重组一 集合与常用逻辑用语
测试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．2016·全国卷Ⅰ]设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意得，A＝{x|1
2．2017·河北百校联盟联考]已知全集U＝Z，A＝{x|x2－5x<0，x∈Z}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合等于( )
A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}
答案 B
解析 x2－5x<0的解为03．2017·湖北武汉联考]命题“?n∈N*，?x∈R，使得n2A．?n∈N*，?x∈R，使得n2≥x
B．?n∈N*，?x∈R，使得n2≥x
C．?n∈N*，?x∈R，使得n2≥x
D．?n∈N*，?x∈R，使得n2≥x
答案 D
解析 命题的否定是条件不变，结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，因此命题“?n∈N*，?x∈R，使得n24．2016·江西九校联考]已知A＝，B＝{－1，0,1}，则card(A∩B)＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由A＝{x|－1≤x<1}可得A∩B＝{－1,0}，所以A∩B的元素个数为2.
5．2016·北京东城模拟]集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|x2－5x<0}，若A∩B＝B，则a的取值范围是( )
A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜4
答案 A
解析 B＝{x|x2－5x<0}＝{x|06．2016·安徽六校测试]设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?P
C．?x0?Q，使得x0∈P D．?x0∈P，使得x0?Q
答案 B
解析 因为P∩Q＝P，所以P?Q，所以?x?Q，有x?P，故选B.
7．2016·衡水模拟]“C＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，得＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.
8．2016·济南调研]已知命题p：?x0∈R，使sinx0＝；命题q：?x∈，x>sinx，则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈p为真
C．p∧q为真 D．p∨q为假
答案 B
解析 由三角函数y＝sinx的有界性，－1≤sinx0≤1，所以p假；对于q，构造函数y＝x－sinx，求导得y′＝1－cosx，又x∈，所以y′>0，y为单调递增函数，有y>y|x＝0＝0恒成立，即?x∈，x>sinx，所以q真．判断可知，B正确．
9．2017·河南郑州月考]已知集合A＝
，B＝{y|y＝ex＋1，x≤0}，则下列结论正确的是( )
A．B∩(A)＝? B．A∪B＝R
C．A∩(B)＝? D．A＝B
答案 A
解析 因为函数y＝x在－1，＋∞)上单调递减，所以y∈(0,2]，因为函数y＝ex＋1在(－∞，0]上单调递增，所以y∈(1,2]，故选A.
10．2016·河西五市二联]下列说法正确的是( )
A．命题“?x∈R，ex>0”的否定是“?x∈R，ex>0”
B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题
C．“x2＋2x≥ax在x∈1,2]上恒成立”?“(x2＋2x)min≥(ax)min在x∈1,2]上恒成立”
D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题
答案 B
解析 A项，应为“?x∈R，ex≤0”，故A错误；B项，其逆否命题是“若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，为真命题，故原命题为真命题，故B正确；C项，应为“(x2＋2x－ax)min≥0在1,2]上恒成立”，故C错误；D项，函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点等价于a＝0或?a＝－1，故D错误，选B.
11．2017·河北百校联考]命题“?x0∈R，asinx0＋cosx0≥2”为假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－，)
B．－， ]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－ ]∪，＋∞)
答案 A
解析 命题“?x∈R，asinx＋cosx<2”为真命题，即<2，解得－12．2017·北京模拟]某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．设该网店第一天售出但第二天未售出的商品有m种，这三天售出的商品最少有n种，则m，n分别为( )
A．18,30 B．16,28 C．17,29 D．16,29
答案 D
解析 设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素，第三天售出的商品为集合C，则C中有18个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A∩B中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B∩C中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16种．这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即A∩C中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2＋14＋3＋1＋9＝29种．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．2016·湖南郴州三模]命题“实数的平方都是正数”的否定是________________________．
答案 至少有一个实数的平方不是正数
解析 全称命题的否定一定是特称命题．“实数的平方都是正数”是全称命题，只是省略了“所有”两字．
14．2017·山西四校联考]已知命题p：x2－5x＋4≤0；命题q：<1，若(綈q)∧p是真命题，则x取值范围是________．
答案 2,3]
解析 若p真，则1≤x≤4；若q真，则x<2或x>3.
∵(綈q)∧p为真，∴∴2≤x≤3.
15．2016·沧州质检]设集合Sn＝{1,2,3，…，n}，n∈N*，若X?Sn把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集．若n＝4，则Sn的所有奇子集的容量之和为________．
答案 7
解析 若n＝4，则Sn的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7.
16．2016·山西质检]已知集合M＝{(x，y)|y＝}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，且M∩N＝?，则b的取值范围是________．
答案 (－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析 如图，y＝的图象是半圆，当直线y＝x＋b与半圆无公共点时，截距b＞3或b＜－3，故b的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2016·江西宜春月考](本小题满分10分)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．
解 (1)要使A∩B＝?，
则需满足下列不等式组(3分)
解此不等式组得－1≤a≤2，
即a的取值范围是－1,2]．(5分)
(2)要使A∪B＝B，即A是B的子集，(6分)
则需满足a＋3＜－1或a＞5，(8分)
解得a＞5或a＜－4，
即a的取值范围是{a|a＞5或a＜－4}．(10分)
18．2016·山东烟台月考](本小题满分12分)已知p：
2≤4，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)．若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
解 綈p：2＞4，解得x＜－2或x＞10，设A＝{x|x＜－2或x＞10}，(3分)
綈q：x2－2x＋1－m2＞0，解得x＜1－m或x＞1＋m，设B＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}．(6分)
因为綈p是綈q的必要非充分条件，所以B?A
(8分)
即(等号不同时成立)，(11分)
∴m≥9.(12分)
19．2016·龙岩月考](本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0}，m∈R.
(1)若m＝3，求A∩B；
(2)已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
解 (1)由题意知，A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3}．(4分)
当m＝3时，B＝{x|0≤x≤6}，∴A∩B＝0,3]．(5分)
(2)由q是p的必要条件知，A?B，(7分)
结合(1)知解得0≤m≤2.(10分)
故实数m的取值范围是0,2]．(12分)
20．2016·广东佛山一中模拟](本小题满分12分)已知集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0，x∈R}，且A∩{x|x≥0}＝?，求实数a的取值范围．
解 当a＝0时，
A＝{x|x＋1＝0，x∈R}＝{－1}，
此时A∩{x|x≥0}＝?；(3分)
当a≠0时，
∵A∩{x|x≥0}＝?，
∴A＝?或关于x的方程ax2＋x＋1＝0的根均为负数．(4分)
①当A＝?时，关于x的方程ax2＋x＋1＝0无实数根，
∴Δ＝1－4a＜0，解得a＞.(7分)
②当关于x的方程ax2＋x＋1＝0的根x1，x2均为负数时，
有解得即0＜a≤.(10分)
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥0}．(12分)
21．2016·山西太原期中](本小题满分12分)已知集合A＝{x|(x－1)(x－2a－3)＜0，a∈R}，函数y＝lg(a∈R)的定义域为集合B.
(1)若a＝1，求A∩(?RB)；
(2)若a＞－1且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解 (1)若a＝1，则集合A＝{x|(x－1)·(x－5)＜0}＝(1,5)，集合B＝＝＝(2,3)，(3分)
所以?RB＝(－∞，2]∪3，＋∞)，(4分)
故A∩(?RB)＝(1,2]∪3,5)．(5分)
(2)因为a＞－1，所以2a＋3＞1，a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0?a2＋2＞2a，(7分)
则集合A＝{x|(x－1)(x－2a－3)＜0}＝(1,2a＋3)，
集合B＝＝＝(2a，a2＋2)．(9分)
又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B?A，
则(等号不能同时取得)，解得≤a≤1＋.(11分)
故实数a的取值范围为.(12分)
22．2016·河南洛阳月考](本小题满分12分)已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数；命题q：当x∈时，f(x)＝x＋＞恒成立．如果p∨q为真，p∧q为假，求c的取值范围．
解 由p得0＜c＜1.(2分)
由q得＜min＝2，又c＞0，
∴c＞，(4分)
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p和q一真一假．(6分)
即或(10分)
解得0＜c≤或c≥1.
∴c的取值范围是∪1，＋∞)．(12分)
重组七 大题冲关——三角函数的综合问题
测试时间：120分钟 满分：150分
解答题(本题共12小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1．2016·吉林三调](本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2＋c2－a2＝bc.
(1)求∠A的大小；
(2)设函数f(x)＝sincos＋cos2，当f(B)取最大值时，判断△ABC的形状．
解 (1)在△ABC中，根据余弦定理：cosA＝＝，而A∈(0，π)，所以A＝.(4分)
(2)因为f(x)＝sincos＋cos2，
所以f(x)＝sinx＋cosx＋，
即f(x)＝sin＋，(7分)
则f(B)＝sin＋.
因为B∈(0，π)，
所以当B＋＝，即B＝时，
f(B)取最大值，(10分)
此时易知△ABC是直角三角形．(12分)
2．2017·山西四校模拟](本小题满分12分)已知函数f(x)＝psin2x－qcos2x(其中p，q是实数)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式及其最小正周期；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移m(0解 (1)因为f(x)＝psin2x－qcos2x，
则由图象得解得p＝，q＝－1，
故f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(4分)
最小正周期T＝π.(5分)
(2)由(1)可知g(x)＝f(x＋m)＝2sin.(7分)
于是当且仅当Q(0,2)在y＝g(x)的图象上时满足条件．
∴g(0)＝2sin＝2.
由0故g(x)＝2sin＝2cos2x，(10分)
当x∈，即－≤2x≤时，
函数y＝g(x)的单调递增区间为∪，最大值是2，最小值是－2.(12分)
3．2016·北京高考](本小题满分12分)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求cosA＋cosC的最大值．
解 (1)由余弦定理及题设，得
cosB＝＝＝.(2分)
又0<∠B<π，所以∠B＝.(4分)
(2)由(1)知∠A＋∠C＝，则
cosA＋cosC＝cosA＋cos
＝cosA－cosA＋sinA
＝cosA＋sinA
＝cos.(9分)
因为0<∠A<，(10分)
所以当∠A＝时，cosA＋cosC取得最大值1.(12分)
4．2016·邯郸七调](本小题满分12分)已知m＝(cosx＋sinx，1)，n＝(2cosx，－y)，满足m·n＝0.
(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的单调递增区间；
(2)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝3，且a＝2，求△ABC面积的最大值．
解 (1)因为m·n＝2cos2x＋2sinxcosx－y
＝sin2x＋cos2x＋1－y＝2sin＋1－y＝0，
所以f(x)＝2sin＋1，(3分)
令2x＋∈(k∈Z)，
得x∈(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．(6分)
(2)f＝2sin＋1＝3，∴sin＝1，
又A＋∈，∴A＋＝，∴A＝.(8分)
在△ABC中，由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
可知bc≤4(当且仅当b＝c时取等号)，(10分)
∴S△ABC＝bcsinA≤·4·＝，即△ABC面积的最大值为.(12分)
5．2016·银川九中二模](本小题满分12分)在△ABC中，内角A、B、C对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．
解 (1)∵c＝2，C＝60°，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝4，(2分)
根据三角形的面积S＝absinC＝，可得ab＝4，(4分)
联立方程组
解得a＝2，b＝2.(6分)
(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即sinBcosA＝2sinAcosA，(7分)
当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝；(9分)
当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，
由正弦定理得b＝2a，
联立方程组
解得a＝，b＝.(11分)
所以△ABC的面积S＝absinC＝.(12分)
6．2016·石家庄质检](本小题满分12分)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC＋c＝2a.
(1)求∠B的大小；
(2)若BD为AC边上的中线，cosA＝，BD＝，求△ABC的面积．
解 (1)2bcosC＋c＝2a，
由正弦定理，得2sinBcosC＋sinC＝2sinA，(2分)
∵A＋B＋C＝π，
∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
∴2sinBcosC＋sinC＝2(sinBcosC＋cosBsinC)，
sinC＝2cosBsinC.(4分)
因为0所以cosB＝，
因为0(2)解法一：在△ABD中，由余弦定理得
2＝c2＋2－2c·cosA，
所以＝c2＋－bc. ①(8分)
在△ABC中，由正弦定理得＝，
由已知得sinA＝.
