人教A版高中数学选修2-12.1曲线与方程课件（共37张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选修2-12.1曲线与方程课件（共37张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 413.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-12-07 10:20:47 | ||
图片预览
文档简介
课件37张PPT。2.1 曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程 下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？【探究】 曲线的方程与方程的曲线
问题1：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线和方程x-y=0有什么关系？(1)在直线上任找一点 则
是方程x-y=0的解；
(2)如果 的解，那么图象上的点M与此方程 ，有什么关系？（1）圆上任一点 的解.按某种规律运动几何对象点曲线C坐标（x,y）方程f(x,y)=0 通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内的点与数对（x,y）建立了一一对应关系.点的运动形成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程f(x,y)=0.曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程为
f(x,y)=0,那么点 在曲线C上的充分必要
条件是问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，
能否说f(x,y)=0是曲线C的方程？ 解：不能，还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是不是都在曲线上,如,以原点为圆心，以2为半径的圆上半部分和方程【总结提升】要紧扣定义问题4：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，“曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而“方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲线的性质转化到讨论相应方程的问题上.类型一：曲线的方程与方程的曲线的判定
【典例1】(1)下面所给的方程是图中曲线的方程的是 ( )(2)方程 表示的曲线
是 ( )
A.两条互相垂直的直线 B.两条射线
C.一条直线和一条射线 D.一个点(2，-1)【解析】(1)选D.A不是，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1
的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如 的
坐标适合方程x2＋y2＝1，但不在所给曲线上；B不是，理由同上，如
点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给曲线上；C不是，因为曲线上
的点的坐标都不是方程的解，如(－1，－1)在所给曲线上，但不适合
方程lgx＋lgy＝1.(2)选C.根据题意得 或x-y-3=0，由 得交点为(2，-1)，故方程表示直线x-y-3=0和直线x+y-1=0上自点(2，-1)向右下方的射线.2.排除法的应用
判断曲线是否为方程的曲线，方程是否为曲线的方程的方法时，主要利用排除法，用特例来检验两个条件是否满足，即
(1)从点的坐标角度：若点M(x0，y0)在方程f(x，y)=0所表示的曲线C上，则f(x0，y0)=0；或若f(x0，y0)≠0，则M(x0，y0)不在方程f(x，y)=0表示的曲线C上.(2)从方程的解的角度：若f(x0，y0)=0，则M(x0，y0)在方程f(x，y)=0所表示的曲线C上；或若M(x0，y0)不在方程f(x，y)=0表示的曲线C上，则f(x0，y0)≠0.类型二：曲线与方程关系的应用
【典例2】证明以原点为圆心，半径为3的圆的方程是x2+y2=9.
【解析】(1)设M(x1,y1)是圆上任意一点，则点M到原点的距离为3，
所以 即x12+y12=9，所以圆上的点的坐标都是方
程x2+y2=9的解.
(2)设点N的坐标(x2,y2)是方程x2+y2=9的解，则x22+y22=9，即
所以点N到原点的距离为3，所以点N在以原点
为圆心，以3为半径的圆上,由(1)(2)可知，以原点为圆心，半径为3
的圆的方程是x2+y2=9.【延伸探究】
1.(变换条件)本例条件改为：求以原点为圆心，半径为3的圆的上半圆的方程.
【解析】上半圆上点的坐标仍旧是方程x2+y2=9的解，但方程的解中纵坐标为负的点都在x轴下方，不在曲线上，所以方程应为x2+y2=9(y≥0).2.(改变问法)本例中方程改为x2+y2=9(xy>0)，则它表示的轨迹是什么？
【解析】以方程x2+y2=9的解为坐标的点都在以原点为圆心，以3为半径的圆上，当满足xy>0时，说明这些点的横、纵坐标同号，即这些点应该在第一象限或第三象限内，所以方程表示的曲线是以原点为圆心，以3为半径的圆中在第一和第三象限内的部分.3.(改变问法)若本例条件改为已知曲线C的方程为 则曲线
C表示的曲线是什么？该曲线与y轴围成的图形的面积是多少？
【解析】由 得x2＋y2＝9.
又因为x≥0，所以方程 表示的曲线是以原点为圆心，3为
半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝
所以所求图形的面积为【规律总结】证明曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程的步骤
(1)证明曲线上点的坐标是方程的解：根据曲线的特征，验证点的坐标满足方程.
(2)证明以方程的解为坐标的点在曲线上：分析方程的特点或对方程适当变形，利用方程表示的几何意义确定以方程的解为坐标的点具有的特征，验证这些点都在曲线上.
