第一章 数与式第3 节 分式
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知识点一：分式的概念
1．分式：形如__ __(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的结论
(1)分式无意义的条件是_ _．
(2)分式有意义的条件是_ _．
(3)分式值为0的条件是__ _．
知识点二： 分式的性质
1．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)__，分式的值不变.＝，＝(其中M是不等于零的整式)．
2．约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的___ 约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．
3．通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为__ __的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
4．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
知识点三： 分式的计算
分式的运算法则
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
(2)分式的加减法：同分母加减法，__ __；异分母加减法，__ __．
(3)分式的乘除法：·＝____；÷＝____．
(4)分式的乘方：()n＝____．
（5）分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，按从左到右的顺序做，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。?
注：分式运算结果一定是一个最简分式（或整式）。
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考点1.分式的概念
◇典例 ：
1. （2017?贺州）下列式子中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的定义．
【分析】根据分式的定义求解即可．
解： 、、 的分母中不含有字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式． 故选：C．
2.（2017?北京）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x=0
B．x=4
C．x≠0
D．x≠4
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出x的范围；
解：由代数式有意义可知：x-4≠0， ∴x≠4， 故选（D）
3. （2017?淄博）若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A．1
B．-1
C．±1
D．2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
解：∵分式的值为零， ∴|x|-1=0，x+1≠0， 解得：x=1． 故选：A．
◆变式训练
1. (2016曲靖压轴试卷)下列式子是分式的是( )
A. B. C.＋y D.
2.（2017?桂林）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．±2
3．已知分式/，当x=2时，分式无意义，则a= 。
考点2. 分式的性质
◇典例：
1. （2017?宜昌）计算/的结果为（ ）
A．1 B．/ C．/ D．0
【考点】约分．
【分析】分子利用平方差公式进行因式分解，然后通过约分进行化简．
解：/=/=/=1．
故选：A．
【答案】A
2.不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号．下列变形正确的是( )
A.＝ B.＝－ C.＝ D.＝－1
【解析】A.＝，故错误；B.＝－，故正确；C.＝，故错误；D.＝1，故错误．依据分式的性质进行变形，再判断对错即可．
【答案】B
◆变式训练
1. 把分式/（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．变为原来的/ D．不变
2. 下列变形不正确的是（ ） A．-/=/ B．/ C．/=/ D．/=/
考点3. 分式的计算
◇典例：
1.（2017?衢州）化简：/= ．
【考点】 分式的加减法．
【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．
解：原式=/=1．
2.（2017?深圳）先化简，再求值：（/+/）÷/，其中x=﹣1．
【考点】 分式的化简求值．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：当x=﹣1时，
原式=/×/
=3x+2
=﹣1
◆变式训练
1.（2017?临沂）计算：/÷（x﹣/）= ．
2.（2017?南京）计算（a+2+/）÷（a﹣/）．
3.（2017?黑龙江）先化简，再求值：（/﹣/）÷/，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．
/
（2016·四川内江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）/+/的运算结果正确的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．a+b
（2017年浙江省嘉兴、舟山市中考数学）若分式/的值为0，则x的值为 ．
（2015，广西钦州）当m=2105时，计算：= ．
（2016?淄博）计算 的结果是__________
（2017?连云港）化简：/?/．
(2017.十堰中考)先化简，再求值：(x＋4)÷(x2＋3x－4)＋，其中x＝2＋.
（2016·湖北黄石）先化简，再求值：/÷/?/，其中a=2016．
（2016·重庆市B卷）/÷（2x﹣/）
（2016年舟山市中考）先化简，再求值：（1+/）÷/，其中x=2016
/
选择题（本大题共5小题）
1.（2016年浙江省台州市中考数学 ）化简/的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．/ D．/
2.（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）计算32×3﹣1的结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
3.（2017年浙江省丽水市中考数学试卷）化简/+/的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1 D．/
4.（2015年浙江省金华市中考数学）要使分式有意义，则/的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
5.（2016年浙江省温州市中考数学 ）若分式/的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
填空题（本大题共5小题）
6.（2017年杭州市中考数学 ）若/|m|=/，则m= ．
7.（2017年湖州市中考数学 ）要使分式/有意义，x的取值应满足 ．
8.（2017年浙江省衢州市中考数学试卷）化简：/= ．
9.（2017年嘉兴市中考数学 ）若分式 /的值为0，则 的值为________．
10.（2016年浙江省衢州市中考数学 ）当x=6时，分式/的值等于 ．
解答题（本大题共2小题）
11.（2017年浙江省丽水市中考数学试卷）计算：（﹣2017）0﹣（/）﹣1+/．
12.（2017年台州市中考数学 ）先化简，再求值： /，其中 /
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第一章 数与式第3 节 分式
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知识点一：分式的概念
1．分式：形如____(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的结论
(1)分式无意义的条件是__B＝0__．
(2)分式有意义的条件是__B≠0__．
(3)分式值为0的条件是__A＝0且B≠0__．
知识点二： 分式的性质
1．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变.＝，＝(其中M是不等于零的整式)．
2．约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的__公因式__约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．
3．通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为__同分母__的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
4．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
知识点三： 分式的计算
分式的运算法则
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
(2)分式的加减法：同分母加减法，__分母不变，分子相加减__；异分母加减法，__先通分，后加减__．
(3)分式的乘除法：·＝____；÷＝____．
(4)分式的乘方：()n＝____．
（5）分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，按从左到右的顺序做，有括号的先
算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。?