所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，
所以c＝b. ②(10分)
由①，②解得
所以S△ABC＝bcsinA＝10.(12分)
解法二：延长BD到E，DE＝BD，连接AE，
△ABE中，∠BAE＝，
BE2＝AB2＋AE2－2·AB·AE·cos∠BAE.
因为AE＝BC，
所以129＝c2＋a2＋a·c， ①(8分)
由已知得，sinA＝，
所以sinC＝sin(A＋B)＝，
＝＝， ②(10分)
由①，②解得c＝5，a＝8.
S△ABC＝c·a·sin∠ABC＝10.(12分)
7．2016·陕西一模](本小题满分13分)已知m＝(1，cosx)，n＝(t，sinx－cosx)，函数f(x)＝m·n(t∈R)的图象过点M.
(1)求t的值以及函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝，求f(A)的取值范围．
解 (1)由题意得f(x)＝sinxcosx－cos2x＋t＝sin2x－(cos2x＋1)＋t＝sin－＋t，(2分)
因为点M在函数f(x)的图象上，
所以sin－＋t＝0.
解得t＝，(4分)
T＝＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
可得函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.(7分)
(2)∵ccosB＋bcosC＝2acosB，由正弦定理，得
sinCcosB＋sinBcosC＝2sinAcosB，
∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，即sinA＝2sinAcosB.
又∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosB＝.(10分)
∵B∈(0，π)，∴B＝，A＋C＝π.
∴0∴sin∈，
∴f(A)的取值范围是.(13分)
8．2017·安徽联考](本小题满分13分)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.
(1)求A，C两地的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC(已知声音的传播速度为340米/秒)．
解 (1)设BC＝x(米)，由条件可知AC＝x＋×340＝(x＋40)(米)，(2分)
在△ABC中，由余弦定理，可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC，
即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×，解得x＝380.(5分)
所以AC＝380＋40＝420(米)．(6分)
故A，C两地的距离为420米．(7分)
(2)在△ACH中，AC＝420(米)，∠HAC＝30°，∠AHC＝90°－30°＝60°，(9分)
由正弦定理，可得＝，
即＝，
所以HC＝＝140(米)，(12分)
故这种仪器的垂直弹射高度为140 米．(13分)
9．2017·河北冀州测试](本小题满分13分)如图，已知平面上直线l1∥l2，A，B分别是l1，l2上的动点，C是l1，l2之间的一定点，C到l1的距离CM＝1，C到l2的距离CN＝，△ABC三内角∠A、∠B、∠C所对边分别为a，b，c，a>b，且bcosB＝acosA.
(1)判断△ABC的形状；
(2)记∠ACM＝θ，f(θ)＝＋，求f(θ)的最大值．
解 (1)由正弦定理，得＝，
又bcosB＝acosA，得sin2B＝sin2A，(3分)
又a>b，所以A>B，且A，B∈(0，π)，
所以2A＋2B＝π，∴C＝，(5分)
所以△ABC是直角三角形．(6分)
(2)∠ACM＝θ，由(1)得∠BCN＝－θ，
则AC＝，BC＝，(9分)
f(θ)＝＋＝cosθ＋sinθ＝cos，(11分)
所以θ＝时，f(θ)的最大值为.(13分)
10．2017·湖北重点中学联考](本小题满分13分)已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋m(m∈R)，将y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝g(x)的图象，且y＝g(x)在区间内的最大值为.
(1)求实数m的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若g＝1，且a＋c＝2，求△ABC周长l的取值范围．
解 (1)由题设得f(x)＝sin2x－cos2x－1＋m
＝sin－1＋m，(2分)
∴g(x)＝sin－1＋m
＝sin－1＋m，(4分)
∵当x∈时，2x＋∈，(5分)
∴由已知得当2x＋＝，即x＝时，g(x)max＝－1＋m＝，∴m＝1.(7分)
(2)由已知，得g＝sin＝1，
∵在△ABC中，0∴B＋＝，即B＝，(9分)
又∵a＋c＝2，由余弦定理得：
b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－＝1，(11分)
当且仅当a＝c＝1时等号成立，
又∵b∴△ABC周长l＝a＋b＋c∈3,4)，
故△ABC周长l的取值范围是3,4)．(13分)
11．2017·江西临川期末](本小题满分13分)在△ABC中，AD是BC边的中线，AB2＋AC2＋AB·AC＝BC2，且△ABC的面积为.
(1)求∠BAC的大小及·的值；
(2)若AB＝4，求AD的长．
解 (1)在△ABC中，由AB2＋AC2＋AB·AC＝BC2，可得＝－＝cos∠BAC，故∠BAC＝120°.(3分)
因为S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝AB·AC·sin120°＝，
所以AB·AC×＝，解得AB·AC＝4.(5分)
所以·＝||·||×cos120°＝||·||×＝4×＝－2.(6分)
(2)解法一：由AB＝4，AB·AC＝4，得AC＝1.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝16＋1－2×4×1×＝21，
得BC＝，(9分)
由正弦定理得＝，
得sin∠ABC＝＝＝.
∵0°<∠ABC<60°，故cos∠ABC＝.(10分)
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝16＋－2×4××＝，
得AD＝.(13分)
解法二：由AB＝4，AB·AC＝4，得AC＝1.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝16＋1－2×4×1×＝21，
得BC＝，(9分)
cos∠ABC＝＝＝，(10分)
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝16＋－2×4××＝，
得AD＝.(13分)
12．2017·吉林长春质监](本小题满分13分)已知f(x)＝cosxsinx－cos2x＋.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)在△ABC中，A为锐角且f(A)＝，＋＝3，AB＝，AD＝2，求sin∠BAD.
解 (1)由题可知f(x)＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝sin，(3分)
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(5分)
(2)由f(A)＝，所以sin＝，解得A＝或A＝(舍)．(7分)
又因为＋＝3，则D为△ABC的重心，以AB、AC为邻边作平行四边形ABEC，因为AD＝2，所以AE＝6，在△ABE中，AB＝，∠ABE＝120°.(9分)
由正弦定理可得＝，解得sin∠AEB＝且cos∠AEB＝.(11分)
因此sin∠BAD＝sin＝·－·＝.(13分)
重组三 导数及其应用
测试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．2016·安庆二模]给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sinx－cosx的拐点是M(x0，f(x0))，则点M( )
A．在直线y＝－3x上 B．在直线y＝3x上
C．在直线y＝－4x上 D．在直线y＝4x上
答案 B
解析 f′(x)＝3＋4cosx＋sinx，f″(x)＝－4sinx＋cosx＝0,4sinx0－cosx0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．
2．2017·湖南郴州质检]已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数x有f(x)>f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)
答案 B
解析 取特殊函数f(x)＝1刚好符合已知条件，故f(x)0，故选B.
3．2017·衡水中学三调]已知函数g(x)＝a－x2≤x≤e，e是自然对数的底数与h(x)＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A. B．1，e2－2]
C. D．e2－2，＋∞)
答案 B
解析 由已知得，方程a－x2＝－2ln x，即－a＝2ln x－x2在上有解．设f(x)＝2ln x－x2，则f′(x)＝－2x＝.因为≤x≤e，所以函数f(x)在x＝1处有唯一的极值点且为极大值点．因为f＝－2－，f(e)＝2－e2，f(x)极大值＝f(1)＝－1，又f(e)4．2017·江西抚州联考]已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的递减区间为( )
A．(0,4) B．(－∞，1)，
C. D．(0,1)，(4，＋∞)
答案 D
解析 g′(x)＝＝，令g′(x)<0，即f′(x)－f(x)<0，由图可得x∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D.
5．2017·湖北联考]已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )
A．a∈ B．a∈
C．a∈ D．a∈
答案 D
解析 f′(x)＝2ax－4a－，f(x)在(1,3)上不单调，则f′(x)＝2ax－4a－＝0在(1,3)上有解，此方程可化为2ax2－4ax－1＝0，x1＋x2＝2，因此方程的两解不可能都大于1，从而它在(1,3)上只有一解，充要条件是(2a－4a－1)(18a－12a－1)<0，a<－或a>，因此D是要求的一个充分不必要条件．故选D.
6．2017·沧州模拟]函数f(x)＝(cosx)·ln |x|的大致图象是( )
答案 B
解析 因为f(x)＝(cosx)·ln |x|，所以f(x)的定义域为{x|x≠0}，又f(－x)＝cos(－x)·ln|－x|＝(cosx)·ln |x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C、D；又f＝·ln<0，排除A，故选B.
7．2016·云南师大附中模拟]已知函数f(x)＝(x∈R)，若关于x的方程f(x)－m＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 当x≤0时，f(x)＝为减函数，f(x)min＝f(0)＝0；当x>0时，f(x)＝，f′(x)＝，则x>时，f′(x)<0,00，即f(x)在上递增，在上递减，f(x)极大值＝f＝.其大致图象如图所示，若关于x的方程f(x)－m＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则08．2016·四川高考]设直线l1，l2分别是函数f(x)＝
图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 A
解析 不妨设P1(x1，ln x1)，P2(x2，－ln x2)(01，所以x1＋>2，所以S△PAB的取值范围是(0,1)，故选A.
9．2016·湖南七校联考]若函数f(x)＝
的最大值为f(－1)，则实数a的取值范围为( )
A．0,2e2] B．0,2e3] C．(0,2e2] D．(0,2e3]
答案 B
解析 当x<0时，f(x)＝x＋＋a＝－＋a≤f(－1)＝a－2；若a<0时，f(x)＝aln x－x2－2在区间(0，＋∞)上为减函数，且当x→0时，f(x)→＋∞；当a＝0时，f(x)＝－x2－2≤－2恒成立；当a>0时，f′(x)＝－2x＝＝，即函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，则需f≤f(－1)，即aln －－2≤a－2，即aln ≤a，即ln ≤3，解得010．2017·云南、四川、贵州联考]若存在两个正实数x，y，使得等式x3e－ay3＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意知a＝，设＝t(t>0)，则a＝，令f(t)＝，则f′(t)＝，当t>3时，f′(t)>0，当011．2016·山东高考]若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sinx B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
答案 A
解析 设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cosx，显然k1·k2＝cosx1·cosx2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)＝(x>0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝ex>0，显然k1·k2＝ex1·ex2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3x·3x＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A.
12．2017·河北百校联考]已知方程|ln x|＝kx＋1在(0，e3)上有三个不等实根，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 画出方程所代表的函数的图象，设过定点M(0,1)的直线y＝kx＋1与曲线y＝ln x相切的切点为P(t，ln t)，则由题设可得＝，解之得ln t＝2，即t＝e2，故P(e2,2)，此时k＝；当动直线经过点A(e3,3)时，此时k＝，结合图象可知当k∈时，两函数y＝ln x与y＝kx＋1有三个不同的交点，即方程有三个不同的实数根，故应选C.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．2016·沈阳质检]函数f(x)＝2x－ln x的单调递增区间是________．
答案 (写成也给分)
解析 函数f(x)＝2x－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2－≥0，即x≥，所以函数f(x)＝2x－ln x的单调递增区间为.
14．2016·长春质检]设函数f(x)＝1－ex的图象与x轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为________．
答案 y＝－x
解析 由题意P(0,0)，f′(x)＝－ex，f′(0)＝－1，从而曲线在点P处的切线方程为y＝－x.
15．2016·北京高考改编]设函数f(x)＝若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)
解析 函数y＝x3－3x与y＝－2x的大致图象如图所示，
若函数f(x)＝无最大值，由图象可知－2a>2，解得a<－1.
