§1 简单几何体
1.1 简单旋转体
1.2 简单多面体
1.了解柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.掌握简单几何体的分类.
3.理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念.(重点、难点)
4.理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概念.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 两个平面平行及直线与平面垂直的概念
阅读教材P3“1.1 简单旋转体”以上部分，完成下列问题.
1.两个平面平行：称无公共点的两个平面是平行的.
2.直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称为直线与平面垂直.
长方体相对的两个侧面的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.无法确定
【解析】 根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行，故选A.
【答案】 A
教材整理2 简单的旋转体
阅读教材P3“1.1 简单旋转体”以下至P4“1.2 简单多面体”以上部分，完成下列问题.
1.定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.
2.球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：
名称
定义
图形表示
相关概念
球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面.球面所围成的几何体叫作球体，简称球
球心：半圆的圆心；
球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段；
球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段
圆柱、圆锥、圆台
分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台
高：在旋转轴上这条边的长度；底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面；
侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面；母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置，都叫作侧面的母线
下列说法正确的是( )
A.直线绕定直线旋转形成柱面
B.半圆绕定直线旋转形成球体
C.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱
D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
【解析】 直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B错误；矩形绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C错误，所以应选D.
【答案】 D
教材整理3 简单的多面体
阅读教材P4“1.2 简单多面体”以下至P5部分，完成下列问题.
1.简单多面体的定义
把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体.
2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
表示
棱柱AC′或棱柱
ABCDE-A′B′C′D′E′
棱锥S-AC或棱锥
S-ABCDE
棱台AC′或棱台
ABCD-A′B′C′D′
结构特征
两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点，但不一定相等
侧面
平行四边形
三角形
梯形
底面
平行且全等的多边形
多边形
平行且边数相等的多边形
下列几何体中，是棱锥的是( )
【解析】 由棱锥的定义可知，选B.
【答案】 B
[小组合作型]
旋转体的结构特征
下列叙述中，正确的个数是( )
(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
(2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台；
(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
(4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转形成的几何体是球.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
【精彩点拨】 解答时可根据旋转体的概念和性质进行具体分析.
【自主解答】 (1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故(1)错；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故(2)错；(3)用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故(3)错；(4)正确.
【答案】 B
1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.
2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.
[再练一题]
1.下列说法正确的是________.
①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
③在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球.
【解析】 ①错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.
②正确.
③错.应为球面.
【答案】 ②
多面体棱柱、的结构特征
下列关于棱锥、棱台的说法：
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱柱的侧面一定是平行四边形；
(3)棱锥的侧面只能是三角形；
(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
【精彩点拨】 根据棱锥、棱台的结构特征判断.
【自主解答】 (1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
(2)正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形；
(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
【答案】 (2)(3)(4)
判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法：
(1)举反例法：
结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法：
棱柱
棱锥
棱台
定底面
两个互相平行的面，即为底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
平行
相交于一点
延长后相交于一点
[再练一题]
2.给出下列几个结论：
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
②多面体至少有四个面；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.
其中，错误的个数是( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
【解析】 ①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以③是正确的.
【答案】 A
[探究共研型]
简单组合体的识别和截面问题
探究1 观察下列四个几何体，其中哪些是由两个棱柱拼接而成的？
图1-1-1
【提示】 (1)可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，(4)可看作由两个四棱柱组合而成.
探究2 试描述下列几何体的结构特征.
图1-1-2
【提示】 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
如图1-1-3所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.
图1-1-3
【精彩点拨】 过圆锥的轴作截面，利用三角形的相似来解决.
【自主解答】 设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.
过轴SO作截面，如图所示.
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm，
∴＝，∴＝＝，
解得l＝9(cm)，
即圆台的母线长为9 cm.
1.识别简单组合体的构成方法：
组合体是由简单几何体通过拼接、截去或挖去一部分而形成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球体的几何结构特征，对原组合体进行分割.
2.与圆锥有关的截面问题的解决策略：
求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解.巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决.
[再练一题]
3.一个正方体内接于高为40 cm，底面圆的半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长.
【解】 如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，
设正方体的棱长为x，
则OC＝x，∴＝，
解得x＝120(3－2)，
∴正方体的棱长为120(3－2)cm.
1.给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【解析】 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误.
【答案】 D
2.下列说法中正确的是( )
A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱的侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
【解析】 棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.
【答案】 A
3.下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A.圆柱 B.圆锥
C.球 D.圆台
【解析】 无论用怎样的平面去截球，截面一定是圆面，其他三个旋转体截面则不一定是圆面.
【答案】 C
4.已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高与母线的长分别为________.
【解析】 设正三角形的边长为a，则a2＝，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为a＝，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.
【答案】 ，2
5.如图1-1-4所示为长方体ABCD-A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′，C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由.
图1-1-4
【解】 截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′-CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面.
截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′-DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面.
§2 直观图
1.掌握斜二测画法的步骤.(重点)
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.(重点、难点)
3.通过观察直观图，了解空间几何体的表示形式，进一步认识几何体的结构特征.
[基础·初探]
教材整理1 斜二测画法的规则
阅读教材P7～P8倒数第3行以上部分，完成下列问题.
1.在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面.
2.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段.
3.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画直观图时，在原图x轴上长为4的线段，在直观图中的长度为4.( )
(2)正方形的直观图仍是正方形.( )
(3)平行四边形的直观图仍是平行四边形.( )
(4)用斜二测画法画直观图时，平行于y轴的线段在直观图中长度减半.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
教材整理2 立体图形的直观图的画法
阅读教材P8最后一段至P12“练习”以上部分，完成下列问题.
立体图形直观图画法的“四步曲”
在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A1′的长为________cm.
【解析】 在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2 cm.
【答案】 2 4
[小组合作型]
平面图形的直观图的画法
画出如图1-2-1所示水平放置的等腰梯形的直观图.
图1-2-1
【精彩点拨】 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的画法步骤画直观图.
【自主解答】 (1)如图(1)所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图(2)中，以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB.
(3)在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(4)连接B′C′，D′A′，去掉辅助线，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.如图(3)所示.
1.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定.
2.要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系.
[再练一题]
1.用斜二测画法画如图1-2-2所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.
图1-2-2
【解】 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴，如图②，
使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，去掉辅助线则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图③所示.
空间几何体的直观图的画法
画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.
【精彩点拨】 本题所要画的是四棱锥的直观图，是空间图形，所以要先画底面，先画水平放置的正方形的直观图.再画侧棱，最后成图.
【自主解答】 画法：(1)画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图.
(2)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高.
(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.
画空间几何体时，首先依照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：
→→→
[再练一题]
2.用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
【解】 画法：
(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.
分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
[探究共研型]
直观图的还原及有关计算
探究1 如图1-2-3是一梯形OABC的直观图O′A′B′C′，O′C′＝h，
图1-2-3
根据直观图你知道原图形是什么吗？它有什么特点？
【提示】 原图形是一个直角梯形且高为2 h.
探究2 已知△ABC的直观图如图1-2-4所示，你能求出原△ABC的面积吗？你发现直观图的画与原图形面积有何关系？
图1-2-4
【提示】 由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3，
∴S△ABC＝×6×3＝9.
又S△A′B′C′＝×3×(3sin 45°)＝，∴S△A′B′C′＝S△ABC.
如图1-2-5所示，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积.
