古希腊数学 课件 (6)

课件48张PPT。第三讲：喷薄出海—古希腊数学 希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来说，在古希腊学者登场之前是不存在的。
---M·克莱因 一、希腊数学的先行者——泰勒斯（约625-547B.C.）
古希腊数学先行者、哲学家---万物源于水；
爱奥尼亚学派创始人； 论证几何学鼻祖；
创数学命题逻辑证明之先河；“希腊七贤”之首。二、毕达哥拉斯（约580-500B.C.）
希腊论证数学的另一位祖师；
毕达哥拉斯学派创始人；
精于哲学、数学、天文学、音乐理论；
信奉“万物皆数”。
一、古希腊数学的先行者——爱奥尼亚学派创始人
古希腊最早的数学家、哲学家
“希腊七贤”之首泰勒斯一、古希腊数学的先行者——爱奥尼亚学派创始人
古希腊最早的数学家、哲学家
“希腊七贤”之首泰勒斯最先证明了如下的定理:
1.两直线相交，对顶角相等。
2.等腰三角形两底角相等。
3.圆被直径二等分。
4.半圆上的圆周角是直角。
----泰勒斯定理
5.两个三角形全等的边角边定理。从泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。泰勒斯一、古希腊数学的先行者——爱奥尼亚学派创始人
古希腊最早的数学家、哲学家
“希腊七贤”之首泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。泰勒斯泰勒斯 他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地、万古流芳。测量金字塔的高；
预报一次日食 (585B.C.)等。 公元前580—前500年
精于哲学、数学、天文
学、音乐理论二、毕达哥拉斯学派1．毕达哥拉斯（Pythagoras） 希腊论证数学的另一位祖师 毕达哥拉斯学派创始人 信奉“万物皆数”费洛罗斯曾说:“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”1、毕达哥拉斯（约580-500B.C.）

萨摩斯岛 —> 克洛托内
毕达哥拉斯定理(勾股定理) ;
正多面体;
黄金分割;
“万物皆数”；
不可公度量。2．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（二）、毕达哥拉斯学派毕氏学派百牛大祭希 腊——已婚妇女定理
法 国——驴桥问题
中 国----商高定理
阿拉伯——新娘的坐椅3、正多面体作图五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。五种正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关，前三种归功于毕氏学派，后两种为毕氏学派晚期学生所作。正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的“黄金分割”问题有关。黄金分割古典时期的希腊数学毕达哥拉斯学派费洛罗斯曾说:
“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”
4、“万物皆数”仅指整数，分数被看成两个整数之比；定义了完全数（即因数之和等于该数，如6, 28等）、过剩数（即因数之和大于该数）、不足数（即因数之和小于该数）、亲和数（即 a 是 b 的因数之和， b 也是 a 的因数之和，最小的一对亲和数为220和284）等对数进行分类；5．多边形数?毕达哥拉斯学派的形数：三角形数： N =1+2+3+…+n = n (n +1) / 2 ;
正方形数：N =1+3+5+7+….+(2n-1) ;
五边形数：N =1+4+7+….+(3n-2)= n(3n-1) /2 ;
六边形数：N =1+5+9+….+(4n-3)=2n2-n .
这是一些等差数列。可以推广到三维空间去构造多面体数。“形数”体现了数与形结合的思想。
数形结合的另一个典型例子:
(m2 -1) / 2 , m , (m2 +1) / 2 ( m 为奇整数)
给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。这一公式未能给出全部毕达哥拉斯数组。（二）、毕达哥拉斯学派6．不可公度量万物皆数6、不可公度量(无理数的发现)第一次数学危机 任何量都可以表示成两个整数之比。
在几何上就是：对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段，以它为单位能将给定的线段划分为整数段。希腊人称这两条线段为“可公度量”，意即为有公共的度量单位。
希帕苏斯 Hippasus(公元前470年左右）x、y互素帕提农神庙(前447－前432年） 雅典时期：开创演绎数学(3)雅典时期的希腊数学雅典时期学派林立： 伊利亚学派 代表人物：芝诺；
主要贡献：芝诺悖论
诡辩学派 代表人物：希比阿斯(Hippias,c.BC.460)、
安提丰(Antiphon,c.BC.480--BC.411) ,布里松
主要贡献：三大几何作图问题
柏拉图学派(雅典学院)
代表人物：柏拉图(Plato,BC.427-BC.347)、
梅内赫莫斯(Menaechmus)、
蒂诺斯特拉图斯(Dinostratus)、
欧多克斯(Eudoxus,c.BC.408--BC.347)
主要贡献：倡导逻辑演绎结构
亚里斯多德学派(吕园学派)
代表人物：亚里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322)
欧多谟斯
主要贡献：倡导逻辑演绎结构。三、欧几里得(约300B.C.前后)
四、阿基米德(287-212B.C.)亚历山大（匈牙利, 1980）亚历山大时期：希腊数学黄金时代希腊化时期的数学欧几里得
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约公元前300（1）欧几里得(约300B.C.前后) 欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。
阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。
阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。《原本》第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理、初等作图法等
第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积
第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切
第五、六卷：比例论与相似形
第七、八、九、十卷：数论
第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分思想的来源希腊化时期的数学欧几里得<原本>历史上第一个公理体系
13 卷
119 条定义
5 条公理, 5 条公设
465 条定理几何学无王者之道现存著作：《原本》、《数据》、《论剖分》、
《现象》、《光学》和《镜面反射》等。
失传著作：《圆锥曲线》、《衍论》、《曲面轨迹》、
《辩伪术》等。“原本”的希腊文原意是指一个学科中最重要的定理公设：
1. 从任意一点到任意一点可作一直线；
2. 线段可任意延长；
3. 以任意中心和直径可以作圆；
4. 凡直角都彼此相等；
5. 若一条直线与两直线相交，所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。公理：
1. 等于同量的量彼此相等；
2. 等量加等量，和相等；
3. 等量减等量，差相等；
4. 彼此重合的图形是全等的；
5. 整体大于部分。 卷 I, II, III, IV 及 VI : 平面几何基本内容
卷 V : 比例论
无理量引起的麻烦之回避
卷 VII, VIII, IX : 数论
卷 X : 不可公度量分类