16．2016·湖南七校联考]若函数f(x)＝(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)的最大值为________．
答案 4
解析 因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(0)＝f(－2)，f(1)＝f(－3)，即
解得所以f(x)＝(x2＋4x)＝－x4－x3＋x2＋4x，则f′(x)＝－x3－3x2＋2x＋4＝－(x＋1)(x2＋2x－4)．令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝－1±，易知函数f(x)在x＝－1±处取得极大值， 又f(－1＋)＝f(－1－)＝4，所以f(x)max＝4.
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2017·银川调研](本小题满分10分)如图是函数f(x)＝x3－2x2＋3a2x的导函数y＝f′(x)的简图，它与x轴的交点是(1,0)和(3,0)．
(1)求函数f(x)的极小值点和单调递减区间；
(2)求实数a的值．
解 (1)由图象可知：当x<1时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，1)上为增函数；
当1当x>3时，f′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)上为增函数．
∴x＝3是函数f(x)的极小值点，函数f(x)的单调减区间是(1,3)．(5分)
(2)f′(x)＝ax2－4x＋3a2，由图知a>0，且
∴
∴a＝1.(10分)
18．2016·西安八校联考](本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x3－6x2＋3x＋t)ex，t∈R.
(1)若函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为4x－y＋1＝0，则求t的值；
(2)若函数y＝f(x)有三个不同的极值点，求t的取值范围．
解 (1)函数f(x)＝(x3－6x2＋3x＋t)ex，
则f′(x)＝(x3－3x2－9x＋3＋t)ex，(2分)
函数f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为f′(0)＝3＋t，
由题意可得，3＋t＝4，解得t＝1.(4分)
(2)f′(x)＝(x3－3x2－9x＋3＋t)ex，(5分)
令g(x)＝x3－3x2－9x＋3＋t，则方程g(x)＝0有三个不同的根，(6分)
又g′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)，
令g′(x)＝0，得x＝－1或3，
且g(x)在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)递增，在区间(－1,3)递减，(8分)
故问题等价于即有
解得－819．2017·河北石家庄联考](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ax，a>0.
(1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；
(2)若对任意实数x恒有f(x)≥0，求a的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a，
令f′(x)>0，得x>ln a，
所以f(x)的单调递增区间是(ln a，＋∞)；
令f′(x)<0，得x所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)，
函数f(x)在x＝ln a处取极小值，
g(a)＝f(x)极小值＝f(ln a)＝eln a－aln a＝a－aln a．(3分)
g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a，
当00，g(a)在(0,1)上单调递增；
当a>1时，g′(a)<0，g(a)在(1，＋∞)上单调递减，
所以a＝1是函数g(a)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g(a)max＝g(1)＝1.(6分)
(2)当x≤0时，a>0，ex－ax≥0恒成立，(7分)
当x>0时，f(x)≥0，即ex－ax≥0，即a≤.(8分)
令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，h′(x)＝＝，
当01时，h′(x)>0，故h(x)的最小值为h(1)＝e，
所以a≤e，故实数a的取值范围是(0，e]．(12分)
20．2016·广西三市调研](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋xln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间e，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；
(2)当a＝1且k∈Z时，不等式k(x－1)解 (1)f′(x)＝a＋ln x＋1，(1分)
由题意知f′(x)≥0在e，＋∞)上恒成立，(2分)
即ln x＋a＋1≥0在e，＋∞)上恒成立，
即a≥－(ln x＋1)在e，＋∞)上恒成立，(3分)
而－(ln x＋1)]max＝－(ln e＋1)＝－2，∴a≥－2.(4分)
(2)f(x)＝x＋xln x，k<，
即k<对任意x>1恒成立．(5分)
令g(x)＝，则g′(x)＝.(6分)
令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，
则h′(x)＝1－＝>0，
∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．(7分)
∵h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，
∴存在x0∈(3,4)使h(x0)＝0.
即当1当x>x0时，h(x)>0，即g′(x)>0.
∴g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．(9分)
由h(x0)＝x0－ln x0－2＝0，得ln x0＝x0－2，
g(x)min＝g(x0)＝＝
＝x0∈(3,4)，(11分)
∴k21．2017·江苏模拟](本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln x＋－bx＋1.
(1)若2a－b＝4，则当a>2时，讨论f(x)的单调性；
(2)若b＝－1，F(x)＝f(x)－，且当a≥－4时，不等式F(x)≥2在区间1,4]上有解，求实数a的取值范围．
解 (1)由2a－b＝4，得f(x)＝aln x＋＋(4－2a)x＋1，
所以f′(x)＝－＋(4－2a)
＝
＝.
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.(2分)
当a＝4时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递减；
当20，f(x)单调递增；
当a>4时，在区间，上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间上，f′(x)>0，f(x)单调递增．(6分)
(2)由题意知，当a≥－4时，F(x)在1,4]上的最大值M≥2.(7分)
当b＝－1时，F(x)＝f(x)－＝x－＋aln x＋1，
则F′(x)＝(1≤x≤4)．(8分)
①当－4≤a≤4时，F′(x)＝≥0，
故F(x)在1,4]上单调递增，M＝F(4)．(9分)
②当a>4时，设x2＋ax＋4＝0(Δ＝a2－16>0)的两根分别为x1，x2，
则故x1<0，x2<0，
所以在1,4]上，F′(x)＝>0，
故F(x)在1,4]上单调递增，M＝F(4)．(11分)
综上，当a≥－4时，F(x)在1,4]上的最大值M＝F(4)＝4－1＋aln 4＋1≥2，解得a≥－，
所以实数a的取值范围是.(12分)
22．2016·湖北七校联考](本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2－a＋1)ex(a∈R)有两个不同的极值点m，n(m(1)求实数a的取值范围；
(2)当x∈0,2]时，设函数y＝mf(x)的最大值为g(m)，求g(m)．
解 (1)令f′(x)＝0，得x2＋2x－a＋1＝0，
由题意知Δ＝4－4(1－a)＝4a>0，即a>0，
且m＋n＝－2，mn＝1－a(m∵|m＋n|＋1≥|mn|，∴|a－1|≤3，
∴0(2)又∵f′(m)＝(m2＋2m－a＋1)em＝0，
∴a＝m2＋2m＋1，
∴0又∵my＝m(x2－a＋1)ex＝m(x2－m2－2m)ex，
y′＝m(x2＋2x－m2－2m)ex＝m(x－m)(x＋m＋2)ex.(7分)
①当－3≤m<－2时，y＝mf(x)在0，－m－2]上递增，在－m－2,2]上递减，
∴当x＝－m－2时，g(m)＝ymax＝(2m2＋4m)e－m－2.(9分)
②当－2≤m<－1时，y＝mf(x)在0,2]上递减，
∴当x＝0时，g(m)＝ymax＝－m3－2m2.(11分)
∴g(m)＝(12分)
重组九 不等式
测试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．2017·中山一中月考]若aA.> B.>
C．|a|>|b| D．a2>b2
答案 B
解析 ∵a，故A正确，∵a，故B错误．∵a－b>0，即|－a|>|－b|，∴|a|>|b|，故C正确．∵a－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故D正确．故选B.
2．2016·湖北八校联考]已知正数x，y满足
则z＝－2x－y的最小值为( )
A．2 B．0 C．－2 D．－4
答案 D
解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以，(0,0)，(1,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，则当目标函数z＝－2x－y经过平面区域内的点(1,2)时，目标函数取得最小值zmin＝－2×1－2＝－4，故选D.
3．2016·西交大附中六诊]设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，以a为横坐标，b为纵坐标，用线性规划或其他的方法可以求出f(－2)的取值范围是( )
A．5,8] B．7,10] C．5,10] D．5,12]
答案 C
解析 解法一：由题意可得对应区域是以点，，(3,1)，(2,0)为顶点的矩形，当f(－2)＝4a－2b经过点(3,1)时取得最大值10，经过点时取得最小值5，所以f(－2)的取值范围是5,10]，故选C.
解法二：由题意可得又f(－2)＝4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)，由不等式的基本性质可得f(－2)的取值范围是5,10]，故选C .
4．2016·北京高考]已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A.－>0 B．sinx－siny>0
C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0
答案 C
解析 因为x>y>0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－1<0，排除A；选项B，取x＝π，y＝，则sinx－siny＝sinπ－sin＝－1<0，排除B；选项D，取x＝2，y＝，则ln x＋ln y＝ln (xy)＝ln 1＝0，排除D，选项C中，y＝x在R上是减函数，且x>y>0，所以x5．2017·衡水模拟]若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为S＝·2·2－··＝，故选D.
6．2017·石家庄一中检测]已知变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是( )
A．{－2,0} B．{1，－2} C．{0,1} D．{－2,0,1}
答案 B
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
若a＝0，则直线y＝－ax＋z＝z，此时z取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；
若－a>0，则直线y＝－ax＋z在y轴上的截距取得最小值时，z取得最小值，此时当直线y＝－ax与直线2x－y－9＝0平行时满足题意，此时－a＝2，解得a＝－2；
若－a<0，则直线y＝－ax＋z在y轴上的截距取得最小值时，z取得最小值，此时当直线y＝－ax与直线x＋y－3＝0平行时满足题意，此时－a＝－1，解得a＝1.
综上可知，a＝－2或a＝1.故选B.
7．2016·浙江高考]已知实数a，b，c.( )
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2<100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
答案 D
解析 取a＝10，b＝10，c＝－110，可排除选项A；取a＝10，b＝－100，c＝0，可排除选项B；取a＝10，b＝－10，c＝0，可排除选项C.故选D.
8．2016·唐山调研]若x，y满足不等式组
则z＝|x－3|＋2y的最小值为( )
A．4 B. C．6 D．7
答案 B
解析 不等式组表示的可行域如图所示，易知A(0,2)，B(5,3)，C(3,5)，D，目标函数
z＝
当x≥3时，z＝x＋2y－3在D点处取得最小值为，
当x<3时，z＝－x＋2y＋3>，∴zmin＝.
9．2016·安庆二模]如果点P(x，y)在不等式组
所表示的平面区域上，则x2＋(y＋1)2的最大值和最小值分别是( )
A．3， B．9， C．9,2 D．3，
答案 B
解析 如图，先作出点P(x，y)所在的平面区域．x2＋(y＋1)2表示动点P到定点Q(0，－1)距离的平方．当点P在(－1,0)时，|PQ|2＝2，而点Q到直线x－2y＋1＝0的距离的平方为<2；当点P在(0,2)时，离Q最远，|PQ|2＝9.因此x2＋(y＋1)2的最大值为9，最小值为.
10．2017·安徽师大附中调研]设x，y满足约束条件若z＝的最小值为，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 因为z＝＝＝1＋2×，而表示可行域内点(x，y)与点(－1，－1)连线的斜率，由选项可知a>0，作出可行域如下图，由已知可知 的最小值为，即min＝＝＝，所以a＝1，故选A.
11．2017·广东广雅月考]若对任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1] B．1，＋∞)
C．－1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案 B
解析 不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)对任意的x，y∈R恒成立等价于不等式x2＋(y－3)x＋y2－3y＋3a≥0对任意的x，y∈R恒成立，所以Δ＝(y－3)2－4(y2－3y＋3a)＝－3y2＋6y＋9－12a＝－3(y－1)2＋12(1－a)≤0对任意的y∈R恒成立，所以1－a≤0，即a≥1，故选B.
12．2017·雅礼月考]过平面区域内一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB＝α，则当α最小时cosα的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由图可得sin＝?当|OP|最大时，α最小，此时P(－4，－2)?|OP|＝2?sin＝?cosα＝1－2sin2＝，故选C.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．2016·河南联考]设x，y满足约束条件则目标函数z＝－x＋2y的最小值是________．
答案 8
解析 画出满足约束条件的平面区域，如图所示，当平移直线z＝－x＋2y经过直线x＝－2与直线y＝－x＋1的交点(－2,3)时，目标函数z＝－x＋2y取得最小值，且最小值为z＝－1×(－2)＋2×3＝8.
