第一章 数与式第4节 二次根式
知识点一： 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子______叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数 ；
②被开方数中 的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．21教育网
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.21cnjy.com
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有 ，一是 ，二是 ．
(2()2＝__ __．
(3)＝|a|＝
知识点二： 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 ．21·cn·jy·com
2.乘除运算： （1）二次根式的乘法：·＝__ (a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝ (a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方，再算 ，最后算 ，如果有 ，就先算 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．www.21-cn-jy.com
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
1.（2017?宁波）要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3
B．x＞3
C．x≤3
D．x≥3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．
解：依题意得：x-3≥0， 解得x≥3． 故选：D．
2.（2017?枣庄）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ）
A．-2a+b
B．2a-b
C．-b
D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a-b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．2·1·c·n·j·y
解：由图可知：a＜0，a-b＜0， 则|a|+ =-a-（a-b） =-2a+b． 故选：A．
◆变式训练
1.(2017云南中考)使有意义的x的取值范围为________．
2.若x、y满足，则的值等于( )
A. 3 B. C. D.
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1.（2017?贵港）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．? B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意； 故选：A．【来源：21·世纪·教育·网】
2. 下列各式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为3的选项即可
解：A、=2，故不与是同类二次根式，故错误；
B、=2，故不与是同类二次根式，故错误；
C、=5，故不与是同类二次根式，故错误；
D、=2，故，与是同类二次根式，故正确；
故选D．
◆变式训练
1.（2017?杭州一模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列运算中，错误的有( )个
①，②，③，④.
A．1 B．2 C．3 D．4
■考点3. 二次根式的运算?
◇典例：
1.(2015·黑龙江哈尔滨）计算＝
【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可.
解：原式=2－3×=2－=.
2.(1)当l
(2)a、b、c在数轴上对应点如图，化简
【分析】利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算．
解：(1) ∵10,
∴
(2)由数轴可知，0 ∴-a<0，a+b<0，c<0
∴.
◆变式训练
1.（2017?陕西）计算：（- ）× +| -2|-（ ）-1．
2.（2016·山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b21世纪教育网版权所有
下列运算中错误的是( )
A． B． C． D．
化简：的结果等于 ( )
A．a-2 B．a+2 C． D．
已知，则的值为( )
A．2 B．4 C．5 D．7
（2015孝感）已知，则代数式的值是
( )
A．0 B． 2 C．2+ D．2 -
(2016乐山)在数轴上表示实数a的点如图所示，化简的结果为 ( )
A．-7 B．-3 C．7 D．3
（2015日照）若，则x的取值范围是
已知，则 ．
当a<1时，化简的结果是 ．
计算：(1)．
(2) ．
(3)
观察下列运算
，，，
…，
利用上面的规律计算
.
1.（2017年浙江省宁波市中考数学试卷）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
(2016开远中考)化简：|a－1|＋()2的结果为( )
A．4－2a B．0 C．2a－4 D．4
(临川中考)已知x＜2，则化简的结果是( )
A．x－2 B．x＋2 C．－x－2 D．2－x
若－＝(x＋y)2，则x－y的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
（2016年舟山市中考数学 ）二次根式中字母x的取值范围是 ．
6.（2017年浙江省衢州市中考数学）二次根式中字母a的取值范围是 ．
(2017太原中考)若|a－2|＋＋(c－4)2＝0，则a－b＋c＝ _．
（2017年湖州市中考数学 ）计算：2×（1﹣）+．
9.（2016年浙江省台州市中考数学 ）计算：﹣|﹣|+2﹣1．
10.（2016年浙江省温州市中考数学 ）（1）计算： +（﹣3）2﹣（﹣1）0．
（2）化简：（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）．
11.（2017年台州市中考数学 ）计算：
第一章 数与式第4节 二次根式
知识点一： 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__(a≥0)__叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__不含分母__；
②被开方数中__不含开得尽方__的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．21教育网
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.21cnjy.com
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0．
(2()2＝__a(a≥0)__．
(3)＝|a|＝
知识点二： 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ．21世纪教育网版权所有
2.乘除运算： （1）二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号 ，就先算括号里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．21·cn·jy·com
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
1.（2017?宁波）要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3
B．x＞3
C．x≤3
D．x≥3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．
解：依题意得：x-3≥0， 解得x≥3． 故选：D．
2.（2017?枣庄）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ）
A．-2a+b
B．2a-b
C．-b
D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a-b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．www.21-cn-jy.com
解：由图可知：a＜0，a-b＜0， 则|a|+ =-a-（a-b） =-2a+b． 故选：A．
◆变式训练
1.(2017云南中考)使有意义的x的取值范围为________．
【解析】根据二次根式有意义的条件可得9－x≥0；即x≤9.
