古希腊数学 课件 (8)

课件42张PPT。地中海的灿烂阳光—希腊的数学一、希腊的先行者
二、毕达哥拉斯学派
三、欧几里得与《原本》
四、数学之神—阿基米得希腊数学文明产生 公元前8世纪前后，希腊进入奴隶制形成时期，产生了许多奴隶制城邦，并在东西地中海及黑海一带兴建了许多殖民城市，这些城市加强了希腊与海外各地的联系。 公元前6世纪开始，希腊出现了欧洲文化的第一个高峰，希腊数学就是其中的最重要的成就之一。 人们通常将公元前6世纪至公元前3世纪称为古典时期，公元前3世纪至公元6世纪称为亚历山大时期。其中希腊数学古典时期的的众多数学学派的工作将数学研究推到了一个新阶段。一、爱奥尼亚学派与泰勒斯泰勒斯 （Thales，公元前636—公元前546年）诞生于爱奥尼亚的海滨城市米利都；
泰勒斯早年是一个精明的商人，青壮年时代积累了足够的财富，使他后半生能够从事游历与研究；
他的一些奇闻轶事。“希腊科学之父”——泰勒斯下述五个命题的发现是应归功于泰勒斯的：
(１)圆被任一直径二等分;
(２)等腰三角形的两底角相等；
(３)两条直线相交，对顶角相等；
(４)两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等；
(５) (泰勒斯定理)内接于半圆的角必为直角. 泰勒斯对数学的贡献更重要的是在于泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理.
例如对于“两条直线相交，对顶角相等”.泰勒斯是这样证明的：如图，∠a加∠c等于平角，∠b加∠c也等于平角，因为所有的平角都是相等的，所以∠a等于∠b(等量减等量，余量相等). 这表明，从泰勒斯开始，人们已不再仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了.换句话说，实际上泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉. 泰勒斯还被西方学者称为“测量学的鼻祖”.
据说他曾利用相似直角三角形通过测量手杖和金字塔的影长求出金字塔的高度，还用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离.
爱奥尼亚学派在哲学特别是自然哲学方面的工作也是无与伦比的，他们肯定在一切表面现象的千变万化之中，有一种始终不变的东西，这一原始物质的内蕴本质是守恒的，而所有的物质形式都可用它来解释.这种理性思维的观念，正是希腊科学精神的的精髓之所在.二、毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572～约公元前497)是古希腊哲学家、数学家、天文家和音乐理论家.出生于爱琴海中的萨摩斯岛(Samos，今希腊东部小岛).青年时期他曾经离开家乡到世界各地游学.40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内(Crotone)，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派.在学术方面，这个学派主要致力于哲学和数学的研究. 毕达哥拉斯学派认为:事物的本原是数.世界上的万事万物及其运动变化规律都可以用整数或者整数之比表示出来. 这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想的最初表述形式.1. “万物皆数”的思想2.对自然数的分类毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的研究，他们定义了许多概念.
一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和称之为完全数，如28（＝1＋2＋4＋7＋14）;
一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和称之为亏数，如 12（＜1＋2＋3＋4＋6);
一个数大于其（除本身以外的）全部因子之和称之为盈数,10（＞1＋2＋5）.
若两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数则称为亲和数.,如220与284为亲和数.因为220的因子之和为（1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝）284，而284的因子和为（1＋2＋4＋71＋142＝）220 .3.对形数的研究毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的.他们常把数以点的形式排成各种图形.如图: 由图知易1，1+2，1+2+3，1+2+3+4+…这些和数都是三角形数，第n个三角形数是 又如 其中1，4，9，16，…是正方形数，第n个正方形数是n2 .由此易得,前n个奇数之和即为n的平方.4.关于数学美的研究毕达哥拉斯学派还认为，“美是和谐与比例”，
他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动.
最完美的数是10，因为10＝1＋2＋3＋4，并将1，2，3，4称为四象.
在音乐研究中他们发现，如果一根弦是另一根弦长的两倍，那么两者发出的音就相差8度. 认为音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成的. 他们研究了一些美的比和比例关系，提出了算术平均值（以Ｍ表示）、几何平均值（以Ｇ表示）和调和平均值（以Ｈ表示）：对Ａ，Ｂ为两已知数， .他们发现，M∶G=G∶H， A∶H=M∶B，称前者为完全比例，后者为音乐比例.以此为出发点，毕达哥拉斯学派建立了他们的音乐理论.毕达哥拉斯把“美是和谐与比例”的科学美学思想用于音乐和天文学，并十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域.5.关于勾股定理的研究 西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的.据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此有人诙谐地将这个定理称为“百牛定理”.