14．2016·河北五校联盟二模]函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为________．
答案
解析 由题意，点A(－2，－1)，故－2m－n＋2＝0，
故2m＋n＝2，
＋＝＋
＝＋＋2＋≥4＋＝，
当且仅当m＝n＝时等号成立．
15．2017·湖北武汉调研]已知M，N是不等式组
所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是________．
答案
解析 作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A(1,1)，B(5,1)，C，D(1,2)．因为M，N是区域内的两个不同的点，所以当M，N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远，因此|MN|的最大值是|BD|＝＝.
16．2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2100x＋900y，线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2016·湖北中学联考](本小题满分10分)设实数x，y满足求z＝＋的取值范围．
解 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(4,2)和(3,1)为顶点的三角形，(2分)
令t＝，则t∈，(4分)
z＝＋＝t＋，z′＝1－，当t∈时，z′<0，函数z＝t＋单调递减；当t∈(1,2]时，z′>0，函数z＝t＋ 单调递增，所以当t＝1时，zmin＝2，当t＝时，zmax＝，故z的取值范围是.(10分)
18．2017·河南当阳月考](本小题满分12分)某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台(x∈N*)，且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
解 依题意，当每批购入x台时，全年需用保管费S＝2000x·k.(2分)
∴全年需用去运输和保管总费用为y＝·400＋2000x·k.(4分)
∵x＝400时，y＝43600，代入上式得k＝，(6分)
∴y＝＋100x≥2＝24000.(9分)
当且仅当＝100x，即x＝120台时，y取最小值24000元．(11分)
∴只要安排每批进货120台，便可使资金够用．(12分)
19．2016·西安质检](本小题满分12分)已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y＝，求＋的最小值．
解 令x－y＝t，x＋3y＝s(s>0，t>0)，
则x＝(s＋3t)，y＝(s－t)，(3分)
由x＋y＝，可得s＋t＝1，(6分)
则＋＝＋＝(s＋t)＝3＋≥3＋2，当且仅当s＝t＝2－时，取得等号，(10分)
则＋的最小值为3＋2.(12分)
20．2016·贵阳月考](本小题满分12分)设实数x，y满足约束条件若目标函数z＝(a2＋2b2)x＋y的最大值为8，求2a＋b的最小值．
解 解方程组得由图象(略)知，目标函数在点(1,4)处取得最大值，即8＝a2＋2b2＋4?＋＝1，(5分)
设(α为参数)，
∴2a＋b＝3sin(α＋φ)，(10分)
故(2a＋b)min＝－3.(12分)
21．2017·湖北重点高中联考](本小题满分12分)设函数f(x)＝22x－7－a4x－1(a>0且a≠1)．
(1)当a＝时，求不等式f(x)<0的解集；
(2)当x∈0,1]时，f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)由于a＝＝2，于是不等式f(x)<0即为22x－7<
2(4x－1)，(2分)
所以2x－7<－(4x－1)，解得x<.(4分)
即原不等式的解集为.(5分)
(2)由22x－7x·lg ＋lg <0.(7分)
设f(x)＝x·lg＋lg ，
则f(x)为一次函数或常数函数，由x∈0,1]时，
f(x)<0恒成立，得
???
?0且a≠1，
∴a∈∪(1,128)．(12分)
22．2017·江西九江十校联考](本小题满分12分)某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”．每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100 g，皮革300 g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50 g，皮革400 g，且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元．现旗下某作坊有橡胶材料2.5 kg，皮革12 kg.
(1)求该作坊可获得的最大利润；
(2)若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%；方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润．若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由．
解 (1)设该作坊生产“飞火流星”足球x个，“团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元．
则即
目标函数z＝40x＋30y(x，y∈N)．(3分)
由图可知，当直线l经过点(16,18)时，z取得最大值1180，即该作坊可获得的最大利润为1180元．(6分)
(2)若作坊选择方案一，则其收益为1180×(1－10%)＝1062元；(8分)
若作坊选择方案二，则作坊生产的足球越多越好，设其生产的足球个数为t，
则t＝x＋y(x，y∈N)，
由(1)知作图分析可知，当x＝16，y＝18时，t取得最大值，此时作坊的收益为(16＋18)×30＝1020元，故选择方案一更划算．(12分)
重组二 函数
测试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．2016·沈阳质检]下列函数中，在其定义域内是增函数且又是奇函数的是( )
A．y＝2x B．y＝2|x|
C．y＝2x－2－x D．y＝2x＋2－x
答案 C
解析 A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，由奇偶函数定义可知C是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y′＝2xln 2＋2－xln 2>0)，故选C.
2．2017·河北百校联考]已知f(x)满足对?x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且x≥0时，f(x)＝ex＋m(m为常数)，则f(－ln 5)的值为( )
A．4 B．－4 C．6 D．－6
答案 B
解析 由题设函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝e0＋m＝1＋m＝0，即m＝－1，所以f(－ln 5)＝－f(ln 5)＝－eln 5＋1＝－5＋1＝－4，故应选B.
A．aC．b答案 A
解析
4．2016·衡水联考]已知奇函数F(x)＝
则F＝( )
A．－ B.
C. D.－
答案 A
解析 因为F(x)＝－F(－x)，log2<0，
所以F＝f＝－F
5．2016·全国卷Ⅰ]函数y＝2x2－e|x|在－2,2]的图象大致为( )
答案 D
解析 ∵f(x)＝y＝2x2－e|x|，
∴f(－x)＝2(－x)2－e|－x|＝2x2－e|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
当x＝±2时，y＝8－e2∈(0,1)，
故排除A、B.
当x∈0,2]时，f(x)＝y＝2x2－ex，
∴f′(x)＝4x－ex＝0有解，
故函数y＝2x2－e|x|在0,2]上不是单调的，故排除C，故选D.
6．2016·浙江高考]设函数f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，则f(x)的最小正周期( )
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
答案 B
解析 由于f(x)＝sin2x＋bsinx＋c＝＋bsinx＋c.当b＝0时，f(x)的最小正周期为π；当b≠0时，f(x)的最小正周期为2π.c的变化会引起f(x)图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.
7．2016·江西联考]已知定义在R上的函数f(x)在1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，则( )
A．f(0)f(2)
C．f(－1)答案 B
解析 因为f(x＋1)是偶函数，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(x)关于直线x＝1对称，又因为f(x)在1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1]上单调递减，所以f(0)>f，f(－2)＝f(4)>f(2)，f(－1)＝f(3)，f(－4)＝f(6)>f(4)，故选B.
8．2017·河南大联考]已知函数f＝
，则f＋f＋…＋f＝( )
A．2017 B．2016 C．4034 D．4032
答案 D
解析 f＝＝2＋，即f(x)图象关于中心对称，故f＋f＋…＋f＝2×2016＝4032.
9．2016·昆明一中模拟]若关于x的不等式≤k(x＋1)的解集为区间a，b]，且b－a≥2，则实数k的取值范围为( )
A．，＋∞) B.
C．(0，] D．(－∞，]
答案 A
解析 令y1＝，y2＝k(x＋1)，其示意图如图，A(1,2)，若k>0，要满足y1≤y2，则b＝3，此时－110．2016·长春质检]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间0，＋∞)上是增函数，若A. B．(0，e) C. D．(e，＋∞)
答案 C
解析 由题可知函数在(－∞，＋∞)上单调递增，所求不等式等价于|f(ln x)|11．2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝( )
A．0 B．m C．2m D．4m
答案 B
解析 因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0,1)对称，所以xi＝0，yi＝×2＝m，故选B.
12．2016·湖北襄阳模拟]若f(x)＝的三个零点为x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B. C. D.
答案 C
解析 令f(x)＝0，可得直线y＝a和函数y＝g(x)＝的图象有三个交点，分别作出直线y＝a和函数y＝g(x)的图象，
由图象可设0由a＝x1＋2＝x2＋＝x3＋，可得x2－x3＝，
即有x2x3＝1，则x1x2x3＝x1∈.故选C.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．2016·河南名校联考]若函数f(x)＝x＋为奇函数，则a＝________.
答案
解析 因为f(x)＝x＋为奇函数，所以由f(－x)＋f(x)＝0，得2(2a－1)＝0，即a＝.
14．2016·天津高考]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
答案
解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．又f(2|a－1|)>f(－)，f(－)＝f()，故－<2|a－1|<，则|a－1|<，所以15．2017·云南师大附中月考]若f(x)是定义在R上的函数，对任意的实数x都有：f(x＋6)≤f(x＋2)＋4和f(x＋4)≥f(x＋2)＋2，且f(1)＝1，则f(2017)＝________.
答案 2017
解析 ∵f(x＋6)≥f(x＋4)＋2≥f(x＋2)＋4，
又f(x＋6)≤f(x＋2)＋4，
∴f(x＋6)＝f(x＋2)＋4，即f(x＋4)＝f(x)＋4，
∴f(2017)＝f(1＋4×504)＝f(1)＋2016＝2017.
16．2017·湖北重点高中联考]设函数f(x)＝
若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
答案 ∪3，＋∞)
解析 ①若函数g(x)＝3x－a在x<1上与x轴有一个交点，则0三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2017·江西玉山月考](本小题满分10分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，其中a>0且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f＝2，求使f(x)>0成立的x的集合．
解 (1)要使函数有意义，则
解得－1即函数f(x)的定义域为(－1,1)．(2分)
∵f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．(5分)
(2)若f＝2，
∴loga－loga＝loga4＝2，
解得a＝2，(7分)
∴f(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
若f(x)>0，则log2(x＋1)>log2(1－x)，
∴x＋1>1－x>0，解得0故不等式的解集为(0,1)．(10分)
18．2016·青海师大附中测试](本小题满分12分)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
(1)求证：f(8)＝3；
(2)求不等式f(x)－f(x－2)＞3的解集．
解 (1)证明：由题意可得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝3f(2)＝3.(4分)
(2)原不等式可化为f(x)＞f(x－2)＋3＝f(x－2)＋f(8)＝f(8x－16)，(6分)
∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
∴(10分)
解得2＜x＜.(12分)
19．2016·福建三校联考](本小题满分12分)对于季节性服装的销售，当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售．
(1)试建立价格p与周数t之间的函数关系式；
(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q与周数t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈0,16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？
解 (1)p＝
(2)设第t周时每件销售利润为L(t)，则L(t)＝p－Q，即
L(t)＝
＝
当t∈0,5]，t∈N时，L(t)单调递增，L(t)max＝L(5)＝9.125；
当t∈(5,10]，t∈N时，L(t)max＝L(6)＝L(10)＝8.5；
当t∈(10,16]，t∈N时，L(t)单调递减，L(t)max＝L(11)＝7.125.(10分)
由9.125>8.5>7.125，知L(t)max＝9.125.
所以第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．(12分)
20．2016·江苏徐州模拟](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过点(－1,0)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)若F(x)＝当mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且函数f(x)为偶函数时，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?
解 (1)因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，且a≠0，所以Δ＝b2－4a＝0，(2分)
所以b2－4(b－1)＝0，得b＝2，则a＝1.
所以f(x)＝x2＋2x＋1.(4分)
(2)因为g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－.
所以当≥2或≤－2，(6分)
即k≥6或k≤－2时，g(x)是单调函数．
即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪6，＋∞)．(8分)
(3)F(m)＋F(n)＞0.
因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以b＝0，则f(x)＝ax2＋1.(9分)
所以F(x)＝
因为mn＜0，不妨设m＞0，所以n＜0，
又因为m＋n＞0，所以m＞－n＞0，所以|m|＞|－n|.
此时F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋1－an2－1＝a(m2－n2)＞0，
所以F(m)＋F(n)＞0.(12分)
21．2017·辽宁六校模拟](本小题满分12分)已知函数f(x)＝为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)记集合E＝{y|y＝f(x)，x∈{－1,1,2}}，λ＝lg2 2＋lg 2·lg 5＋lg 5－，判断λ与E的关系；
(3)当x∈(m>0，n>0)时，若函数f(x)的值域为2－3m,2－3n]，求m，n的值．
解 (1)∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，
即＝，
即2(a＋1)x＝0，x∈R且x≠0，∴a＝－1.(4分)
(2)由(1)可知，f(x)＝，
当x＝±1时，f(x)＝0；
当x＝2时，f(x)＝.
