数学之神──阿基米德 教案 (3)

《数学之神—阿基米德》
教学目标分析：
1、了解阿基米德的主要数学成就。
2、理解平衡法，并将其灵活运用于对球体体积的计算。
3、激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神
重难点分析：
重点：了解阿基米德的主要数学成就
难点：理解平衡法。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、知识讲解：
（一）数学之神----阿基米德
公元前287年，阿基米德诞生于西西里岛的叙拉古(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城跟随欧几里得的学生学习、 以后与亚历山大的学者保持密切联系。后世流传大量关于阿基德的传说，后人称他为有史以来最伟大的三位数学家之首。
（二）阿基米德的主要著作
《圆的度量》；《抛物线求积》；《论螺线》；《论球和圆柱》；《论辟锥曲面和旋转椭球》；《引理集》； 《砂粒计数》；《处理力学问题的方法》；《论平面图形的平衡或其重心》；《论浮体》；《牛群问题》
《论球和圆柱》：一个球体的体积，是一个以球体的大圆为底，以球体的半径为高的圆锥体积的四倍.
《牛群问题》：太阳神在西西里岛上有一群牛，其中公牛、母牛，白、黑、花、棕四色俱全。在公牛中，白牛比棕牛多了黑牛数的二分之一又三分之一；黑牛比棕牛多了花牛数的四分之一又五分之一；花牛比棕牛多了白牛数的六分之一又七分之一。在母牛中，白牛是全部黑牛（包括公牛，下同）数的三分之一又四分之一；黑牛是全部花牛数的四分之一又五分之一；花牛是全部棕牛数的五分之一又六分之一；棕牛是全部白牛数的六分之一又七分之一。又全部黑、白公牛数的和是正方形数，全部花、棕公牛数的和是三角形数。问八种牛各有多少头？
（三）阿基米德的主要数学成就
1、平衡法
为了求得一图形的面积或体积，首先将这个图形分成平行窄条或平行薄片，把分成的这些部分吊在一个给定的杠杆一端，使之同一个面积（或体积）和重心己知的图形相平衡.
例 “平衡法”推导球的体积公式
2、穷竭法
阿基米德用平衡法求出一个面积或体积后，必再用穷竭法给以严格的证明.这种发现与求证的双重方法，是阿基米德独特的思维方式.
这方面典型例子是抛物线弓形的求积.
3、 阿基米德螺线
一条射线绕其固定端点匀速旋转，同时有一动点从端点出发沿射线匀速运动，那么这动点就描绘出一条平面螺线.
阿基米德探讨了螺线所围的面积，也研究了螺线的切线，给出作图方法及种种性质.
二、问题探究
设球的半径为时间t 的函数R（t）。若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）
A.成正比，比例系数为C
B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C
小结：
阿基米德确定各种几何图形的面积和物体的表面积、体积的计算方法，创立“穷竭法”。他精通几何学，先后发现了几十条定理。他创立“穷竭法”，实质上与现代数学积分计算的基本思想相同。在《论抛物线形的求积法》、《论球和圆柱》等著作中，阿基米德在计算抛物线弓形面积和球、椭球、旋转抛物体等的表面积与体积时，进一步发展了“穷竭法”，可以说是现代微积分法的先导。他还首创记任意大数的方法，突破了当时用希腊字母记数最大数不能超过一万的局限等。