图1-2-5
【精彩点拨】 分别以A′B′，B′C′所在的直线为x′轴，y′轴，画出该直观图的对应图形，然后求面积.
【自主解答】 如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴.因为∠A′B′C′＝45°，
所以取B′A′所在直线为y′轴.
过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.
又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝.
再建立一个直角坐标系xOy，则O，B重合，如图(2)所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.
过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.
连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的平面图形.
四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.
将直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段， 且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段被还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由直观图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分别在两个图中计算.
[再练一题]
3.已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
【解析】 如图(1)为直观图，图(2)为实际图形.取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点.
在直角三角形A′O′M′中，
∵O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，∴A′M′＝a，
则AM＝2A′M′＝a，
∴S△ABC＝×a×a＝a2.
【答案】 C
1.用斜二测画法得到：
①相等的线段和角在直观图中仍然相等；
②正方形的直观图是矩形；
③等腰梯形的直观图仍然是等腰梯形；
④菱形的直观图仍然是菱形.
上述结论正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 根据斜二测画法通过举反例可知，上述结论全部错误.
【答案】 A
2.如图1-2-6所示为一个平面图形的直观图，则原四边形ABCD为( )
图1-2-6
A.平行四边形 B.梯形
C.菱形 D.矩形
【解析】 因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.
【答案】 D
3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图1-2-7所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
图1-2-7
【解析】 还原成原图是以3,4为直角边的直角三角形，而斜边上的中线等于斜边的一半.
【答案】 2.5
4.如图1-2-8为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，且B′D′∥y′轴由图判断原三角形中AB，OB，BD，OD由小到大的顺序是________.
图1-2-8
【解析】 将直观图还原为平面图形如下，
由三角形的有关性质可知，OB>AB>BD>OD.
【答案】 OD
5.已知一等腰△ABC底边AB＝a，高为a，求用斜二测画法得到的直观图的面积.
【解】 如图(1)(2)所示的是实际图形和直观图，
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
§3 三视图
3.1 简单组合体的三视图
3.2 由三视图还原成实物图
1.了解组合体的两种基本的组成形式.
2.理解三视图的成图原理，掌握绘制三视图的规律——“长对正、高平齐、宽相等”.(重点、易错点)
3.能识别三视图所表示的立体模型，并能画出它们的实物草图.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 组合体
阅读教材P13至P14“三、简单组合体的三视图”以上部分，完成下列问题.
1.定义：由基本几何体生成的几何体叫作组合体.
2.基本形式：有两种，一种是将基本几何体拼接成组合体；另一种是从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体.
以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A.两个圆锥拼接而成的组合体
B.一个圆台
C.一个圆锥
D.一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥
【解析】 如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.
【答案】 D
教材整理2 三视图
阅读教材P14“三、简单组合体的三视图”以下至P15部分，完成下列问题.
1.三视图的特点：
(1)空间几何体的三视图是指主视图、左视图、俯视图.
(2)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从正前方、正上方、正左侧观察同一个几何体，所画出的空间几何体的平面图形.
(3)三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下方，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样.
2.绘制三视图时的注意事项：
(1)首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画三视图可能不同.
(2)其次，简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置.
(3)分界线和可见轮廓线都用实线画出；不可见轮廓线都用虚线画出.
一个圆柱的三视图中一定没有的图形是( )
A.圆 B.矩形 C.三角形 D.正方形
【解析】 直立圆柱的主视图、左视图都是矩形，也可以是正方形，俯视图是圆.
【答案】 C
[小组合作型]
简单几何体的三视图
画出如图1-3-1所示的空间几何体的三视图.(阴影面为主视面，尺寸不作严格要求)
图1-3-1
【精彩点拨】 观察图形，确定观察的方向，进行空间想象，按照规则画三视图.
【自主解答】 三视图如下图所示：
1.在画三视图时，先要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，我们画的是影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，能看到的画实线，不能看到的画虚线.
2.作三视图时，要遵循三视图的排列规划，即“长对正，高平齐，宽相等”.
3.画完三视图草图后，要再对照实物图验证其正确性.
[再练一题]
1.画出如图1-3-2所示的空间几何体的三视图.(阴影面为主视面，尺寸不作严格要求)
图1-3-2
【解】 三视图如下.
简单组合体的三视图
如图1-3-3是将球放在圆筒上形成的组合体，画出它的三视图.
图1-3-3
【精彩点拨】 观察图形，分析结构，画出组合体的三视图.
【自主解答】 它的三视图如图所示：
1.画组合体的三视图的步骤：
(1)分析组合体的组成形式；
(2)把组合体分解成简单几何体；
(3)画分解后的简单几何体的三视图；
(4)将各个三视图拼合成组合体的三视图.
2.画三视图时要注意的问题：
(1)先画主体部分，后画次要部分；
(2)几个视图要配合着画，一般是先画主视图再确定左视图和俯视图；
(3)组合体的各部分之间要画出分界线.
[再练一题]
2.如图1-3-4所示是一个零件的直观图，试画出这个几何体的三视图.
图1-3-4
【解】 从整体上观察，可知此几何体由四棱柱和半个圆柱组合而成，且中间挖去了一个圆柱，该几何体的三视图如图所示.
[探究共研型]
由三视图还原成实物图
探究1 根据如图1-3-5所给出的物体的三视图，请说出它们的名称.
图1-3-5
【提示】 从观察三视图的特征入手，联想简单几何性三视图，从而确定几何体的名称.
探究2 如图1-3-6是某一几何体的三视图，你能想象几何体的结构特征，并画出几何体的直观图吗？
图1-3-6
【提示】 由几何体的三视图可知，几何体是一个倒立的三棱台，即上底面面积大，下底面面积小，直观图如图.
根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图.
图1-3-7
【精彩点拨】 观察三视图时可将该几何体分解为上下两部分进行判断，易知该物体是由一个圆柱和一个长方体组合而成的.
【自主解答】 由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个长方体组合而成，它的实物草图如图所示.
由三视图还原空间几何体的策略：
?1?通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体.若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体.
?2?通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体.
[再练一题]
3.如图1-3-8是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的大致直观图是( )
图1-3-8
【解析】 由三视图可知，该几何体是一个圆柱与一个圆锥的组合体，则该几何体的直观图应为选项D中的几何体.
【答案】 D
1.下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是( )
图1-3-9
A.①③ B.②③
C.②④ D.③④
【解析】 ①③的三个三视图都相同，②④的主视图和左视图相同.故选C.
【答案】 C
2.如图1-3-10所示的一个几何体，它的俯视图可能是( )
图1-3-10
【解析】 根据三视图的画法及特点可知C正确.
【答案】 C
3.三视图如图1-3-11的几何体是________.
图1-3-11
【解析】 根据主视图和俯视图可知该几何体为四棱锥.
【答案】 四棱锥
4.如图1-3-12是由小正方体组成的几何图形的三视图，则组成它的小正方体的个数是________.
图1-3-12
【解析】 由三视图我们可以得出该几何体的直观图，如图所示.
【答案】 5
5.画出如图1-3-13所示几何体的三视图.
图1-3-13
【解】 三视图如图所示：
第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成——点、线、面的基本位置关系.
2.理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系.(重点、易错点)
3.掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 空间图形的基本关系
阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题.
