毕达哥拉斯学派 学案 (4)

毕达哥拉斯学派
一、自学目标：通过自学本节内容了解毕达哥拉斯学派的数学成就。
二、自学内容提炼
（一）提出以问
1、毕达哥拉斯学派对数学贡献有哪些？
2、举例说明亲和数。
（二）导入新知
1、毕达哥拉斯（Pythagoras）
希腊 数学的另一位祖师
公元前580—前500年 精于哲学、数学、天文学、音乐理论
是 学派创始人
信奉“ ”
费洛罗斯曾说:“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”
2、毕达哥拉斯学派数学成就： 定理( 定理) ; 体; 黄金分割;万物皆数”； 量。
1、 定理（ 定理）
希 腊——已婚妇女定理
法 国——驴桥问题
中 国----商高定理
阿拉伯——新娘的坐椅
2、正多面体作图
五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。五种正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关，前三种归功于毕氏学派，后两种为毕氏学派晚期学生所作。
3、黄金分割
正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的“黄金分割”问题有关。
4、“万物皆数”
①仅指 ，分数被看成 ；
②对数进行分类；
③定义了 数（即因数之和等于该数，如6, 28等）、 数（即因数之和大于该数）、 数（即因数之和小于该数）、 数（即 a 是 b 的因数之和， b 也是 a 的因数之和）等
5、多边形数
三角形数： N =1+2+3+…+n = n (n +1) / 2 ;
正方形数：N =1+3+5+7+….+(2n-1) ;
五边形数：N =1+4+7+….+(3n-2)= n(3n-1) /2 ;
六边形数：N =1+5+9+….+(4n-3)=2n2-n .
这是一些等差数列。可以推广到三维空间去构造多面体数。“形数”体现了数与形结合的思想。
数形结合的另一个典型例子:
(m2 -1) / 2 , m , (m2 +1) / 2 ( m 为奇整数)
给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。这一公式未能给出全部毕达哥拉斯数组。
6、不可公度量
7、无理数的发现——“第一次数学危机”
任何量都可以表示成两个整数之比。
在几何上就是：对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段，以它为单位能将给定的线段划分为整数段。希腊人称这两条线段为“可公度量”，意即为有公共的度量单位。
勾股定理导致了无理量的发现. 假设直角三角形是等腰的,直角边是1，那么弦是 ，它不可能用任何的“数”(有理数)表示出来，即直角边与弦是不可通约的．
（三）例题选讲
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
【答案】C
根据题意得：三角形数的第n个图中点的个数为
正方形数第n个图中点的个数为n2，
A、=289无整数解，不符合题意；
B、=1024，不合题意
C、令=1225
解得n1=49，n2=-50（不合题意，舍去）；再令n2=1225，n1=35，n2=-35（不合题意，舍去），符合条件，正确．
D、=1378.无整数解，不符合题意；
故答案为：C．
（四）化解疑难
1、毕达哥拉斯学派对数学贡献有哪些？
答：毕达哥拉斯定理(勾股定理) ; 正多面体; 黄金分割;万物皆数”；不可公度量。
2、举例说明亲和数。
答：220的真因子是1，2，4，5，10，20，22，44，55，110，其和为284；而284的真因子为1，2，4，71，142，其和为220。 故284和220是亲和数。