毕达哥拉斯学派 学案 (1)

毕达哥拉斯学派
一、自学目标：通过自学本节内容了解毕达哥拉斯学派的数学成就。
二、自学内容提炼
（一）提出问题
1、毕达哥拉斯学派的数学成就？
2、“第一次数学危机”的由来？
（二）导入新知
阅读时间：毕达哥拉斯关于勾股定理的小故事
公元前五百多年，在希腊萨摩斯岛一个贵族的豪华客厅裡，灯红酒绿，高朋满座，正在举行一个盛大的宴会。
宴会后，客人们时而滔滔不绝地高谈阔论，谈政治、议新闻、评学术，各抒己见。
只有屋角坐着一个年轻人，一语未发，低头望著地面铺的花砖出神，他就是-----毕达哥拉斯。这位乐于辩论、喜欢沉思、善于观察的毕达哥拉斯被地面上奇妙的花纹吸引住了。
一个个相同的直角三角形花砖，有黑的，也有白的，交替著排列成美丽的方格地面，在这美丽的花格中，似乎有一种模糊不清的规则时隐时现在他的面前。
“哦，真巧！大正方形面积等于两个小正方形面积之和！”想著，想著，毕达哥拉斯情不自禁地叫喊起来。
　 “那么，进一步就可以推出：a2+b2=c2，也就是两直角边的平方和等于斜边的平方。”毕达哥拉斯穷追不放，进一步想到：“古人曾有过边长为3、4、5和5、12、13的三角形为直角三角形的记载，那么，它们是否也合乎这个规律？”
　于是，他赶紧在地上画了起来。不错，正好是这样的： 32＋42＝52 52＋122＝132
毕达哥拉斯并没有满足，进而，又给自己提出两个新问题：
①这个法则是不是永远正确？
②各边都合乎这个规律的三角形是不是一定是直角三角形？
他决心用更大的精力和更有说服力的证明，来说明这一结论是永远正确。终于，他成功了，这就是数学史上有名的 定理。
证明成功的当天，毕达哥拉斯叫学生们宰杀了一百头牛，举行盛大宴会，来庆贺胜利。所以，毕达哥拉斯定理又有“ ”的美称。
新课讲授：
（一）毕达哥拉斯学派
创始人： （Pythagoras,约公元前580——约前500）
他先师从伊奥尼亚学派的学者，以后游历过埃及、巴比伦等地，接受古代流传下来的天文、数学知识，回到家乡以后开始讲学。
公元前520年左右，为了摆脱暴政，毕达拉斯背井离乡，移居西西里岛，最后定居意大利半岛东南沿海的克罗托内。在那里广收门徒，建立了一个宗教、政治、学术合一的秘密团体，也就是毕达哥拉斯学派。
他将信徒们分成两等：1、普通听讲者，这是大多数，他们只能听讲，不能参加讨论，高深的知识是不向他们传授的。2、真正的学派成员，叫做μαθηματικο? 。
（二）毕达哥拉斯学派的数学成就
1、勾股定理与勾股数
西方的文献中一直把勾股定理称作 定理，因为大家都相信这是毕达哥拉斯发现的，并给出了某种证明，后来被欧几里得编入《原本》之中。
毕达哥拉斯的证明方法现在已不可考证，后人对他的证明只能进行一些起合理的推测。勾股定理可能是数学上证法最多的定理，在卢米斯的《毕达哥拉斯命题》一书载有367种证法，实际数目还不止这些。
2、多边形数
毕达哥拉斯学派有一个基本信条—— 。
这个学派晚期的一位成员费洛罗斯曾宣称：“人们所知道的一切事物都包含数，因此没有数既不可能表达、也不可能理解任何事物。”
他们认为数1生成所有的数，在一切数中最神圣是10，将10看作完美、和谐的标志。
多边形数也称“ 数”
类似地，用同样的方式可以定义所有的多边形数。这一过程还可以推广到三维空间去构造多面体数。
“形数”体现了 与 的结合。
3、不可公度
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，而数就是正整数，分数看作整数的比。除此之外，他们不认识，也不承认有别的数。毕达哥拉斯学派，相信任何量都可以表示成两个整数之比。
在几何上这相当于说：对于任意给定的两条线段，总能找到第三条线段能将给定的两条线段分为 段。
希腊人称这样给定的两条线段为“ ”，意思是有公共的度量单位。
无理数的发现对毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条造成了强烈的震撼。后来，人们又陆续出现了以外的的许多无理数。这些“怪物”常常地困扰着古希腊的数学家们，这是数学史上的“第一次数学危机”。
传说学派成员希帕苏斯发现了不可公度性，当时他们正海上泛舟，希帕苏斯说出他的发现后，惊恐不已的其他成员将他抛进了大海。还有一种说法是希帕苏斯因泄露了不可公度的秘密而遭此厄运。
（三）化解疑难
1、毕达哥拉斯学派对数学贡献有哪些？
答：对“命题证明思想作”了巨大的推进，可以说是欧几里德公理化体系的先驱。他们研究数学 从这些实际应用中摆脱出来，把数学当作一种思想来追求，通过它去追求永恒的真理。
2、“第一次数学危机”的由来？
答：无理数的发现对毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条造成了强烈的震撼。后来，人们又陆续出现了以外的的许多无理数。这些“怪物”常常地困扰着古希腊的数学家们，这是数学史上的“第一次数学危机”。