但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证据.毕达哥拉斯数的探讨:通过分析正方形数的图形毕达哥拉斯得到 :这就是直角三角形整数边长的公式.当m=1，2，3，4，…时可得满足直角三角形边长的整数组为3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等. 6.不可公度的发现 毕达哥拉斯学派相信：在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段，他们称这样的两条线段为“可公度量”，即有公共的度量单位. 毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段.相传该学派的成员希帕索斯(Hippasus,约公元前470年左右)还因为研究这一问题被抛入大海处以极刑.由于不可公度量的发现，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条受到了冲击，这在数学史上称为“第一次数学危机”. 希腊人对待这次危机的态度不是积极地去解决它，而是想方设法去回避它，这就使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研究转向对形的探讨，虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得希腊数学是代数方面的发展与其几何学的成就是很不相称的.希腊数学的黄金时代从公元前334年起，亚历山大举兵东征，建立了一个空前庞大的帝国.公元前323年，亚历山大病逝，其帝国被部将分割为安拉哥拉(欧洲部分)、塞流卡斯(亚洲部分)和托勒密(埃及部分)三个王国，历史上称之为希腊化国家，希腊数学从此进入亚历山大时期.
亚历山大城位于埃及北部海岸，该城的规划、施工和移民为亚历山大大帝亲自指挥，他准备将这座城市作为其庞大帝国未来的首都.
帝国分裂后，这里成为托勒密王国的首都.经历代托勒密国王的经营，成为当时整个地中海地区最大的城市.在这里兴建了藏书达六十万卷的图书馆，国家设立了研究机构，其研究人员由国家供养.优秀数学家云集于此，亚历山大学派由此产生. 这个时期的数学发展有两个方向：
其一是沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向，继续致力于纯粹数学理论的研究，并使之系统化，其代表人物有欧几里得 (Euclid，约公元前330~公元前275)、阿波罗尼斯(Apollonius，公元前262～公元前190)；
其二是以阿基米德(Archimeds，公元前287～公元前212)为代表，致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的结合，在继承古典时期研究成果的基础上，不断开拓新的领域.
阿基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人.他们的工作，使得希腊数学的发展达到了前所未有的最高水平. 三、 欧几里得与他的《几何原本》欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学院.雅典衰落后，应托勒密国王之邀来亚历山大城主持数学学派的工作.
欧几里得首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给予重新证明.然后，他作出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方式组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》.
它是在公元前300年左右完成的. 欧几里得 欧几里得《几何原本》抄本 欧几里得《几何原本》的原稿早已丢失，现代版本是以希腊评注家泰奥恩（Theon，约比欧几里得晚七百年）编写的修订本为依据的.全书分13卷，共有465个命题.欧几里得《几何原本》的主要内容: 第 1卷首先用23个定义给出了点、线、面、圆以及平行线等原始概念，接着提出了5个公设和5个公理：
五条公设是：
从任一点到任一点作直线（是可能的）.
将有限直线不断沿直线延长（是可能的）.
以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）.
所有直角是相等的.
若一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点.五个公理是：
与同一东西相等的一些东西彼此相等.
等量加等量，其和相等.
等量减等量，其差相等.
彼此重合的东西是相等的.
整体大于部分.
其后用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学，内容涉及三角形、垂直、平行、平行四边形和正方形，最后两个命题给出了勾股定理及其逆定理的证明.第2卷主要讨论几何代数.第3卷是与圆有关的一些问题，包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理.
第4卷在引入了圆的内接和外切图形的概念以后讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题.
第5卷讨论了有关量的比例理论.
第6卷主要是将比例理论应用于平面几何，其中包括相似三角形等.第7、8、9卷主要研究初等数论.从检验两个整数是否互素开始，建立起了关于数值的比例理论以及数的基本性质，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理.例如欧几里得用归谬法证明了素数有无穷多个.
反证法的依据是逻辑学中的排中律。
哈代：“反证法是远比任何弃子术更高超的一种策略。棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋。”第10卷讨论无理数，重点研究了形如（其中a，b皆为有理线段）的无理量，并对所有25种可能的形式进行了分类.