【答案】x≤9
2.若x、y满足，则的值等于( )
A. 3 B. C. D.
解:∵，
∴
.∴.
故选B.
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1.（2017?贵港）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．? B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意； 故选：A．2·1·c·n·j·y
2. 下列各式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为3的选项即可
解：A、=2，故不与是同类二次根式，故错误；
B、=2，故不与是同类二次根式，故错误；
C、=5，故不与是同类二次根式，故错误；
D、=2，故，与是同类二次根式，故正确；
故选D．
◆变式训练
1.（2017?杭州一模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【来源：21·世纪·教育·网】
解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式； C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式； D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式； 故选：C21·世纪*教育网
2.下列运算中，错误的有( )个
①，②，③，④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
■考点3. 二次根式的运算?
◇典例：
1.(2015·黑龙江哈尔滨）计算＝
【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可.
解：原式=2－3×=2－=.
2.(1)当l (2)a、b、c在数轴上对应点如图，化简
【分析】利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算．
解：(1) ∵10,
∴
(2)由数轴可知，0 ∴-a<0，a+b<0，c<0
∴.
◆变式训练
1.（2017?陕西）计算：（- ）× +| -2|-（ ）-1．
【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．
【分析】根据二次根式的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
解：原式=-+2--2 =-2- =-3
2.（2016·山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．B
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．www-2-1-cnjy-com
解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
下列运算中错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
化简：的结果等于 ( )
A．a-2 B．a+2 C． D．
【答案】B
已知，则的值为( )
A．2 B．4 C．5 D．7
【答案】B
（2015孝感）已知，则代数式的值是 ( )
A．0 B． 2 C．2+ D．2 -
【答案】C
(2016乐山)在数轴上表示实数a的点如图所示，化简的结果为 ( )
A．-7 B．-3 C．7 D．3
解：由圈可知2故选D
（2015日照）若，则x的取值范围是
【答案】
已知，则 ．
【答案】10
当a<1时，化简的结果是 ．
解：：∵a<1, ∴a<0，原式=．
【答案】
计算：(1)．
【答案】解：原式== 4-1-3 =0．
(2) ．
【答案】解：
原式=
(3)
【答案】解：原式=
观察下列运算
，，，
…，
利用上面的规律计算
.
【答案】解∵ ，，，
…，
∴原式
1.（2017年浙江省宁波市中考数学试卷）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．
解：依题意得：x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：D．
(2016开远中考)化简：|a－1|＋()2的结果为( )
A．4－2a B．0 C．2a－4 D．4
解：依题意a≥3,
∴|a－1|＋()2
=a-1+a-3=2a-4
故选C
(临川中考)已知x＜2，则化简的结果是( )
A．x－2 B．x＋2 C．－x－2 D．2－x
解：∵x＜2 ，∴x-2＜0
∴==|x－2|=2-x
故选D
若－＝(x＋y)2，则x－y的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
解：依题意x-1≥0,1-x≥0 (x＋y)2≥0
∴x=1
∴(x＋y)2=0
∴x+y=0
∴y=-1
∴x－y=-2
故选C
（2016年舟山市中考数学 ）二次根式中字母x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
6.（2017年浙江省衢州市中考数学）二次根式中字母a的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】由二次根式中的被开方数是非负数，可得出a﹣2≥0，解之即可得出结论．
解：根据题意得：a﹣2≥0，
解得：a≥2．
故答案为：a≥2．
(2017太原中考)若|a－2|＋＋(c－4)2＝0，则a－b＋c＝ _．
解：依题意a-2=0,b-3=0,c-4=0
∴a=2,b=3,c=4
∴a－b＋c＝ 3
（2017年湖州市中考数学 ）计算：2×（1﹣）+．
【考点】 二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的乘法以及合并同类二次根式进行计算即可．
解：原式=2﹣2+2
=2．
9.（2016年浙江省台州市中考数学 ）计算：﹣|﹣|+2﹣1．
【考点】实数的运算；负整数指数幂．
【分析】原式利用算术平方根定义，绝对值的代数意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解：原式=2﹣+
=2．
10.（2016年浙江省温州市中考数学 ）（1）计算： +（﹣3）2﹣（﹣1）0．
（2）化简：（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）．
【考点】实数的运算；单项式乘多项式；平方差公式；零指数幂．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质分别分析得出答案；
（2）直接利用平方差公式计算，进而去括号得出答案．
解：（1）原式=2+9﹣1
=2+8；
（2）（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）
=4﹣m2+m2﹣m
=4﹣m．
11.（2017年台州市中考数学 ）计算：
【考点】绝对值，零指数幂，二次根式的性质与化简
【分析】根据二次根式，零次幂，绝对值等性质计算即可得出答案.
解：原式=3+1-3.
=1
