1.1 直线的倾斜角和斜率
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点)
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 直线的确定及直线的倾斜角
阅读教材P61至P62“图2-5”前面部分，完成下列问题.
1.直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向.
2.直线的倾斜角：(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示.
(2)范围：0°≤α<180°.
如图2-1-1中标注的α表示直线l的倾斜角的是( )
图2-1-1
A.① B.①② C.①③ D.②④
【解析】 结合直线l的倾斜角的概念可知①正确，选A.
【答案】 A
教材整理2 直线的斜率
阅读教材P62“图2-5”以下至P64“例1”以上部分，完成下列问题.
1.直线的斜率与斜率的计算公式：
(1)直线的斜率：
直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝
(2)经过两点的直线斜率的计算公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
2.斜率与倾斜角的关系：
图示
倾斜角
(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α
＜180°
斜率
(范围)
k＝0
k＞0
不存在
k＜0
已知A(a,0)，B(2，)，且kAB＝，求a.
【解】 kAB＝＝，解得a＝1，所以a的值为1.
[小组合作型]
直线的倾斜角
一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A.α B.180°－α
C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α
【精彩点拨】 由题意知直线l的上半部分可能在y轴的左侧或右侧，因此可借助图形解之.
【自主解答】 如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
【答案】 D
求直线的倾斜角的方法及两点注意：
(1)方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解.
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
[再练一题]
1.设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，有下列四个选项：①α＋45°；②α＋135°；③α－45°；④135°－α，则直线l1的倾斜角可能的取值是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
【解析】 当α≥45°时，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α，故选B.
【答案】 B
求直线的斜率
(1)已知点A(4，－5)，B(2，－3)，则直线AB的斜率kAB＝________；
(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________.
【精彩点拨】 利用直线的斜率公式求解.
【自主解答】 (1)kAB＝＝＝－1.
(2)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在.
当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.
【答案】 (1)－1 (2)0
1.熟记斜率公式是解答本题的关键.
2.求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义.当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在.
[再练一题]
2.已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R).
(1)求直线l的斜率；
(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值.
【解】 (1)当m＝2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在.
当m≠2时，直线l的斜率k＝＝.
(2)∵α＝45°，∴k＝tan α＝1，
∴＝1，即m－2＝1，∴m＝3.
[探究共研型]
斜率的应用
探究1 若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值.
【提示】 ∵A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC，
∴＝，解得k＝6.
探究2 已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4,7)，试判断这三点是否共线？
【提示】 ∵kAB＝＝2，kAC＝＝2
∴kAB＝kAC.
∴直线AB与AC重合，∴点A，B，C共线.
已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1).
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.
【精彩点拨】 (1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2)可采用数形结合法来解.
【自主解答】 (1)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝，
kAC＝＝.
∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°；
tan 60°＝，∴BC的倾斜角为60°；
tan 30°＝，∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围是.
1.求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围.
2.利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线?kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在.
3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题.
[再练一题]
3.已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(3,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围.
【解】 如图所示，设直线l，PA，PB的倾斜角分别是α，α1，α2.
当l与线段AB相交时，
有0＜α2≤α≤α1＜，
则tan α2≤tan α≤tan α1，
∴kPB≤k≤kPA.
又kPA＝＝4，kPB＝＝，
∴≤k≤4，即直线l的斜率的取值范围是.
1.对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 由直线的倾斜角和斜率的定义可知①②③正确.
【答案】 C
2.若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于( )
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
【解析】 由题意，得kPQ＝＝1，解得m＝1.
【答案】 A
3.在平面直角坐标系中，直线AB的位置如图2-1-2所示，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________.
图2-1-2
【解析】 根据倾斜角定义可知直线AB的倾斜角为30°，
∴k＝tan 30°＝.
【答案】 30°
4.若直线的倾斜α＝30°，则该直线的斜率k＝________.
【解析】 k＝tan 30°＝.
【答案】
5.如图2-1-3，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率.
图2-1-3
【解】 如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，则有OE＝ED＝DA＝1，CE＝BD＝1，所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，所以kOC＝＝1，kOA＝kBC＝0，所以OA，BC，CO三边所在直线的倾斜角分别为0°，0°，45°.又OC与AB倾斜角互补，则直线AB的倾斜角为180°－45°＝135°.
第1课时 直线方程的点斜式
1.掌握直线方程的点斜式.(重点)
2.了解直线在y轴截距的概念.(易混点)
3.了解斜截式与一次函数的关系.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 直线的点斜式和斜截式方程
阅读教材P65“练习”以下至P66“例2”以上部分，完成下列问题.
1.直线的方程：如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：
(1)直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；
(2)满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上.
2.直线的点斜式和斜截式方程：
名称
点斜式
斜截式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
适用范围
斜率存在
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点斜式y－y1＝k(x－x1)只适用于不平行于x轴且不垂直于x轴的任何直线.( )
(2)斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线.( )
(3)＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线的方程.( )
【解析】 (1)点斜式y－y1＝k(x－x1)适用于平行x轴的直线，所以(1)错.
(2)正确.
(3)中不含点P1(x1，y1)，所以不能表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线，因此(3)错.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 直线l的截距
阅读教材P66“例2”以下至P67“练习1”以上部分，完成下列问题.
1.在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标.
2.在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的横坐标.
在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4的斜率相等的直线方程为________.
【解析】 ∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，故所求直线的斜率为－3，又截距为2，
∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.
【答案】 y＝－3x＋2
[小组合作型]
直线的点斜式方程
根据条件写出下列直线方程的点斜式.
(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；
(2)经过原点，倾斜角为60°；
(3)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.
【精彩点拨】 先由倾斜角求斜率，再代入点斜式方程即可.
【自主解答】 (1)直线斜率为tan 45°＝1，
∴直线方程为y－4＝x＋1.
(2)直线斜率为tan 60°＝，∴所求直线的方程为y＝x.
(3)直线斜率为0，∴直线方程为y＝1.
1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0).
2.点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但斜率不存在的直线除外.
[再练一题]
1.求满足下列条件的直线的点斜式方程.
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点.
【解】 (1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，
由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4).
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线的点斜式方程为y－(－4)＝0×(x－3).
(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.
又∵直线过点P(－2,3)，
∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2).
直线的斜截式方程
求满足下列条件的直线的斜截式方程.
(1)倾斜角为60°，在y轴上的截距为－3；
(2)经过点A(－1,2)，在y轴上的截距为－2.
【精彩点拨】 利用斜截式写出直线的方程，应先确定斜率和截距.
【自主解答】 (1)所求直线的斜率k＝tan 60°＝.
又直线在y轴上的截距为－3，代入直线的斜截式方程，
得y＝x－3.
(2)法一：∵直线在y轴上的截距为－2，
∴设直线的斜截式方程为y＝kx－2，
∵点A(－1,2)在此直线上，∴2＝k·(－1)－2，∴k＝－4，
∴直线方程为y＝－4x－2.
法二：由于直线过点(－1,2)和(0，－2)，
∴直线斜率k＝＝－4，
又直线在y轴上的截距为－2，
∴斜截式方程为y＝－4x－2.
