毕达哥拉斯学派 学案 (9)

毕达哥拉斯学派
一、自学目标：通过自学本节内容了解毕达哥拉斯学派的数学成就。
二、自学内容提炼
（一）提出问题
1、毕达哥拉斯学派有哪些数学成就？
2、希腊人对待这次危机的态度不是积极地去解决它，而是想方设法去回避它，如何评价希腊人对“第一次数学危机”态度？
（二）导入新知
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572～约公元前497)是古希腊哲学家、数学家、天文家和音乐理论家.出生于爱琴海中的萨摩斯岛(Samos，今希腊东部小岛).青年时期他曾经离开家乡到世界各地游学.40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内(Crotone)，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派.在学术方面，这个学派主要致力于 学和 学的研究.
1. “ ”的思想
毕达哥拉斯学派认为:事物的本原是 .世界上的万事万物及其运动变化规律都可以用 或者 表示出来. 这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想的最初表述形式.
2.对自然数的分类
毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的研究，他们定义了许多概念.
一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和称之为 数，如28（＝1＋2＋4＋7＋14）;
一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和称之为 数，如 12（＜1＋2＋3＋4＋6);
一个数大于其（除本身以外的）全部因子之和称之为 数,10（＞1＋2＋5）.
若两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数则称为 数.,如220与284为亲和数.因为220的因子之和为（1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝）284，而284的因子和为（1＋2＋4＋71＋142＝）220 .
3.对形数的研究
毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的.他们常把数以点的形式排成各种图形.如图:
由图知易1，1+2，1+2+3，1+2+3+4+…这些和数都是三角形数，第n个三角形数是
又如：
其中1，4，9，16，…是正方形数，第n个正方形数是n2 .由此易得,前n个奇数之和即为n的平方.
4.关于数学美的研究
毕达哥拉斯学派还认为，“美是和谐与比例”，他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动.最完美的数是10，因为10＝1＋2＋3＋4，并将1，2，3，4称为四象.
在音乐研究中他们发现，如果一根弦是另一根弦长的两倍，那么两者发出的音就相差8度. 认为音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成的.
他们研究了一些美的比和比例关系，提出了算术平均值（以Ｍ表示）、几何平均值（以Ｇ表示）和调和平均值（以Ｈ表示）：对Ａ，Ｂ为两已知数，
他们发现，M∶G=G∶H， A∶H=M∶B，称前者为完全比例，后者为音乐比例.以此为出发点，毕达哥拉斯学派建立了他们的音乐理论.毕达哥拉斯把“美是和谐与比例”的科学美学思想用于音乐和天文学，并十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域.
5.关于勾股定理的研究
西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的.据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此有人诙谐地将这个定理称为“ 定理”.
但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证据.
毕达哥拉斯数的探讨:
通过分析正方形数的图形毕达哥拉斯得到 :
这就是直角三角形整数边长的公式.当m=1，2，3，4，…时可得满足直角三角形边长的整数组为3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等.
6.不可公度的发现
毕达哥拉斯学派相信：在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段，他们称这样的两条线段为“ ”，即有 的度量单位.
毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段.相传该学派的成员希帕索斯(Hippasus,约公元前470年左右)还因为研究这一问题被抛入大海处以极刑.由于不可公度量的发现，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条受到了冲击，这在数学史上称为“ ”.
（三）化解疑难
1、毕达哥拉斯学派有哪些数学成就？
答：黄金分割、万物皆数、勾股定理、形数、对自然数的分类：完全数、亏数、亲和数等
2、希腊人对待这次危机的态度不是积极地去解决它，而是想方设法去回避它，如何评价希腊人对“第一次数学危机”态度？
答：使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研究转向对形的探讨，虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得希腊数学是代数方面的发展与其几何学的成就是很不相称的.