∴E＝，(6分)
而λ＝lg2 2＋lg 2·lg 5＋lg 5－
＝lg2 2＋lg 2(1－lg 2)＋1－lg 2－＝，
∴λ∈E.(8分)
(3)∵f(x)＝＝1－，x∈，
∴f(x)在上单调递增，
∴∴
即(10分)
∴m，n是方程x2－3x＋1＝0的两个根，
又由题意可知<，且m>0，n>0，∴m>n.
∴m＝，n＝.(12分)
22．2016·宁波十校联考](本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在区间A＝m，n](m已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a，b∈R)．
(1)若b＝0，a＝1，g(x)＝|f(x)|是“可等域函数”，求函数g(x)的“可等域区间”；
(2)若区间1，a＋1]为f(x)的“可等域区间”，求a、b的值．
解 (1) b＝0，a＝1，g(x)＝|x2－2x|是“可等域函数”，
∵g(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|≥0，∴n>m≥0，
结合图象，由g(x)＝x，得x＝0,1,3，(2分)
函数g(x)的“可等域区间”为0,1]，0,3]，(4分)
当1≤m≤n≤2时，g(x)≤1，不符合要求．(5分)
(2)f(x)＝x2－2ax＋b＝(x－a)2＋b－a2，
因为区间1，a＋1]为f(x)的“可等域区间”，所以a＋1>1，即a>0.(6分)
当0当1当a>2时，则得 (12分)
重组五 三角函数与解三角形
测试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．2016·长春质检]已知tanα＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cosα＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由三角函数定义sinα＝，cosα＝，故sin2α＋cosα＝2sinαcosα＋cosα＝.故选C.
2．2016·西安八校联考]已知函数f(x)＝sin(x∈R)，为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，只需将y＝f(x)的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
答案 A
解析 ∵f(x)＝sin可变形为
f(x)＝cos＝cos，
∴平移函数g(x)＝cos2x的图象，向右平移个单位长度，即可得到f(x)的图象．
为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，只需将y＝f(x)的图象向左平移个单位．故选A.
3．2016·天津高考]在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.
4．2016·江南十校联考]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，且对?x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)的一个对称中心坐标是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)的对称中心为，故选A.
5．2017·重庆检测]已知α是第四象限角，且sinα＋cosα＝，则tan＝( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 解法一：因为sinα＋cosα＝，α是第四象限角，所以sinα＝－，cosα＝，则tan＝＝＝＝－.
解法二：因为α是第四象限角，sinα＋cosα＝，
则cosα＝，是第二、四象限角，tan＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝－.
6. 2016·安庆二模]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<，如图所示，则f(x)的递增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 B
解析 解法一：由图象可知A＝2，T＝－＝，
所以T＝π，故ω＝2.
由f＝－2，得φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝－.
所以f(x)＝2sin.
由2x－∈(k∈Z)，
得x∈(k∈Z)．
解法二：T＝－＝，
所以T＝π，－＝－＝－，
＋＝＋＝，
所以f(x)的递增区间是(k∈Z)．
7．2016·北京高考]将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则( )
A．t＝，s的最小值为 B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为 D．t＝，s的最小值为
答案 A
解析 因为点P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin＝.又P′在函数y＝sin2x的图象上，所以＝sin，则2＝2kπ＋或2＝2kπ＋，k∈Z，得s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z.又s>0，故s的最小值为.故选A.
8．2017·四川绵阳模拟]已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sin2θ＝2sin2β，则( )
A．cosβ＝2cosα B．cos2β＝2cos2α
C．cos2β＋2cos2α＝0 D．cos2β＝2cos2α
答案 D
解析 sinθ＋cosθ＝2sinα?1＋sin2θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2α，1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)，cos2β＝2cos2α，故选D.
9．2016·山西质监]函数f(x)＝sin(2x＋φ)图象关于直线x＝对称，且当x1，x2∈，x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A. B. C. D．1
答案 C
解析 由题意2·＋φ＝kπ＋?φ＝kπ＋，k∈Z，
∵|φ|<，所以φ＝，
∴f(x)＝sin，x1＋x2＝2×＝，
所以f(x1＋x2)＝sin＝.故选C.
10．2017·黑龙江、吉林八校期末]已知△ABC三边a，b，c上的高分别为，，1，则cosA等于( )
A. B．－ C．－ D．－
答案 C
解析 设△ABC面积为S?a＝4S，b＝2S，c＝2S?cosA＝＝－，故选C.
11.2017·河北唐山模拟]已知将函数f(x)＝asin2x＋bcos2x的图象向右平移个单位长度后所得到的图象关于直线x＝对称，则的值为( )
A. B．1 C. D．2
答案 C
解析 f(x)＝asin2x＋bcos2x＝sin(2x＋φ)，其中tanφ＝，将其图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为f＝sin2x－＋φ，其对称轴为2x－＋φ＝kπ＋，k∈Z，由题意知其中一解为x＝，则φ＝kπ＋，k∈Z，即tanφ＝＝，故选C.
12．2016·长春质检]在△ABC中，D是BC中点，已知∠BAD＋∠C＝90°，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
答案 D
解析 如图，由题可知，∠BAD＋∠C＝∠B＋∠CAD＝90°，在△ABD中，＝＝，在△ADC中，＝＝，所以＝，即sin2B＝sin2C，所以B＝C或2B＋2C＝π，则此三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．2016·浙江高考]已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＋b＝________.
答案 ＋1
解析 由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1，所以A＝，b＝1，即A＋b＝＋1.
14．2016·衡水大联考]已知sin＝，则sin
＝________.
答案
解析 sin＝sin
＝sin＝cos
＝1－2sin2＝1－2×2＝.
15．2016·贵阳一中月考]在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知cosA＝cosC，b＋c＝2＋，cosB＝，则△ABC的面积是________．
答案
解析 由cosA＝cosC，得acosA＝ccosC，结合正弦定理有sinAcosA＝sinCcosC，即sin2A＝sin2C，∴A＝C或A＋C＝，又因为cosB＝≠0，∴A＝C，即a＝c，即△ABC为等腰三角形；根据余弦定理，cosB＝＝，结合a＝c，b＋c＝2＋，有b＝c，c＝2＝a，
∴S△ABC＝acsinB＝2sinB＝2＝.
16．2017·湖北四地七校联考]三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A、C、F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G三点也共线，问岛峰的高度AH＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)
答案 1255
解析 如图，由题意BC＝DE＝5步，设AH＝h步，BF＝123步，DG＝127步，＝，HF＝ 步，同理HG＝步，由题意得(HG－DG)－(HF－BF)＝1000步，即－－4＝1000，h＝1255.
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2017·福建福州模拟](本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间－π，π]上的图象．
解 (1)f(x)＝sin2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)(cos2ωx＋sin2ωx)＋1＝sin2ωx＋cos2ωx＋1＝2sin＋1.(2分)
∵点是函数f(x)图象的一个对称中心，
∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋，k∈Z.
∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝，∴f(x)＝2sin＋1.(4分)
由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝.(5分)
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1，当x∈－π，π]时，列表如下：
x＋
－
－
0
π
x
－π
－
－
π
f(x)
0
－1
1
3
1
0
(7分)
则函数f(x)在区间－π，π]上的图象如图所示．
(10分)
18．2016·济南质检](本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知2cos2＋cosC＝1.
(1)求角C的值；
(2)若c＝2，且△ABC的面积为，求a，b.
解 (1)2cos2＋(cosB－sinB)cosC＝1，故cosA＋cosBcosC－sinBcosC＝0，(2分)
则－cos(B＋C)＋cosBcosC－sinBcosC＝0，(4分)
展开得：sinBsinC－sinBcosC＝0，
∵sinB≠0，即tanC＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.(6分)
(2)三角形面积为absin＝，故ab＝4.(8分)
由余弦定理得4＝(a＋b)2－2ab－ab，所以a＋b＝4，(10分)
故a＝b＝2.(12分)
19．2016·云南师大附中月考](本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(c－2b)cos(π－A)＝acosC.
(1)求解A的值；
(2)若角B＝，BC边上的中线AM＝，求△ABC的面积．
解 (1)由(c－2b)cos(π－A)＝acosC，
得2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.(4分)
又sinB≠0，所以cosA＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.(6分)
(2)由B＝，A＝，知a＝b.
在△ACM中，由余弦定理得cos＝＝－，(10分)
求得b＝2，
所以△ABC的面积S△ABC＝×2×2×＝.(12分)
20．2017·河北武邑二调](本小题满分12分) 某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB为函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈0，3]的图象，且最高点为S(1,2)，折线段AOD为固定线路，其中AO＝，OD＝4，折线段BCD为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD＝120°.
(1)求A，ω，φ的值；
(2)若∠CBD＝θ，试用θ表示折线段道路BCD的长，并求折线段道路BCD长度的最大值．
解 (1)由已知A＝2，(1分)
且有2sin(ω·0＋φ)＝，即sinφ＝，由|φ|<，得φ＝.(3分)
又∵最高点为(1,2)，
∴2sin＝2，解得ω＝，(5分)
∴y＝2sin.(6分)
(2)∵B点的横坐标为3，代入函数解析式，得
yB＝2sin＝1，
∴BD＝＝.(8分)
在△BCD中，设∠CBD＝θ，则∠BDC＝180°－120°－θ＝60°－θ.
由正弦定理，有＝＝，
∴CD＝sinθ，BC＝sin(60°－θ)，(9分)
∴BC＋CD＝sinθ＋sin(60°－θ)]
＝
＝sin，
∴当且仅当θ＝时，折线段BCD最长，最长为千米．(12分)
21．2016·北京东城区模拟](本小题满分12分)在△ABC中，BC＝2，AC＝2，且cos(A＋B)＝－.
(1)求AB的长度；
(2)若f(x)＝sin(2x＋C)，求y＝f(x)与直线y＝相邻交点间的最小距离．
解 (1)∵cosC＝cosπ－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝，且C∈(0，π)
∴C＝45°.(2分)
∵BC＝2，AC＝2，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC
＝(2)2＋22－8cos45°＝4.
∴AB＝2.(4分)
(2)由f(x)＝sin＝，
解得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋，k∈Z，(6分)
解得x1＝k1π＋或x2＝k2π＋，k1，k2∈Z.(8分)
因为|x1－x2|＝≥，
当k1＝k2时取等号，(10分)
所以当f(x)＝时，相邻两交点间最小的距离为.(12分)
22. 2016·安庆二模](本小题满分12分)如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC.
(1)若∠DAC＝30°，求角B的大小；
(2)若BD＝2DC，且AD＝2，求DC的长．
解 (1)在△ADC中，根据正弦定理，
有＝.
因为AC＝DC，所以sin∠ADC＝sin∠DAC＝.(2分)
又∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋60°>60°，
所以∠ADC＝120°.(4分)
于是∠C＝180°－120°－30°＝30°，所以∠B＝60°.(6分)
(2)设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC＝x.
于是sinB＝＝，cosB＝，AB＝x.(8分)
在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB，
即(2)2＝6x2＋4x2－2×x×2x×＝2x2，(10分)
得x＝2.
故DC＝2.(12分)
重组八 数列
测试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．2016·宁夏银川模拟]已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2016＝( )
A．－1 B. C．1 D．2
答案 A
解析 由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，于是归纳可得a3n－2＝，a3n－1＝2，a3n＝－1，因此a2016＝a3×672＝－1，故选A.
2．2017·辽宁丹东测试]等差数列{an}中，公差d≠0，若lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，a5＝10，则{an}的前5项和S5＝( )
A．40 B．35 C．30 D．25
答案 C
解析 lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，2lg a2＝lg a1＋lg a4?lg a＝lg a1a4?a＝a1a4?d2＝a1d，因为d≠0，所以a1＝d，a5＝a1＋4d＝10，a1＝2，d＝2，S5＝5a1＋d＝30.