1.已知直线的斜率或直线与y轴的交点坐标时，常用斜截式写出直线方程.
2.利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在.当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距.
[再练一题]
2.根据条件写出下列直线方程的斜截式.
(1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为2；
(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝2x＋3的相同.
【解】 (1)法一：易知直线的斜率存在，
设直线方程为y＝k(x－2)，
∵点A(3,4)在直线上，
∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，
∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.
法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)，
则直线的斜率k＝＝4，
由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8，
∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.
(2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1，
直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3，
所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.
[探究共研型]
点斜式、斜截式的应用
探究1 已知直线l：y＝k(x－1)＋2不经过第二象限，如何求k的取值范围？
【提示】 由l的方程知l过定点A(1,2)，斜率为k，则kOA＝2(O为坐标原点)，数形结合可知，k≥2时满足条件.
探究2 直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12，请求出直线l的方程.
【提示】 设直线l的方程为y＝x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b，
∴|b|＋＋＝12，解得b＝±3，
∴所求的直线方程为y＝x±3.
已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.
【精彩点拨】 先判断直线的斜率一定存在，设出直线方程的点斜式或斜截式，再去构造方程求解.
【自主解答】 显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，
令y＝0，得x＝－－2，
于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
＝4，
即(2k＋3)＝±8.
若(2k＋3)＝8，
则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解.
若(2k＋3)＝－8，
则整理得4k2＋20k＋9＝0，
解之，得k＝－或k＝－.
所以直线l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2).
直线的点斜式和斜截式方程的应用：
(1)无论是用直线的点斜式还是斜截式求直线的方程，都需要引入两个参数，前者需要引入斜率k和点P(x0，y0)，而后者需要引入斜率k和y轴上的截距b.
(2)在求直线的方程时，往往采用“待定系数法”，即先设出参数，然后利用条件得到相应的方程，在应用中体会方程的思想.
(3)数形结合是数学的基本思想之一，在解决有关直线的问题时，结合图形利用平面几何的知识，往往能直观得到直线的特征(倾斜角、斜率、在y轴上的截距等)，这样确定直线方程时更加便捷.
[再练一题]
3.已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程.
【解】 设直线方程为y＝x＋b，
则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知可得·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.
1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
【解析】 方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.
【答案】 C
2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A.k>0，b>0 B.k>0，b<0
C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
【解析】 ∵直线经过一、三、四象限，
∴如图所示，则由图知，k>0，b<0.
【答案】 B
3.斜率为4，且经过点(2，－3)的直线方程是________.
【解析】 由直线的点斜式方程可得y＋3＝4(x－2).
【答案】 y＋3＝4(x－2)
4.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过点P(3,3)，则直线l的方程为________.
【解析】 直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在.又直线过点P(3,3)，所以直线l的方程为x＝3.
【答案】 x＝3
5.已知所求直线的斜率是直线y＝－x＋1的斜率的－，且分别满足下列条件：
(1)经过点(，－1)；
(2)在y轴上的截距是－5.分别求该直线的方程.
【解】 ∵直线方程为y＝－x＋1，∴k＝－.
由题知，所求直线的斜率k1＝－×＝.
(1)∵直线过点(，－1)，
∴所求直线方程为y＋1＝(x－).
(2)∵直线在y轴上的截距为－5，
∴所求直线方程为y＝x－5.
第2课时 直线方程的两点式和一般式
1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化.(重点)
2.了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 直线方程的两点式
阅读教材P67“练习1”以下至“例5”以上部分，完成下列问题.
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上的任意两点.
1.两点满足的条件：x1≠x2且y1≠y2.
2.形式：＝.
过点A(5,6)和点B(－1,2)的直线方程的两点式是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
【解析】 代入两点式方程，得＝，故B正确.
【答案】 B
教材整理2 直线方程的截距式
阅读教材P67“例5”以下至P68“抽象概括”以上部分，完成下列问题.
1.形式：＋＝1.
2.a，b的几何意义：a为直线在x轴上的截距；b为直线在y轴上的截距.
已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为________.
【解析】 由直线方程的截距式，得＋＝1.
【答案】 ＋＝1
教材整理3 直线方程的一般式
阅读教材P68“抽象概括”以下至“例6”以上部分，完成下列问题.
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)表示.( )
(2)直线方程的特殊形式都可以转化为直线方程的一般式，但一般式不一定能转化为每一种特殊形式.( )
(3)直线的一般式方程有A，B，C三个系数，所以需要由三个已知条件才能确定直线的一般式方程.( )
(4)直线的一般式方程中直线的斜率为－.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
[小组合作型]
直线方程的两点式和截距式方程
求满足下列条件的直线方程.
(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；
(2)在x轴、y轴上的截距分别为4，－5；
(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等.
【精彩点拨】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑.
【自主解答】 (1)由两点式得＝，化简得2x＋3y－5＝0.
(2)由截距式得＋＝1，化简为5x－4y－20＝0.
(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1.
因为直线过点P(2,3)，所以＝1，即a＝5.
直线方程为＋＝1.
所以所求直线方程为3x－2y＝0或＋＝1.
1.已知直线上的两点坐标.应验证两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，也可先求出直线的斜率，再利用点斜式求解.
2.若已知直线在x轴，y轴上的截距(都不为0)，用截距式方程最为方便.
[再练一题]
1.(1)直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________；
(2)过点(0，－3)和(2,0)的直线的截距式方程为________；
(3)过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.
【解析】 (1)将(－1,2)和(2,5)代入＝，得＝，即＝.
(2)因为直线在x轴，y轴上的截距分别为2，－3，由直线方程的截距式，得方程为＋＝1.
(3)设方程的截距式为＋＝1，则由题意得解得所以直线方程为＋＝1.
【答案】 (1)＝ (2)＋＝1 (3)＋＝1
直线方程的一般式
设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值.
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
【精彩点拨】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式.
【自主解答】 (1)由题意可得
由①得m≠－1且m≠3，
由②得m＝－或m＝3，
∴m＝－.
(2)由题意得
由③得m≠－1且m≠，
由④得m＝－2或m＝－1，∴m＝－2.
1.一般式化为斜截式的步骤：
(1)移项得By＝－Ax－C；
(2)当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.
2.一般式化为截距式的步骤：
方法一：
(1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
(2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
(3)化为截距式：＋＝1.
方法二：
(1)令x＝0求直线在y轴上的截距b；
(2)令y＝0求直线在x轴上的截距a；
(3)代入截距式方程＋＝1.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，不会将一般式化为两点式和点斜式.
[再练一题]
2.下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是( )
A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0
C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0
【解析】 将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B，C两项.
又y＝－x＋14过点(0,14)，即直线过第一象限，
所以只有B项正确.
【答案】 B
[探究共研型]
直线方程的综合应用
探究1 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，能否得不论a为何值，直线l总经过第一象限？
【提示】 将直线l的方程整理为y－＝a，
∴直线l过点A，而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限.
探究2 上述问题中，为使直线不经过第二象限，如何求a的取值范围.
【提示】 要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－≤0，∴a≥3.
已知直线l：＋＝1.
(1)若直线的斜率是2，求m的值；
(2)若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，求此直线的方程.