(3)下结论：由(1)(2)可知，曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.类型三：曲线的交点
【典例3】(1)曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
(2)已知两曲线的方程为C1：2x-5y+5=0，C2： 判断两曲线有无交点，若有交点，求出交点坐标，若无交点，说明理由.【解析】(1)选D.由
消去y2，得2x2-11x-13=0,解之得x=-1或
当x=-1时，代入第一个方程，得y=0；
当 时，代入第一个方程得
没有实数解.
因此，两个曲线有唯一的公共点(-1，0).(2)建立方程组
由①②消去y得2x2+5x+50=0③,Δ=25-4×2×50<0,因此方程③无实数
解，从而方程组无实数解，因此曲线C1：2x-5y+5=0与C2： 无
交点.【延伸探究】若将题(2)中曲线C1：2x-5y+5=0改为C1：x+5y+5=0，则结果怎样？
【解析】建立方程组
由①②消去y得x2+5x-50=0，
解得x=-10或x=5，将x=-10代入②得y=1，
将x=5代入②得y=-2，
因此两曲线有两个交点，坐标分别为(-10，1)，(5，-2).【规律总结】求两曲线交点的方法
两曲线的交点坐标应该是两曲线方程的公共解，即两曲线方程组成的方程组的实数解，方程组有几组解，则两曲线就有几个交点，方程组没有实数解，两条曲线就没有交点，故两曲线有交点的充要条件是它们的方程组成的方程组有实数解.探究 求曲线的方程的步骤和方法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.解析几何与坐标法：通过具体的例子我们来看看如何求曲线的方程.【例1】设A,B两点的坐标分别是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.解析：设点M(x,y)是线段AB的垂直平分
线上的任意一点，也就是点M属于集合由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为上式两边平方，并整理得
x+2y－7=0. ①交代清楚我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即
x1+2y1－7=0,
x1=7－2y1.
点M1到A，B的距离分别是即点M在线段AB的垂直平分线上.
由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程. 由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建系设动点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示所求曲线上任意一点M的坐标；（求谁设谁）
(2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;直接法说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程.(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
(5)证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.分析：在建立坐标系时，一般应当充分
利用已知条件中的定点、定直线等，
这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.解：如图，取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy. 设点M(x,y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为 将①式移项后两边平方，得 因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基本能力.【总结提升】【总结提升】建立适当坐标系的基本原则:（1）定点、定线段常选在坐标轴上;(2）原点有时选在定点;（3）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴.另外注意：坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同；要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置，以简化方程形式.
第二章 圆锥曲线与方程 下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？【探究】 曲线的方程与方程的曲线
问题1：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线和方程x-y=0有什么关系？(1)在直线上任找一点 则
是方程x-y=0的解；
(2)如果 的解，那么图象上的点M与此方程 ，有什么关系？（1）圆上任一点 的解.按某种规律运动几何对象点曲线C坐标（x,y）方程f(x,y)=0 通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内的点与数对（x,y）建立了一一对应关系.点的运动形成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程f(x,y)=0.曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程为
f(x,y)=0,那么点 在曲线C上的充分必要
条件是问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，
能否说f(x,y)=0是曲线C的方程？ 解：不能，还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是不是都在曲线上,如,以原点为圆心，以2为半径的圆上半部分和方程【总结提升】要紧扣定义问题4：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，“曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而“方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲线的性质转化到讨论相应方程的问题上.类型一：曲线的方程与方程的曲线的判定
【典例1】(1)下面所给的方程是图中曲线的方程的是 ( )(2)方程 表示的曲线
是 ( )
A.两条互相垂直的直线 B.两条射线
C.一条直线和一条射线 D.一个点(2，-1)【解析】(1)选D.A不是，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1
的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如 的
坐标适合方程x2＋y2＝1，但不在所给曲线上；B不是，理由同上，如
点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给曲线上；C不是，因为曲线上
的点的坐标都不是方程的解，如(－1，－1)在所给曲线上，但不适合
方程lgx＋lgy＝1.(2)选C.根据题意得 或x-y-3=0，由 得交点为(2，-1)，故方程表示直线x-y-3=0和直线x+y-1=0上自点(2，-1)向右下方的射线.2.排除法的应用
判断曲线是否为方程的曲线，方程是否为曲线的方程的方法时，主要利用排除法，用特例来检验两个条件是否满足，即
(1)从点的坐标角度：若点M(x0，y0)在方程f(x，y)=0所表示的曲线C上，则f(x0，y0)=0；或若f(x0，y0)≠0，则M(x0，y0)不在方程f(x，y)=0表示的曲线C上.(2)从方程的解的角度：若f(x0，y0)=0，则M(x0，y0)在方程f(x，y)=0所表示的曲线C上；或若M(x0，y0)不在方程f(x，y)=0表示的曲线C上，则f(x0，y0)≠0.类型二：曲线与方程关系的应用
【典例2】证明以原点为圆心，半径为3的圆的方程是x2+y2=9.
