数学之神──阿基米德 教案 (2)

《数学之神—阿基米德》
教学目标分析：
1、了解阿基米德的主要数学成就。
2、理解平衡法，并将其灵活运用于对球体体积的计算。
3、激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神
重难点分析：
重点：了解阿基米德的主要数学成就
难点：理解平衡法。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、知识讲解：
1、阿基米德的著作
《圆的度量》: 利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率π为：＜π＜，这是数学史上最早的、明确指出误差限度的π值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。
《球与圆柱》：熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”。
《抛物线求积法》：研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。
《砂粒计算》：是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。
《论螺线》：是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。
《平面的平衡》：是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。
《浮体》：是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。
《论锥型体与球型体》：讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。
2、阿基米德的数学成就
（1）平衡法求球的体积
球：
( 设球片半径r，则有)
圆柱：
圆锥：
2R (球体积＋圆锥体积)＝4R圆柱体积
2R (球体积＋=
球体积＝
（2）平衡法求抛物线弓形的面积
（3）用穷竭法计算平面图形面积
、
（4）阿基米德螺线
一条射线绕其固定端点匀速旋转，同时有一动点从端点出发沿射线匀速运动，那么这动点就描绘出一条平面螺线.
二、问题探究：
设球的半径为时间t 的函数R（t）。若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）
A.成正比，比例系数为C
B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C
【答案】D
解析：
小结：
阿基米德确定各种几何图形的面积和物体的表面积、体积的计算方法，创立“穷竭法”。他精通几何学，先后发现了几十条定理。他创立“穷竭法”，实质上与现代数学积分计算的基本思想相同。在《论抛物线形的求积法》、《论球和圆柱》等著作中，阿基米德在计算抛物线弓形面积和球、椭球、旋转抛物体等的表面积与体积时，进一步发展了“穷竭法”，可以说是现代微积分法的先导。他还首创记任意大数的方法，突破了当时用希腊字母记数最大数不能超过一万的局限等。