【精彩点拨】 (1)将直线方程转化为斜截式，利用斜率为2列方程求m.
(2)先表示出三角形的面积，利用二次函数求最值.
【自主解答】 (1)直线的斜截式方程为
y＝·x＋4－m.
令1－＝2，解得m＝－4.
(2)由题意得解得0＜m＜4.
又三角形的面积S＝×m×(4－m)＝－(m－2)2＋2，∴当m＝2时，直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，此时直线方程为x＋y－2＝0.
截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便，同时在利用截距求三角形的面积时，要注意截距的正负.
[再练一题]
3.求过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b且满足a＝3b的直线方程.
【解】 (1)当a＝0，b＝0时，直线过原点，符合题意，此时直线方程为y＝－x.
(2)当直线不过原点时，可设直线方程为＋＝1(ab≠0)，即＋＝1，又因为直线过点P(2，－1)，所以＋＝1，解得b＝－，故所求直线方程为＋＝1，即x＋3y＋1＝0.
综上，所求直线方程为x＋3y＋1＝0或y＝－x.
1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1
C.y＝x＋2 D.y＝－x－2
【解析】 代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3.
【答案】 A
2.斜率为－3，且在x轴上截距为2的直线方程是( )
A.3x＋y＋6＝0 B.3x－y＋2＝0
C.3x＋y－6＝0 D.3x－y－2＝0
【解析】 由点斜式得y＝－3(x－2)，化为一般式得3x＋y－6＝0.
【答案】 C
3.若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________.
【解析】 若方程不能表示直线，
则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0，
解方程组
得m＝－3，
所以m≠－3时，方程表示一条直线.
【答案】 m≠－3
4.已知直线方程5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上截距为________，在y轴上截距为________.
【解析】 将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为＋＝1，
∴在x轴，y轴上的截距分别为4,5.
【答案】 4 5
5.求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
【解】 ①若直线过原点，则k＝－，
∴y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1，
∴x＋y＋1＝0.
故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.
1.3 两条直线的位置关系
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.(重点)
2.能根据直线平行或垂直，求直线方程.(重点)
[基础·初探]
教材整理 两条直线的位置关系
阅读教材P70至P71“例11”以上部分，完成下列问题.
l1∥l2
l1⊥l2
l1、l2的倾斜角α1、α2间的关系
α1＝α2
|α2－α1|＝90°
图示
斜率间的关系(若l1，l2的斜率都存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2)
若l1，l2的斜率都存在，则l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2(如图①所示)；
若l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2(如图②所示)或l1与l2重合
若l1，l2的斜率都存在，则l1⊥l2?k1k2＝－1(如图③所示)；
若l1，l2有一条直线的斜率不存在，则l1⊥l2?另一条直线的斜率为0(如图④所示)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴.( )
(2)斜率相等的两条直线一定平行.( )
(3)若k1·k2≠－1，则两直线必不垂直.( )
(4)如果两直线垂直，则这两直线的斜率k1，k2满足k1k2＝－1.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
[小组合作型]
两条直线平行与垂直的判定
判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由.
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
【精彩点拨】 利用两直线的斜率和在坐标轴上截距的关系来判断.
【自主解答】 (1)将两直线方程分别化为斜截式：
l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－.
则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－.
∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.
(2)将两直线方程分别化为斜截式：
l1：y＝x＋，l2：y＝－2x＋2.
则k1＝，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2.
(4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.
已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法：
(1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2；
(2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行；
(3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直.
[再练一题]
1.两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋k＝0(k≠0)的位置关系为( )
A.垂直 B.平行
C.重合 D.平行或重合
【解析】 直线2x－y＋k＝0的斜率为2，在y轴上的截距为k；直线4x－2y＋k＝0的斜率为2，在y轴上的截距为，因为k≠0，所以≠k，所以两直线平行.
【答案】 B
利用平行、垂直关系求直线方程
已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
【精彩点拨】 本题可以依据直线平行与垂直时斜率间的关系，求出斜率后用点斜式来写出直线方程，也可以直接设出与已知直线平行或垂直的直线，然后用待定系数法求得.
【自主解答】 法一：(1)由l：3x＋4y－20＝0，
得kl＝－.
设过A点且平行于l的直线为l1，
则kl1＝kl＝－，
所以l1的方程为y－2＝－(x－2)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)设过点A与l垂直的直线为l2.
因为kl·kl2＝－1，所以kl2＝，
故直线l2的方程为y－2＝(x－2)，
即4x－3y－2＝0.
法二：(1)设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.
由点A(2,2)在直线l1上，得
3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14，
故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0.
(2)设l2的方程为4x－3y＋m＝0.
因为l2经过点A(2,2)，
所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2，
故l2的方程为4x－3y－2＝0.
过点A(x0，y0)且与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的求法有两种方法：
(1)先求斜率(斜率存在时)，再用点斜式求直线方程.
(2)与Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程设为Ax＋By＋m＝0或Bx－Ay＋m＝0，再利用所求直线过点A(x0，y0)求出m，便可得到直线方程。
[再练一题]
2.已知直线l的方程为3x－2y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直.
【解】 (1)由l′与l平行，可设l′方程为3x－2y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式，得m＝9，
∴所求直线方程为3x－2y＋9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′方程为2x＋3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式，得n＝－7，
∴所求直线方程为2x＋3y－7＝0.
[探究共研型]
利用直线的平行与垂直求参数
探究1 试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行.
【提示】 kAB＝＝，
kCD＝＝.由于AB∥CD，即kAB＝kCD，
所以＝，所以m＝－2.
探究2 △ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，试确定m的值，使△ABC是以A为直角顶点的三角形.
【提示】 因为A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
即×＝－1，解得m＝－7.
已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与l2：mx＋3y－2＝0.
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值.
【精彩点拨】 利用两直线平行或垂直的条件建立关于m的方程即可求解.
【自主解答】 (1)法一：∵l1∥l2，∴
∵A1＝2，B1＝m＋1，C1＝4，A2＝m，B2＝3，C2＝－2，
∴
即解得
∴m＝－3或m＝2.
法二：当m≠－1时，直线l1的斜率k1＝－，在y轴上的截距b1＝－；直线l2的斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝.
∵l1∥l2，∴－＝－且－≠，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝，显然不平行.
综上可知，当m＝－3或m＝2时，直线l1与l2平行.
(2)若l1⊥l2，则有2×m＋(m＋1)×3＝0，
即5m＋3＝0，解得m＝－.
1.利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论.
2.当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
①l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；
②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
[再练一题]
3.已知两直线方程l1：9x－y＋a＋2＝0；l2：ax＋(a－2)y＋1＝0.求当a为何值时，直线l1与l2：
(1)相交；(2)平行.
【解】 由题意知A1＝9，B1＝－1，C1＝a＋2，A2＝a，B2＝a－2，C2＝1.
(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，
即9(a－2)－a×(－1)≠0，∴a≠.
故当a≠时，直线l1与l2相交.
(2)若l1∥l2，
则有
即∴
∴当a＝时，l1与l2平行.
1.已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝( )
A.－3 B.3
C.－ D.
【解析】 因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.