位置关系
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
点A不在直线a上
A?a
点B在直线a上
B∈a
点与面的位置关系
点A在平面α内
A∈α
点B在平面α外
B?α
直线与直线的位置关系
平行
a∥b
相交
a∩b＝O
异面
a与b异面
直线与平面的位置关系
线在面内
aα
线面相交
a∩α＝A
线面平行
a∥α
平面与平面的位置关系
面面平行
α∥β
面面相交
α∩β＝a
(1)不平行的两条直线的位置关系为相交.( )
(2)两个平面的交线可以是一条线段.( )
(3)直线l在平面α内，可以表示为“lα”.( )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线.( )
【解析】 (1)不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错.
(2)两个平面的交线是直线，故(2)错.
(3)正确.
(4)可能相交或平行，故(4)错.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
教材整理2 空间图形的公理
阅读教材P23“练习”以下至P25“公理4”以上部分，完成下列问题.
1.三个公理：
名称
内容
图形表示
符号表示
公理1
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)
若A，B，C三点不共线，则点A，B，C确定一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)
若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则lα
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l，且A∈l.
2.公理1的三个推论：
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
推论3：两条平行直线确定一个平面.
公理1及其推论给出了确定平面的依据.
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合.
【答案】 C
[小组合作型]
空间点、线、面的位置关系
(1)如果aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，那么l与α的位置关系是________.
图1-4-1
(2)如图1-4-1，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
【精彩点拨】 (1)把文字语言翻译成图形语言，作出判断；
(2)可借助空间中的实物模型判断.
【自主解答】 (1)如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2，lα.
【答案】 直线l在平面α内
(2)棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线.
1.判断空间点、线、面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，对位置关系做出判断.
2.对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，注意对关键词“任何”的理解.
[再练一题]
1.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B?α；(2)lα，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α；Q∈l，Q∈α.
【解】 (1)点A在平面α内，点B不在平面α内；
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1)(2)(3)所示.
点线共面问题
证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
【精彩点拨】 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内.或利用公理1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合.
【自主解答】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2α，∴B∈α.
同理可证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2β，∴A∈β.
同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.
[再练一题]
2.已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如图1-4-2)，求证：直线AD，BD，CD共面.
图1-4-2
【证明】 因为D?l，所以D和l可确定一平面，设为α.
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.
同理BDα，CDα，所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面.
[探究共研型]
点共线与线共点问题
探究1 如图1-4-3所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，那么点P，B，D共线吗？请说明理由.
图1-4-3
【提示】 连接BD.
∵EF，HG相交于一点P，
且EF平面ABD，GH平面CBD，
∴P∈平面ABD且P∈平面CBD.
又平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD，∴点P，B，D共线.
探究2 如图1-4-4，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，能否判断B，Q，D1三点共线？
图1-4-4
【证明】 ∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面A1D1CB，
∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，
∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.
已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图1-4-5).求证：P，Q，R三点共线.
图1-4-5
【精彩点拨】 解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上.
【自主解答】 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P，Q，R三点共线.
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，
∴Q∈平面APR.又Q∈α，
∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.
证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上.
证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线.
[再练一题]
3.如图1-4-6所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.
图1-4-6
【提示】 如图，连接EF，
D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EFA1B.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，
∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝D1C，
∴D1F与CE相交于点P.
又D1F平面A1D1DA，
CE平面ABCD，
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点.
1.下列图形中不一定是平面图形的是( )
A.三角形 B.菱形
C.梯形 D.对边相等的四边形
【解析】 对四边相等的四边形可以是空间四边形.
【答案】 D
2.若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( )
A.Q∈b∈β B.Q∈bβ
C.Qbβ D.Qb∈β
【解析】 ∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴bβ，∴Q∈bβ.
【答案】 B
3.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
【解析】 ∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.
【答案】 C
4.若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________.
【解析】 两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能.
【答案】 平行、相交或异面
5.已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
【证明】 如图所示.∵a∥b，
∴直线a，b确定一个平面，证这个平面为α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴lα.即过a，b，l有且只有一个平面.
第2课时 空间图形的公理4及等角定理
1.掌握公理4和“等角定理”.(重点)
2.理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义.(重点、易错点)
3.会求异面直线所成的角.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 公理4
阅读教材P25“公理4”部分，完成下列问题.
1.条件：两条直线平行于同一条直线.
2.结论：这两条直线平行.
3.符号表述：?a∥c.
已知a，b是平行直线，直线c∥直线a，则c与b( )
A.不平行 B.相交
C.平行 D.垂直
【解析】 若c∥b，则a∥b，与已知矛盾，因而c不与b平行.
【答案】 C
教材整理2 等角定理
阅读教材P26“等角定理”部分内容，完成下列问题.
1.条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行.
2.结论：这两个角相等或互补.
空间中一个角A的两边分别与另一个角B的两边对应平行，若A＝70°，则B＝______.
【解析】 若A的两边与B的两边方向均相同或均相反，则B＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则B＝110°.
【答案】 70°或110°
教材整理3 异面直线所成的角
阅读教材P26有关部分，完成下列问题.
定义
过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角
取值范围
异面直线所成的角θ的取值范围：
特例
当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与BC1所成的角的大小为________.
【解析】 ∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1为直线AA1与BC1所成的角，其大小为45°.
【答案】 45°
[小组合作型]
公理4的应用
如图1-4-11，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.
图1-4-11
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
【精彩点拨】 (1)先证明它是一个平面四边形，再用平行四边形的判定定理证明.
(2)若四边形EFGH是矩形，则EH⊥GH，从而推知AC⊥BD.
【自主解答】 (1)如题图，在△ABD中，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH＝BD.
又FG是△CBD的中位线，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.
空间中证明两直线平行的方法：
?1?借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.
?2?利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.
[再练一题]
1.已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点.
图1-4-12
求证：四边形MNA′C′是梯形.
【证明】 连接AC(图略).
∵M，N为CD，AD的中点，∴MNAC.
由正方体性质可知ACA′C′，
∴MNA′C′，∴四边形MNA′C′是梯形.
等角定理的应用
如图1-4-13，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.
图1-4-13
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
【精彩点拨】 (1)利用公理4进行平行之间的转化，得到平行关系.
(2)利用等角定理证明两角相等.
【自主解答】 (1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴ADA1D1，
又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，
∴AMA1M1，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1AA1.
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
1.空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.
2.证明角相等，一般采用以下途径
(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等.
[再练一题]
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.
图1-4-14
【证明】 取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，∴CM∥BK.
又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ，
∴四边形A1KBQ为平行四边形，
∴A1Q∥BK，
由公理4有A1Q∥CM，
同理可证A1P∥CN，
由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反，
∴∠PA1Q＝∠MCN.
[探究共研型]
求异面直线所成的角
探究1 已知直线a，b是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
图1-4-15
【提示】 如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ即两条异面直线a，b所成的角.
探究2 a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
【提示】 a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上.
如图1-4-16，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.
图1-4-16
【精彩点拨】 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD，BC平移到同一平面内解决.
【自主解答】 如图，取BD的中点M，连接EM，FM.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以EMAD，FMBC，
则∠EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.
因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，
则sin∠EMH＝，于是∠EMH＝60°，
则∠EMF＝2∠EMH＝120°.
所以异面直线AD，BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角.
(2)证明：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角度，常放在三角形内求解.
(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
[再练一题]
3.如图1-4-17，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，则异面直线CD1，EF所成的角的大小为________.
图1-4-17
【解析】 取CD1的中点G，连接EG，DG，
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC.
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.
