欧几里得与《原本》 学案 (3)

欧几里得与他的《几何原本》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解欧几里得对数学发展的贡献及《几何原本》的主要内容，理解公理化思想的内涵。21教育网
二、自学内容提炼
（一）提出问题
1、《几何原本》的主要内容有哪些？
2、如何理解《几何原本》的划时代意义？
（二）导入新知
1、几何学的起源
与 代数学的起源一样，几何学的起源也十分久远，它产生于早期人类的 ，从人类对实物形状的认识开始。而促进几何学产生的直接原因与 及天文活动 有关。在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，一旦洪水退却，需要重新测量土地。因此便逐渐产生了关于几何形体的概念、性质 及其度量方面的知识。今天的“几何”（Geometry）一词，源于希腊语，本意是指测量术，明末中国学者徐光启译之为“几何”，我们一直沿用至今。21世纪教育网版权所有
二、欧几里得与《几何原本》
提起数学里的平面几何与立体几何一般人都知道，但若问这些理论是由谁首先系统建立起来的，恐怕就有许多人不知道了。这个人就是生活在2000多年以前的 数学家欧几里得。欧几里得在他留传了几千年的光辉著作《几何原本》中，用 方法将古希腊丰富的几何学知识整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。
（一）欧几里得生平简介
欧几里得约公元前330年 生于希腊的亚历山大城，曾受教于柏拉图学派。他曾在著名城市亚历山大进行学习和科学活动，并在那里建立了 学派。欧几里得并不是一位杰出的数学家， 他只是对几何有一定的研究，并不是欧几里得发明了几何学。当时泰勒斯、尤多苏斯等人都是有名的数学家，他们对数学有深刻的研究，而欧几里得只不过善于把一 些数学家对几何问题的证明用比较简洁的语言表达出来，他还善于改写别人的研究成果，重视总结前人的经验。欧几里得一生主要是整理自古以来人类所积累的全部 数学知识，并集其大成，编写成一部完整的数学书——《几何原本》。这本书几乎被译成全世界各种文字。欧几里得大约于公元前275年去世。www-2-1-cnjy-com
（二）欧几里得对数学发展的贡献
欧 几里得虽然算不上杰出的数学家，但确实是一位有才华的组织者。他把当时希腊人研究几何的许多证明用更简明、逻辑的语言加以阐述，并把许多有用的知识收集到 他的《几何原本》一书，该书把许多世代的几何发明和创造经过加工熔为一炉，是一本具有独特风格的名著。《几何原本》写得生动而又有条理，对前人的许多研究 成果作了认真的分析，并给了出色的证明，富于权威性。甚至今天中学里学习的几何课本仍是从《几何原本》改写而成的，它为人类的精神文明起了很好的作用，为 数学的发展奠定了基础。
欧几里得是一位很讲究 方法的学者。有些数学证明题比较复杂，一时难于解决，但如果精心选择证法，往往可以使难化简，作到事半功倍，甚至有些长期解决不了的难题也能一针见血地得到证明。2-1-c-n-j-y
欧 几里得天才的、完美的创造物是《几何原本》。古希腊继承了埃及和巴比伦在实验几何学上的知识，运用逻辑推理的方法把几何学的研究推到高度系统化、理论化的 境界，而欧几里得正是这样一位大师。《几何原本》是整个人类文明发展史上的里程碑，是全人类文明遗产中妙用无穷的瑰宝。21*cnjy*com
欧几里得除了名著《几何原本》以外，主要著作还有以下一些：《二次曲线》，该书在数学史上有重要作用，其中的一些观点和证明方法为后人进一步发展数学起很大的作用。《辨伪术》，它主要是训练学生解题能力的参考书。另外，《图形分割》、《数据》、《曲面——轨迹》、《衍论》等都是一些有价值的数学著作。欧几里得在研究数学的同时，对物理和天文也有一定研究，并有不少的著作，如《光学》、《镜面反射》、《现象》等。
三、《几何原本》与演绎数学
《原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作．从泰勒斯算起，已有300多年的历史．泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者．他力图摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样”？还要回答“为什么这样”？他对数学的最大贡献是开始了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步．www.21-cn-jy.com
接 着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学从具体的事物中抽象出来，建立自己的理论体系．他们发现了勾股定理、不可通约量，并知道五种正多面体的存在， 这些后来都成为《原本》的重要内容．这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》算术的几何化提供了线索．【来源：21·世纪·教育·网】