卷 XI, XII, XIII : 立体几何
穷竭法(卷 XII)比例的定义：设 A, B, C, D是任意四个量, 其中A和B同类(即均为线段、角或面积等), C和D同类.如果对于任何两个正整数 m 和n ,关系m A ? n B是否成立, 相应地取决于关系m C ? n D是否成立,则称A与B 之比等于C与D 之比,即四量 A, B, C, D成比例. 比例论举例
定理: 如果两个三角形的高相等, 则它们的面积之比等于两底长之比比例定义：A，B；C，D
对任何正整数m和n，关系 m A ? n B ? m C ? n DBmC=m(BC)，△ABmC=m(△ABC)；
DEn=n(DE) ，△ADEn=n(△ADE)。
由已证明的结果,可知 △ABmC ? △AEnD ?BmC ?EnD也就是说 m(△ABC) ? n(△AED) ?m(BC) ? n(ED) 据比例定义，有△ABC :△ADE＝BC : DE 穷竭法举例
卷 XII 命题2: 圆与圆之比等于其直径平方之比
(A) 圆的面积可以用内接正多边形面积“穷竭”
(正8边形面积–正4边形面积)
>1/2(圆面积–正4边形面积)
(B) 反证法 矛盾
矛盾
必有 阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)希腊化时期的数学勾股定理的证明1482 第一个拉丁文印刷本(威尼斯)
1607 中译本<几何原本>(徐光启,利玛窦)缺陷:
(1) 某些定义借助于直观或含混不清；
(2) 公理系统不完备.阿基米德
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公元前287
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前212
希腊化时期的数学（1）阿基米德的著作《抛物线求积法》：研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。 《浮体》：是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。 《论锥型体与球型体》：讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。《平面的平衡》：是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。《论螺线》：是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。《砂粒计算》：是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。平衡法求球的体积2R (球体积＋圆锥体积)＝4R圆柱体积平衡法求抛物线弓形的面积