注：分式运算结果一定是一个最简分式（或整式）。
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考点1.分式的概念
◇典例 ：
1. （2017?贺州）下列式子中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的定义．
【分析】根据分式的定义求解即可．
解： 、、 的分母中不含有字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式． 故选：C．
2.（2017?北京）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x=0
B．x=4
C．x≠0
D．x≠4
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出x的范围；
解：由代数式有意义可知：x-4≠0， ∴x≠4， 故选（D）
3. （2017?淄博）若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A．1
B．-1
C．±1
D．2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
解：∵分式的值为零， ∴|x|-1=0，x+1≠0， 解得：x=1． 故选：A．
◆变式训练
1. (2016曲靖压轴试卷)下列式子是分式的是( )
A. B. C.＋y D.
【解析】如果A，B(B≠0)表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【答案】B
2.（2017?桂林）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．±2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出x的值．
解：由题意可知：
x+2≠0
x2?4＝0 解得：x=2 故选（C）
3．已知分式/，当x=2时，分式无意义，则a= 。
【答案】6
考点2. 分式的性质
◇典例：
1. （2017?宜昌）计算/的结果为（ ）
A．1 B．/ C．/ D．0
【考点】约分．
【分析】分子利用平方差公式进行因式分解，然后通过约分进行化简．
解：/=/=/=1．
故选：A．
2.不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号．下列变形正确的是( )
A.＝ B.＝－
C.＝ D.＝－1
【解析】A.＝，故错误；B.＝－，故正确；C.＝，故错误；D.＝1，故错误．依据分式的性质进行变形，再判断对错即可．
【答案】B
◆变式训练
1. 把分式/（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．变为原来的/ D．不变
【分析】根据题意得出式子/，化简后即可得出答案． 解：把分式/（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍得出：/， ∵/=/， ∴把分式/（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，分式的值不变， 故选D．
2. 下列变形不正确的是（ ） A．-/=/ B．/ C．/=/ D．/=/
【分析】同时改变分式和分子的符号可对A、B进行判断；同时改变分子和分母的符号可对C、D进行判断． 解：A、-/=/，所以A选项的计算正确； B、/=-/，所以B选项的计算错误； C、/=/，所以C选项的计算正确； D、/=/，所以D选项的计算正确． 故选B．
考点3. 分式的计算
◇典例：
1.（2017?衢州）化简：/= ．
【考点】 分式的加减法．
【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．
解：原式=/=1．
2.（2017?深圳）先化简，再求值：（/+/）÷/，其中x=﹣1．
【考点】 分式的化简求值．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：当x=﹣1时，
原式=/×/
=3x+2
=﹣1
◆变式训练
1.（2017?临沂）计算：/÷（x﹣/）= / ．
【考点】 分式的混合运算．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
解：原式=/÷/
=/?/
=/，
故答案为：/．
2.（2017?南京）计算（a+2+/）÷（a﹣/）．
【考点】 分式的混合运算．
【分析】根据分式的加减法和除法可以解答本题．
解：（a+2+/）÷（a﹣/）
=/
=/
=/．
3.（2017?黑龙江）先化简，再求值：（/﹣/）÷/，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．
【考点】 分式的化简求值．
【分析】先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出m的值，从而可求出原式的值．
解：原式=（/﹣/）×/
=/×/﹣/×/
=/﹣/
=/，
∵m≠±2，0，
∴当m=3时，
原式=3
/
（2016·四川内江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
解：欲使根式有意义，则需x－3≥0；欲使分式有意义，则需x－4≠0．
∴x的取值范围是解得x≥3且x≠4．
故选D．
（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）/+/的运算结果正确的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．a+b
【考点】分式的加减法．
【分析】首先通分，把/、/都化成以ab为分母的分式，然后根据同分母分式加减法法则，求出/+/的运算结果正确的是哪个即可．
解：/+/
=/+/
=/
故/+/的运算结果正确的是/．
故选：C．
（2017年浙江省嘉兴、舟山市中考数学）若分式/的值为0，则x的值为 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件可以得到/，从而求出x的值．
解：由分式的值为零的条件得/，
由2x﹣4=0，得x=2，
由x+1≠0，得x≠﹣1．
综上，得x=2，即x的值为2．
故答案为：2．
（2015，广西钦州）当m=2105时，计算：= ．
【分析】考查分式的化简求值．原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
解：原式=/=/=m﹣2，
当m=2015时，原式=2015﹣2=2013．
故答案为：2013
（2016?淄博）计算 的结果是__________
【考点】约分．
【分析】分子是多项式1-4a2，将其分解为（1-2a）（1+2a），然后再约分即可化简．
解：原式=
=1-2a．
（2017?连云港）化简：/?/．
【考点】 分式的乘除法．
【分析】根据分式的乘法，可得答案．
解：原式=/?/=/．
(2017十堰中考)先化简，再求值：(x＋4)÷(x2＋3x－4)＋，其中x＝2＋.