【答案】 B
2.过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为( )
A.垂直 B.平行
C.重合 D.以上都不正确
【解析】 过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直.
【答案】 A
3.若直线2ay－1＝0与直线(3a－1)x＋y－1＝0平行，则实数a等于________.
【解析】 因为两直线平行，所以3a－1＝0，即a＝.
【答案】
4.经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________.
【解析】 由已知得×(－4)＝－1，解得m＝.
【答案】
5.求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(1，－4)，与直线2x＋3y＋5＝0平行；
(2)过点A(1，－4)，与直线2x－3y＋5＝0垂直.
【解】 (1)设所求直线方程为2x＋3y＋C1＝0，则由题意得2×1＋3×(－4)＋C1＝0，解得C1＝10，
所以所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)设所求直线方程为3x＋2y＋C2＝0，则
由题意得3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得C2＝5，
所以所求直线方程为3x＋2y＋5＝0.
1.4 两条直线的交点
1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(重点)
2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系.(难点)
[基础·初探]
教材整理 两条直线的交点
阅读教材P72“练习”以下至P73“例13”以上部分，完成下列问题.
已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
1.若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，
则.
2.若两直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线相交，交点坐标为(x0，y0).因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的公共解.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两条直线不相交就平行.( )
(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( )
(3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解.( )
(4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
[小组合作型]
两直线的交点问题
直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一点，求a的值.
【精彩点拨】 解答本题可先解出两已知直线的交点坐标，然后代入ax＋2y＋8＝0，求出a的值.
【自主解答】 解方程组得
∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为(－2,2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0，
得－2a＋4＋8＝0，∴a＝6.
解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础.
[再练一题]
1.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在直线y＝－x上，那么k的值是( )
A.－4 B.3 C.3或－4 D.±4
【解析】 法一：由两条直线相交，得k≠－，联立得即两直线的交点为.又该交点在直线y＝－x上，所以＝－，解得k＝3或k＝－4，故选C.
法二：联立得
依题意，点(－k，k)在直线x－ky＋12＝0上，所以－k－k2＋12＝0，解得k＝3或－4.
【答案】 C
过两条直线交点的直线方程
求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的交点，且平行于直线5x－y＋3＝0的直线方程.
【精彩点拨】 方法一：求出两直线3x＋2y－7＝0和x－y＋1＝0的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解.
方法二：利用过相交直线交点的直线系方程设出所求出方程，利用平行关系求解.
【自主解答】 法一：由
得又所求直线与直线5x－y＋3＝0平行，
所以斜率k＝5，由点斜式得y－2＝5(x－1)，
即5x－y－3＝0.
法二：设所求直线方程为3x＋2y－7＋λ(x－y＋1)＝0，即(λ＋3)x＋(2－λ)y－7＋λ＝0.
∵直线与5x－y＋3＝0平行，
∴－(λ＋3)＝5(2－λ)，解得λ＝，
∴所求直线为3x＋2y－7＋(x－y＋1)＝0，
即5x－y－3＝0.
1.本题的方法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键.
2.经过两直线交点的直线系方程：
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；
③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数).
当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l1；
当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l2.
[再练一题]
2.求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
【解】 法一：由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2).
∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1，
直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.
法二：∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，
将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1，
∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
[探究共研型]
两直线交点的综合应用
探究1 已知点P(－1,0)，Q(1,0)，直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，试确定b的取值范围.
【提示】 点P，Q所在直线的方程为y＝0，由得交点，由－1≤≤1，得－2≤b≤2.
探究2 尝试用两种方法证明：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.
【提示】 法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；
令m＝1，得x＋4y＋10＝0，
解方程组
得两直线的交点为(2，－3).
将点(2，－3)代入已知直线方程左边，
得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.
这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).
法二：将已知方程以m为未知数，
整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，有
解得x＝2，y＝－3.
所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点(2，－3).
已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0及l3：2x－3my－4＝0，求m的值，使l1，l2，l3三条直线不能围成三角形.
【精彩点拨】 要使三条直线不能围成三角形，必须使它们交于一点存在两条直线平行.
【自主解答】 (1)若l1，l2，l3三条直线交于一点.
显然m≠4，若m＝4，则l1∥l2.
由，得l1，l2的交点坐标为.
代入l3的方程得－3m×－4＝0，
解得m＝－1或m＝，
∴当m＝－1或m＝时，l1，l2，l3交于一点.
(2)若l1∥l2，则m＝4，
若l1∥l3，则m＝－，
若l2∥l3，则m∈?.
(3)综上知：m＝－1或m＝或m＝4或m＝－.
将几何条件转化为代数问题是解决本题的关键，在分类讨论时，不能遗漏.
[再练一题]
3.平行四边形的两邻边所在直线的方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，对角线的交点是O′(3,3)，求另外两边的方程.
【解】 建立如图所示的直角坐标系，
根据
得顶点为A.
因为O′是对角线AC的中点，且O′为(3,3)，所以顶点C的坐标为.
由x＋y＋1＝0知，kAB＝－1，所以kCD＝－1，
由点斜式得直线CD的方程为y－＝－，
即x＋y－13＝0.因为kAD＝3，所以kBC＝3，
由点斜式得直线BC的方程为y－＝3×，
即3x－y－16＝0.
1.直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标是( )
A.(3，－1) B.(－1,3)
C.(－3，－1) D.(3,1)
【解析】 联立两直线的方程，得解得即交点为(3，－1)，故选A.
【答案】 A
2.直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为( )
A.1 B.－1
C.2 D.－2
【解析】 首先联立解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0得a＝－1.
【答案】 B
3.当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________.
【解析】 直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2).
【答案】 (－1，－2)
4.斜率为－2，且与直线2x－y＋4＝0的交点在y轴上的直线方程为________.
【解析】 ∵直线2x－y＋4＝0与y轴的交点为(0,4).
又直线的斜率为－2，∴所求直线方程为y－4＝－2(x－0)，
即2x＋y－4＝0.
【答案】 2x＋y－4＝0
5.已知直线l1：x－2y＋4＝0，l2：x＋y－2＝0，设其交点为P.
(1)求交点P的坐标；
(2)设直线l3：3x－4y＋5＝0，分别求过点P且与直线l3平行及垂直的直线方程.
【解】 (1)∵直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y－2＝0的交点为P，
由得∴P(0,2).
(2)∵l3：3x－4y＋5＝0，
设与l3平行的直线方程为3x－4y＋C＝0(C≠5)，
将P(0,2)代入得C＝8，
∴过点P(0,2)且与l3平行的直线方程是3x－4y＋8＝0.
设与l3垂直的直线方程为4x＋3y＋C＝0，
将P(0,2)代入得C＝－6，
∴过点P(0,2)且与l3垂直的直线方程是4x＋3y－6＝0.
1.5 平面直角坐标系中的距离公式
1.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用.(重点)
2.能准确求出两平行直线间的距离.
3.会用解析法证明几何问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 两点间的距离公式
阅读教材P74“练习”以下至P75“例15”以上部分，完成下列问题.
一般地，若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式，|AB|＝.
已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为( )
A. B.
C.3 D.2
【解析】 由两点间的距离公式，
得|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，故＝＝2.