3．2017·江西抚州联考]设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4＝( )
A．63或126 B．252 C．120 D．63
答案 C
解析 由<1，得an＋14．2017·湖北重点中学联考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.
5．2016·甘肃模拟]在等比数列{an}中，公比q＝2，前87项和S87＝140，则a3＋a6＋a9＋…＋a87等于( )
A. B．60 C．80 D．160
答案 C
解析 解法一：a3＋a6＋a9＋…＋a87＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q84)＝a1q2×＝×＝×140＝80.故选C.
解法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a87，因为b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝140，所以b1(1＋q＋q2)＝140，而1＋q＋q2＝7，所以b1＝20，b3＝q2b1＝4×20＝80.故选C.
6．2016·沈阳质检]设等差数列{an}满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn>0最大的自然数n是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 A
解析 解出{an}的公差d＝＝－2，于是{an}的通项为an＝7－2(n－2)＝－2n＋11，可见{an}是递减数列，且a5>0>a6，a5＋a6＝0，于是S9＝·9>0，S10＝·10＝0，S11＝·11<0，从而该题选A.
7．2016·河北五校联考]已知数列{an}满足···…·＝(n∈N*)，则a10＝( )
A．e26 B．e29 C．e32 D．e35
答案 C
解析 解法一：由题意可知，等式左边各个因式的分母成等差数列{3n－1}，右边为，又因为左边是连乘式，因此各个因式的分子与后一个因式的分母相同，因此ln an对应的下一个因式的分母是3n＋2，即ln an＝3n＋2，所以an＝e3n＋2，所以a10＝e32，故选C.
解法二：∵··…·＝，①
∴··…·＝(n≥2)．②
由①②可知＝，∴ln an＝3n＋2.
又ln a1＝5(适合上式)，
∴ln an＝3n＋2，即an＝e3n＋2，
∴a10＝e32，故选C.
8．2016·太原一模]等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，前n项和为Sn，下列结论正确的是( )
A．?n0∈N*，an0＋an0＋2＝2an0＋1
B．?n∈N*，an·an＋1≤an＋2
C．?n∈N*，SnD．?n0∈N*，an0＋an0＋3＝an0＋1＋an0＋2
答案 C
解析 an＝2n－1，Sn＝＝2n－1.
A项，an0＋an0＋2＝2n0－1＋2n0＋1，2an0＋1＝2n0＋1，
2n0－1＋2n0＋1＝2n0＋1?2n0－1＝0?n0∈?，∴A错；
B项，an·an＋1＝2n－1·2n＝22n－1，an＋2＝2n＋1，构造函数f(x)＝2x，易知f(x)在R上单调递增，当x＝2时，f(2x－1)＝f(x＋1)，∴R上不能保证f(2x－1)≤f(x＋1)恒成立，∴B错；
C项，SnD项，an0＋an0＋3＝2n0－1＋2n0＋2，an0＋1＋an0＋2＝2n0＋2n0＋1，若2n0－1＋2n0＋2＝2n0＋2n0＋1?＋4＝1＋2?＝3，显然不成立，故D项错．故选C.
9．2016·贵阳月考]设数列{an}的前n项和为Sn，若n>1时，2an＝an＋1＋an－1，且S31)的正整数n的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 A
解析 ∵n>1时，2an＝an＋1＋an－1，∴数列{an}是等差数列，
又因为S30，
∴S9＝9a5<0，S8＝＝4(a4＋a5)>0，
∴满足Sn－1Sn<0的正整数n的值为9，故选A.
10．2017·江西七校联考]若数列{an}满足－＝1，且a1＝5，则数列{an}的前100项中，能被5整除的项数为( )
A．42 B．40 C．30 D．20
答案 B
解析 由－＝－＝1，得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即＝n，得an＝(2n＋3)n，要使{an}能被5整除，只需满足n被5整除，在前100项中有n＝5,10,15，…，100，共20项，或2n＋3能被5整除，在前100项中有n＝1,6,11,16，…，91,96，共20项，故总共40项，故选B.
11．2017·湖北襄阳四校期末]我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，，，，…，.①
第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an.
则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知所得新数列为1×，×，×，…，×，所以a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝
＝
＝＝，故选C.
12．2016·浙江高考]如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
答案 A
解析 由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．2016·沈阳质检]设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋3，则S4＝________.
答案 66
解析 依题意an＝2Sn－1＋3(n≥2)，与原式作差得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，n≥2，可见，数列{an}从第二项起是公比为3的等比数列，a2＝5，所以S4＝1＋＝66.故答案为66.
14．2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
答案 64
解析 设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.
15．2016·安庆二模]已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且an＝(n∈N*)．若不等式≤对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为________．
答案 9
解析 an＝?an＝
＝
?a＝(2n－1)an?an＝2n－1，n∈N*.
由≤对任意n∈N*恒成立，
可得λ≤?λ≤2n－＋15.
因为2n－＋15在n≥1时单调递增，当n＝1时其最小为9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.
16．2016·江南十校联考]已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，若存在唯一的正整数n使得不等式a－tan－2t2≤0成立，则实数t的取值范围为____________________．
答案 －2解析 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，
整理得＝，又a1＝1，故an＝n，不等式a－tan－2t2≤0可化为n2－tn－2t2≤0.
设f(n)＝n2－tn－2t2，由于f(0)＝－2t2≤0，由题意可得
解得－2三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2016·唐山一中模拟](本小题满分10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－7，S8＝0.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)数列{bn}满足b1＝，bnbn＋1＝2an，求数列{bn}的通项公式．
解 (1)由S8＝0，得a1＋a8＝－7＋a8＝0，
∴a8＝7，d＝＝2，(2分)
所以{an}的前n项和为
Sn＝na1＋d＝－7n＋n(n－1)＝n2－8n.(4分)
(2)由题设得bnbn＋1＝2an，bn＋1bn＋2＝2an＋1，
两式相除得bn＋2＝4bn，(6分)
又b1b2＝2a1＝，b1＝，所以b2＝＝2b1，
所以bn＋1＝2bn，即{bn}是以为首项，以2为公比的等比数列，(8分)
故bn＝2n－5.(10分)
18．2016·全国卷Ⅱ](本小题满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝lg an]，其中x]表示不超过x的最大整数，如0.9]＝0，lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1000项和．
解 (1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.(2分)
所以{an}的通项公式为an＝n.(4分)
b1＝lg 1]＝0，b11＝lg 11]＝1，b101＝lg 101]＝2.(8分)
(2)因为bn＝(10分)
所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.(12分)
19．2016·长春质检](本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝511,4an＝an－1－3(n≥2)．
(1)求证：数列{an＋1}为等比数列；
(2)令bn＝|log2(an＋1)|，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)证明：由an＝an－1－知an＋1＝(an－1＋1)，(2分)
由an＋1≠0知＝，则数列{an＋1}是以512为首项，为公比的等比数列．(4分)
(2)由(1)知log2(an＋1)＝11－2n，设{log2(an＋1)}的前n项和为Tn，Tn＝10n－n2.(6分)
bn＝|log2(an＋1)|，
当n≤5时，log2(an＋1)>0，Sn＝Tn＝10n－n2，(8分)
当n≥6时，
Sn＝T5－log2(a6－1)－…－log2(an＋1)
＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－10n＋50.(10分)
综上得Sn＝(12分)
20．2016·天津河西区质检](本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝设数列{cn}的前n项和Tn，求Tn.
解 (1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则
由a1＝3，b1＝1及得(2分)
所以an＝2n＋1，bn＝2n－1. (4分)
(2)由(1)可得，Sn＝n(n＋2)，
则cn＝
即cn＝(6分)
当n为奇数时，
Tn＝＋(21＋23＋…＋2n－2)
当n为偶数时，
Tn＝＋(21＋23＋…＋2n－1)(10分)
21．2017·衡水中学模拟](本小题满分12分)中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式(注：2016年为第一年)；
(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？(说明：0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)
解 (1)当n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，
∴an＝45.5＋0.5(n－1)＝45＋0.5n，(3分)
当n≥11时，数列{an}是以公比为0.99的等比数列．
又∵a10＝50，∴an＝50×0.99n－10，(5分)
因此，新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万)的表达式为an＝(6分)
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式，得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈972.5万，
∴新政策实施到2035年人口均值为≈48.63万，由<49，故到2035年不需要调整政策．(12分)
22．2016·西安八校联考](本小题满分12分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式an；
(3)设bn＝n(n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)证明：由已知可得＝，
即＝＋1，即－＝1.
∴数列是公差为1的等差数列．(4分)
(2)由(1)知＝＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝.(8分)
(3)由(2)知bn＝n·2n，
Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，
相减得：－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.(12分)
重组六 平面向量
测试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．2016·江南十校联考]设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则( )
A.＝－ B.＝－
C.＝－ D.＝－
答案 D
解析 ＝－＝＋－＝－－＝－，故选D.
2．2016·衡水高三大联考]平面向量a与b的夹角为30°，a＝(1,0)，|b|＝，则|a－b|＝( )
A．2 B．1 C. D.
答案 B
解析 因为|a|＝1，所以|a－b|＝
＝＝ ＝1.
故选B.
3．2016·北京高考]设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.
4．2017·河北武邑期末]在边长为1的正△ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近于点B)，则·等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因＝＋，＝＋，故·＝·＝2＋2＋·＝1＋＋1×1×＝，故应选C.
5．2017·江西九江十校联考]已知|a|＝2，(2a－b)⊥a，则b在a方向上的投影为( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
答案 D
解析 由(2a－b)⊥a知(2a－b)·a＝0，即2a2－a·b＝0，又|a|＝2，所以2|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8－2|b|cos〈a，b〉＝0，得|b|cos〈a，b〉＝4，即b在a方向上的投影为4，故选D.
6．2017·吉林长春质检]△ABC是边长为1的等边三角形，已知向量a，b，满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝2 B．a⊥b
C．a·b＝ D.⊥
答案 D
解析 由已知，△ABC的边长为1，||＝|2a|＝1，所以|a|＝，＝＋，则||＝|b|＝1，又∵·＝2a·(2a＋b)＝4a2＋2a·b＝1＋2××1×cos〈a·b〉＝1×1×cos60°，∴a·b＝，∴cos〈a·b〉＝－，∴〈a·b〉＝π.·＝·b＝a·b＋b2＝－＋＝0，∴⊥，故选D.
答案 B
解析 设线段A1A2016的中点为A，由题意，点A也是线段A2A2015，A3A2014，…，A1008A1009的中点．
8．2016·山西考前质监]已知a，b是单位向量，且a·b＝－，若平面向量p满足p·a＝p·b＝，则|p|＝( )
A. B．1 C. D．2
答案 B
解析 ∵a·b＝－，
∴|a||b|cos〈a，b〉＝－.
∵a，b是单位向量，
∴cos〈a，b〉＝－，
∵〈a，b〉∈0，π]，∴〈a，b〉＝.
∵p·a＝p·b，∴p·(a－b)＝0，∴p⊥(a－b)．
如右图知，|p|＝1.故选B.
9．2016·天津高考]已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－ B. C. D.
答案 B
解析 如图，设＝m，＝n.根据已知得，＝m，所以＝＋＝m＋n，＝m－n，·＝·(m－n)＝m2－n2－m·n＝－－＝.
10．2016·安庆二模]已知向量、、满足＝＋，||＝2，||＝1，E、F分别是线段BC、CD的中点．若·＝－，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ·＝·
＝·－2－2＝－.
由||＝||＝2，||＝||＝1，
可得cos〈，〉＝，
所以〈，〉＝，从而〈，〉＝.
