数学之神──阿基米德 教案 (1)

《数学之神—阿基米德》
教学目标分析：
1、了解阿基米德的主要数学成就。
2、理解平衡法，并将其灵活运用于对球体体积的计算。
3、激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神
重难点分析：
重点：了解阿基米德的主要数学成就
难点：理解平衡法、穷竭法。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、知识讲解：
1、阿基米德——数学之神
阿基米德(Archimedes，约前287～前212)
? 阿基米德公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。父亲菲迪亚斯（Pheidias）是位数学家兼天文学家。阿基米德的身心两方面都是一个贵族。据说他与叙拉古的专制统治者希隆二世有亲缘关系。作为贵族的阿基米德对自己的种种实用的发明却十分轻视。
阿基米德有一个怪癖，与另一个大数学家魏尔斯特拉斯相似。据魏尔斯特拉斯的姐姐说，当他弟弟是一个年轻的中学教师时，要是在他的视线之内有一平方英尺干净的贴墙纸或者一个干净的袖头，就不能放心地把一支铅笔交给他。
阿基米德打破了这个记录。在他那个时候，一片铺满了沙的地板，或满是尘土的坚硬而光滑的地面，就是一种普通的“黑板”。阿基米德有他自己的办法。坐在炉火前，他会把炉灰拨平，在那上面画图。按照当时的习惯，出浴后他在身上涂橄榄油，但是这以后他会忘记穿衣服，而沉浸在用指甲在自己涂了油的皮肤上画图。
阿基米德从小有良好的家庭教养，11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称“智慧之都”的名城里，阿基米德博阅群书，汲取了许多的知识，曾在当时的希腊的学术中心亚历山大跟欧几里得的门徒学习。在那里结识了很多好友，如埃拉托塞尼、卡农等。
后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。其原因在于他通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演泽方法推出许多杠杆命题，给出严格的证明。其中就有著名的“阿基米德原理”，他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就。尽管阿基米德流传至今的著作共只有十来部，但多数是几何著作，这对于推动数学的发展，起着决定性的作用。
豪言状语。给我一个立足点，我就可以移动地球。? 从那天起，阿基米德所说的每一件事都是可信的。
叙拉古保卫战。公元前214年，罗马名将马塞勒斯率领大军围攻叙拉古。在这危急存亡之秋，阿基米德便献出自己一切杰出的科学技术为祖国效劳。
他设计了投石机，这种机械构造巧妙，可用于长程或短程发射。还有一种机械可以人城墙的小洞处向外抛撒飞石，另外一种机器带有可移动的长杆，利用从城墙后伸出的长杆可以向敌人的船舰投掷重物，或是利用铁锚或类似起重机铁夹的东西抓住船艏，将船舰提到空中然后再抛下。
马塞勒斯曾无戏谑地对他的工程师和工匠说了以下这段话：难道我们就不能结束与这位几何学家的百年巨人的战斗么？他悠闲地坐在海边，随意地摆弄我们的船舰，让我们莫明其妙，还向我们投掷大量的飞石，难道他真的比神话中的百年巨人还厉害么？
最后马塞勒斯偷袭了叙拉古。愚蠢的叙拉古人正在举行宗教庆典，为向女神阿耳特弥斯（月亮和狩猎女神）表示敬意而狂欢。他们一觉醒来，发现四周正在进行激烈的大屠杀。阿基米德在屠杀中丧生。
当一个罗马士兵的影子落在了阿基米德画在炭灰地上的图形上时，他才知道城市已经被占领。 一种传说是，那个士兵踩在图上，阿基米德气冲冲地向他厉声喝道：“另碰我的圆！” 另一种说法是，阿基米德拒绝服从士兵要带他去见马塞勒斯的命令，他要首先解出他的问题。 不管是哪一种情况，那个士兵勃然大怒，拔出了他那光荣的剑，刺死了这位手无寸铁的75岁高龄的几何学家。阿基米德就这样死了。 怀特海说：“阿基米德死于一个罗马士兵之手，是世界发生头等重要变化的一个标志；爱好抽象科学、擅长推理的古希腊在欧洲的霸主地位，被重实用的罗马取代了。” “没有一个罗马人因为沉湎于数学图形而丧命。”
2、阿基米德的著作
《砂粒计算》，是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。
《圆的度量》，利用圆的外切与内接 96 边形，求得圆周率 π 为：3+10/71＜ π ＜22/7，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的 π 值他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。
《球与圆柱》，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的3/2。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”。
《抛物线求积法》研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。
《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。
《平面的平衡》，是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。
《浮体》，是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。
《论锥型体与球型体》，讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。
其中心思想是：要计算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组微小单元来进行比较。但通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小的量获得平衡，而后者的总和比较容易计算。 这实际上就是近代积分的基本思想。阿基米德的睿智在两千二百多年前就放射出耀眼的光芒，因此他可以当之无愧地被称为“积分学的先驱”。
3、平衡法、穷竭法及其应用
（1）平衡法
①应用1：关于球体积公式
用一根长为球直径 2 倍的长杆，即为 4 r 的杆，确定一个支点 N 。将杆的中点支于支点。两端点设为 S ， T 。 NT 的中点为 O 。以 O 为中心，以球半径 r 为半径画圆，并画圆的外切正方形及等腰三角形 NBC ，使 ∠ CNT = ∠ BNT = 45 ° 。这图形绕 ST 旋转得到球、圆柱和圆锥。
②应用2：关于抛物线弓形面积
即抛物线弓形 CBA 的面积与 CBA Δ 的面积之比为 4:3 。
平衡法本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到他的方法在严密性上的不足，所以在用平衡法求出了抛物线弓形面积后，又用穷竭法给以严格的证明。这种发现与求证的双重方法，是阿基米德独特的思维模式，也可以说是他胜欧几里得一筹之处。
（2）穷竭法及其应用
①（阿基米德公理）如果我们有两个同类量，那么总能找到较小者的一个倍数，使之大于较大者。假定阿基米德公理成立，证明如下穷竭法的基础命题成立：
如果从任何量中减去不少于其半的部分，从余下的那部分中，再减去不少于其半的部分，如此类推，则最后留下的量将小于任何事先给定的同类量。
②、借助穷竭法的基础命题证明：可使圆与其外切正多边形面积之差为任意小。
证明：如果我们能够构造一列圆与其外切正多边形的面积差，使得这一列差中，后者少于前者的一半，这样根据上题证明的基础命题，最后留下的面积差将小于任何事先给定的同类量，取这一事先给定的同类量为任意小，则可使圆与其外切正多边形面积之差为任意小。
显然这只是图形的 1/2 k i 部分，其余部分讨论相同，即可以构造圆与其外切正多边形的面积差，使得这一列差中，后者少于前者的一半。根据前面的分析，可以得到可使圆与其外切正多边形面积之差为任意小。
然而阿基米德没有极限的观念，所以他是用归谬证法确立起他的结论的，由此推知抛物线弓形的面积等于 PQq Δ 面积的三分之四。
二、问题探究：
【答案】|球的体积函数的导数等于球的表面积函数
小结：
阿基米德确定各种几何图形的面积和物体的表面积、体积的计算方法，创立“穷竭法”。他精通几何学，先后发现了几十条定理。他创立“穷竭法”，实质上与现代数学积分计算的基本思想相同。在《论抛物线形的求积法》、《论球和圆柱》等著作中，阿基米德在计算抛物线弓形面积和球、椭球、旋转抛物体等的表面积与体积时，进一步发展了“穷竭法”，可以说是现代微积分法的先导。他还首创记任意大数的方法，突破了当时用希腊字母记数最大数不能超过一万的局限等。