【答案】 D
教材整理2 点到直线的距离公式
阅读教材P76“练习1”以下至P77“例18”以上部分，完成下列问题.
已知点P(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，则点P到直线l的距离公式是d＝.
点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A. B.
C. D.
【解析】 d＝＝.
【答案】 A
[小组合作型]
两点间的距离公式
(1)求直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离；
(2)已知点A(a，－5)与B(0,10)间的距离是17，求a的值；
(3)在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等.
【精彩点拨】 利用条件确定点的坐标，再代入两点间的距离公式.
【自主解答】 (1)直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1,0)，与y轴的交点为，
∴两交点之间的距离为d＝＝.
(2)由两点间的距离公式可得d2＝a2＋152＝172，
∴a＝±8.
(3)法一：设P点坐标为(x，y)，
由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组
解得
∴P点坐标为(0,1).
法二：设P(x，y)，两点A(1，－1)，B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0. ①
又3x－y＋1＝0， ②
解由①、②组成的方程组得
所以所求的点为P(0,1).
两点间的距离公式是利用代数法研究几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何中的距离问题往往最后都要转化为此公式来解决.
[再练一题]
1.已知点A(－1,2)，B＝(2，)，P为x轴上一点，若满足|PA|＝|PB|，则P的坐标为________.
【解析】 法一：设所求点为P(x,0)，于是有|PA|＝＝，
|PB|＝＝，由|PA|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，
解得x＝1，故所求点P的坐标为(1,0).
法二：线段AB的中垂线方程为3x＋(－2)y－3＝0
依题意，点P的坐标为方程组的解.
解该方程组得
故所求点P的坐标为(1,0).
【答案】 (1,0)
点到直线的距离公式
求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴.
【精彩点拨】 解答本题可先将直线方程化为一般式，然后直接用点到直线的距离公式求解.
【自主解答】 (1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0.
由点到直线的距离公式，得d＝＝2.
(2)法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，由点到直线的距离公式，得d＝＝3.
法二：∵y＝－1平行于x轴，由图知，d＝|2－(－1)|＝3.
(3)法一：y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式，得d＝＝1.
法二：由图可知，d＝|1－0|＝1.
应用点到直线的距离公式应注意以下问题：
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应化成一般式，再用公式；
(2)当点P(x0，y0)在直线上时，d＝0；
(3)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|；
点P(x0，y0)到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
[再练一题]
2.若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________.
【解析】 ∵＝4，∴|16－12k|＝52，
∴k＝－3，或k＝.
【答案】 －3或
[探究共研型]
两平行线间的距离公式
探究1 能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？
【提示】 能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可.
探究2 已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，如何推导出l1与l2的距离公式呢？
【提示】 由l1与l2的方程可知直线l1∥l2，设P0(x0，y0)是直线Ax＋By＋C2＝0上任一点，则点P0到直线Ax＋By＋C1＝0的距离为d＝.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝.
(1)两平行直线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15间的距离为________.
(2)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程.
【精彩点拨】 (1)方法一：在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；方法二：利用平行线间的距离公式求解.
(2)设出平行直线系，利用两平行线间的距离公式求参数.
【自主解答】 (1)法一：若在直线l1上任取一点A(2,1)，则点A到直线l2的距离即是所求的平行线间的距离，
∴d＝＝1.
法二：利用公式d＝，
得d＝＝1.
【答案】 1
(2)设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
在直线l上取点，
由点到直线的距离公式得2＝，
解得C＝32或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
针对此类型的题目一般有两种思路：
(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
(2)利用两条平行直线间距离公式d＝.
当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决.
(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，
则d＝|x2－x1|；
(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，
则d＝|y2－y1|.
[再练一题]
3.已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
A.1 B.2
C. D.4
【解析】 ∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.
【答案】 B
1.已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A.1 B.－5
C.1或－5 D.－1或5
【解析】 由|AB|＝＝5?a＝1或a＝－5.
【答案】 C
2.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A.1 B.
C. D.2
【解析】 在l1上取一点(1，－2)，则点到直线l2的距离为＝.
【答案】 B
3.分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________.
【解析】 d＝|3－(－2)|＝5.
【答案】 5
4.P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________.
【解析】 直线6x＋8y＋6＝0可变为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝＝3，|PQ|最小值为d＝3.
【答案】 3
5.已知直线l过点(0，－1)，且点(1，－3)到l的距离为，求直线l的方程，并求出坐标原点到直线l的距离.
【解】 若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝0，点(1，－3)到l的距离为1，不满足题意，从而可知直线l的斜率一定存在，设为k，设其方程为y＝kx－1.
由点到直线的距离公式，得＝，解得k＝1或k＝，
所以直线l的方程为y＝x－1或y＝x－1，
即x－y－1＝0或x－7y－7＝0.
根据点到直线的距离公式可得，坐标原点到直线x－y－1＝0的距离为，到直线x－7y－7＝0的距离为.
2.1 圆的标准方程
1.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程.(重点)
2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.(重点)
3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 圆的标准方程
阅读教材P80“例1”以上部分，完成下列问题.
圆的图示
圆的几何特征
圆上任一点到圆心的距离等于定长
圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2
圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9
【解析】 由圆的标准方程可得，所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
【答案】 D
教材整理2 点与圆的位置关系
阅读教材P80“例1”以下至P81“练习”以上部分，完成下列问题.
1.中点坐标公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为.
2.点与圆的位置关系：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则
点P在圆O外?d>r；
点P在圆O上?d＝r；
点P在圆O内?d
点(1,1)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上，则圆的半径r＝______.
【解析】 由于点(1,1)在圆上，所以(1－1)2＋(1＋1)2＝r2，即r＝2.
【答案】 2
[小组合作型]
直接法求圆的标准方程
求满足下列条件的圆的标准方程.
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2).
【精彩点拨】 首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
【自主解答】 (1)由两点间距离公式得
r＝＝，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3).
又|AB|＝＝2，
∴半径r＝，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，
半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后将其代入标准方程.
[再练一题]
1.以圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心为圆心，且过原点的圆的标准方程为____________.
【解析】 法一：由题意可知，圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心坐标为(－1,3)，
所以所求圆的半径r＝＝，
即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.
法二：由题意可设所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝r2.
又该圆过点(0,0).
故(0＋1)2＋(0－3)2＝r2，即r2＝10，
所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.
【答案】 (x＋1)2＋(y－3)2＝10
点与圆的位置关系
判断点P(2,0)与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝3的位置关系.
【精彩点拨】 解答本题可以利用点P(2,0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x－2)2＋(y＋1)2与3比较大小.
【自主解答】 法一：∵P(2,0)与圆心(2，－1)的距离
d＝＝1，
圆的半径r＝，
∴d＜r，
∴点P在圆的内部.
法二：∵点P(2,0)满足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点P在圆的内部.
判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程.
具体判断方法如下：
①当(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2时，点在圆内；
②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；
③当(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2时，点在圆外.
[再练一题]
2.已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.
【解】 由题意，点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，
∴a的取值范围是∪(0，＋∞).
