毕达哥拉斯学派 学案 (10)

毕达哥拉斯学派
一、自学目标：通过自学本节内容了解毕达哥拉斯学派的数学成就。
二、自学内容提炼
（一）提出问题
1、毕达哥拉斯学派有哪些数学成就？
2、希腊人对待这次危机的态度不是积极地去解决它，而是想方设法去回避它，如何评价希腊人对“第一次数学危机”态度？21世纪教育网版权所有
（二）导入新知
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572～约公元前497)是古希腊哲学家、数学家、天文家和音乐理论家.出生于爱琴海中的萨摩斯岛(Samos，今希腊东部小岛).青年时期他曾经离开家乡到世界各地游学.40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内(Crotone)，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派.在学术方面，这个学派主要致力于 学和 学的研究.21cnjy.com
1、万物皆
毕达哥拉斯学派认为世界万物都是 ，最重要的数是1、2、3、4，而 则是理想的数；相应地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支配，形成天体的和谐。www.21-cn-jy.com
2、理论算术（数论的雏形）
完全数、过剩数（盈数）、不足数（亏数）分别表现为其 等于、大于、小于该数本身（规定因数包括1但不包括该数自身）。他们发现的前几个完全数是6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496。2·1·c·n·j·y
而220和284则是一对亲和数，因为前者的因数和等于284，后者的因数和等于220。
后来，在数学中寻找完全数就成为一项任务来研究.在前八千多正整数中只有4个完全数,6、28、496、8128,第五个完全数在1538年才找到:33550336,50年后发现第六个完全数:8589869056.2005年发现第42个梅审素数，从而有了第42个完全数。
3、几何成就
使几何学从经验上升到理论的关键性贡献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。
4、正多边形和正多面体
毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边形，而且这些正多边形个数之比为6：4：3，边数之比则为3：4：6。 【来源：21·世纪·教育·网】
毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
5、正五边形与五角星
在五种正多面体中，除正十二面体外，每个正多面体的界面都是三角形或正方形，而正十二面体的界面则是正五边形。21·世纪*教育网
正五边形作图与著名的“ ”有关。五条对角线中每一条均以特殊的方式被对角线的交点分割。据说毕达哥拉斯学派就是以五角星作为自己学派的标志的。
6、勾股数
一般形式之一：
7、无理数的发现
毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”，这里的数实际上是指正的 。传说，毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470年左右）发现了“ ”的现象，并在一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。
项武义教授的一项研究认为，希帕苏斯首先发现的是正五边形边长与对角线长不可公度。
8、第一次数学危机
不可公度比的发现使毕达哥拉斯学派对许多定理的证明都不能成立。
例：如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底边之比。
（三）化解疑难
1、毕达哥拉斯学派有哪些数学成就？
答：黄金分割、万物皆数、勾股定理、形数、对自然数的分类：完全数、亏数、亲和数等
2、希腊人对待这次危机的态度不是积极地去解决它，而是想方设法去回避它，如何评价希腊人对“第一次数学危机”态度？21·cn·jy·com
答：使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研究转向对形的探讨，虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得希腊数学是代数方面的发展与其几何学的成就是很不相称的.21教育网