【答案】 90°
1.下列结论中正确的是( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A.①②③ B.②④
C.③④ D.②③
【解析】 ①错，可以异面.②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面.④正确，由平行直线的传递性可知.
【答案】 B
2.如图1-4-18所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
图1-4-18
A.45° B.60°
C.90° D.120°
【解析】 连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，
A1B∥EF，BC1∥GH，
所以A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，
连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.
【答案】 B
3.已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，命题正确的是________.
【解析】 ①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确，可能平行，可能相交也可能异面.
【答案】 ①
4.已知点P在直线l外，则过点P且与l成30°角的异面直线有________条.
【解析】 如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的所有直线都与l成30°角，其中只有两条直线与l共面，其余的异面.因此，这样的异面直线有无数条.
【答案】 无数
5.如图1-4-19，已知长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.
图1-4-19
(1)BC和A′C′所成的角是多少度？
(2)AA′和BC′所成的角是多少度？
【解】 (1)因为BC∥B′C′，
所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.
在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，
B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.
因此，异面直线BC和A′C′所成的角为45°.
(2)因为AA′∥BB′，
所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
5.1 平行关系的判定
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义，会判断线面、面面平行.(重点)
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.(重点、易错点)
3.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理证明空间线面关系.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 直线与平面平行的判定定理
阅读教材P29至P30“例1”以上部分，完成下列问题.
定理
表示
直线与平面平行的判定定理
文字叙述
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
符号表示
?l∥α
图形表示
能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A.bα，a∥b
B.bα，c∥α，a∥b，a∥c
C.aα，a∥b
D.aα，bα，a∥b
【解析】 A项和B项中a有可能在α内，C项中，b可能不在α内，不能保证a∥α，D项中，a∥α.
【答案】 D
教材整理2 平面与平面平行的判定定理
阅读教材P30“例2”以下至P31“例3”以上部分，完成下列问题.
定理
表示
平面与平面平行的判定定理
文字叙述
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
符号表示
?α∥β
在以下说法中，正确的个数是( )
①平面α内有两条直线和平面β平行，则α与β平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A，B，C三点在β两侧时，α与β相交，故③错误.
【答案】 A
[小组合作型]
线面平行的判定
如图1-5-1，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点.求证：CE∥平面PAD.
图1-5-1
【精彩点拨】 要证明CE∥平面PAD，只要证明CE与平面PAD内的某一条直线平行即可.由于E为PB的中点，故可考虑取PA的中点，利用三角形的中位线证明.
【自主解答】 取PA的中点H，连接EH，DH.
∵E为PB的中点，
∴EH∥AB，EH＝AB，
又∵AB∥CD，AB＝2CD，
∴EH∥CD，EH＝CD，
∴四边形DCEH是平行四边形，∴CE∥DH.
又∵DH平面PAD，CE平面PAD，
∴CE∥平面PAD.
1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.
2.证线线平行常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.
[再练一题]
1.如图1-5-2，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.
图1-5-2
【证明】 连接AC交BD于点O，连接MO，
∵M为SC中点，O为AC中点，
∴MO∥SA.
又SA平面MDB，
MO平面MDB，
∴SA∥平面MDB.
面面平行的判定
如图1-5-3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.
图1-5-3
求证：(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
【精彩点拨】 (1)只需证明BD与EF平行即可.
(2)根据面面平行的判定定理，将面面平行转化为线面平行.
【自主解答】
(1)连接B1D1，
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF，
∴E，F，B，D四点共面.
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN平面EFDB，BD平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.
连接MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，
∴MF∥AD，MF＝AD，
∴四边形ADFM是平行四边形，
∴AM∥DF.
又AM平面EFDB，DF平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可.
2.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
[再练一题]
2.如图1-5-4所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC的中点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
图1-5-4
【证明】 连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点.连接ED，
ED是△A1BC的中位线，
∴ED∥A1B.
∵ED平面A1BD1，A1B平面A1BD1，
∴ED∥平面A1BD1.
∵C1D1BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，
∴C1D∥BD1.
∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，
∴C1D∥平面A1BD1.
又C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.
[探究共研型]
线面平行、面面平行判定定理的综合应用
探究1 如图1-5-5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，试判断直线EG与平面BDD1B1是否平行？
图1-5-5
【提示】 连接SB，
∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.
又∵SB平面BDD1B1，
EG平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
探究2 在上述问题中，平面EFG∥平面BDD1B1吗？
【提示】 能.连接SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD平面BDD1B1，
FG平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
∵EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
如图1-5-6，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
图1-5-6
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.
【精彩点拨】 (1)由于N为PC的中点，故可取PD的中点H，证明四边形MNHA为平行四边形，进而利用判定定理证明MN∥平面PAD.
(2)若平面MNQ∥平面PAD，又M为AB的中点，从而可确定Q的位置.
【自主解答】 (1)证明：如图，取PD的中点H，连接AH，NH.由N是PC的中点，知NH∥DC，NH＝DC.
由M是AB的中点，知AM∥DC，AM＝DC，
∴NH∥AM，NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，
∴MN∥AH.
∵MN平面PAD，AH平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)若平面MNQ∥平面PAD，则应有MQ∥PA，
∵M是AB中点，∴Q是PB的中点，
即当Q为PB的中点时，平面MNQ∥平面PAD.
将证明面面平行问题转化为线面平行问题，而将证线面平行问题，转化为线线平行问题.在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，可使问题顺利得到解决.熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口，这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视.
[再练一题]
3.已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.
图1-5-7
【证明】 如图，连接BD，交AC
于O点，连接OE，过B点作OE的平行线，交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG平面AEC，
OE平面AEC，
∴BG∥平面AEC.
同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G，
∴平面BGF∥平面AEC，
∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD中点，
∴E是GD的中点.
又∵PE∶ED＝2∶1，
∴G是PE中点.
而GF∥CE，∴F为PC中点.
综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A.不可能作出 B.只能作出一个
C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在
【解析】 设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.
【答案】 D
2.若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是( )
A.MN∥β
B.MN与β相交或MNβ
C.MN∥β或MNβ
D.MN∥β或MN与β相交或MNβ
【解析】 当平面β与平面ABC重合时，有MNβ；
当平面β与平面ABC不重合时，
则β∩平面ABC＝BC.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.
又MNβ，BCβ，∴MN∥β.
综上有MN∥β或MNβ.
【答案】 C
3.若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________.
【解析】 ∵a∥α，∴a与平面α没有公共点，
若bα，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能，
∴b∥α或b与α相交.
【答案】 b∥α或b与α相交
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号).
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.
【解析】 如图，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，故①④正确；又AD1与DC1为异面直线，故③错误；又由B1D1∥BD，可知②正确.
【答案】 ①②④
5.如图1-5-8，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点.
图1-5-8
求证：AF∥平面PCE.
【证明】 取PC的中点M，连接ME，MF，则FM∥CD且FM＝CD.
又∵AE∥CD且AE＝CD，∴FMAE，
即四边形AFME是平行四边形，
∴AF∥ME.又∵AF平面PCE，EM平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
5.2 平行关系的性质
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题.(重点)
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.(难点)
3.综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 直线与平面平行的性质定理
阅读教材P32“练习”以下至P33“例4”以上部分，完成下列问题.
文字语言
符号语言
图形语言
如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行
?a∥b
如图1-5-19所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
图1-5-19
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
【解析】 ∵EH∥FG，EH平面BCD，FG平面BCD，
∴EH∥平面BCD，∵EH平面ABD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD.