11．2016·长沙一中月考]△ABC中，BC＝5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且·＝5，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述均不是
答案 B
解析 取BC中点M，·＝(－)·＝·－(＋)(－)＝(2－2)＝5，
则2－2＝30，∴b2－c2＝30，c2－b2＝－30.
cosB＝＝<0，故B为钝角．
12．2017·东城测试]已知·＝0，||＝1，||＝2，·＝0，则||的最大值为( )
A. B．2 C. D．2
答案 C
解析 由·＝0可知⊥.故以B为坐标原点，分别以BA，BC所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则由题意，可得B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)．
设D(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(－x,2－y)．
由·＝0，可得(x－1)(－x)＋y(2－y)＝0，整理得2＋(y－1)2＝.
所以点D在以E为圆心，半径r＝的圆上．
因为||表示B，D两点间的距离，
而||＝ ＝.
所以||的最大值为||＋r＝＋＝.故选C.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．2016·全国卷Ⅰ]设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
答案 －2
解析 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，则m＋2＝0，所以m＝－2.
14．2016·广西一模]已知向量a，b的夹角为，|a|＝，
|b|＝2，则a·(a－2b)＝________.
答案 6
解析 a·b＝×2×cos＝－2，a2＝|a|2＝2，
∴a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2＋2×2＝6.
15．2017·湖南长沙模拟]M、N分别为双曲线－＝1左、右两支上的点，设v是平行于x轴的单位向量，则|·v|的最小值为________．
答案 4
解析 因为·v＝||·|v|cosθ＝||cosθ，即求在v方向上的投影的绝对值的最小值，因为||≥4，|cosθ|≤1，且v是平行于x轴的单位向量，所以|·v|的最小值为4.
16．2016·江苏高考] 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
答案
解析 解法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E，F，＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)，＝，＝，＝，＝，由·＝b2－a2＋c2＝4，·＝－a2＋＝－1，解得b2＋c2＝，a2＝，则·＝(b2＋c2)－a2＝.
解法二：设＝a，＝b，则·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝，则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2017·重庆月考](本小题满分10分)已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解 (1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2，可得
∴或(3分)
∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(5分)
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，
∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，所以a·b＝－，(8分)
∴cosθ＝＝－1.
∵θ∈0，π]，
∴θ＝π.(10分)
18．2016·江苏大联考](本小题满分12分)已知点C的坐标为(0,1)，A，B是抛物线y＝x2上不同于原点O的相异的两个动点，且·＝0.
(1)求证：∥；
(2)若＝λ(λ∈R)，且·＝0，试求点M的轨迹方程．
解 (1)证明：设A(x1，x)，B(x2，x)，x1≠0，x2≠0，x1≠x2，
因为·＝0，所以x1x2＋xx＝0.
又x1≠0，x2≠0，所以x1x2＝－1.(4分)
因为＝(－x1,1－x)，＝(－x2,1－x)，
且(－x1)(1－x)－(－x2)(1－x)＝(x2－x1)＋x1x2(x2－x1)＝(x2－x1)－(x2－x1)＝0，
所以∥.(8分)
(2)由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠OMC＝90°，所以点M在以OC为直径的圆上运动，其运动轨迹方程为x2＋2＝(y≠0)．(12分)
19．2016·四川测试] (本小题满分12分)如图所示，在△ABC的边AB、AC上分别有点M、N，且AB＝3AM，AC＝4AN，BN与CM的交点是O，直线AO与BC交于点D.设＝m，＝n.
(1)用m、n表示 ；
(2)设＝λ，求λ的值．
解 (1)由B、O、N三点共线可设＝x＋(1－x).(2分)
∵＝3，＝4，∴＝3x＋.(4分)
∵C、O、M三点共线，
∴3x＋＝1，即x＝，(6分)
∴＝＋＝＋＝m＋n.(8分)
(2)由(1)知＝λ＝＋.
∵B、C、D三点共线，
∴＋＝1，即λ＝.(12分)
20．2016·华师大附中测试](本小题满分12分)已知向量m＝(sinx，sinx)，n＝(cosx，－sinx)，且f(x)＝2m·n＋2.
(1)求函数f(x)的最大值，并求此时x的取值；
(2)函数f(x)图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最高点分别记为P，Q，求·的值．
解 (1)f(x)＝2m·n＋2＝2sinxcosx－2sin2x＋2＝sin2x－(1－cos2x)＋2＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1，(4分)
故当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)max＝3.(6分)
(2)由f(0)＝2，知P(0,2)，(7分)
而在(1)中取k＝0，得Q，(8分)
∴＝(0,2)，＝，(10分)
∴·＝0×＋2×3＝6.(12分)
21．2016·宁波十校联考](本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量m＝(5a－4c,4b)与向量n＝(cosC，cosB)共线．
(1)求cosB；
(2)若b＝，c＝5，a解 (1)∵m＝(5a－4c,4b)与n＝(cosC，cosB)共线，
∴＝＝，(4分)
∴4sinBcosC＋4cosBsinC＝5sinAcosB，
∴4sin(B＋C)＝4sinA＝5sinAcosB.
∵在三角形△ABC中，sinA≠0，
∴cosB＝.(6分)
(2)∵b＝，c＝5，a∴a2＋c2－2accosB＝b2，即a2＋25－2a·5·＝10，
解得a＝3或a＝5(舍)．(8分)
∵＝2，∴＝＋，
∴2＝2＋2＋2···＝c2＋a2＋2···a·ccosB.(10分)
将a＝3和c＝5代入，得2＝，
∴BD＝.(12分)
22．2016·黄冈质检](本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，已知点A(a，a)，B(2,3)，C(3,2)．
(1)若向量与的夹角为钝角，求实数a的取值范围；
(2)若a＝1，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)内，＝m＋n(m，n∈R)，求m－n的最大值．
解 (1)由＝(2－a,3－a)，
＝(3－a,2－a)，(2分)
(4分)
得·＝2(a2－5a＋6)<0，则2又当a＝时，与的夹角为π，
故a∈∪.(6分)
(2)∵＝m＋n，(x，y)＝m(1,2)＋n(2,1)，
即x＝m＋2n，y＝2m＋n.
解得m－n＝y－x.(9分)
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.(12分)
重组十 大题冲关——数列与不等式的综合问题
测试时间：120分钟 满分：150分
解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1．2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q(q≠1)，且b2＋S2＝12，q＝.
(1)求an与bn；
(2)证明：≤＋＋…＋<.
解 (1)设{an}的公差为d，因为
所以
解得q＝3或q＝－4(舍)，d＝3.(4分)
故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1.(6分)
(2)证明：因为Sn＝，(8分)
所以＝＝.(10分)
故＋＋…＋＝
＝.(12分)
因为n≥1，所以0<≤，于是≤1－<1，
所以≤<，
即≤＋＋…＋<.(15分)
2．2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记Sn＝＋＋…＋，若Sn<100，求最大正整数n.
解 (1)证明：因为＝＋，
所以－1＝－＝.
又因为－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)，
所以数列为等比数列，且首项为，公比为.(7分)
(2)由(1)，可得－1＝×n－1，
所以＝2×n＋1.
所以Sn＝＋＋…＋＝n＋2
＝n＋2×＝n＋1－，
若Sn<100，则n＋1－<100，所以最大正整数n的值为99.(15分)
3．2016·新乡许昌二调](本小题满分15分)已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝2，b1＝3，a3＋b5＝56，a5＋b3＝26.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若－x2＋3x≤对任意n∈N*恒成立，求实数x的取值范围．
解 (1)由题意，
将a1＝2，b1＝3代入，得
消d得2q4－q2－28＝0，∴(2q2＋7)(q2－4)＝0，
∵{bn}是各项都为正数的等比数列，
∴q＝2，所以d＝3，(4分)
∴an＝3n－1，bn＝3·2n－1.(8分)
(2)记cn＝，
cn＋1－cn＝3·2n－1·>0，
所以cn最小值为c1＝1，(12分)
因为－x2＋3x≤对任意n∈N*恒成立，
所以－x2＋3x≤2，解得x≥2或x≤1，
所以x∈(－∞，1]∪2，＋∞)．(15分)
4．2016·江苏联考](本小题满分15分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，bn>0(n∈N*)，且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3＋2成等比数列．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设cn＝abn，数列{cn}的前n项和为Sn，若>an＋t对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)．
由题意，得解得d＝q＝3.(3分)
∴an＝3n－2，bn＝2·3n－1.(5分)
(2)cn＝3·bn－2＝2·3n－2.(7分)
∴Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝2(31＋32＋…＋3n)－2n
＝3n＋1－2n－3.(10分)
∴＝＝3n＋1.(11分)
∴3n＋1>3n－2＋t恒成立，即t<(3n－3n＋3)min.(12分)
令f(n)＝3n－3n＋3，则f(n＋1)－f(n)＝2·3n－3>0，所以f(n)单调递增．(14分)
故t5．2017·陕西西安模拟](本小题满分15分)设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*)．
(1)求证：{Sn－3n}是等比数列；
(2)若{an}为递增数列，求a1的取值范围．
解 (1)证明：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1＝2Sn＋3n，所以＝＝＝2，且a1－3≠0，所以{Sn－3n}是以a1－3为首项，2为公比的等比数列．(7分)
(2)由(1)得，Sn－3n＝(a1－3)×2n－1，所以Sn＝(a1－3)×2n－1＋3n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a1－3)×2n－1＋3n－(a1－3)×2n－2－3n－1＝(a1－3)×2n－2＋2×3n－1.(10分)
若{an}为递增数列，则an＋1>an，对n∈N*恒成立．
当n≥2时，(a1－3)×2n－1＋2×3n>(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，
则2n－2>0对n≥2，n∈N*恒成立，则a1>－9.
又a2＝a1＋3>a1，
所以a1的取值范围为(－9,3)∪(3，＋∞)．(15分)
6．2016·德州一模](本小题满分15分)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn·2＝(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，写出Tn关于n的表达式，并求满足Tn>时n的取值范围．
解 (1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n，
所以a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n－1(n≥2)．
两式相减得an＝(n≥2)，(4分)
又a1＝1满足上式，∴an＝(n∈N*)．(5分)
(2)由(1)知bn＝，(6分)
Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋.
两式相减得
Tn＝＋2－，
Tn＝＋2×－，(9分)
Tn＝1＋4－＝3－，(10分)
由Tn－Tn－1＝3－－＝得，
当n≥2时，Tn－Tn－1>0，所以数列{Tn}单调递增．(12分)
T4＝3－＝<，
又T5＝3－＝>＝，
所以n≥5时，Tn≥T5>，
故所求n≥5，n∈N*.(15分)
7．2016·吉林二模](本小题满分20分)已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn＋an＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.
解 (1)因为2Sn＋an＝1，所以2Sn＋1＋an＋1＝1.
两式相减可得2an＋1＋an＋1－an＝0，即3an＋1＝an，
即＝，(4分)
又2S1＋a1＝1，∴a1＝，
所以数列{an}是公比为的等比数列．(6分)
故an＝·n－1＝n，
数列{an}的通项公式为an＝n.(8分)
(2)证明：∵bn＝，
∴bn＝＝－.(11分)
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋－＋…＋
＝－<.(18分)
∴Tn<.(20分)
8．2016·浙江高考](本小题满分20分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
解 (1)由题意得则(2分)
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，(6分)
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.(8分)
(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.(12分)
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.(14分)
当n≥3时，Tn＝3＋－＝，(18分)
所以Tn＝(20分)
9．2016·金丽衢十二校联考](本小题满分20分)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝can＋(c为正实数，n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn.
