4n mile.1.（威海·中考）小明家为响应节能减排号召，计划利用
两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3 125kg降至
2 000㎏﹙全球人均目标碳排放量﹚，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是 ．
【解析】设小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率为x，根据题意可列出方程3 125（1-x)2=2 000，解得=1.8（不合题意舍去），x=0.2=20% .
答案：20% 2.某公司在2012年的盈利额为200万元，预计2014年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2013年的盈利额为______万元．
【解析】设每年比上一年盈利额增长的百分率是x.则
200（1+x）2=242.
解得：200（1+10%）=220.
答案:220 3.（安徽·中考）在国家宏观调控下，某市的商品房成交
价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2
⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据： ）⑵如果房价继续回落，按此降价的百分
率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破
10000元/m2？请说明理由。【解析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率为x,依题意，得
14000（1-x)2=12600.
解得x1=0.05,x2=1.95(不合题意，舍去）.
因此4、5两月平均每月降价的百分率为5%.
（2）如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交价为12600（1-x)2=12600×0.9=11340＞10000.
所以7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2.4.（烟台·中考）去冬今春，我国西南地区遭遇历史上
罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井的作业任
务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机
械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？
【解析】设原计划每天打x口井，由题意可列方程
解得x1=3，x2=-6（不合题意舍去）经检验，
x2=3是原方程的根.
答：原计划每天打3口井.1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程
解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
2.建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地
比较几个对象的变化状况的问题． 通过本课时的学习，需要我们掌握：课件19张PPT。2.6 应用一元二次方程第一环节 课前准备----构建知识结构㈠ 问题情境--- —元二次方程
㈢本章的难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法.㈡本章的重点：一元二次方程的解法和应用.1、定义：2、解法：3、应用 ：⑴ 直接开平方法⑵ 配方法⑶ 公式法 ax2+bx+c=0
(a≠0，b2-4ac≥0)的解为：⑷ 分解因式法可化为ax2+bx+c=0(a≠0)的整式方程 其关键是能根据题意找出等量关系.列方程解应用题的基本步骤:复习①理解问题②制订计划③执行计划④回顾---找等量关系 ---设元------列------解------检 ------答 ------分析题意【例1】如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里,其中 )∵AD=CD BF=CF 解：连接DF,∴DF是△ABC的中位线∵DF//AB且DF= AB∵AB┴BC AB=BC=200∴DF┴BC DF=100（海里）BF=100（海里）ABDCEF200?200若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军舰的行程应为AB+BE=2X海里.
EF=AB+BF-(AB+BE) =(300-2X)海里
答:相遇时补给船航行了约118.4海里.（不合题意，舍去）
整理得
解这个方程得
练习：如图所示，?ABC中，∠B=90°，BC=6cm,AB=8cm,点P从C点开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BA向A点以2cm/s的速度移动．
（1）如果P,Q分别从C,B同时出发，经几秒钟，?PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从C，B同时出发，并且P到B后又继续在BA边上前进，Q到A点后又在AC边上前进，经几秒钟，使?PAQ的面积等于12.6cm2？ 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？ 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价
应为 元。?1. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:当销售价每降价0.1元时,其销售量就将多售出100张.商场要想平均每天盈利达到120元,每张贺年片应降价多少元?2. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进台灯多少个?. 3.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?销售问题销售问题4.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?1.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.5万册.求这两年的年平均增长率.分析:等量关系为经过两年平均增长后的图书=7.5万册.三、平均增长（或降低）率问题
三、平均增长（或降低）率问题
2.在国家宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2
⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据： ）
⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由.【解析】（1）设4、5两月平均每月降价率为x,依题意，得14000（1-x)2=12600.
解得x1=0.05,x2=1.95(不合题意，舍去）.
因此4、5两月平均每月降价率为5%.
（2）如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交价为12600（1-x)2=12600×0.952=11371.5＞10000.
所以7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2. 巩固练习：
分别列出下面几个问题的方程．
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的
b倍，求每年平均增长的百分率．
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加
到b万元，求每年平均增长的百分数．
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的
b倍，求每年增长的百分数．设某产品原来的产值是a，平均每次增长的百分
率为x，则增长一次后的产值为a （1+ x ），增
长两次后的产值为a （1+ x ）2，……增长n次后的产值为a （1+ x ）n ． 回味无穷列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是:
找出相等关系.