[探究共研型]
用待定系数法求圆的标准方程
探究1 已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)，你能求出圆心所在的直线方程吗？
【提示】 PQ的方程为x＋y－1＝0，
PQ中点M ，kPQ＝－1，
所以圆心所在的直线方程为y＝x.
探究2 上述问题中，若圆C的半径为1，请求出圆C的方程.
【提示】 由条件设圆的方程为：
(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由圆过P，Q点得
解得或
所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
已知圆过两点A(3,1)、B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程.
【精彩点拨】 解答本题可以由所给条件确定圆心和半径，再写出方程，也可以设出方程用待定系数法求解.
【自主解答】 法一：直线AB的斜率为k＝＝－，
可知AB垂直平分线m的斜率为2.
AB中点的横坐标和纵坐标分别为
x＝＝1，y＝＝2，
因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上，联立方程组
所以圆心坐标为C(2,4).又半径r＝|CA|＝，
则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意，
即解得
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
1.用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：
(1)设出圆的标准方程.
(2)根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组得a，b，r的值.
(3)代入标准方程，得出结果.
2.求圆的标准方程时，要注意平面几何知识的应用，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的中垂线上.
[再练一题]
3.求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心C在直线l：3x＋10y＋9＝0上的圆的标准方程.
【解】 法一(待定系数法)：
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则有解得a＝7，b＝－3，r＝，
故所求圆的标准方程是(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
法二(几何法)：
由题意得AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0，
由解得
故圆心C为(7，－3)，
于是半径r＝|CB|＝＝，
故所求圆的标准方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A.(－2,3)，1 B.(2，－3)，3
C.(－2,3), D.(2，－3),
【解析】 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.
【答案】 D
2.已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
【解析】 设直径两端点为A(x,0)，B(0，y)，
则圆心(2，－3)为直径中点，
∴即∴A(4,0)，B(0，－6)，
∴r＝|AB|＝×＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
【答案】 A
3.若点P(－1, )在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
【解析】 ∵P点在圆x2＋y2＝m2上，
∴(－1)2＋()2＝4＝m2，
∴m＝±2.
【答案】 ±2
4.圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________.
【解析】 由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
【答案】 (x－2)2＋(y－4)2＝20
5.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程.
【解】 法一：设所求圆的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ①
因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是
解此方程组得
∴△ABC的外接圆的方程是
(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
法二：线段AB的中垂线方程为x－2y－8＝0，
线段AC的中垂线方程为x＋3y＋7＝0，
联立得解得
∴圆心的坐标为(2，－3)，
半径为＝5，
∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
2.2 圆的一般方程
1.掌握圆的一般方程.(重点)
2.了解二元二次方程表示圆的条件.(难点)
3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.(难点)
[基础·初探]
教材整理 圆的一般方程
阅读教材P81“练习”以下至P82“例3”以上部分，完成下列问题.
1.圆的一般方程的定义：当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形：
方程
条件
方程的解的情况
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F<0
没有实数解
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
只有一个实数解
表示一个点
D2＋E2－4F>0
无数个解
表示以为圆心，以为半径的圆
将圆的一般方程x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程为______.
【解析】 x2＋y2＋2x－4y－4＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝9.
【答案】 (x＋1)2＋(y－2)2＝32
[小组合作型]
二元二次方程与圆的关系
判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆.若能表示圆，求出圆心和半径；若不能，请说明理由.
【精彩点拨】 解答本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数.
【自主解答】 法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，
可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝＝|m－2|.
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.
解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等；(2)不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数.
[再练一题]
1.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.
【解析】 由题意可知(－2)2＋12－4k>0，即k<.
【答案】
求圆的一般方程
求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程.
【精彩点拨】 →→
【自主解答】 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是，由题意知，
解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
【答案】 x2＋y2－4x－4y－2＝0
用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择：
(1)如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F.
[再练一题]
2.已知A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，求△ABC外接圆的方程.
【解】 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.
把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D，E，F的三元一次方程组：
即
解此方程组，可得D＝－8，E＝6，F＝0，
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
[探究共研型]
与圆有关的轨迹问题
探究1 已知⊙O的方程为x2＋y2＝25，动弦AB的长为8，请求出弦AB的中点P的轨迹方程.
【提示】 ∵|OP|＝＝3，
∴点P的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝9.
探究2 已知Rt△ABC的两个顶点A(－1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程.
【提示】 法一：设顶点C(x，y)，
因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，
所以x≠3且x≠－1.又kAC＝，kBC＝，
且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).
法二：取线段AB中点D，则|CD|＝|AB|＝2，又D(1,0)，所以点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4.(x≠3，且x≠－1).
已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
【精彩点拨】 点M随点A运动而运动，将A点坐标用B，M两点坐标表示，再将A点坐标代入圆的方程，即得M点的轨迹方程.
【自主解答】 设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是(4,3)且点M是线段AB的中点，所以x＝，y＝，
于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3. ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4， ②
把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理，得x2＋y2－3x－3y＋＝0.
所以点M的轨迹方程是x2＋y2－3x－3y＋＝0.
用代入法求轨迹方程的一般步骤：
[再练一题]
3.过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA，求弦OA中点M的轨迹方程.
【解】 设M(x，y)，A(x0，y0)，依题意得x＝，y＝，所以x0＝2x，y0＝2y.
又A在圆x2＋y2－8x＝0上，
所以4x2＋4y2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.
故弦OA中点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0.
1.圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为( )
A.(1,2) B.(1，－2)
C.(－1,2) D.(－1，－2)
【解析】 将圆的方程化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圆心坐标是(1，－2).
【答案】 B
2.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A.m≤2 B.m<
C.m<2 D.m≤
【解析】 由r＝>0，得(－1)2＋12－4m>0，即m<.
【答案】 B
3.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
【解析】 圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为＝3.
【答案】 3
4.圆x2＋y2－2x－4y－11＝0关于点P(－2,1)对称的圆的方程是________.
【解析】 由x2＋y2－2x－4y－11＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝16.
圆心(1,2)关于P(－2,1)的对称点为(－5,0)，
所求圆的方程为(x＋5)2＋y2＝16，化为一般式为x2＋y2＋10x＋9＝0.
【答案】 x2＋y2＋10x＋9＝0
5.已知圆x2＋y2＝4上一点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程.
【解】 (1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).
∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
§3 空间直角坐标系
3.1 空间直角坐标系的建立
3.2 空间直角坐标系中点的坐标
1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.
2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 空间直角坐标系
阅读教材P89至P91“例3”以上部分，完成下列问题.
1.空间直角坐标系的建立：
(1)空间直角坐标系建立的流程图：
↓
↓
(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：
①伸出右手，让四指与大拇指垂直；
②四指先指向x轴正方向；
③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；
④大拇指的指向即为z轴正方向.
(3)有关名称：
如图2-3-1所示，
图2-3-1
①O叫作原点；
②x，y，z轴统称为坐标轴；
③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，
由x，y轴确定的平面记作xOy平面，
由y，z轴确定的平面记作yOz平面，
由x，z轴确定的平面记作xOz平面.
2.空间直角坐标系中点的坐标：
(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画.
(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标.
(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组.
