早期的算术与几何 学案

第一讲 早起的算术与几何
一、自学目标：通过自学本节内容，了解古埃及和两河流域的数学内容以及古代几种主要的记数制度，体会古代数学在历史长河中的作用。
二、自学内容提炼
（一）提出问题
1、古埃及的纸草书有哪些？
2、古埃及怎么进行乘法和除法的运算？
3、中国古代的算筹记数纵横相间具体是怎样的？
（二）知识梳理：
1、古埃及和巴比伦的数学
（1） 是研究古埃及数学的主要来源
莱因德纸草书：最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱因德购得，现藏于伦敦大英博物馆．又称阿姆士纸草书，阿姆士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书，据他加的前言知，所抄录的是一部已经流传了两个世纪的著作．含 个数学问题．
莫斯科纸草书：又称戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现存于莫斯科博物馆．产生于公元前1850年前后，含有 个数学问题．
（2）古埃及的计算技术具有 的特征，乘除法运算，往往用 来完成．由于方法较为繁复，古埃及算术难以发展到更高的水平．
（3）古埃及的几何
相对于算术，古埃及的几何具有更高的成就．古代埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，可以说明古埃及几何学的发达．
埃及几何产生于土地测量，是一种实用几何．
对面积、体积的计算，他们给出了一些计算的法则，有准确的也有粗略的．在莫斯科纸草书中有一个正四棱台体积的计算所用的公式，用现在的符号表示是
这是埃及几何中最出色的成就之一．
（4）古巴比伦的数学
记数法： 进制 值制
长于计算，编制了许多数表： 表、 表、 表、 表、 表、立方根表、甚至有特殊的指数（对数）表。
能解二次方程。
2、丰富多彩的记数制度
（1）记数符号的产生
《易·系辞》中载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。 记数，是指在绳子上打一个结表示一个数或一件事，绳结的多少，根据事物多少而定。而所谓的“书契”，就是刻划，“书”是划痕，“契”是刻痕。古人常常在各种动物骨头、金属、泥版上刻痕记数。如中国殷商时期常将文字刻划在牛的肩胛骨或龟甲上，故称 文。
从刻划记数，人类很自然地过渡到刻出数的符号，并进而创造出第一批数字。古代中国、古埃及、巴比伦等民族，均在公元前5000年前后就有了记数符号。由于古人用手指作为计数的参照物十分方便，因而许多民族都不约而同地使用了十进制计数法。当然也存在着少量的其它进位制，如5进制、12进制、16进制、20进制、60进制等。
2、中国古代的算筹数码
中国古代数学的起源可以上溯到公元前数千年．《史记》中记载，夏禹治水，“左规矩，右准绳”．这可以看作是中国古代几何学的起源．在殷商甲骨文中已经使用了完整的 进制记数法，春秋战国时代又出现了 进 制 记数法。
公元前500年左右的战国时代，中国人创造了具有 进位值制特征的 数码。
筹算数字的摆放方法规定，个位用 式，十位用 式，百位用 式，千位用 式，万位又用 式，如此纵横相间，以免发生误会。并规定用空位表示零。
到了13世纪，中国数学家又明确地用“ ”表示 ，从而使中国记数法完全 化。
3、印度一 数码
现在国际通用的数码常称为 数码，这是历史遗留下来的不确切名称，其实叫做印度一阿拉伯数码更为恰当。这种数码采用 进位值制，它的演变，有一段漫长面复杂的历史。
印度一阿拉伯数码最早可以上溯到 文字，这种文字形成于公元前7、8世纪.是印度文字的祖先。婆罗米数字在分类上属于分级符号制，以后逐渐向位值制发展，大约在公元前600年已过渡到位值制记数法.最初用空一格表示零，后来用小点表示。完成位值制必须有零号，根据目前掌握的史料，印度最早的确凿无疑的零号“0”出现在瓜廖尔地方的一块石碑上，年代是公元876年.
公元773年。印度数码开始传入阿拉伯国家。由于当时没有印刷术。数码全凭手写。字体因人因地而异，变化很大。东西阿拉伯的写法就很不相同。西部较接近现代的写法，但没有零号.东部字体逐渐固定下来，至今许多伊斯兰国家仍在使用。有人顾名思义。认为“阿拉伯数码”就是阿拉伯人创造的数码，这是误解。
13世纪.欧洲的著名数学家斐波那契（1.Fibonacci，1170-1250）写了一本书。名为《算盘书》，这是第一部问欧洲人介绍印度数码的著作。这本书的一开头就写到：“这是印度的九个数码：987654321.
还有一个阿拉伯人称之为零的符号0，这样任何数都可以表示出来。”从那时起。又经过数百年的改进，到16世纪，终于形成了当今国际通用的数码。在欧洲人的印象中。这些数码来自阿拉伯国家。所以称之为阿拉伯数码。这个名称就这样沿用下来。
3、其它记数制
①分级符号制（古埃及僧侣文中的数码）：每年较高的单位另立符号
②乘法累数制（位置制记数）：阿拉伯数字与中国数字
（三）化解疑难
1、不是所有的土地都是正方形或者长方形。有些土地，好像那儿都是边，那儿也有角，形状很不规则，古埃及怎么解决这些问题？
答：把它们分成若干个三角形倒是方便的。再通过求三角形的面积进行求解，比如一块正方形的麻布，可以折叠成两个大小相等的三角形，每个三角形的面积，恰好是正方形面积的一半。估计古埃及人正是从这类简单的线索中，学会了求三角形面积的方法：长乘宽，再除以二。
2、中国古代的算筹记数纵横相间具体是怎样的？
答：中国古代的各位数码的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位数用横式表示，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式