后3卷是立体几何内容.第11卷给出了立体几何中一些概念的定义；第12卷用穷竭法证明了棱锥与棱锥、圆锥与圆锥、圆柱与圆柱以及球与球之间的体积比；第13卷论述正多边形的性质及其内接于圆时的性质、研究了如何将五种正多面体内接于一个球的问题，并依赖关于多面体各面角之和必小于3600的结论，证明了凸正多面体不多于5种.以外，欧几里得还写了许多其他出色的著作.他对天文学和光学都有研究，但在纯数学方面保留下来的仅有两本：
（１）《数据》（The Data）.这是在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集，共９５个问题；
（２）《论图形的分割》（On Divisions of Figures）.研究将图形分割后成比例的问题，共有36个问题.四、 阿基米德的数学成就阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古.
青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，阿基米德学成后返回故乡，并终身保持同亚历山大学派的联系，研讨学问，成为亚历山大学派最杰出的代表.他一直住在叙拉古.公元前212前，阿基米德死于士兵剑下，临死前他还在思考几何问题.阿基米德 阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》.
这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思（Heath，1860～1941）所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑.解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摒弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情.”对数学的贡献主要有：
在平面几何方面
①开创计算π值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得 ．
②证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积.
③证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的４／３.
④定义了螺线ρ＝aθ，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为２πa的圆面积的１／３.
⑤椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比.在立体几何方面
①球表面积等于大圆面积的４倍.
②圆的外切圆柱体的体积是球体积的３／２，其表面积（包括上下底）也是球表面积的３／２.
③任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积.
④任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积.
⑤球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积.
⑥椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式.
此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等.阿基米德是应用力学方法进行数学规律探索的倡导者和典范. 设有半径为ｒ的球，圆锥和圆柱的高都是２ｒ，底面半径分别是2r与r.图是它的轴截面图. 考虑在三个立体上切下与Ｎ的距离为ｘ、厚为Δｘ的薄片，其近似体积为
球体：πｘ（２ｒ－ｘ）Δx
柱体： Δx
锥体： Δx
将球体和锥体的薄片挂在T点(TN=NS=2r)上，则它们关于支点N的组合矩为
把大量的这些薄片加在一起得
得
阿基米德关于圆的著作发表在单行本《圆的度量》中，全篇包括三个命题：
用“穷竭法”证明了圆面积公式；
断言圆与它的外切正方形面积之比为１１/１４；
推算出圆周率在223/71与22/7之间.阿基米德用穷竭法解决了圆的面积与一个两条直角边分别等于其周长和半径的直角三角形的面积相等.将运动观点引入数学，也是阿基米德数学思想的重要组成部分，这集中反映在《论螺线》一书中.
在这本书中，阿基米德从运动观点出发指出了螺线的定义，他说：“在平面上有一直线，把它的一个端点固定，使直线围绕定点作匀速运动，如果直线上有一点同时从定点开始，沿直线作匀速运动，那么动点最后将描出一条螺线.”用我们熟知的极坐标刻画，其方程即为ρ＝ａθ.总之，亚历山大时期出现了许多著名的数学家，他们的工作大大开拓了希腊数学的领域，正是由于这个时期的成就，希腊数学才能作为一个比较完整的体系截入史册.
在这一时期，定量研究有了很大进展，但并没有使偏重几何的方向发生逆转，算术和代数中，演绎式的逻辑结构始终没有建立起来，三角学的研究尚末摆脱天文学，这就决定了对于数的研究仍然是直观的、经验的，其发展是缓慢的，从而使几何的发展步履艰难.希腊数学的衰落希腊数学自阿波罗尼斯之后开始走下坡路，但在后来的岁月里也还是有一些数学成就值得人们去研究的.
1.代数大师丢番图
(1)第一次系统地提出代数符号
(2)以高超的技巧解不定方程
2.托勒密 写成三角学的最早系统性论著《数学汇编》.在该书中有著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边乘积之和.
3.海伦、梅乃劳斯和帕普斯等人的工作 整个希腊数学的消亡是由于罗马人的入侵所导致的.
公元前146年，罗马人征服了希腊本土.
公元前４７年，凯撒纵火焚毁停泊在亚历山大港的埃及船队，大火延及该城，并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏书毁于一炬.
罗马统治者推崇的基督教的传播，迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰富的科学想象，使希腊数学蒙受了更大的灾难，查封学园、禁止学习研究数学，使欧洲数学进入了漫长的黑暗时期.