(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系.( )
(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上.( )
(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0).( )
(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
[小组合作型]
求空间中点的坐标
如图2-3-2，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标.
图2-3-2
【精彩点拨】 取D为空间坐标系的原点，过D点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E，F，G坐标.
【自主解答】 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|＝.
∴E点的坐标为.
∵B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为.
同理可得G点坐标为.
1.题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性.
2.求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标.
[再练一题]
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标.
【解】 如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系O -xyz.
∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，
显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，
∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；
A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，
∴C1(0,5,4).
由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，
∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4).
已知点的坐标，确定点的位置
在空间直角坐标系中，作出点M(4，－2,5).
【精彩点拨】 解答本题可有三种思路：
①利用平移点的方法，将原点按坐标轴的方向三次平移得点M；②构造适合条件的长方体，使三条棱长分别为4,2,5，通过和原点相对的顶点确定M的位置；③通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点M.
【自主解答】 法一：将原点沿x轴正方向平移4个单位得点M1(4,0,0)，再把M1沿与y轴平行的直线且与y轴相反方向平移2个单位，得到点M2(4，－2,0)，最后把M2沿与z轴平行的直线且与z轴相同方向平移5个单位即得点M.
法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，且棱长分别为4,2,5，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M.
法三：在x轴上找到坐标为4的点，过此点作与x轴垂直的平面α；在y轴上找到坐标为－2的点，过此点作与y轴垂直的平面β；在z轴上找到坐标为5的点，过此点作与z轴垂直的平面γ，则α，β，γ交于一点，此交点即为所求的点M.
已知点M的坐标(x0，y0，z0)，确定它的位置的方法有：
(1)先在x轴上取横坐标为x0的点M1；再将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向的负向(y0＜0)或正向(y0＞0)平移|y0|个单位，得到点M2；再将点M2沿与z轴平行的方向的正向(z0＞0)或负向(z0＜0)平移|z0|个单位，就可得到点M(x0，y0，z0).
(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体与O相对的顶点即为所求的点M.
(3)先在x轴上找到点M1(x0,0,0)，过M1作x轴的垂直平面α；再在y轴上找到点M2(0，y0,0)，过M2作y轴的垂直平面β；在z轴上找到点M3(0,0，z0)，过M3作z轴的垂直平面γ，三个平面α，β，γ交于一点，此交点即为所求点M.
[再练一题]
2.在空间直角坐标系中，作出点P(5,4,6).
【解】 法一：第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.
法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.
[探究共研型]
空间中点的对称
探究1 平面中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标是什么？类比平面中两点的中点坐标，空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点坐标是什么？
【提示】 平面上两点P1，P2的中点坐标为；空间中两点P1，P2中点的坐标为.
探究2 在空间直角坐标系中，关于一个平面对称的点有什么特点？关于一条坐标轴对称的点有什么特点？
【提示】 关于哪个平面的对称点在这个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数.
关于一条坐标轴的对称点这个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数.
探究3 在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？
【提示】 三个坐标分别互为相反数.
求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.
【精彩点拨】 解答本题可先作出点A的坐标，然后借助于图形，分析其对称点的情况.
【自主解答】 如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称点C(1,2,1).过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴对称的点的坐标为(1，－2,1).
点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：
(1)P(x，y，z)P1(－x，－y，－z)；
(2)P(x，y，z)P2(x，－y，－z)；
P(x，y，z)P3(－x，y，－z)；
P(x，y，z)P4(－x，－y，z).
记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”.
(3)P(x，y，z)P5(x，y，－z)；
P(x，y，z)P6(－x，y，z)；
P(x，y，z)P7(x，－y，z).
[再练一题]
3.写出点P(－2,1,4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标.
【解】 (1)点P关于y轴的对称点坐标为P1(2,1，－4)，
(2)点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，－1,4)，
(3)点P关于面yOz的对称点为P3(2,1,4)，
(4)点P关于面xOz对称的点为P4(－2，－1,4).
1.点M所在的位置是( )
A.x轴上 B.xOz平面内
C.xOy平面内 D.yOz平面内
【解析】 ∵M点的坐标为，x＝0，
∴点M在平面yOz内.
【答案】 D
2.在空间直角坐标系中，点M(－2,1,0)关于原点的对称点M′的坐标是( )
A.(2，－1,0) B.(－2，－1,0)
C.(2,1,0) D.(0，－2,1)
【解析】 很明显点M和M′的中点是原点，所以点M′的坐标是(2，－1,0).
【答案】 A
3.在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是________.
【解析】 由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3).
【答案】 (0,2，－3)
4.已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________.
【解析】 设中点坐标为(x0，y0，z0)，
则x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1，
∴中点坐标为(4,0，－1).
【答案】 (4,0，－1)
5.如图2-3-3，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标.
图2-3-3
【解】 以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意知，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4).
3.3 空间两点间的距离公式
1.会推导和应用长方体对角线长公式.(重点)
2.会推导空间两点间的距离公式.(重点)
3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 空间两点间的距离公式
阅读教材P92“练习”以下至P94“例4”以上部分，完成下列问题.
1.长方体的对角线：
(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线.(如图2-3-9)
图2-3-9
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝.
2.空间两点间的距离公式：
(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离
|OP|＝.
(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离
|AB|＝.
空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是( )
A.2 B.2 C.9 D.
【解析】 |AB|＝＝.
【答案】 D
[小组合作型]
求空间两点间的距离
已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5).
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度.
【精彩点拨】 本题考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可.
【自主解答】 (1)由空间两点间距离公式得
|AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为.
(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为，
∴AC边上中线的长度为＝.
1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.
[再练一题]
1.如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________.
【解析】 由题意得P(0,0,1)或P(0,0，－1)，
所以|PA|＝＝，
或|PA|＝＝.
【答案】 或
求空间中点的坐标
已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A、B两点的坐标，并求此时的|AB|.
【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标.
【自主解答】 由空间两点的距离公式得|AB|＝
＝
＝，
当x＝时，|AB|有最小值＝.
此时A，B.
解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.
[再练一题]
2.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3).在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【解】 假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形.
由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，
所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形.
因为|MA|＝＝，
|AB|＝2.
于是＝2，解得y＝±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0).
[探究共研型]
空间两点间距离公式的应用
探究1 如图2-3-10，以棱长为a的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.
当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值.
图2-3-10
【提示】 当点P为体对角线AB的中点时，点P的坐标是.
因为点Q在线段CD上，
故设Q(0，a，z).
则|PQ|＝
＝.
当z＝时，|PQ|取得最小值，且最小值为a.
即当点Q为棱CD的中点时，|PQ|有最小值，且最小值为a.
探究2 在上述问题中，当点Q为棱CD的中点，点P在体对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值.
【提示】 因为点P在体对角线AB上运动，点Q是定点，所以当PQ⊥AB时，|PQ|最短.
连接AQ，BQ，因为点Q为棱CD的中点，所以|AQ|＝|BQ|，所以△QAB是等腰三角形，所以当P是线段AB的中点时，|PQ|取得最小值，由(1)知最小值为a.
已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0(1)MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小.
【精彩点拨】 本例中有两两垂直的直线，可以以它们为坐标轴建系求解，(2)问可利用函数知识来解决.
