古埃及的数学 学案 (3)

古埃及的数学
一、自学目标：通过自学本节内容，了解古埃及数学的内容，体会古埃及数学的特色及其在数学历史长河中的作用。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
1、胡夫金字塔：世界七大奇迹之一，埃及最大的金字塔，建于公元前2500年左右，位于开罗附近，法老胡夫的陵墓。
胡夫大金字塔的塔高为146.6米，它的10亿倍正好等于地球刻太阳的距离，而塔底的周长正好是平年的天数，如果把塔焘的周长除以2倍的塔高，那就等子圆周率。胡夫大金富塔的塔心正好是地球上各大陆的引力中心。通过塔底的中心的子干孩，正好把地球上的海洋和陆地分成相等的两等。把正方形的塔底的两条对角线延长正好可以把尼罗河三角洲夹在里面。在胡夫金字塔中，最为神秘的还要算是塔中的墓室，它的长、宽、高之比恰好是3：4：5。这真是一在被着神秘面纱的金字塔。另外，科学家们惊奇的发现，金字塔底基正方形边长的相对误差不超过1：14000，即不超过2cm；四底脚的相对误差不超过1：27000，即不超过12”，四个方向的误差也仅在2'-5'之间，这些都说明当时的测量水平已相当的高。
2、古埃及的象形文字
古埃及人创造出了几套文字，其中一套是象形文字，“象形文字”这个词源子希腊文，意思是神爱的文字，直到基督降生的年代，埃及在纪会碑文和器迎上逐制有象形字，自公元前2500年友右起，开始使用象形文字的缩写，称作 。
埃及的书写材料：
① ：埃及的教学原典就是由象形文字都写而成，其中，对考索古族及教学有重要价值的是“兰德纸草书”，这部纸草都是在埃及古都--底比斯（Thebes)的废墟中发现的.1858年由是兰德购买，尔后，遗赠给伦教大英博物馆。因此，叫做兰德纸草书，这种纸草长约550厘求、宽33厘求，共载有85个数学问题.
② ：记载着古埃及数学的另一部古典书籍，长约550厘米，宽8厘米，共记载着25个数学问题。
两部草书中的问题，大部分来自于现实，从这两部纸草书中可以看出埃及数学有如下几个突出的成就：
a.单位分数的研究
从纸草书中的记载可以看出埃及人对单位分数研究的较为透彻，且被广泛使用，这成为埃及数学一个重要而有趣的特色。
b.加法为基本算术运算
埃及人最基本的算术运算是 ，乘法运算是通过 的程序来实现的，在除法运算中，埃及人将 倒过来执行，即除数取代了被除数的地位而被拿来逐次加倍。
c.尼罗河泛滥后的土地重新测量给埃及人带来了赠礼——几何学。在纸草书中可以找到正方形，矩形，等腰梯形等图形面积的正确公式。
e.埃及人在体积计算中达到了很高水平，这表现在对金字塔的建造及计算方面。
3、古埃及的计数制
古埃及人是用以10为基的象形教字记数的，并且有数字的专门符号。介于其间的各数由这些符号的组合来表示，书写方式是从右往左。当在一个数中出现基个教码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，即遵守加法守则。这说明，古埃及人的计教系统是叠加制而不是位进制。
古埃及人已经有了分数的概念，但他们仅使用 ，也就是分子为1的分数，表示整体的若干等分的一份，只有2/3是一个例外。
5、古埃及的几何学
古埃及人为什么几何学成就较为突出，与他们经常做的两件事有关：
①每年的雨季，尼罗河水泛滥，淹没了两岸的耕地。雨季过后河水退去，留下肥沃的土地，古埃及就开始耕种。为了恢复各人田产的界线，就需要重新丈量，这就使得古埃及人的几何学逐渐发达起来。
②古埃及人为死去的法老建造的陵墓金字塔，是由一块块巨石砌成的。在长年累月的建造活动中，埃及人的立体几何学也发展起来，他们能够把很多块巨石精确切割之后运到工地，再砌成雄伟的金字塔。石块之间对接紧密，而且整座金字塔浑然一体，表现出高超的技术水平。
③正方形，长方形和三角形
方形面积的求法，最初很可能是工匠在铺设方砖地面的时候学会的。他们发现：一块地面，如果是三砖长、三砖宽，需要铺九块砖(3×3)；另一块地面，三砖长、五砖宽，就需要铺十五块砖(3×5)。这样，计算正方形和长方形的面积，只消用长乘以宽就行了。
④圆
在大量的测量工作中，埃及人当然会碰到“圆”这类难办的图形。他们感到难办的地方，是无法把圆分成许多块三角形，而每一块都是由三条直线组成的标准三角形。因此，古埃及人认为圆是天赐予人们的神圣图形。
实践出真知。早期的埃及人，一定是用绳子绕木桩的方法来画圆。他们从长绳子画出来的圆大，短绳子画出来的圆小，知道了圆面积的大小，是由圆周到圆心的距离来决定的。这就是我们常说的半径。
到了三千五百年前左右，当金字塔已成为古迹的时候，一个叫阿赫美斯的埃及文书，写出了一条这样的法则：圆的面积，非常接近于半径为边的正方形面积的三又七分之一倍。这在当时是很了不起的发现！
（二）典例选讲
1、乘法：26×33
26=2+8+16
26X33=66+264+528=858
2、②除法：19 ÷8
19=16+2+1
19 ÷8=2+1/4+1/8
3、③将给定的100个单位的面积分为两个正方形，使两者的边长之比为4：3.
解：设此二正方形的边长分别为x,y,且4y=3x,由题设x2+y2 =100，取x=4，则y=3.此时x2+y2 =25 ≠100.所以将原数值加倍，即x=8,y=6.
注：“试位法”对于解决属于一元一次方程的问题，可以得到精确的解，而对于二次以上的方程，这种方法一般情况下只能给出近似解
4、金字塔问题：如果告诉你一个截顶金字塔的垂直高度为6，底边为4，顶边为2，求其体积。
古埃及人的算法：
4的平方为16，4的两倍为8，2的平方是4
把16，8和4相加得28.
取6的三分之一为2，取28的二倍为56，则体积就是这个数。
用现在的数学语言表示：V=(42+2x4+22)x6x1/3=56
由此可看出：古埃及人通过具体问题说明了高为h,底边长为a和b的正四棱台的体积公式是：V=1/3(a2+ab+b2)h
（三）提出疑点和解决
1、不是所有的土地都是正方形或者长方形。有些土地，好像那儿都是边，那儿也有角，形状很不规则，古埃及怎么解决这些问题？
答：把它们分成若干个三角形倒是方便的。再通过求三角形的面积进行求解，比如一块正方形的麻布，可以折叠成两个大小相等的三角形，每个三角形的面积，恰好是正方形面积的一半。估计古埃及人正是从这类简单的线索中，学会了求三角形面积的方法：长乘宽，再除以二。
2、古埃及的加法运算和单位分数运算对古埃及数学发展有什么影响？
答：加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复.这种运算方法冗长繁复妨碍了数学的进一步发展，这也是古埃及算术和代数不能发展到更高水平的原因之一.