丰富多彩的记数制度 教案 (1)

丰富多彩的记数制度
教学目标分析：
1、了解不同的记数制度。
2、比较不同的记数制度。
重难点分析：
重点： 了解重要的几种记数制
难点： 各种记数制的使用规则
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、知识讲解：
我们现在普遍使用的0.1.2.….9称作阿拉伯数码，任何一个数字都可以用这10个数码来表示。当数字大于9时，无需创造新的数码，只要在表示十位的地方写1.在表示个位的地方写0就可以了，这样就写出了数字10.由此可以看出，上述十个阿拉伯数码放在不同的数位上，它所表示的意义是不一样的.拿1为例，放在个位表示1，放在十位表示10，放在百位表示100……这样的记数制度叫做“十进位值制”
用十进位值制记数法非常方便，写出的数字简洁明了。古代的先民采用十进可能与人有10个手指有关.
（一）中国古代的算筹记数
中国古代用算筹来进行计算，而中国古代的算筹记数法就是现代的十进位值制.算筹的功用和后世的算盘珠大致相仿，5以下的数码是几就用几根算筹表示，6、7、8、9四个数码用一根放在上面，余下的数，每根算筹表示1.算筹是将儿寸长的小竹棍（或用木、玉、金属制造）摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种方式，如图1-4.那么，算筹的摆放形式为什么采用纵横两种方式呢?
西汉象牙算筹表示一个多位数时，像现在用阿拉伯数码记数一样，把各位的数码从左到右横着排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位数用横式表示，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式……例如6614用算筹表示出来就是；数字有空位时，如86021用算筹表示就是 .百位上是空位不放算筹，又如10340用算筹表示出来就是，千位和个位都不放算筹.因为布置算筹需要纵横相间，这个数字有没有空位是很容易辨别的。《孙子算经》中清晰地记载了算筹的纵横相间制“一纵十横.百立千僵。千、十相望，万、百相当.满六以上，五在上方。六不积算，五不单张”。算筹记数的纵横相间制传到宋元时期都没有改变.
算筹记数是中国古人在生产实践中创造出来的一种方法.用极简单的算筹.纵横布置.就可以表示任何自然数（和小数).虽然没有表示空位的符号，但确实能够实行位值制记数法，为加减乘除等运算建立起良好的条件. 我国古代数学在数字计算方面有辉煌的成就，应当归功于遵循十进位值制的算筹记数法.
算筹作为计算的工具，它的起源很早，大约可以上溯到公元前5世纪，有证据足以说期.春秋末期以前，人们早已利用算筹来计算了。后来写在纸上变成为算筹记数法。在纸上为了明确起见.用O表示空位.这就是中国的零号。正是由于古代中国人使用算筹非常普遍，所以留下了后世的名句“运筹维程之中，决胜千里之外”，而从事数学研究的人在古代则被称作“筹人”.
（二）印度一阿拉伯数码
现在国际通用的数码常称为阿拉伯数码，这是历史遗留下来的不确切名称，其实叫做印度一阿拉伯数码更为恰当。这种数码采用十进位值制，它的演变，有一段漫长面复杂的历史。
印度一阿拉伯数码最早可以上溯到婆罗米文字，这种文字形成于公元前7、8世纪.是印度文字的祖先。婆罗米数字在分类上属于分级符号制，以后逐渐向位值制发展，大约在公元前600年已过渡到位值制记数法.最初用空一格表示零，后来用小点表示。完成位值制必须有零号，根据目前掌握的史料，印度最早的确凿无疑的零号“0”出现在瓜廖尔地方的一块石碑上，年代是公元876年.
公元773年。印度数码开始传入阿拉伯国家。由于当时没有印刷术。数码全凭手写。字体因人因地而异，变化很大。东西阿拉伯的写法就很不相同。西部较接近现代的写法，但没有零号.东部字体逐渐固定下来，至今许多伊斯兰国家仍在使用。有人顾名思义。认为“阿拉伯数码”就是阿拉伯人创造的数码，这是误解。
13世纪.欧洲的著名数学家斐波那契（1.Fibonacci，1170-1250）写了一本书。名为《算盘书》，这是第一部问欧洲人介绍印度数码的著作。这本书的一开头就写到：“这是印度的九个数码：987654321.
还有一个阿拉伯人称之为零的符号0，这样任何数都可以表示出来。”从那时起。又经过数百年的改进，到16世纪，终于形成了当今国际通用的数码。在欧洲人的印象中。这些数码来自阿拉伯国家。所以称之为阿拉伯数码。这个名称就这样沿用下来。
（三）其他记数制度
历史上，在不同的时代，不同的地域，不同的文化中产生的记数制度可以说五花八门，不一面足，除了上述的十进位值制记数制度外，主要还有如下的几种。
1、简单累数制
这种制度的特点是每一个较高的单位，都用一种新的符号来表示，比如古埃及象形文中的数字；在巴比伦模形文中.60以下的数采用的也是简单累数制。
另外，12世纪以前盛行欧洲的罗马数码采用的也是简单累数制，现在某些场合还在使用，如书本的卷数，章节的序号，正文前的页码，老式的钟表盘等.
罗马数字用大写的拉图1-5罗马街头的拉丁字母（有时也用小写）表示数目：
一个简单的数要写成长长的一串，如3888=MMMDXCCCl.XXXVIIl.
从左向右书写，单位从大到小排列。但如果较小的单位写在较大单位之左，要用“减法原则”。如：IV=5-1=4，IX=10-1=9等.这个原则在历史上时兴时废，直到中世纪还未固定下来，有时IV也写成Il一般只允许减去一个单位，但古代并不完全遵守这一原则。
2、分级符号制
和简单累数制比起来，分级符号制不但对每一个较高的单位都要另立符号，而且对较高单位的倍数也要设新符号。
古埃及僧侣文中的数码就属于十进的分级符号制。除了1，2，….9各有符号表示外，10，20，…，90以及100，200，，900等等都有特殊符号表示，如图：
使用这种记数制度需要记住很多符号，这是缺点，但写起来很紧凑，如4997写作，其中前两个符号分别表示4000和900.由于这样的特殊符号毕竟是有限的，所以在表示太大的数字时，这种记数制度就无能为力了。
古希腊的字母记数法，犹太民族的希伯来字母记数法以及阿拉伯字母记数法都属于分级符号制.
3、乘法累数制
简单累数制也可叫做加法累数制，原理是将各个数码所表示的数加起来.600要把100重复写6次，这是很麻烦的.乘法累数制是将重复书写改用乘法表示.最具代表性的
二、问题探究：
1、十进位值制包含那些要素？其中哪个更具有实际意义？
答：两个要素，一个是十进，一个是位值，两者缺一不可。在这两个要素中，位值的思想比进位的思想更具实际意义。
2、中国古代的算筹记数方法与现在的十进制有什么不同？
答：算筹记数方法除了数码形式不同之外，和现在的十进位值制并无两样。
小结反思：记数制度包括中国的筹算记数、印度的阿拉伯数码、简单累数制、分级符号制和乘法累数制。在古代，一些国家或地区采用了位值制但不是十进的记数法，也有些地区使用十进的记数法，但却不是位值的，中国的算筹记数法却是最早的既是十进制又是位值制的记数方法，这是我国古代数学的一大创造。