【自主解答】 (1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴AB、BC、BE两两垂直.
以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则M，N，
∴|MN|＝
＝.
(2)∵|MN|＝＝，
∴当a＝时，|MN|min＝.
合理地建立空间直角坐标系是解决问题的关键，而研究某量的最值的问题通常将这个量表示为某一个未知量的函数，通过研究函数的最值而得到.
[再练一题]
3.如图2-3-11，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，DP＝a，当a为何值时，NP的长最小？
图2-3-11
【解】 如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则D(0,0,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，M(2,1,0)，N(1,2,3)，
设点P的坐标为(x，y,0)，
则x＝2y(0≤y≤1).
|NP|＝
＝
＝
＝，
所以当y＝时，|NP|取最小值，
此时a＝
＝＝，
所以当a＝时，NP的长最小.
1.在空间直角坐标系中，设A(1,2，a)，B(2,3,4)，若|AB|＝，则实数a的值是( )
A.3或5 B.－3或－5
C.3或－5 D.－3或5
【解析】 由题意得|AB|＝＝，解得a＝3或5，故选A.
【答案】 A
2.已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】 由距离公式得：
|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形.
【答案】 C
3.已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________.
【解析】 ∵P在z轴上，可设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，
∴＝
，解得z＝3.
【答案】 (0,0,3)
4.点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为______.
【解析】 |AB|＝＝，
∴当t＝1时，|AB|的最小值为.
【答案】
5.如图2-3-12，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长.
图2-3-12
【解】 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a，
所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a).
由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M，O′.
因为A′N＝3NC′，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.
根据空间两点间距离公式，可得：
|MN|＝
＝a.
第二章 解析几何初步
章末分层突破
[自我校对]
①一个方向
②倾斜角
③斜截式
④截距式
⑤平行
⑥垂直
⑦圆的一般方程
⑧直线与圆的位置关系
直线方程问题
直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能表示所有的直线.直线方程的一般式则可以表示所有直线，求直线的方程常用待定系数法.选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等.
求与直线y＝x＋垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l的方程.
【精彩点拨】 由条件易求得l的斜率，设l在y轴上的截距为b，利用三角形的面积列出方程，求出b的值即可.另外，若从三角形面积的表达式上考虑，也可设直线的截距式来解.
【规范解答】 法一：∵直线l与直线y＝x＋垂直，
∴设直线方程为y＝－x＋b，
则直线l在x轴、y轴上的截距分别为x0＝b，y0＝b.
又∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24，
∴S＝|x0||y0|＝24，
即|b|＝24，b2＝36，解得b＝6或b＝－6，
故直线l的方程为y＝－x＋6或y＝－x－6，
即3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0.
法二：设直线l的方程为＋＝1，
则直线的斜率k＝－.
∵l与直线y＝x＋垂直，
∴k＝－＝－，即＝.
又∵l与坐标轴围成的三角形的面积为24，
∴|ab|＝24，即|ab|＝48，
解得a＝8，b＝6，或a＝－8，b＝－6.
∴直线l的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0.
[再练一题]
1.已知一条直线经过点A(1,2)，并且与点B(2,3)和C(0，－5)的距离相等，求此直线的方程.
【解】 (1)当所求直线的斜率存在时，
可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.
由题意，得＝，
即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4，
∴此直线方程为4x－y－2＝0.
(2)当所求直线的斜率不存在时，方程为x＝1，
经验证，x＝1符合题意.
综上，此直线的方程为x＝1或4x－y－2＝0.
求圆的方程
求圆的方程主要是利用圆系方程、圆的标准方程和一般方程关系，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；(3)解出a，b，r(或D，E，F)；(4)代入圆的方程.
有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程.
【精彩点拨】 可设出圆的标准方程或一般方程，结合已知条件列出方程组，用待定系数法求解；也可利用圆的几何性质确定出圆心坐标和半径，从而求解圆的标准方程.
【规范解答】 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，
得
解得a＝5，b＝，r2＝，
∴圆的方程为(x－5)2＋＝.
法二：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，
得解得
∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法三：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－(x－3)，
即3x＋4y－33＝0.
又kAB＝＝－2，∴kBP＝，
∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.
解方程组得
∴P(7,3)，∴圆心为AP中心，半径为|AC|＝，∴所求圆的方程为(x－5)2＋＝.
[再练一题]
2.已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程.
【解】 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
∵圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a，
即圆心为(a，－2a).
又圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，
∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，
即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，
解得a＝1或a＝9.
∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝，
故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，
或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
对称问题
关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.
已知直线l：y＝3x＋3，求点P(4,5)关于l的对称点的坐标.
【精彩点拨】 设对称点P′的坐标为(x′，y′)，则直线l为PP′的垂直平分线，所以PP′⊥l，PP′的中点在l上，列出关于x′，y′的方程组，解之即可.
【规范解答】 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l.
即解得
所以点P关于l的对称点的坐标为(－2,7).
[再练一题]
3.已知直线l：y＝3x＋3，求直线l关于点A(3,2)对称的直线的方程.
【解】 设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，
由于l∥l′，可设l′的方程为y＝3x＋b(b≠3)，
任取y＝3x＋3上的点(0,3)关于A(3,2)对称的点一定在l′上，设为(x，y)，则
所以x＝6，y＝1，
代入y＝3x＋b，得b＝－17，故l′的方程为y＝3x－17.
即所求直线方程为3x－y－17＝0.
数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”.
本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到事半功倍的效果.
当直线y＝k(x－2)＋4和曲线y＝1＋有交点时，实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【精彩点拨】 根据图形的特点求解.
【规范解答】 先作出已知曲线y＝1＋的图形，再根据直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4).
如图所示，曲线是以(0,1)为圆心，r＝2为半径的半圆，直线表示过定点(2,4)的动直线.由图形中关系可求得kPC＝＝2，
解得k＝，所求k的取值范围为.
【答案】 D
[再练一题]
4.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A.36 B.18
C.6 D.5
【解析】 因为圆心C(2,2)到直线x＋y－14＝0的距离d＝＝5>r＝3，故直线与圆相离.如图，作圆的两条切线且与直线x＋y－14＝0平行，则两切线l2、l1间的距离就是圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差，它们的差是圆的直径6.
【答案】 C
1.平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B.2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D.2x－y＋＝0或2x－y－＝0
【解析】 ∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，∴＝，∴m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
【答案】 A
2.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.－或－ B.－或－
C.－或－ D.－或－
【解析】 由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D.
【答案】 D
3.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.π B.π
C.(6－2)π D.π
【解析】 ∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上.
设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，
∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，
∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.
又|OD|＝＝，∴圆C的最小半径为，∴圆C面积的最小值为π＝π.
【答案】 A
4.圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A.－ B.－ C. D.2
【解析】 圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.
【答案】 A
5.设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________.
【解析】 如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N.
设∠OMN＝θ，则θ≥45°，
即sin θ≥，即≥.
而ON＝1，∴OM≤.
∵M为(x0,1)，∴≤，
∴x≤1，∴－1≤x0≤1，∴x0的取值范围为[－1,1].
【答案】 [－1,1]
