两河流域的数学 教案 (3)

两河流域的数学
教学目标分析：
1、了解古巴比伦数成就的内容。
2、激发学生的求知欲，培养积极进取的精神
重难点分析：
重点： 了解古巴比伦数学的成就
难点： 理解古巴比伦人的计算术。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、导入
两河流域的数学其实主要是指位于西亚底格里斯河和幼发拉底河的中下游地区的古巴比伦的数学，对古巴比伦人的数学主要来源于对他们制作的泥板上的文献，因此古巴比伦的数学被称为“泥板上的数学”。
二、知识讲解：
1、楔形文字
这源于底格里斯河和幼发拉底河流域的古老文字，这种文字是由约公元前3200年左右苏美尔人所发明，是世界上最早的文字之一。
字形特点：由于多在泥板上刻画，所以线条笔直形同楔形，使用芦苇杆或木棒来压印在泥板上来方便书写，因此文字笔画大都为具三角形的线条，而字形也随着文明演变，逐渐由多变的象形文字统一固定为音节符号。
2、进位制：
60进制，60进制：六十进制是以60为基数的进位制，源于公元前3世纪的古闪族，后传至巴比伦，现仍用作纪录时间、角度和地理坐标。
巴比伦使用的这个六十进位法是个不完整的进制系统，因为它缺乏代表“零”的符号。但它与我们系统是很接近的，它使用59个不同的符号代表1至59，当泥板上由左至右出现5、6、3时，它的意思是 =18363。这使得一个很庞大的数字变得容易纪录。
3、算术与代数
算术：使用乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根和立方根表。
代数：他们在代数领域达到了相当高的水平，能卓有成效地处理一般的三项二次方程和某些三次方程，特别是开方根的算法非常成熟。
4、几何
“普林顿322号”与勾股数
据此进行验证，人们惊讶地发现，专业人士根据“普林顿322号” 给出的斜边c和直角边b来确定另一条直角边a的“勾股数”中（如下表），除第11 行的60、45、75 和第15 行的90、56、106之外，竟然都是“素勾股数”。为直观理解，表中也给出了毕氏参数u、v的值。
通过“普林顿322号”不难看出，古巴比伦人早在3000多年前就知道“素勾股数”的一般参数表达式，否则，单靠巧合根本无法凑出这样的数据。考虑到当时的文化和数学背景，这绝对是个令人惊叹的研究成果。
5、“巴比伦开方”法。
　　首先， 我们可以通过计算器或查表得≈ 4.358898944。这样的近似值把19的平方根写到小数点后第9位，精确度已经够高，无需继续拓展延伸，就放在一边作为参照。
　　其次，用“迭代”（ 顾名思义就是指不停代换，也指循环执行、反复执行） 来具体解释“巴比伦开方”逐渐接近准确结果的操作步骤：
　　第一次，设4 为的起始近似值，虽然这极为粗略，但请不要放在心上。然后进行如下计算：19÷4＝4.75，接着求起始近似值4与商4.75的算术平均数，即（4.75+4）÷2＝4.375，可以判断的是，4.375的平方更接近于19，所以接下来就用相对准确的4.375替代不准确的4。
　　第二次，仍采用与上述一致的两次计算，只是其中的4由4.375代换。如法炮制的计算就是：19÷4.375≈4.343，再求4.375与4.343的算术平均数，即（4.343+4.375）÷2＝4.359，可以判断的是，4.359的平方更接近于19，所以接下来就用更为准确的4.359替代相对准确的4.375。其中道理，仍是为了求出更接近于准确结果的近似数。
　　第三次，设的近似值为4.359，则19÷4.359≈4.358798，（4.358798 + 4.359）÷ 2≈4.358899；
　　第四次，设的近似值为4.358899，则19÷4.358899≈4.3588989，（4.3588989+4.358899）÷2≈4.35889895；
　　第五次，设的近似值为4.35889895，则19÷4.358898959≈4.358898937，（4.358898937+4.35889895） ÷2≈4.358898944。
　　至此，经过5次迭代后，所得的近似值已经与参照数值完全吻合，说明这种递推结果非常精确。尽管这种“巴比伦开方”的计算过程比较繁琐，但其科学合理和实用精妙毋庸置疑。
　　更令人惊奇的是，如果在假设的起始近似值时随意离谱，比如设为7 居然也不碍事。只要按照上述步骤持续操作，就会发现逐次接近的近似值变换为： 7→4.857→4.3845→4.38895→4.358899→4.35889895→4.358898944。
小结：
尽管古巴比伦的数学主要用于解决各类具体实际问题，但在早期文明中即达到极高水平。其精妙奇特的计算方法打开了人类对数学的探索之门，科学合理的计数规则对后世产生了重大影响。时至今日，我们回顾古巴比伦数学，仍能感受到奇特的魅力，惊叹于古巴比伦人非同凡响的数学智慧。