欧几里得与《原本》 学案 (1)

欧几里得和《原本》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解欧几里得对数学发展的贡献及《几何原本》的主要内容，理解公理化思想的内涵。
二、自学内容提炼
（一）提出疑问：
1、《原本》的内容主要有哪些？
2、如何理解欧几里得对数学发展的功绩？
（二）新知导入
1、黄金时代—— 学派
从公元前338年希腊联邦被马其顿控制，到公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”。
古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家 、 和 。
2、 的《几何原本》
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用 法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。
欧几里得(Euclid，活动于约前300-)古希腊数学家。以其所著的《几何原本》闻名于世。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典，深知柏拉图的学说。
公元前300年左右，在托勒密王一世（公元前306～前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约410～485）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的 学习箴言。
另一则故事，说一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。
阿基米德比欧几里得年轻40岁，他可能在亚历山大城欧几里得的后辈的指导下学习，学习的仍然是几何方法。
欧几里得将公元前 7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统（相容性、独立性、完备性）之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。
原本”的希腊文原意是指一个学科中最重要的定理，《原本》所包含的正是这样一些数学定理。欧几里在这里运用公理法则对当时的数学知识进行了系统化、理论化的总结。其书共分 卷，包括 条公理、 条公设、 个定义和 条命题，构成了人类文明 史上第一个演绎数学的 体系。
在内容上，《原本》总结并推广了毕达哥拉斯学派的几何成就，欧多克斯的比例理论，以及几乎所有以前的立体几何知识，此外，还有大量的初等数论定理。
欧多克斯对比例的界定并未限制涉及到的量是否可以公度，从而巧妙地回避了无理量问题，因而能够适用于更加广泛的几何命题证明。《原本》对欧多克斯比例理论的精彩阐述。这被认为是该书的最大成就之所在，因为它在当时的认识水平上，消除了由不可公度量引起的数学危机。
（三）5条公设和5条公理
1、5条公设
? 从任意一点到另外任意一点可以画 ；
? 一条 直线可以继续延长；
? 以任意点为心及任意的距离可以画 ；
? 凡直角都彼此 ；
? 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧 。
2、5条公理
? 等于同量的量彼此 ；
? 等量加等量，其和仍 ；
? 等量减等量，其差仍 ；
? 彼此能重合的物体是 的；
? 整体 部分。
（四）《原本》的功绩
《原本》给出了有关整数性质的若干定理及其证明。其中包括素数分解唯一性定理和素数个数无穷的定理。求两数最大公因子的辗转相除法，现今称为欧几里得算法。此外，还有和连比有关的几何级数，以及关于完全数的定理等。所有这些内容说明，将《原本》仅仅看成是一部纯几何著作多少有点不够全面客观。
《原本》最大的功绩应在于它确立了数学中的演绎范式，这种范式要求一门科学中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有逻辑链的共同出发点，只是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理：公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。正是在这一点上，欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑。
（五）《原本》的缺陷
第一，用了重合法。（其一，用了运动的概念，而这是没有逻辑依据的；其二，重合法默认图形从一处移动到另一处时所有性质保持不变。）
第二，有些定义含糊其辞而另一些无关宏旨。（关于点、线、面的定义没有明确数学的含义，另外，有些定义应用了未加定义的概念。）
第三，存在一些不自觉的假设。（包括直线和圆的连续性的假设。）
第四，一些给出的证明存在缺点。（用特例或所给数据（图形）的特定位置证明一般性的定理。）
（六）后续
尽管有些疏漏，但欧几里得以及希腊以后的其他数学家所做的工作仍是数学上取得的巨大成就。一直到近代之前，只有几何学达到了这种水平
代数学里各个学科直到19世纪晚期、20世纪早期才实现了公理化。
概率论直到20世纪才实现了公理化。
（三）答疑解惑
1、《原本》的内容主要有哪些？
《原本》其书共分13卷，包括5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了人类文明 史上第一个演绎数学的公理化体系。
其中5条公理、5条公设的内容如下：
5条公设
①从任意一点到另外任意一点可以画直线；
②一条有限直线可以继续延长；
③以任意点为心及任意的距离可以画圆；
④凡直角都彼此相等；
⑥同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
5条公理
①等于同量的量彼此相等；
②等量加等量，其和仍相等；
③等量减等量，其差仍相等；
④彼此能重合的物体是全等的；
⑤整体大于部分。
2、如何理解欧几里得对数学发展的功绩？
答：希腊数学史上，欧几里得具有承前启后的作用。他是希腊论证几何学的集大成者，更是亚历山大数学学派的奠基人。他对数学，或者说整个人类文明史的贡献，主要体现在他的鸿篇巨制《原本》当中。这部杰作是把零碎的、片断的的知识，借助于逻辑方法，组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。对整个数学的发展产生了深远的影响．