柏拉图学派的思想对欧几里得无疑也产生过深刻的影响．柏拉图非常重视数学，特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值．他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
到公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也日臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋．这时，形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了。
建 筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造．公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明都需要有高 度的智慧并要付出巨大的劳动．从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作．但经得起历史风霜考验的，只有欧 几里得《原本》一种．在漫长的岁月里，它历尽沧桑而能流传千古，表明它有顽强的生命力．它的公理化思想和方法，将继续照耀着数学前进的道路．21·cn·jy·com
《几何原本》（The Elements）由希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）所著。《几何原本》采用了前所未有的独特编写方式，先提出公理、公设、定义，然后由简到繁证明一系列定理。内容丰富，结构严谨，文字洗练，概念清晰，判断准确，推理周密，论证有力。对这本书英国的数学家罗素在《西方哲学史》中是这样评价的：欧几里得的《（几何）原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一。21·世纪*教育网
《几何原本》从五个 和五个 入手，用 的方法，演绎出内容极为丰富的几何知识。它叙述并证明了几千年来人类有关点、线、圆和一些简单的立体几何知识，全书共 卷。第1卷，给出了欧几里得几何学的基本概念、定义、公理、公设等；第2卷，面积和变换；第3卷，圆及其有关图形；第4卷，多边形及圆与正多边形的作图；第5、6卷，比例与相似形；第7卷，数论；第8卷，连比例；第9卷，数论；第10卷，不可通约量的理论；第11卷，立体几何；第12卷，利用“穷竭法”证明圆面积的比等于半径平方的比；球体积的比等于半径立方的比，等等；第13卷，正多面体。
《几何原本》一书从很少的几个定义、公设、公理出发，推导出大量结果，最重要的是它给出的公理体系标志着演绎数学的成熟，主导了其后数学发展的主要方向，使公理化成为现代数学的根本特征之一。2000多年来,它一直支配着几何的教学。现代世界各国中学几何课本，基本上还是仿照法国数学家拉格朗日对《几何原本》的改写本改编而成的。《几何原本》是数学史上的一个伟大的里程碑，问世以来，受到广泛的重视与传播，除《圣经》 之外，没有任何一本著作，其使用、研究与印行之广泛能与《几何原本》相比。因此，有人称《几何原本》为数学的《圣经》。它的伟大意义在于，它第一次全面系 统地总结了古希腊的数学知识，而且是用公理法建立起来的数学演绎体系的最早的典范。它不仅影响到数学，还有哲学等在内的许多论著也采取此法。2·1·c·n·j·y
（三）化解疑难
1、《几何原本》的主要内容有哪些？
答：《几何原本》从五个公设和五个公理入手，用逻辑推理的方法，演绎出内容极为丰富的几何知识。它叙述并证明了几千年来人类有关点、线、圆和一些简单的立体几何知识，全书共13卷。第1卷，给出了欧几里得几何学的基本概念、定义、公理、公设等；第2卷，面积和变换；第3卷，圆及其有关图形；第4卷，多边形及圆与正多边形的作图；第5、6卷，比例与相似形；第7卷，数论；第8卷，连比例；第9卷，数论；第10卷，不可通约量的理论；第11卷，立体几何；第12卷，利用“穷竭法”证明圆面积的比等于半径平方的比；球体积的比等于半径立方的比，等等；第13卷，正多面体。21cnjy.com
2、如何理解《几何原本》的划时代意义？
答：欧 几里得《原本》是一部划时代的著作．其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范．过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比 作木石、砖瓦．只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的大厦．《原 本》完成了这一艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远的影响．【来源：21cnj*y.co*m】