毕达哥拉斯学派 学案 (8)

毕达哥拉斯学派
一、自学目标：通过自学本节内容了解毕达哥拉斯学派的数学成就。
二、自学内容提炼
（一）提出问题
1、毕达哥拉斯学派有哪些数学成就？
2、简述“百牛大祭”的由来。
（二）导入新知
1、 学派
由毕达哥拉斯于公元前6世纪在意大利南部的克罗顿城创立的。这是一个集哲学、宗教、政治为一体的宗派，具有秘密结社的性质。其成员大多是数学家、天文学家和其他自然科学家。
2、毕达哥拉斯学派的信条是：“ ”。
数是万物的本源，这就是毕达哥拉斯学派的“数本说”。毕达哥拉斯学派有一句原话：“数是人类思想的向导和主人，没有它的力量，万物就都处于昏暗混乱之中
3、勾股定理
毕达哥拉斯本人发现人所共知的“勾股定理”的时候，欢欣之情不可言状．传说还宰了一百头牲畜来祭缪斯女神(Muses，神话中掌管文艺、科学的女神)，以酬谢神的默示，所以，毕达哥拉斯定理又有“ ”的美称。
4、黄金分割
①黄金分割率的提出
公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。
②黄金分割率
定义:一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与 段之比，其数值比为 : 或 : ，也就是说 段的平方等于全长与短段的 。
③黄金分割：粗略地说是 ： 。黄金分割具有 性，是一种最常见的比例关系。
④为何是0.618？
其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准。
5、形数
形数（figured numbers）理论可以上溯到毕达哥拉斯（Pythagoras, 569 B.C.～500 B. C.）本人。用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus, 60?～120?）以及稍后的泰恩（Theon, 约2世纪上半叶）则讨论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）。
后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《算术引论》中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为
第n个三棱锥数为
（三）例题选讲
某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆“ 正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2 、3 、4 堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n以 层就放一个乒乓球，以 f(n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则堆的乒乓球总数，则 f (3) =______， f (n) =______
【答案】10|
解析：易知f（3）=10．
由题意知f（2）比f（1）多最底层：1+2（个），
f（3）比f（2）多最底层：1+2+3（个），
f（4）比f（3）多最底层：1+2+3+4（个），
…
f（n）比f（n-1）多最底层：1+2+3++n（个）
∴f（n）-f（n-1）=1+2+3+…+n=
∴由累加法可得f(n)＝
故答案为：10；
（四）化解疑难
1、毕达哥拉斯学派有哪些数学成就？
答：黄金分割、万物皆数、勾股定理、形数
2、简述“百牛大祭”的由来。
答：毕达哥拉斯本人发现人所共知的“勾股定理”的时候，欢欣之情不可言状．传说还宰了一百头牲畜来祭缪斯女神(Muses，神话中掌管文艺、科学的女神)，以酬谢神的默示，所以，毕达哥拉斯定理又有“百牛大祭”的美称。