欧几里得与《原本》 课件 (3)

课件25张PPT。
欧几里得与《原本》欧几里得与《原本》欧几里德(约公元前300年，古希腊数学家)是古代希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他是亚历山大里亚学派的成员。编撰旷世巨著 ----《几何原本》(Elements)共有13卷。
这一著作对于几何学、数学和科学的
未来发展，对于西方人的整个思维
方法都有极大的影响。《几何原本》
的主要对象是几何学，
建立了第一个数学理论体系——
几何学。
标志着人类科学研究的公理化方法
的初步形成..《原本》产生的历史背景
《原本》内容简介
《原本》存在的一些问题
一、《原本》产生的历史背景
1 公理化思想己出现
2 毕派的“万物皆数”的影响
3 到BC 300，希腊数学己积累大 量知识
4 己有大量的前驱
工作，有同类著作
5 欧几里得的贡献二、《原本》内容简介 全书包括5条公理、5条公设、119个定义，证明了465个命题。
卷Ⅰ 三角形 垂直 平行 直线形
卷 Ⅱ 几何形式叙述代数问题
卷 Ⅲ、Ⅳ 有关圆的图形
卷 Ⅴ、Ⅵ 比例
卷 Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ 正整数的性质
卷 Ⅹ 讨论不可公度量
卷 Ⅺ、Ⅻ、ⅩⅢ 立体几何
公设：
（1） 从任一点到任一点作直线是可能的。
（2） 把有限直线不断循直线延长是可能的。（注意，这里所谓的直线，相当于今天我们所说的线段。）
（3） 以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。
（4） 所有直角彼此相等。
（5） 若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点（现今称为平行公理）。《原本》的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理(465个命题)。使整个几何知识形成了一个演绎体系 公理：
（1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
（2） 等量加等量，总量仍相等。
（3） 等量减等量，余量仍相等。
（4） 彼此重合的东西是相等的。
（5） 整体大于部分。
从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系存在着以下一些缺陷：
没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上；
《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念，但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的.二、《原本》内容简介卷Ⅰ 首先给出23个定义：
1 点是没有部分的
2 线只有长度而没有宽度
3 一线的两端是点
……
然后是五个公设、五个公理.
公理之后给出48个命题，涉及三角形、垂直、平行、直线形等二、《原本》内容简介卷Ⅰ 命题47（毕达哥拉斯定理）
在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.
卷Ⅰ 命题48（毕达哥拉斯定理的逆定理）
如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角.What does a proof “prove”?
What does it tell us?欧几里得的证明原图Henry Perigal
(1801-1898)A particularly neat transformation
of a2 and b2 into c2 This really shows the two squares on the
sides becoming the square on the hypotenuse二、《原本》内容简介卷Ⅱ 给出两个定义，14个命题，是用几何形式叙述代数问题，如：
卷Ⅱ 命题1 如果有两条线段，其中一条被截成任意几段，则原来两条线段所构成的矩形等于各个小段和未截线段构成的矩形之和.
卷Ⅱ 命题4 如果任意两分一个线段，则在整个线段上的正方形等于各个小段上的正方形的和加上两小段构成的矩形的二倍.二、《原本》内容简介卷Ⅲ 给出11个定义，37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、圆内接四边形及有关圆的图形.
卷Ⅳ 给出7个定义，16个命题，包括圆内接三角形、圆外切三角形、正方形、圆内接正多边形的作图.
卷Ⅴ 给出18个定义，25个命题，讨论比例问题.
卷Ⅵ 给出4个定义，33个命题，是将卷Ⅴ的理论用到平面图形上.二、《原本》内容简介卷Ⅶ、卷Ⅷ、卷Ⅸ 分别有39、27、36个命题，讨论正整数的性质，如：
Ⅶ，32 任一数或者是素数，或者可被某数所量尽.
Ⅸ，20 预先给定任意多个素数，则有比它们更多的素数.Ⅸ，20 的证明欧几里得证明的现代叙述 库默尔（Kummer，1810----1893）在1878年给出欧几里得证明的一个巧妙变形： 美国数学月刊2006年10期发表了一个关于素数无限性简短证明 二、《原本》内容简介卷Ⅹ 讨论无理量，实际只涉及
共115个命题. 但卷Ⅹ命题1 十分重要.
Ⅹ，1 给定两个不相等的量，如果从较大量中减去大于其半的量，再从余下的量中减去大于其半的量，并且连续这样进行下去，则必得一个余量小于较小的量.二、《原本》内容简介卷Ⅺ、卷Ⅻ、卷ⅩⅢ 是立体几何，分别有39、18、18个命题.
其中卷Ⅻ详细陈述了“穷竭法”，它是古希腊数学家证明面积体积定理时常用的一种得力方法.可以卷Ⅻ命题2的证明过程为例说明其基本精神.
Ⅻ，1 圆内接相似多边形之比如同圆直径上正方形之比.
Ⅻ，2 圆与圆之比如同直径上正方形之比.
欧几里德的《原本》手稿失传
西方最早印刷教学书
----1842年《原本》印刷于意大利威尼斯
《原本》在西方流传仅次于《圣经》
中国的传入
----明末1606年徐光启，意大利传教士利玛窦共同翻译
三、《原本》存在的一些问题
1 有些定义不清
2 公理不完备
3 公理不独立
4 编排不统一
5 证明有时以偏概全作业
证明：卷Ⅰ 命题48（毕达哥拉斯定理的逆定理）
如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角.