古希腊数学 课件 (1)

课件25张PPT。第二讲 古希腊数学 希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们所创造的数学。
希腊早期文明中心在雅典；公元前338年希腊诸帮被马其顿控制，文明中心转到亚历山大城（埃及）；公元前30年左右，罗马帝国完全控制希腊各国，文明中心转到罗马（意大利）。公元640年前后，阿拉伯民族征服东罗马，希腊文明落下帷幕。古希腊数学与哲学的交织 古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西，但也有不少合理的知识和包含着合理成分的猜测．恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样的形式中，差不多可以找到以后各种观点的胚胎、萌芽．因此，如果理论自然科学想要追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史，它就不得不回到希腊人那里去．” 古希腊数学表现出很强的理性精神，追求哲学意义上的真理．在公元前3、4百年的时候，他们的数学思想中就已经涉及到了无限性、连续性等深刻的概念．
经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知识的萌芽时期以后，古希腊人把数学推进到了一个崭新的时代．古希腊数学不仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了数学的基本观点，建立数学理论的方法，给以后的数学发展提供了坚实的基础． 一、希腊数学的先行者——泰勒斯等腰三角形两底角相等
如果两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等
直角彼此相等
两条直线相交时，对顶角相等
圆的直径平分圆周 二、毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最重要的数是1、2、3、4，而10则是理想的数；相应地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支配，形成天体的和谐。 万物皆数理论算术（数论的雏形） 完全数、过剩数（盈数）、不足数（亏数）分别表现为其因数之和等于、大于、小于该数本身（规定因数包括1但不包括该数自身）。他们发现的前几个完全数是6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496。
而220和284则是一对亲和数，因为前者的因数和等于284，后者的因数和等于220。 二、毕达哥拉斯学派后来，在数学中寻找完全数就成为一项任务来研究.在前八千多正整数中只有4个完全数,6、28、496、8128,第五个完全数在1538年才找到:33550336,50年后发现第六个完全数:8589869056.2005年发现第42个梅审素数，从而有了第42个完全数。二、毕达哥拉斯学派几何成就 使几何学从经验上升到理论的关键性贡献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。
二、毕达哥拉斯学派正多边形和正多面体毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边形，而且这些正多边形个数之比为6：4：3，边数之比则为3：4：6。
毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 二、毕达哥拉斯学派正五边形与五角星在五种正多面体中，除正十二面体外，每个正多面体的界面都是三角形或正方形，而正十二面体的界面则是正五边形。
正五边形作图与著名的“黄金分割”有关。五条对角线中每一条均以特殊的方式被对角线的交点分割。据说毕达哥拉斯学派就是以五角星作为自己学派的标志的。
二、毕达哥拉斯学派勾股数毕达哥拉斯数：
一般形式之一：
二、毕达哥拉斯学派无理数的发现毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”，这里的数实际上是指正的有理数。传说，毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470年左右）发现了“不可公度比”的现象，并在一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。
项武义教授的一项研究认为，希帕苏斯首先发现的是正五边形边长与对角线长不可公度。二、毕达哥拉斯学派第一次数学危机不可公度比的发现使毕达哥拉斯学派对许多定理的证明都不能成立。
例：如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底边之比。 ABCDE二、毕达哥拉斯学派亚历山大时期的数学 从公元前330年左右到公元前30年左右，希腊数学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊文化的中心。
托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执政后修建了缪斯艺术宫，这实际上是一个大博物馆，收藏的图书和手稿据说有50—70万卷。当时的许多著名学者都被请到亚历山大里亚，用国家经费供养着。 这一时期思辩猜测已不盛行，观察、计算及定量分析的方法开始流行。天文学家阿利斯塔克（公元前310—230），通过对日、月、地的体积和相对距离的观测和计算作出了日心说的猜测。他通过测量角度推算出太阳直径比地球大六、七倍，并断定小天体（地球等）应围绕大天体（太阳）旋转。尽管他的计算很不精确，但思维方式是重要的。著名天文地理学家、数学家埃拉托色尼（约公元前284—192）根据太阳在两个地方投影角之差，计算出地球的周长是24662英里（现在算出的通过地球南北极的周长为24819英里），他绘制了世界地图，并标明了经纬线以及寒带、热带和温带。 三、欧几里得与《几何原本》 欧几里得（约公元前330—260），应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。欧几里得系统地整理了以往的几何学成就，写出了13卷《原本》，欧几里得的工作不仅为几何学的研究和教学提供了蓝本，而且对整个自然科学的发展有深远的影响。爱因斯坦说：“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找到因果关系（在文艺复兴时期）。” 公理化方法公理化方法：从一些基本的概念和公理出发，利用纯逻辑推理的方法，把一门学科建立成演绎系统的方法。后来的许多著作都仿照这种格式写成，如牛顿的《自然哲学的数学原理》等。
《几何原本》的影响《几何原本》对后来数学思想有重要影响。其一：公理化思想；其二：几何直观与严格逻辑推理的结合使欧几里得几何长期被认为是最正宗的数学知识，笛卡儿在发明了解析几何后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛顿在第一次公开他的微积分发明时也要对这一算法作出几何解释；其三：导致非欧几何的诞生。 四、阿基米德的数学成就 阿基米德（Archimedes，公元前287-212）出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大跟欧几里得的学生学习过，离开亚历山大后仍与那里的师友保持联系，他的许多成果都是通过与亚历山大学者的通信而保存下来的。因此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的成员。
阿基米德的著作很多，内容涉及数学、力学及天文学等。 “穷竭法”与“平衡法”穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数学家普遍用来证明面积和体积的方法。穷竭法可以用来严格证明已经猜想出来的命题，但不能用来发现新的结果。
阿基米德发明了求面积和体积的“平衡法”，求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证明。阿基米德“平衡法”与“穷竭法”的结合是严格证明与创造技巧相结合的典范。 球的体积阿基米德用“平衡法”推导了球体积公式。刻在阿基米德墓碑上的几何图形代表了他所证明的一条数学定理：以球的直径为底和高的圆柱，其体积是球体积的3/2，其表面积是球面积的3/2。
阿基米德的“平衡法”，将需要求积的量分成一些微小单元，再与另一组微小单元进行比较，而后一组的总和比较容易计算。因此，“平衡法”实际上体现了近代积分法的基本思想，是阿基米德数学研究的最大功绩。但是，“平衡法”本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到了他的方法在严密性上的不足，所以他用平衡法求出一个面积或体积后，必再用穷竭法加以严格的证明。 用平衡法求球的体积球切片体积
锥切片体积
柱切片体积
左力矩= 右力矩=
左力矩=4×右力矩
P球锥的切片xN用平衡法求球的体积将球、圆锥、圆柱均完全分割成厚度为△x的薄片，并将所有球与圆锥的薄片都挂到P点，圆柱薄片都留在原处。
左力矩和=（球体积+锥体积）×2R
右力矩和=柱体积×R
（球体积+锥体积）×2R=4×柱体积×R
球体积=2×柱体积－锥体积与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用数学家。在《论浮体》中论述了浮力原理、在《论平面图形的平衡或其重心》中论述了杠杆原理。曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉古国王亲手移动了一只巨大的三桅货船，他说：“给我一个支点，我可以移动地球”。在保卫叙拉古的战斗中发明了许多军械如石炮、火镜等。后被罗马士兵杀害，死时75岁。传说曾下令不要杀死阿基米德的罗马主将马塞吕斯事后特意为阿基米德建墓。