古希腊数学 课件 (7)

课件21张PPT。公元前600年－公元600年间(公元641年，阿拉伯人占领亚历山大城）
古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚及非洲北部等地。
古希腊人也叫海仑人，其历史可追溯到前2000年，先在希腊半岛定居，到前600年左右后逐步扩张到上述地区。作为海滨移民，他们具有典型的开拓精神，对于所接触的事物，不愿因袭传统；其次他们身处两大河谷文明毗邻之地，易于涉取那里的文化。第二讲 古希腊数学一、希腊的先行者
二、毕达哥拉斯学派
三、欧几里得与《原本》
四、数学之神—阿基米得泰勒斯和毕达哥拉斯
泰勒斯（约前625－547）是所知最早的希腊数学家和论证几何学的鼻祖.出生于小亚细亚的爱奥尼亚，将埃及的几何研究引进希腊，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河。
注：关于泰勒斯在数学上的贡献的证据来自于公元5世纪的普洛克鲁斯所著的《欧几里德原本第一卷评注》引述约公元前330年欧多谟斯（亚里士多德的学生）所撰《几何学史》的内容。
论证数学的发端泰勒斯的贡献：
1、任何圆周都被其直径平分；
2、等腰三角形的两底角相等；
3、两相交直线形成的对顶角相等；
4、若已知三角形的一边和两邻角，则三角形完全确定；即如果一三角形有两邻角和一边与对应三角形的对应角、边相等，则这两个三角形全等。
5、泰勒斯定理：半圆上的圆周角是直角。
毕达哥拉斯（约前580－前497）是希腊论证数学的另一鼻祖。生于靠近小亚细亚的萨默斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，甚至可能到过印度，年过半百后回到故乡并开始讲学，约前520年左右移居西西里岛，后定居于当时的大希腊（现意大利的克洛托内）建立了今天所称的毕达哥拉斯秘密宗教学派，致力于哲学和数学的研究。在大希腊，毕达哥拉斯赢得了很高的声誉，产生了相当达的政治影响，但却引起敌对派的嫉恨，终被暴徒杀害。
今天人们对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普洛克卢斯等人关于希腊数学著作的评注。毕达哥拉斯学派的数学成就
数的研究
完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
几何成就
欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学生，深受毕达哥拉斯学派影响）。
一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。毕达哥拉斯学派的数学思想
万物皆数
这里的数是整数或整数之比。“人们所知道的一切事物中都包含数；因此，没有数既不可能表达，也不可能理解任何事物。”
任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上即任何两个线段，总能找到第三个线段，以它为单位可以讲给定的两个线段分为整数段。希腊人称之这两线段是“可公度的”。据说该学派的希帕图斯首先发现了正方形的对角线和一条边的不可公度性，这导致了无理数的发现，动摇了毕达哥拉斯学派的信条。 因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机。
数字神秘主义
例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。
证明的思想
例如：勾股定理的证明，推测毕达哥拉斯从铺地砖中获得了启发。2.1.2.雅典时期的希腊数学
波希战争（前492－前449）后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派林立，主要有：
伊利亚学派：主要活动在伊利亚（意大利的南端）地区，主要代表人物是芝诺。　　
诡辩学派（智人学派）：以希比阿斯（前460－）、安提丰、布里松等为代表。
雅典学派（柏拉图学派）：柏拉图（前427－前347）创立，后著名数学家欧多克斯（前408－前307）率徒加入。亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的学生亚里士多德（前384－前322）于公元前335年创立。相传亚里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
上述诸多学派以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下三个方面：黄金时代－亚历山大学派时间：公元前338年希腊诸邦被马其顿国王腓力二世(前382 －前336) 控制至公元前30年罗马帝国大将屋大维（奥古斯都）打败托勒密王朝末代女王克利奥帕特拉及其情夫罗马将领安东尼，占领亚历山大，埃及沦为罗马帝国的一个行省为止。
地点：希腊数学中心从雅典转移到了亚历山大城。公元前332年，马其顿帝国君主腓力二世之子亚历山大三世（前356—前323）占领埃及，建立亚历山大城。亚历山大去世后，帝国一分为三。其部将托勒密在埃及建立亚历山大为首都的托勒密王朝（公元前305-30年）。
代表人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗尼斯奥。三、欧几里得与几何《原本》
《原本》共13卷。包括5条公理、5条公设、119个定义和465个命题。
第5公设就是平面几何中的“几何公理”。自《原本》产生后，该公设就引发了很多议论，后世数学家大都认为它是一个可以证明的命题，但所有证明它的企图都没成功，这一努力后来导致19世纪非欧几何的产生。
第1－4卷和第6卷是关于平面几何的内容；
第5卷讲比例论；
第7－9卷是关于数论的内容；
第10卷讨论不可公度量；
第11－13卷主要是立体几何的内容。就内容而言，有很多来自于此前的毕达哥拉斯学派和欧多克斯的工作。
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎数学体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。
趣事欧几里得是希腊论证几何的集大成者。
在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说：“几何学无王者之道”。
有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点四、阿基米德的数学成就
阿基米德 (公元前 287-212)是公认的古希腊时代最伟大的数学家。他生于西西里岛的叙拉古，但很可能曾在亚历山大学习数学，后回到故乡，仍与亚历山大学派有密切联系。后被罗马士兵杀害。
其著述极为丰富，涉及数学、力学和天文学；而他最引以自豪者，首推球面面积公式的证明，這也就是遵照他本人的遗嘱刻在他的墓碑上的。阿基米德创立了称为“平衡法”的求积方法，其实质上是一种原始的积分法。
例：球的体积公式的求法。
趣事：
（1）“给我一个支点，我就可以移动地球！”
（2）“阿基米德原理”崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪完全征服希腊各国夺得了地中海地区的霸权，建立了强大的罗马帝国。唯理的希腊文明被务实的罗马文明所取代。同影响深远的罗马法典和气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域却谈不上有什么显赫的功绩。
通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。亚历山大后期和希腊数学的衰落希腊几何已经失去了前期的光辉。唯一值得可提的几何学家是海伦（约公元1世纪）代表作《量度》，主要讨论各种几何图形的面积和体积的计算，包括以他名字命名的三角形面积公式。
亚历山大后期最富有创造性的成就是三角学的建立。代表人物托勒玫（约100－170）和他的《大成》，出现了相当于正弦函数表的“弦表”。
托勒玫定理：圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和。
算术和代数方面，代表人物是尼克马科斯（约公元1世纪）和丢番图（约公元250年前后），分别著有《算术入门》和《算术》。 《算术》是一部划代的著作，它在历史上影响之大，可和欧几里得的《几何原本》相媲美。
《算术》以不定方程的求解而著称，对代数学的发展起了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。 17世纪法国数学家费马在阅读《算术》的“将一个平方数分成两个平方数之和”的问题时作的一个边注，引出了后来的“费马猜想”。1995年，怀尔斯和他的学生泰勒证明了“费马猜想”。
亚历山大最后一位重要的数学家是帕波斯（约公元300－350）。他的《数学汇编》既总结了前人的成果，也包含了作者本人的创造性贡献。
公元325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。公元392年，基督教徒烧毁了亚历山大图书馆。公元415年，女数学家希帕蒂娅被基督暴徒杀害。
公元529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重的打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数学至此告一段落。