【答案】 A
教材整理2 面面平行的性质定理
阅读教材P33“练习1”以下至P34“练习2”以上部分，完成下列问题.
文字语言
符号语言
图形语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
?a∥b
六棱柱的两底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为__________.
【解析】 ∵AD∥BC，∴A，B，C，D共面，
设为γ，由题意知，α∩γ＝AB，β∩γ＝CD，又α∥β，
∴AB∥CD.
【答案】 平行
[小组合作型]
线面平行性质的应用
如图1-5-20，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.
图1-5-20
【精彩点拨】 从图形上看，若我们能设法证明FG∥A1D1即可证明FG∥平面ADD1A1.
【自主解答】 因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1.
又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，
所以EH∥FG，即FG∥A1D1.
又FG平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，
所以FG∥平面ADD1A1.
1.直线与平面平行的性质定理，可以用来证明线线平行.
2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”.
[再练一题]
1.如图1-5-21所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.
图1-5-21
(1)求证：AC＝BD；
(2)满足什么条件时，四边形ABDC为正方形？
【解】 (1)证明：如图所示，连接CD，
∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面β，
又∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD.
(2)由(1)知ABDC为平行四边形，所以当AB＝AC且AB⊥AC时，四边形ABDC为正方形.
面面平行性质的应用
如图1-5-22，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
图1-5-22
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长.
【精彩点拨】 由PB与PD相交于点P，可知PB，PD确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.
【自主解答】 (1)证明：∵PB∩PD＝P，
∴直线PB和PD确定一个平面γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，∴AC∥BD.
(2)由(1)，得AC∥BD，∴＝，
∴＝，∴CD＝(cm)，
∴PD＝PC＋CD＝(cm).
1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
(2)判定这两个平面平行；
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；
(4)由定理得出结论.
2.面面平行的性质定理的本质：
化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行转化为线线平行.
[再练一题]
2.已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34，求当S在α，β之间时SC的长.
【解】 如图所示.
∵AB与CD相交于S，
∴AB，CD可确定平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
∵α∥β，∴AC∥BD，∴＝，∴＝，即＝，解得SC＝16.
[探究共研型]
平行关系的综合应用
探究1 如图1-5-23所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l，直线l与直线BC平行吗？请说明理由.
图1-5-23
【提示】 法一：平行.因为BC∥AD，
BC平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为BC平面PBC，
平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
法二：连接CM，并延长交AD于Q，连接PQ，
由AD∥BC，且AM＝BM，得QM＝CM
又PN＝CN，
则MN是△CPQ的中位线，
所以MN∥PQ，
又MN平面PAD，PQ平面PAD，
则MN∥平面PAD.
探究2 上述问题中条件不变，试判断MN与平面PAD是否平行，并证明你的结论.
【提示】 平行.取PD的中点E，
连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE，MN平面PAD，AE平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
如图1-5-24所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.
图1-5-24
【精彩点拨】
→→→
→→
【自主解答】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥MO，而AP平面BDM，OM平面BDM，
∴PA∥平面BMD，又∵PA平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
又PA平面PAD，GH平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
1.本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化.
2.空间平行关系的转化图：
[再练一题]
3.如图1-5-25，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH.
图1-5-25
【证明】 由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.
∵EF平面BCD，GH平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
又∵EF平面ACD，
平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD.
又∵EF平面EFGH，CD平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
1.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )
A.α∩β＝a，bα?a∥b
B.α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C.a∥β，b∥β，aα，bα?α∥β
D.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
【解析】 由面面平行的性质定理知D正确.
【答案】 D
2.若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行
C.存在无数多条直线与a平行
D.存在唯一一条直线与a平行
【解析】 设点B与直线a确定一平面为γ，γ∩β＝b，
∴a∥b.
【答案】 D
3.已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________.
【解析】 若aβ，则显然满足题目条件.
若aβ，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又aβ，cβ，所以a∥β.
【答案】 aβ或a∥β
4.过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________.
【解析】 两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以＝，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.
【答案】 12
5.如图1-5-26，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点.求证：AC∥平面BPQ.
图1-5-26
【证明】 连接CD1，AD1，
∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，
∴PQ∥CD1，且CD1平面BPQ，
∴CD1∥平面BPQ.
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
∴四边形ABQD1是平行四边形，
∴AD1∥BQ，又∵AD1平面BPQ，
∴AD1∥平面BPQ.
又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.
∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.
6.1 垂直关系的判定
1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义.(重点)
2.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直.(重点、难点)
3.了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小.(重点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1 直线与平面垂直的概念及判定定理
阅读教材P36～P37“练习1”以上部分，完成下列问题.
1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.
2.画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图1-6-1.
图1-6-1
3.直线与平面垂直的判定定理：
文字语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言
若直线a平面α，直线b平面α，直线l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，则l⊥平面α
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直.( )
(2)一条直线和一个平面内的所有直线垂直，则该直线与该平面垂直.( )
(3)一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，则该直线与该平面垂直.( )
(4)若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
教材整理2 二面角
阅读教材P37“练习1”以下至倒数第4行部分，完成下列问题.
1.二面角的概念：
(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面.
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.
(3)二面角的记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α-AB-β.
2.二面角的平面角：
文字语言
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角
图形语言
符号语言
若α∩β＝l，OAα，OBβ，且OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角
取值范围
0°≤θ≤180°
直二面角
平面角是直角的二面角叫作直二面角
如图1-6-2，正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为________.
图1-6-2
【解析】 ∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角，其大小为45°.
【答案】 45°
教材整理3 平面与平面垂直
阅读教材P37倒数第4行至P38“例1”以上部分，完成下列问题.
1.平面与平面垂直：
定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直
画法
把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直(如图)
记法
α⊥β
2.平面与平面垂直的判定定理：
文字
语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号语言
若直线AB平面β，AB⊥平面α，则β⊥α
空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
【解析】 ∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，
∴AD⊥平面BCD.
又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
【答案】 D
[小组合作型]
线面垂直的判定
如图1-6-3，正方体ABCD-A1B1C1D1中.
图1-6-3
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；
(2)求证：BD1⊥平面ACB1.
【精彩点拨】 证明线面垂直，只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直.
【自主解答】 (1)∵BB1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，
∴BB1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，
∴AC⊥平面B1D1DB.
(2)连接A1B.
由(1)知AC⊥平面B1D1DB，
∵BD1平面B1D1DB，∴AC⊥BD1.
∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，
∴A1D1⊥AB1.
又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1＝A1，
∴AB1⊥平面A1D1B.
∵BD1平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，
又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1.
1.直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①面内的两条相交直线；②都垂直.
2.要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的.
[再练一题]
1.如图1-6-4，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.
图1-6-4
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【证明】 (1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.
又∵SB＝SA，∴△ADS≌△BDS.
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.
(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面SAC.
面面垂直的判定
如图1-6-5所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.
图1-6-5
求证：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA.
【精彩点拨】 (1)解答本题，只要证明三角形全等.(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，证明平面ECA的垂线在平面BDM内.
【自主解答】 (1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.
∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC，
又由已知，易得DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝EC＝BD，
且由已知，易得FD＝BC＝AB，
∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故ED＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，
则MNEC，又BDCE，
∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内，
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，
又CA⊥BN，CA∩EC＝C，
∴BN⊥平面ECA，又BN在平面MBD内，
∴平面BDM⊥平面ECA.
