毕达哥拉斯学派 教案 (4)

毕达哥拉斯学派
教学目标分析：
1、了解毕达哥拉斯学派的数学成就。
2、能说出毕达哥拉斯学派对数学的贡献。
2、激发学生的学习热情，培养积极的学习态度
重点难点分析
重点：了解毕达哥拉斯学派的数学成就。
难点：理解多边形数和不可公度量
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、导入：
毕达哥拉斯关于勾股定理的小故事
公元前五百多年，在希腊萨摩斯岛一个贵族的豪华客厅裡，灯红酒绿，高朋满座，正在举行一个盛大的宴会。
宴会后，客人们时而滔滔不绝地高谈阔论，谈政治、议新闻、评学术，各抒己见。
只有屋角坐着一个年轻人，一语未发，低头望著地面铺的花砖出神，他就是-----毕达哥拉斯。这位乐于辩论、喜欢沉思、善于观察的毕达哥拉斯被地面上奇妙的花纹吸引住了。
一个个相同的直角三角形花砖，有黑的，也有白的，交替著排列成美丽的方格地面，在这美丽的花格中，似乎有一种模糊不清的规则时隐时现在他的面前。
“哦，真巧！大正方形面积等于两个小正方形面积之和！”想著，想著，毕达哥拉斯情不自禁地叫喊起来。
　　“那么，进一步就可以推出：a2+b2=c2，也就是两直角边的平方和等于斜边的平方。”毕达哥拉斯穷追不放，进一步想到：“古人曾有过边长为3、4、5和5、12、13的三角形为直角三角形的记载，那么，它们是否也合乎这个规律？”
　　于是，他赶紧在地上画了起来。不错，正好是这样的： 32＋42＝52 52＋122＝132
毕达哥拉斯并没有满足，进而，又给自己提出两个新问题：
①这个法则是不是永远正确？
②各边都合乎这个规律的三角形是不是一定是直角三角形？
他决心用更大的精力和更有说服力的证明，来说明这一结论是永远正确。终于，他成功了，这就是数学史上有名的毕达哥拉斯定理。
证明成功的当天，毕达哥拉斯叫学生们宰杀了一百头牛，举行盛大宴会，来庆贺胜利。所以，毕达哥拉斯定理又有“百牛大祭”的美称。
二、知识讲解
（一）毕达哥拉斯（Pythagoras）
希腊论证数学的另一位祖师
公元前580—前500年 精于哲学、数学、天文 学、音乐理论
毕达哥拉斯学派创始人
信奉“万物皆数”
费洛罗斯曾说:“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”
（二）毕达哥拉斯学派数学成就
毕达哥拉斯定理(勾股定理) ;
正多面体;
黄金分割;
万物皆数”；
不可公度量。
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
毕氏学派百牛大祭
希 腊——已婚妇女定理
法 国——驴桥问题
中 国----商高定理
阿拉伯——新娘的坐椅
2、正多面体作图
五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。五种正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关，前三种归功于毕氏学派，后两种为毕氏学派晚期学生所作。
3、黄金分割
正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的“黄金分割”问题有关。
4、“万物皆数”
①仅指整数，分数被看成两个整数之比；
②对数进行分类；
③定义了完全数（即因数之和等于该数，如6, 28等）、过剩数（即因数之和大于该数）、不足数（即因数之和小于该数）、亲和数（即 a 是 b 的因数之和， b 也是 a 的因数之和，最小的一对亲和数为220和284）等
5、多边形数
三角形数： N =1+2+3+…+n = n (n +1) / 2 ;
正方形数：N =1+3+5+7+….+(2n-1) ;
五边形数：N =1+4+7+….+(3n-2)= n(3n-1) /2 ;
六边形数：N =1+5+9+….+(4n-3)=2n2-n .
这是一些等差数列。可以推广到三维空间去构造多面体数。“形数”体现了数与形结合的思想。
数形结合的另一个典型例子:
(m2 -1) / 2 , m , (m2 +1) / 2 ( m 为奇整数)
给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。这一公式未能给出全部毕达哥拉斯数组。
6、不可公度量
7、无理数的发现——“第一次数学危机”
任何量都可以表示成两个整数之比。
在几何上就是：对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段，以它为单位能将给定的线段划分为整数段。希腊人称这两条线段为“可公度量”，意即为有公共的度量单位。
勾股定理导致了无理量的发现. 假设直角三角形是等腰的,直角边是1，那么弦是 ，它不可能用任何的“数”(有理数)表示出来，即直角边与弦是不可通约的．
小结：
毕达哥拉斯学派
创始人：毕达哥拉斯
贡献：对“命题证明思想作”了巨大的推进，可以说是欧几里德公理化体系的先驱。他们
研究数学 从这些实际应用中摆脱出来，把数学当作一种思想来追求，通过它去追求永恒的真理。