解：原式＝＋
＝＋
＝，
把x＝2＋代入，
即＝1.
（2016·湖北黄石）先化简，再求值：/÷/?/，其中a=2016．
【分析】先算除法，再算乘法，把分式化为最简形式，最后把a=2016代入进行计算即可．
解：原式=/?/?/
=（a﹣1）?/
=a+1，
当a=2016时，原式=2017．
（2016·重庆市B卷·5分）/÷（2x﹣/）
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式混合运算法则进行计算．
解：
/÷（2x﹣/）
=/×/
=/．
（2016年舟山市中考）先化简，再求值：（1+/）÷/，其中x=2016
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先计算括号里面的加法，再把除法化成乘法，约分得出化简结果，再代入的值计算即可．
解：（1+/）÷/
=/×/
=/×/
=/，
当x=2016时，原式=/=/．
/
选择题（本大题共5小题）
1.（2016年浙江省台州市中考数学 ）化简/的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．/ D．/
【考点】约分．
【分析】根据完全平方公式把分子进行因式分解，再约分即可．
解：/ =/=/；
故选D．
2.（2016年浙江省丽水市中考数学试卷）计算32×3﹣1的结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
解：32×3﹣1=32﹣1=3．
故选：A．
3.（2017年浙江省丽水市中考数学试卷）化简/+/的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1 D．/
【考点】分式的加减法．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解：原式=/﹣/=/=/=x+1，
故选A
4.（2015年浙江省金华市中考数学）要使分式有意义，则/的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
解：根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须.故选D
5.（2016年浙江省温州市中考数学 ）若分式/的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．
解：∵分式/的值为0，
∴x﹣2=0，
∴x=2．
故选：D．
填空题（本大题共5小题）
6.（2017年杭州市中考数学 ）若/|m|=/，则m= ．
【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m．
解：由题意得，
m﹣1≠0，
则m≠1，
（m﹣3）|m|=m﹣3，
∴（m﹣3）（|m|﹣1）=0，
∴m=3或m=±1，
∵m≠1，
∴m=3或m=﹣1，
故答案为：3或﹣1．
7.（2017年湖州市中考数学 ）要使分式/有意义，x的取值应满足 ．
【考点】 分式有意义的条件．
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案是：x≠2．
8.（2017年浙江省衢州市中考数学试卷）化简：/= ．
【考点】分式的加减法．
【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．
解：原式=/=1．
9.（2017年嘉兴市中考数学 ）若分式 /的值为0，则 的值为________．
【考点】分式的值
【分析】分式的值为0时，分母不能为0，分子为0，即解分式方程/， 再检验解.
解：/，
去分母得，2x-4=0，
解得x=2。
经检验，x=2是分式方程的解.
故答案为2.
10.（2016年浙江省衢州市中考数学 ）当x=6时，分式/的值等于 ．
【考点】分式的值．
【分析】直接将x的值代入原式求出答案．
解：当x=6时，/ =/=﹣1．
故答案为：﹣1．
解答题（本大题共2小题）
11.（2017年浙江省丽水市中考数学试卷）计算：（﹣2017）0﹣（/）﹣1+/．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解：（﹣2017）0﹣（/）﹣1+/
=1﹣3+3
=1．
12.（2017年台州市中考数学 ）先化简，再求值： /，其中 /
【考点】分式的化简求值
【分析】根据分式的加减乘除运算法则即可化简该分式，将x的值代入记得得出答案.
解：原式=（/）（/）
=/
∵x=2017,
∴原式=/
=/
/