证明面面垂直的方法：
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
[再练一题]
2.如图1-6-6，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC⊥平面PDB.
图1-6-6
【证明】 ∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
[探究共研型]
二面角
探究1 如图1-6-7所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，请根据二面角的平面角的定义作出二面角S-BC-A的平面角，并说明理由.
图1-6-7
【提示】 取BC的中点O，连接SO，AO，
因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC.
同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S-BC-A的平面角.
探究2 在上述问题中，若BC＝1，SA＝，请计算二面角S-BC-A的大小.
【提示】 在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1×sin 60°＝.
同理可求SO＝.
又SA＝，所以△SOA是等边三角形，
所以∠SOA＝60°，所以二面角S-BC-A的大小为60°.
已知D，E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D＝2B1E＝B1C1.求过D，E，C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.
【精彩点拨】 先确定过D，E，C1三点的平面，再根据二面角的定义确定好二面角，然后求值.
【自主解答】 如图所示，在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点.于是C1F为这两个平面的交线.
因而，所求二面角即为二面角D-C1F-A1.
∵A1D∥B1E，且A1D＝2B1E，
∴E，B1分别为DF和A1F的中点.
∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝B1F，
∴FC1⊥A1C1.
又∵CC1⊥平面A1B1C1，FC1平面A1B1C1，
∴CC1⊥FC1.
又∵A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，
∴FC1⊥平面AA1C1C.
∵DC1平面AA1C1C，∴FC1⊥DC1.
∴∠DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角，
由已知，A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°，
故所求二面角的大小为45°.
求二面角大小的关键是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为：作角→证明→计算.
要在适当位置作出二面角的平面角，就要注意观察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等.
[再练一题]
3.已知正四棱锥的高为3，底面对角线的长为2，求侧面与底面所成的二面角.
【解】 设正四棱锥为S-ABCD，如图所示，底面边长为a，
则2a2＝(2)2，
∴a2＝12.
设O为S在底面上的射影，则SO＝3，作OE⊥CD于E，连接SE，
可知SE⊥CD，∠SEO即为所求二面角的平面角.
∵SO＝3，a2＝12，∴SE＝2，∴∠SEO＝60°.
∴侧面与底面所成的二面角的大小为60°.
1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交 D.不确定
【解析】 由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直.
【答案】 B
2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，nα
C.m∥n，n⊥β，mα D.m∥n，m⊥α，n⊥β
【解析】 ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.
【答案】 C
3.如图1-6-8，在三棱锥D-ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的位置关系是________.
图1-6-8
【解析】 ∵AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，∴BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，
又AC平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.
【答案】 垂直
4.如图1-6-9所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为________.
图1-6-9
【解析】 ∵PA⊥平面ABC，BA，CA平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC＝90°，故二面角B-PA-C的大小为90°.
【答案】 90°
5.如图1-6-10，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
图1-6-10
【证明】 因为AB是直径，则BC⊥AC，
又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
6.2 垂直关系的性质
1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.(重点)
2.理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点)
3.能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 直线与平面垂直的性质定理
阅读教材P39“练习2”以下至P40“例3”以上部分，完成下列问题.
1.文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
2.符号语言：l⊥α，m⊥α?l∥m.
3.图形语言：如图1-6-18所示.
图1-6-18
4.作用：证明两直线平行.
在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
【解析】 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确.
【答案】 B
教材整理2 平面与平面垂直的性质定理
阅读教材P40“例3”以下至P41“例4”以上部分，完成下列问题.
1.文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
2.符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m?l⊥α.
3.图形语言：如图1-6-19所示.
图1-6-19
4.作用：证明直线与平面垂直.
若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
【解析】 α⊥β，aα，bβ，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A，B，D都错误，故选C.
【答案】 C
[小组合作型]
线面垂直的性质
如图1-6-20，正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.
图1-6-20
【精彩点拨】 连接AB1与CB1，证明EF，BD1都与平面AB1C垂直.
【自主解答】 连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示.
∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
证明线线平行常有如下方法：
(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点；
(2)利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
[再练一题]
1.如图1-6-21，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.
图1-6-21
【证明】 因为EA⊥α，α∩β＝l，
即lα，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，
所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB，因此，a∥l.
面面垂直性质的应用
如图1-6-22，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴转动.
图1-6-22
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
【精彩点拨】 (1)利用面面垂直构造直角三角形，使所求线段为其一边，通过解三角形求解.
(2)分D是否在平面ABC内进行讨论.
【自主解答】 (1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1.
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
又CD平面CDE，所以AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
1.面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直.
2.证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线.以上三点缺一不可.
[再练一题]
2.如图1-6-23，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
图1-6-23
求证：平面VBC⊥平面VAC.
【证明】 ∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC平面ABCD，
∴BC⊥平面VAB，VA平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，
∴VA⊥平面VBC，
∵VA平面VAC，
∴平面VBC⊥平面VAC.
[探究共研型]
垂直关系的综合应用
探究1 如图1-6-24，四边形ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK.判断平面SBC与平面KBD是否垂直，并说明理由.
图1-6-24
【提示】 垂直.连接AC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，
∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.
又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面KBD.
又SC平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.
探究2 在上述问题中，判断平面SBC与平面SDC是否垂直，并说明理由.
【提示】 不垂直.假设平面SBC⊥平面SDC.
∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.
∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，
又AB∥CD，∴BK⊥AB.
∵ABCD是正方形，AB⊥BC，
∴AB⊥平面SBC，又SB平面SBC，
∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立.
∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.
如图1-6-25所示 ，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
图1-6-25
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.
【精彩点拨】 解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论.
【自主解答】 (1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF，
在△PBC中，FE∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，
而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD.
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直.处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系.转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想.垂直关系的转化如下：
[再练一题]
3.如图1-6-26，在三棱锥P-ABC中，E，F分别为AC，BC的中点.
图1-6-26
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.
【证明】 (1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.
又EF平面PAB，AB平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.
又∵BC平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PEF.
1.已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是( )
A.n∥α B.n∥α或nα
C.nα或n与α不平行 D.nα
【解析】 ∵lα，且l与n异面，∴nα.
又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.
【答案】 A
2.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：
①过P与l垂直的直线在α内；
②过P与β垂直的直线在α内；
③过P与l垂直的直线必与α垂直；
④过P与β垂直的平面必与l垂直.
其中正确的命题是( )
A.② B.③ C.①④ D.②③
【解析】 因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂直直线必在平面α内且和l垂直，①③④的情况则可能成立，也可能不成立.
【答案】 A
3.已知a，b为直线，α，β为平面.在下列四个结论中，正确的是________.
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.
【解析】 由“垂直于同一平面的两直线平行”知①正确；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②错；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③正确；④错.
【答案】 ①③
4.如图1-6-27，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
图1-6-27
【解析】 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.
【答案】
5.如图1-6-28，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
图1-6-28
【证明】 ∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
AC平面ABC，MN平面ABC，∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NCBD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，又∵DN平面ABC，BC平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，且MN、DN平面DMN，
∴平面DMN∥平面ABC.
7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来.
2.准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法.(重点)
3.掌握简单组合体侧面积的计算.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 圆柱、圆锥、圆台的侧面积
阅读教材P44“二、直棱柱、正棱锥、正棱台”以上部分，完成下列问题.