关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)课件31张PPT。第二章 一元二次方程 复习一元二次方程定义解法应用定义及一般形式: 1.定义
只含有一个未知数,未知数的最高次数是______的___式方程,叫做一元二次方程。
一般形式:________________
[注意] 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．二次整ax2+bx+c=o (a≠o)2.一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为 、 和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
①
②
③
④
⑤
⑥
；（ × ）（× ）（ × ）（√）（×）（×）2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：___________, 其二次项系数是____,一次项是____,常数项是____.
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
2x2-3x-1=02-3x-1C解一元二次方程的方法有几种?1．直接开平方法
直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝ ；当b＜0时，方程没有实数根．
2．配方法
(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方．
(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1；
②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；
③配方，方程两边同时加上 ，并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根．
3．公式法
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝ _______________________________________.
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
②确定a，b，c的值；
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．4．分解因式法
用分解因式法解一元二次方程的一般步骤
(1)将方程变形为右边是0的形式；
(2)将方程左边分解因式；
(3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程；
(4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解．解下列方程
１(x+2)2=９（用直接开平方法）
2、x2-2x-1 =0（用配方法）
3、 （用公式法）
4、 (用因式分解法）
① 二次项系数化为1；
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
步骤归纳配方法步骤①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解。步骤归纳分解因式法步骤选用适当方法解下列一元二次方程1、 (2x+1)2=64 ( 法）
2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 法）
3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 法）
4、 x２-４x-10=０ ( 法）
5、 ３x２-４x-５=０ ( 法）
6、 x２＋６x-1=0 ( 法）
7、 x２ -x-３=０ ( 法）小结：选择方法的顺序是：
直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
分解因式分解因式 配方公式配方公式直接开平方 一元二次方程根的判别式两不相等实根两相等实根无实根一元二次方程判别式的情况根的情况定理与逆定理两个不相等实根 两个相等实根 无实根(无解)1.已知一元二次方程 下列判断正确的是（ ）
A.该方程有两个相等的实数根。
B.该方程有两个不相等的实数根。
C.该方程无实数根。
D.该方程根的情况不确定。
2.已知关于x的一元二次方程 有实
数根，则m的取值范围是＿＿＿＿＿＿B 3.已知a,b,c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4,且关于x的方程 有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。 是一元二次方程 的两个根
，则
不解方程，写出方程 的两根之和
，两根之积
根与系数的关系3-11.方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（ ）
A.x=5 B.x=5或x=6 C.x=6 D.x=5或x=7
2.若a是方程 的一个根，则代数式 的值是＿＿＿＿
3. 解方程：一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的应用把握住：一个未知数，最高次数是2， 整式方程一般形式：ax2+bx+c=0（a?0）直接开平方法：
适应于形如（x-k）2 =h（h>0）型
配方法： 适应于任何一个一元二次方程
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。
3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
6. 作答注意单位。列方程解应用题的解题过程。两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少?某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少? 某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行。如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到0.01%) . 某军舰以20节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行,它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处的正南方向的B处, AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰 ?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个
正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?
(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.
用列方程的法去解释或解答一些生活中的现象或问题是一种重要的数学方程方法——即方程的思想.
小结课件12张PPT。第二章 一元二次方程
2.2.1 配方法（一） 你还认识“老朋友”吗平方根的意义:
旧意新释:
(1).解方程 (1) x2=5. 老师提示:
这里是解一元二次方程的基本格式,要按要求去做.你还能规范解下列方程吗?
解方程 (2) x2=4.
解方程 (3) (x+2)2=5.
解方程 (4) x2+12x+36=5.
解方程 (5) x2+12x= -31.
解方程 (6) x2+12x-15=0.