【解析】(1)设M(x1,y1)是圆上任意一点，则点M到原点的距离为3，
所以 即x12+y12=9，所以圆上的点的坐标都是方
程x2+y2=9的解.
(2)设点N的坐标(x2,y2)是方程x2+y2=9的解，则x22+y22=9，即
所以点N到原点的距离为3，所以点N在以原点
为圆心，以3为半径的圆上,由(1)(2)可知，以原点为圆心，半径为3
的圆的方程是x2+y2=9.【延伸探究】
1.(变换条件)本例条件改为：求以原点为圆心，半径为3的圆的上半圆的方程.
【解析】上半圆上点的坐标仍旧是方程x2+y2=9的解，但方程的解中纵坐标为负的点都在x轴下方，不在曲线上，所以方程应为x2+y2=9(y≥0).2.(改变问法)本例中方程改为x2+y2=9(xy>0)，则它表示的轨迹是什么？
【解析】以方程x2+y2=9的解为坐标的点都在以原点为圆心，以3为半径的圆上，当满足xy>0时，说明这些点的横、纵坐标同号，即这些点应该在第一象限或第三象限内，所以方程表示的曲线是以原点为圆心，以3为半径的圆中在第一和第三象限内的部分.3.(改变问法)若本例条件改为已知曲线C的方程为 则曲线
C表示的曲线是什么？该曲线与y轴围成的图形的面积是多少？
【解析】由 得x2＋y2＝9.
又因为x≥0，所以方程 表示的曲线是以原点为圆心，3为
半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝
所以所求图形的面积为【规律总结】证明曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程的步骤
(1)证明曲线上点的坐标是方程的解：根据曲线的特征，验证点的坐标满足方程.
(2)证明以方程的解为坐标的点在曲线上：分析方程的特点或对方程适当变形，利用方程表示的几何意义确定以方程的解为坐标的点具有的特征，验证这些点都在曲线上.
(3)下结论：由(1)(2)可知，曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.类型三：曲线的交点
【典例3】(1)曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
(2)已知两曲线的方程为C1：2x-5y+5=0，C2： 判断两曲线有无交点，若有交点，求出交点坐标，若无交点，说明理由.【解析】(1)选D.由
消去y2，得2x2-11x-13=0,解之得x=-1或
当x=-1时，代入第一个方程，得y=0；
当 时，代入第一个方程得
没有实数解.
因此，两个曲线有唯一的公共点(-1，0).(2)建立方程组
由①②消去y得2x2+5x+50=0③,Δ=25-4×2×50<0,因此方程③无实数
解，从而方程组无实数解，因此曲线C1：2x-5y+5=0与C2： 无
交点.【延伸探究】若将题(2)中曲线C1：2x-5y+5=0改为C1：x+5y+5=0，则结果怎样？
【解析】建立方程组
由①②消去y得x2+5x-50=0，
解得x=-10或x=5，将x=-10代入②得y=1，
将x=5代入②得y=-2，
因此两曲线有两个交点，坐标分别为(-10，1)，(5，-2).【规律总结】求两曲线交点的方法
两曲线的交点坐标应该是两曲线方程的公共解，即两曲线方程组成的方程组的实数解，方程组有几组解，则两曲线就有几个交点，方程组没有实数解，两条曲线就没有交点，故两曲线有交点的充要条件是它们的方程组成的方程组有实数解.探究 求曲线的方程的步骤和方法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.解析几何与坐标法：通过具体的例子我们来看看如何求曲线的方程.【例1】设A,B两点的坐标分别是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.解析：设点M(x,y)是线段AB的垂直平分
线上的任意一点，也就是点M属于集合由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为上式两边平方，并整理得
x+2y－7=0. ①交代清楚我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即
x1+2y1－7=0,
x1=7－2y1.
点M1到A，B的距离分别是即点M在线段AB的垂直平分线上.
由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程. 由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建系设动点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示所求曲线上任意一点M的坐标；（求谁设谁）
(2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;直接法说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程.(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
(5)证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.分析：在建立坐标系时，一般应当充分
利用已知条件中的定点、定直线等，
这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.解：如图，取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy. 设点M(x,y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为 将①式移项后两边平方，得 因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基本能力.【总结提升】【总结提升】建立适当坐标系的基本原则:（1）定点、定线段常选在坐标轴上;(2）原点有时选在定点;（3）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴.另外注意：坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同；要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置，以简化方程形式.