几何体
侧面展开图
侧面积公式
圆柱
S圆柱侧＝2πrl
r为底面半径
l为侧面母线长
圆锥
S圆锥侧＝πrl
r为底面半径
l为侧面母线长
圆台
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
r1为上底面半径
r2为下底面半径
l为侧面母线长
圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其侧面积等于( )
A.72 B.42π C.67π D.72π
【解析】 S圆台侧＝πl(r1＋r2)＝π×6×(3＋4)＝42π.
【答案】 B
教材整理2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
阅读教材P44“二、直棱柱、正棱锥、正棱台”以下至P45“例1”以上部分，完成下列问题.
几何体
侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S直棱柱侧＝ch
c为底面周长
h为高
正棱锥
S正棱锥侧＝ch′
c为底面周长
h′为斜高，即侧面
等腰三角形的高
正棱台
S正棱台侧＝(c＋c′)h′
c′为上底面周长
c为下底面周长
h′为斜高，即侧面
等腰梯形的高
正三棱台的两个底面边长分别等于8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm.求它的侧面积.
【解】 正三棱台的三个侧面是全等的等腰梯形，梯形的高h＝＝12 cm，
所以S侧＝×(3×18＋3×8)×12＝468 cm2.
[小组合作型]
圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
如图1-7-1所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
图1-7-1
【精彩点拨】
【自主解答】 以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC＝＝13(cm)，
∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2).
1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键.
2.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而求得几何体的表面积.
[再练一题]
1.圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A.4πS B.2πS C.πS D.πS
【解析】 设底面半径为r，则S＝πr2，则r＝，所以底面周长为2πr＝2π，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为2πr＝2·π，
∴S侧＝2πr·l＝(2πr)2＝4π2·r2＝4π2＝4πS.
【答案】 A
直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积
正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积.
【精彩点拨】 在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积.
【自主解答】 设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，且SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
所以×3a×h′＝a2×2，
所以a＝h′.
因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2，
所以32＋＝h′2，
所以h′＝2，所以a＝h′＝6，
所以S底＝a2＝×62＝9，
所以S侧＝2S底＝18，
则S表＝S侧＋S底＝27.
1.正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清楚相对应的元素，求解就会很简单.
2.多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和.对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要构造直角梯形或等腰梯形来求解.
[再练一题]
2.已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积.
【解】 法一：在Rt△B1FB中，
B1F＝h′，
BF＝(8－4)＝2(cm)，
B1B＝8(cm)，
∴B1F＝＝2(cm)，
∴h′＝B1F＝2(cm)，
∴S正棱台侧＝×4×(4＋8)×2＝48(cm2).
法二：延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1＝x(cm)，
则＝，得x＝8(cm)，
∴PB1＝B1B＝8(cm)，
∴E1为PE的中点，
∴PE1＝＝2(cm).
PE＝2PE1＝4(cm)，
∴S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧
＝4××8×PE－4××4×PE1
＝4××8×4－4××4×2
＝48(cm2).
[探究共研型]
组合体的表面积
探究1 如图1-7-2所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个底面直径为1的圆柱形孔，求所得几何体的表面积.
图1-7-2
【提示】 几何体的表面积为S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.
探究2 一个正方体，以其相对的两个面的中心连线为轴钻一个圆柱形的孔，问所得到的几何体的表面积与原正方体的表面积相比，有何变化？
【提示】 设正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为R，
则正方体的表面积为S1＝6a2，所得到的几何体的表面积为S2＝6a2－2πR2＋2πRa.
所以S1－S2＝2πR2－2πRa＝2πR(R－a)，
又因为R＜a，所以S1－S2＜0，所以S1＜S2.
已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积.
图1-7-3
【精彩点拨】 该组合体为一个圆柱在中间挖去了一个等高的圆锥，分别计算各部分的表面积即可.
【自主解答】 如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥.
在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，
AB＝(2a－a)tan 60°＝a，DC＝＝2a.
又DD′＝DC＝2a，
∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧
＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·a＋π·(2a)2＋π·a·2a
＝(9＋4)πa2.
1.求组合体的表面积的三个基本步骤：
(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么.
(2)根据组合体的组成形式设计计算思路.
(3)根据公式计算求值.
2.求组合体的表面积的解题策略：
(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响.
(2)对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.
[再练一题]
3.如图1-7-4△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积.
图1-7-4
【解】 过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB＝5，
底面半径DC＝＝，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π.
1.已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( )
A.6 B.12
C.24 D.48
【解析】 正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.
【答案】 D
2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是( )
A.3π B.3π
C.6π D.9π
【解析】 根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.
【答案】 A
3.圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则圆锥的高是________.
【解析】 设底面半径是r，则2πr＝πR，
∴r＝，∴圆锥的高h＝＝R.
【答案】 R
4.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图1-7-5所示，则其表面积等于________.
图1-7-5
【解析】 根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S＝×22×2＋2×1×3＝6＋2.
【答案】 6＋2
5.如图1-7-6是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)
图1-7-6
【解】 由三视图知，建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，正四棱柱的高为4 m，底面为边长为3 m的正方形，圆锥的表面积为πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的一个底面积为9 m2，正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24π＋39)(m2)，
所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8)(kg).
7.2 柱、锥、台的体积
1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式.(重点)
2.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积.(难点)
[基础·初探]
教材整理 柱、锥、台的体积
阅读教材P46“练习”以下至P48“例5”以上部分，完成下列问题.
几何体
体积
说明
柱体
V柱体＝Sh
S为柱体的底面积，h为柱体的高
锥体
V锥体＝Sh
S为锥体的底面积，h为锥体的高
台体
V台体＝(S上＋＋S下)·h
S上， S下分别为台体的上、下底面积，h为高
直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转所得的几何体的体积为( )
A.12π B.16π C.20π D.24π
【解析】 旋转后的几何体为以AC＝4为底面半径，以3为高的圆锥，
V＝πr2h＝π×42×3＝16π.
【答案】 B
[小组合作型]
柱体的体积
如图1-7-14①是一个水平放置的正三棱柱ABC-A1B1C1，D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图1-7-14②.
求正三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
图1-7-14
【精彩点拨】 先利用主视图中的数据确定出正三棱柱底面边长及侧棱长，再代入柱体的体积公式求解.
【自主解答】 由三视图可知：在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在底面即等边△ABC中，AB＝＝＝2，
所以正三棱柱的体积
V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3.
计算柱体体积的关键及常用技巧：
(1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高.
(2)常用技巧：
①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高.
②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积.
[再练一题]
1.一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比.
【解】 设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，
则有
由①得r＝a，
由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3，
∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2.
锥体的体积
一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积.
【精彩点拨】 已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面积和高，再根据体积公式求出其体积.
【自主解答】 如图所示，正三棱锥S-ABC.
设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高.连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝×6＝3，∴AH＝AE＝2.
在△ABC中，
S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.
在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，
∴SH＝＝＝，
∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.
三棱锥的任一个面都可作为三棱锥的底面.求体积时，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可.
[再练一题]
2.如图1-7-15，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高.若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P-ABCD的体积.
图1-7-15
【解】 因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝.
因为∠APB＝∠ADB＝60°，
所以PA＝PB＝，HD＝HC＝tan 30°＝1.
可得PH＝＝，
等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋.
所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.
[探究共研型]
台体的体积
探究1 如图1-7-16，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，能否求出几何体AEF－A1B1C1的体积V1?
图1-7-16
【提示】 能.几何体AEF－A1B1C1为三棱台，设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以S△AEF＝S，V1＝h＝Sh.