解方程 (7) x2+8x-9=0. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2.如:x2+12x+ =(x+6)2; x2-4x+ =(x- )2; x2+8x+ =(x+ )2.（3）上节课我们研究梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2+12x-15=0,你能仿照上面几个方程的解题过程,求出x的精确解吗?你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里? (小组交流）将方程转化为（x+m)2=n(n≥0)的形式是解本题的难点，这种方法叫配方法．（2）你会解下列一元二次方程吗？
x2=5 x2+2x+1=5
2x2+3=5 (x+6)2+72=102 （3）解梯子底部滑动问题中的x满足的方程：
x2+12x-15=0 解：移项得 x2+12x=15，
两边同时加上62得，x2+12x+62=15+36，
即(x+6)2=51
两边开平方，得
所以：
但因为x表示梯子底部滑动的距离,
所以 不合题意舍去。
答：梯子底部滑动的距离是 米。解一元二次方程的思路是将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方转化为一元一次方程，便可求出它的根．1．x2+12x+ =(x+6)2
2．x2-6x+ =(x-3)2
3．x2-4x+ =(x - )2
4．x2+8x+ =(x + )2问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2+ax的式子如何配成完全平方式？6232222424做一做：填上适当的数，使下列等式成立解方程：x2+8x-9=0．解：把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9
两边都加上42，（一次项系数8的一半的平方）得
x2+8x＋42=9＋42.
即 （x+4）2=25
两边开平方，得 x+4=±5,
即 x+4=5,或x+4=-5.
所以 x1=1,x2=-9. 【例题】我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square)
【规律方法】利用配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项：把常数项移到方程的右边;
（2）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
（3）变形：方程左边分解因式,右边合并同类项;
（4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
（5）求解：解一元一次方程；
（6）定解：写出原方程的解．知识的升华１．根据题意，列出方程：1.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应是多少？解：设道路的宽为 x m，根据题意得 (35-x) (26-x) ＝850.即x2 - 61x－60 ＝0.解这个方程,得x1 ＝1;
x2 ＝60(不合题意,舍去).答:道路的宽应为1m.2.解下列方程:
(1)
(2) 解：(1)移项 ，得 （2）移项，得
配方，得
配方，得
开平方，得
【跟踪训练】3.若n(n?0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为 ．答案：?2.4.一元二次方程 的解为
____________．【解析】∵一元二次方程 ∴x2=3 ∴x= ∴x1= ，x2=－
答案：x1= ，x2=－1．配方法解一元二次方程的基本思路是什么？2．配方法解一元二次方程应注意什么问题？将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方即可求出它的解．关键的一步就是配方，两边都加上一次项系数绝对值的一半的平方．课件13张PPT。2.2.2 配方法解一元二次方程（2） 1、平方根的意义:2、完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).1.x2+2x+________=(x+______)25. x2-x+________=(x-______)24.x2+10x+________=(x+______)22.x2-4x+________=(x-______)23.x2+________+36=(x+______)2习题回望抢答！请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别1.x2+6x+8=02.3x2+18x+24=0探究思路这两个方程有什么联系？【规律方法】如果方程的系数不是1，我们可以在方程的两边同时除以二次项系数，这样转化为系数是1的方程就可以利用学过的知识解方程了！2x2+8x+6=03x2+6x-9=0-5x2+20x+25=0x2+4x+3=0x2+2x-3=0x2-4x-5=0例2：解方程：３x2+8x－3=o分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。解：两边都除以3，得：
移项，得：
配方，得： （方程两边都加上一次项系数一半的平方）
即：
所以:
１.用配方法解方程x2+2x－1=0时
①移项得__________________
②配方得__________________
即（x+__________）2=__________
③x+__________=__________或x+__________=__________
④x1=__________,x2=__________
２.用配方法解方程2x2－4x－1=0
①方程两边同时除以2得__________
②移项得__________________
③配方得__________________
④方程两边开方得__________________
⑤x1=__________,x2=__________随堂练习1、有配方法解下列方程
（1）x2+12x=-9
(2) -x2+4x-3=02、用配方法说明：不论 k取何实数，多项式k2-3k+5的值必定大于零 (1）把二次项系数化为1；
（2）移项：方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
（5）求解:解一元一次方程;
（6）定解:写出原方程的解.3.用配方法解下列方程
(1)x2+5x－1=0
(2)2x2－4x－1=0
(3) x2－6x+3= ０一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中
的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t―5 ,小球
何时能达到10m高？【解析】根据题意得
15t-5t2=10
方程两边都除以-5，得
t2-3t=-2
配方，得即∴牛刀小试请你描述一下，刚才的实际问题中t有两个值，它们所在时刻小球的运动状态.用配方法解一元二次方程的步骤:1.移项:把常数项移到方程的右边;
2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
3.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
5.求解:解一元一次方程;
6.定解:写出原方程的解.
