毕达哥拉斯学派 学案 (7)

毕达哥拉斯学派
一、自学目标：通过自学本节内容了解毕达哥拉斯学派的数学成就。
二、自学内容提炼
（一）新知导入
毕达哥拉斯（Pythagoras）简介
毕达哥拉斯学派的主要成就①勾股定理（毕达哥拉斯定理）
②勾股数
③正多面体
④黄金分割
⑤数的“理论”
⑥不可公度量
1、勾股定理（ 定理） ：
法 国——驴桥问题
中 国----商高定理
2、勾股数（Pythagorean triple）
3、正多面体
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
其中正十二面体由正五边形围成，而正五边形的作图与著名的“ ”有关
4、黄金分割
正五边形的五条对角线分别相交，这些交点以一种特殊的方式分割对角线：每条对角线都被交点分成两条 的线段，使得
这就是所谓“黄金分割”.
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比， 普通树叶的宽与长之比也接近 。
北纬30度有关的地方，奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。
雕塑断臂女神维纳斯的体型完全与黄金比相符，即以人的肚脐为分界点，上身与下身之比，或者说下身与全身之比约是
金字塔底面的边长与高之比都接近于 .
5.数的“理论”：对数的“看法”、完全数、亲和数、形数
①对数的“看法”：
1称为“ 数”
10是 的数
偶数是 性的 奇数是 性的
5是 的“象征”
讨厌
②完全数
毕派定义了“完全数”、“过剩数”与“不足数”所谓完全数是指一个数的所有真因数之 恰好等于该数换言之，一个数的所有因数之和恰好等于该数的 倍，则该数称为完全数
③亲和数
若 a 的真因数之和等于 b，且 b 的真因数之 又等于 a，则称a，b为一对亲和数.
换言之：a 的所有因数之和
= b的所有因数之和
=a+b
亲和数的一个公式：

④形数
形数（figured numbers）理论可以上溯到毕达哥拉斯（Pythagoras, 569 B.C.～500 B. C.）本人。用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus, 60?～120?）以及稍后的泰恩（Theon, 约2世纪上半叶）则讨论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）。
后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《算术引论》中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为
第n个三棱锥数为
（二）例题选讲
解：
（三）化解疑难
1、什么是亲和数，举例说明。
答：每一个数是另一个数的真因子的和，则这两个数是亲和数
举例：220的真因子是1，2，4，5，10，20，22，44，55，110，其和为284；而284的真因子为1，2，4，71，142，其和为220。 故284和220是亲和数。
2、某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆“ 正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2 、3 、4 堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n以 层就放一个乒乓球，以 f(n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则堆的乒乓球总数，则 f (3) =______， f (n) =______
【答案】10|
解析：易知f（3）=10．
由题意知f（2）比f（1）多最底层：1+2（个），
f（3）比f（2）多最底层：1+2+3（个），
f（4）比f（3）多最底层：1+2+3+4（个），
…
f（n）比f（n-1）多最底层：1+2+3++n（个）
∴f（n）-f（n-1）=1+2+3+…+n=
∴由累加法可得f(n)＝
故答案为：10；