探究2 在上述问题中，V1∶V2的值是多少？
【提示】 V2＝Sh－V1＝Sh，故V1∶V2＝7∶5.
如图1-7-17，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.
图1-7-17
【精彩点拨】 求圆台的体积，关键是作出轴截面，并根据条件，求出两底面半径，代入公式求解.
【自主解答】 设上、下底面半径分别为r，R.
∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝＝，
∴R－r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3，
∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3，
∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π.
求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地棱台常把高放在直角梯形中去求解，若是圆台则把高放在等腰梯形中求解.
“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键.
[再练一题]
3.正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求此四棱台的体积.
【解】 如图，设正棱台上底面边长为x cm，则下底面边长为(x＋10) cm.
在Rt△E1FE中，
EF＝＝5(cm).
∵E1F＝12 cm，∴斜高E1E＝13 cm，
∴S侧＝4×(x＋x＋10)×13＝52(x＋5)，
S表＝52(x＋5)＋x2＋(x＋10)2＝2x2＋72x＋360.
∵S表＝512 cm2，∴2x2＋72x＋360＝512，
∴x2＋36x－76＝0，
解得x1＝－38(舍去)，x2＝2，
∴x＋10＝12，
∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,12 cm，
∴V＝(22＋122＋)·12
＝(4＋144＋24)×12
＝688 cm3.
1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图1-7-18)，则三棱锥B1-ABC的体积为( )
图1-7-18
A. B. C. D.
【解析】 V＝Sh＝××3＝.
【答案】 D
2.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1-7-19所示，则该三棱锥的体积是( )
图1-7-19
A.1 cm3 B.2 cm3 C.3 cm3 D.6 cm3
【解析】 该三棱锥的底面是两直角边为1,2的直角三角形，高为3，所以V＝××1×2×3＝1.
【答案】 A
3.如图1-7-20，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，则这两部分的体积之比为________.
图1-7-20
【解析】 设棱柱的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh，则三角形AEF的面积为S，由于VAEF-A1B1C1＝·h·＝Sh，则剩余不规则几何体的体积为V′＝V－VAEF－A1B1C1＝Sh－Sh＝Sh，所以两部分的体积之比为VAEF－A1B1C1∶V′＝7∶5.
【答案】 7∶5(或5∶7)
4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________.
【解析】 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，
由＝，得＝，则＝.
由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，
即r1h1＝r2h2，
所以＝＝＝.
【答案】
5.如图1-7-21，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高.若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积.
图1-7-21
【解】 ∵VM是棱锥的高，∴VM⊥MC.
在Rt△VMC中，MC＝
＝＝3(cm)，
∴AC＝2MC＝6(cm).
在Rt△ABC中，BC＝
＝＝2(cm).
S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)，
∴V锥＝S底h＝×8×4＝(cm3).
∴棱锥的体积为 cm3.
7.3 球
1.了解球的体积和表面积公式.(重点)
2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. (难点)
[基础·初探]
教材整理 球
阅读教材P48“7.3 球”一节至P49“例6”以上部分，完成下列问题.
1.球的体积：球的半径为R，那么它的体积V球＝πR3.
2.球的表面积：球的半径为R，那么它的表面积S球面＝4πR2.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直径为d的球的表面积S＝4πd2.( )
(2)若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的半径扩大为原来的4倍.( )
(3)若球的半径变为原来的2倍，则球的体积变为原来的4倍.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
[小组合作型]
球的表面积与体积的计算
已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于，且AC＝BC＝，AB＝2，求球面面积与球的体积.
【精彩点拨】 利用已知条件，结合球心与截面圆心连线垂直于截面而构成的直角三角形，求出半径，从而求出球的体积与表面积.
【自主解答】 如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心.
由AC＝BC＝，AB＝2，知△ABC是AB为斜边的直角三角形，
∴O1是AB的中点，在Rt△AOO1中，OO1＝，O1A＝AB＝1，
∴OA＝2，即R＝2，
∴S球面＝4πR2＝16π，V球＝πR3＝π.
1.球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件求出球的半径.
2.在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系d＝.
[再练一题]
1.过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积.
【解】 如图，设截面圆的圆心为O1，则OO1⊥O1A，O1A为截面圆的半径，OA为球的半径.
∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48.
在Rt△AO1O中，OA2＝O1O2＋O1A2，
即R2＝＋48，∴R＝8(cm)，
∴S球面＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)，V球＝πR3＝π(cm3).
球的表面积及体积的应用
一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形.在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？
【精彩点拨】 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决.
【自主解答】 设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，如图所示.
∵AC＝r，PC＝3r，
∴以AB为底面直径的圆锥的容积为
V圆锥＝πAC2·PC
＝π(r)2·3r＝3πr3，V球＝πr3.
球取出后水面下降到EF，水的体积为
V水＝πEH2·PH
＝π(PH·tan 30°)2·PH＝πx3.
而V水＝V圆锥－V球，
即πx3＝3πr3－πr3，∴x＝r.
故球取出后水面的高为r.
1.画出截面图是解答本题的关键.
2.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算.
[再练一题]
2.圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？
【解】 设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球＝2×π×＝，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V＝π×52×h，
所以＝π×52×h，所以h＝(cm)，
即若取出这两个小球，则容器的水面将下降 cm.
[探究共研型]
与球有关的切、接问题
探究1 一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？
【提示】 设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为1∶3.
探究2 长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？
【提示】 设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则所以R＝，
所以S球＝4πR2＝50π.
在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
【精彩点拨】 解答本题关键是找到球的半径与正方体的棱长间的关系，可通过正方体的对角面，也可将半球补成球，将其转化为球的内接长方体问题，找到球的半径与正方体棱长的关系后，再利用体积公式计算，进而作比即可.
【自主解答】 法一：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝，
在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，
即a2＋＝R2，所以R＝a.
从而V半球＝πR3＝π＝πa3，
V正方体＝a3.
因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.
法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体的对角线性质，
得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，
即4R2＝6a2，所以R＝a.
从而V半球＝πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3.
因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.
解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系.
[再练一题]
3.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.πa2 B.πa2
C.πa2 D.5πa2
【解析】 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R＝＝a，∴S＝4πR2＝4π×＝a2.
【答案】 B
1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )
A. B.1 C.2 D.3
【解析】 由题设球半径为r，则4πr2＝πr3，可得r＝3，故选D.
【答案】 D
2.表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为( )
A.Q B.Q C.Q D.2Q
【解析】 4πR2＝64π?R＝4，∴V＝QR＝Q，故选C.
【答案】 C
3.已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________.
【解析】 设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶2，所以OH＝R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由题意得πr2＝π，则r＝1，故R2＝1＋，即R2＝.由球的表面积公式，得S＝4πR2＝.
【答案】
4.已知正四棱锥O -ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________.
【解析】 过O作底面ABCD的垂线段OE，则E为正方形ABCD的中心.由题意可知×()2×OE＝，所以OE＝，故球的半径R＝OA＝＝，则球的表面积S＝4πR2＝24π.
【答案】 24π
5.某几何体的三视图如图1-7-31所示(单位：m)：
图1-7-31
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π).
【解】 由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体.
(1)该几何体的表面积为
S＝2πR2＋6×2×2－π×R2＝π＋24(m2).
(2)该几何体的体积为
V＝×πR3＋23＝π＋8(m3).