(1)证明：当c＝2时，2n＋1－2≤Sn≤3n－1(n∈N*)；
(2)求实数c的取值范围，使得数列{an}是单调递减数列．
解 (1)证明：易得an>0(n∈N*)，由an＋1＝2an＋，得＝2＋>2，所以{an}是递增数列，
从而有an≥2，故≤2＋<3，(2分)
由此可得an＋1<3an<32an－1<…<3na1＝2·3n，
所以Sn≤2(1＋3＋32＋…＋3n－1)＝3n－1，(4分)
又有an＋1>2an>22an－1>…>2na1＝2n＋1，
所以Sn≥2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2，(6分)
所以，当c＝2时，2n＋1－2≤Sn≤3n－1(n∈N*)成立．(8分)
(2)由a1＝2可得a2＝2c＋<2，解得c<，(10分)
若数列{an}是单调递减数列，则＝c＋<1，
得an>，记t＝，①
又an＋1－t＝(an－t)，因为an－t(n∈N*)均为正数，所以c－>0，即an>.②
由①an>0(n∈N*)及c，t>0可知an＋1－t进而可得 an由②③两式可得，对任意的自然数n，因为0解得c>.(14分)
下面证明：当当c>时，由an＋1＝can＋及an＝can－1＋(n≥2)，
两式相减得an＋1－an＝(an－an－1).
由an＋1＝can＋，有an≥2成立，则an－1an>4c>，即c>.
又当c<时，a2－a1<0成立，所以对任意的自然数n，an＋1－an<0都成立．
综上所述，实数c的取值范围为重组十一 立体几何
测试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．2016·浙江高考]已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
答案 C
解析 因为α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.
2．2016·济南调研]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A．28＋6 B．40 C. D．30＋6
答案 C
解析 由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4,5，三棱锥的一个后侧面垂直底面，并且高为4，所以棱锥的体积为××5×4×4＝.
3．2016·云师大附中月考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. B. C．2 D．2
答案 D
解析 由题意知该几何体为如图放置的正四面体，其棱长为，故其表面积为×××sin×4＝2，故选D.
4．2017·河北衡水中学一调]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为( )
A．8 B．12 C．18 D．24
答案 B
解析 由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为V1＝××4×3×2＝4，三棱柱的体积为V2＝2V1＝2×4＝8，所以该几何体的体积为V＝12，故选B.
5．2017·广西梧州模拟]若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则此几何体的表面积是( )
A．4π＋π B．6π＋2π
C．6π＋π D．8π＋π
答案 C
解析 圆柱的侧面积为S1＝2π×1×2＝4π，半球的表面积为S2＝2π×12＝2π，圆锥的侧面积为S3＝π×1×＝π，所以几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝6π＋π，故选C.
6．2017·安徽师大期末]某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
A．4 B．2 C．4 D．8
答案 D
解析 根据三视图还原可知该几何体为长、宽、高分别为3,2,2的长方体，被一个平面截去一部分剩余，如图所示，所以该几何体的体积为(3×2×2)×＝8，故选D.
7．2017·吉林长春质检]某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是( )
A．4＋π B．6＋3π C．6＋π D．12＋π
答案 C
解析 由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为V＝×3＝6＋，故选C.
8．2017·河南百校联盟质监]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由正方形切割而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A. B. C．6 D．7
答案 C
解析 几何体如图，为每一个长方体中去掉两个全等的三棱柱，体积为23－×1×1×1×4＝6，选C.
9．2017·唐山模拟]在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面分别交直线PA，CD于M，N两点，则PM＋CN＝( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 由过E，F，H的平面交直线CD于N点，可得N点为CD的中点，即CN＝2；由过E，F，H的平面交直线PA于M点，可得M为PA的四等分点，所以PM＝1，所以PM＋CN＝3，故应选C.
10．2016·全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B. C．6π D.
答案 B
解析 由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝，该球的体积最大，Vmax＝πR3＝×＝.
11．2016·云师大附中月考]棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，则平面EFG截球O所得圆的半径为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图，正方体ABCD－
A1B1C1D1的外接球球心O为对角线AC1的中点，球半径R＝，球心O到平面EFG的距离为，所以小圆半径r＝
＝，故选B.
12．2017·河南开封质检]如图，已知一个八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，则下列命题中的假命题是( )
A．不平行的两条棱所在的直线所成的角是60°或90°
B．四边形AECF是正方形
C．点A到平面BCE的距离为
D．该八面体的顶点在同一个球面上
答案 C
解析 因为八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，相邻两条棱所在的直线所成的角是60°，而AE与CE所成的角为90°，A正确；四边形AECF各边长均为1，AC＝EF＝，所以四边形AECF是正方形；DB＝，该八面体的顶点在同一个球面上，D正确；设A到平面BCE的距离为h，由VE－ABCD＝2VA－BCE，所以×1×1×＝2××h，解得h＝，C错误．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．2016·江苏联考]将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
答案 π
解析 圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2π，底面半径为1，圆锥的高为，圆锥的体积为π×12×＝π.
14．2017·河南郑州一中期末]我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为________．
答案 1.6
解析 由图可得π×2×x＋3×1×(5.4－x)＝12.6?x＝1.6.
15．2016·江苏联考]在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD的是________．
答案 ①②
解析 对于①，通过平移AB到右边的平面，可知AB⊥CD，所以①中AB⊥CD；
对于②，通过作右边平面的另一条对角线，可得CD垂直AB所在的平面，由线面垂直定理得到②中AB⊥CD；
对于③，可知AB与CD所成的角为60°；
对于④，通过平移CD到下底面，可知AB与CD不垂直．
故答案为①②.
16．2016·长春质检]如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥．已知正四棱锥P－ABCD内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为________．
答案
解析 由球的几何性质可设四棱锥高为h，从而VP－ABCD＝h1－(h－1)2]＝(－h3＋2h2)，有V′P－ABCD＝(－3h2＋4h)＝h(－3h＋4)，可知当h＝时，体积VP－ABCD最大．
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 2017·哈尔滨检测](本小题满分10分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1，AC＝AA1＝AB，∠AA1C1＝60°，AB⊥AA1，H为CC1的中点，D为BB1的中点．
(1)求证：A1D⊥平面AB1H；
(2)若AB＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
解 (1)证明：连接AC1，∵△ACC1为正三角形，H为棱CC1的中点，
∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，
平面AA1C1C∩平面ABB1A1＝AA1，AH?平面AA1C1C,
∴AH⊥平面ABB1A1，又A1D?平面ABB1A1，
∴AH⊥A1D①.(3分)
设AB＝a，∵AC＝AA1＝AB，∴AC＝AA1＝2a，DB1＝a，＝＝，
又∠DB1A1＝∠B1A1A＝90°，∴△A1DB1∽△AB1A1，
∴∠B1AA1＝∠B1A1D，又∠B1A1D＋∠AA1D＝90°，
∴∠B1AA1＋∠AA1D＝90°，
∴A1D⊥AB1②，
由①②及AB1∩AH＝A，可得A1D⊥平面AB1H.(6分)
(2)取AA1的中点M，连接C1M，则C1M∥AH，
∴C1M⊥平面ABB1A1，
∴VC1－AB1A1＝S△AB1A1·C1M＝××＝，
∴三棱柱ABC－A1B1C1的体积为3VC1－AB1A1＝.(10分)
18．2017·东北四市联考](本小题满分12分)
如图，过四棱柱ABCD－A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDFE.
(1)请在木块的上表面作出过P的锯线EF，并说明理由；
(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDFE⊥平面A1C1CA.
解 (1)在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1，A1B1于F，E两点，则EF即为所作的锯线．理由如下：
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱BB1∥DD1，且BB1＝DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面BDFE∩平面ABCD＝BD，平面BDFE∩平面A1B1C1D1＝EF，
所以EF∥BD，从而EF∥B1D1.(6分)
(2)证明：由于四边形BB1D1D是矩形，所以BD⊥B1B.
又A1A∥B1B，所以BD⊥A1A.
又四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，
所以BD⊥AC.
因为AC∩A1A＝A，所以BD⊥平面A1C1CA.
因为BD?平面BDFE，
所以平面BDFE⊥平面A1C1CA.(12分)
19．2017·湖北八校联考](本小题满分12分) 如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的菱形，PA＝PD，且∠APD＝90°，∠DAB＝60°.
(1)若线段PC上存在一点M，使得直线PA∥平面MBD，试确定M点的位置，并给出证明；
(2)在第(1)问的条件下，求三棱锥C－DMB的体积．
解 (1)M为线段PC中点．(1分)
证明：取线段PC中点M，连接MD，MB，连接AC、BD相交于O点，连接OM，
∵ABCD为菱形，AC交BD于O点，∴O为AC中点，又M为PC中点，
∴OM∥PA，(4分)
又OM?平面MBD，PA?平面MBD，
∴PA∥平面MBD.(6分)
(2)∵PA＝PD，取AD的中点N，∴PN⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD，
∵∠APD＝90°，AD＝2，∴PN＝AD＝1，(8分)
又M为PC中点，∴M到平面ABCD的距离hM＝PN＝.(10分)
∵ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∴SBCD＝×2×2×＝，(11分)
∴VC－DMB＝VM－BCD＝SBCDhM＝××＝.(12分)
20．2017·宁夏银川检测](本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求三棱锥E－ABD的侧面积和体积．
解 (1)证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，所以BD＝＝2，
所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.
又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，所以AB⊥平面EBD.
又DE?平面EBD，所以AB⊥DE.(4分)
(2)由(1)知AB⊥BD.
因为CD∥AB，所以CD⊥BD，从而DE⊥BD.
在Rt△DBE中，因为DB＝2，DE＝DC＝AB＝2，所以S△EDB＝DB·DE＝2.(6分)
因为AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，所以AB⊥BE.
因为BE＝BC＝AD＝4，所以S△EAB＝AB·BE＝4.
因为DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，所以DE⊥平面ABD，而AD?平面ABD，所以DE⊥AD，故S△EAD＝AD·DE＝4.
故三棱锥E－ABD的侧面积S＝S△EDB＋S△EAB＋S△EAD＝8＋2.(9分)
因为DE⊥平面ABD，且S△ABD＝S△EBD ＝2，DE＝2，
所以V三棱锥E－ABD＝S△ABD×DE＝×2×2＝.(12分)
21．2017·太原模拟](本小题满分12分) 如图，已知四棱锥的侧棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝CD＝2.
(1)求证：BC⊥平面BDP；
(2)若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．
解 (1)证明：由已知得BD＝BC＝2，所以BD2＋BC2＝16＝DC2，故BD⊥BC.(2分)
又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，故PD⊥BC，(4分)
又BD∩PD＝D，所以BC⊥平面BDP.(6分)
(2)如图，取PD中点N，并连接AN，MN，则MN綊DC，
又AB綊DC，
所以四边形ABMN是平行四边形，所以MB∥NA，
则∠PAN为异面直线BM与PA所成角，
又PD⊥底面ABCD，所以∠PCD为PC与底面ABCD所成角，(8分)
则tan∠PCD＝，所以PD＝CD＝2，
所以PN＝PD＝1，
易求得AN＝，PA＝2，(10分)
所以在△PAN中，cos∠PAN＝＝，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为.(12分)
22．2017·河北中学联考] (本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA＝AC，PA⊥平面ABCD.
(1)若E为棱PC的中点，求证PD⊥平面ABE；
(2)若AB＝3，求点B到平面PCD的距离．
解 (1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2分)
∵AC＝PA，E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD，
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD，(4分)
∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.(6分)
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，所以PC＝3，
由(1)的证明知，CD⊥平面PAC，所以CD⊥PC，
因为AB⊥AD，△ABC为正三角形，所以∠CAD＝30°，因为AC⊥CD，
所以CD＝ACtan30°＝.(7分)
设点B的平面PCD的距离为d，则VB－PCD＝××3××d＝d，(8分)
在△BCD中，∠BCD＝150°，所以S△BCD＝×3×sin150°＝×3××＝，(9分)
所以VP－BCD＝××3＝，(10分)
因为VB－PCD＝VP－BCD，所以d＝，解得d＝，
即点B到平面PCD的距离为.(12分)
重组四 大题冲关——导数的综合应用问题
测试时间：120分钟 满分：150分
解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1．2017·吉林实验中学模拟](本小题满分15分)已知函数f(x)＝mx＋ln x，其中m为常数，e为自然对数的底数．
(1)当m＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求m的值．
解 (1)当m＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，定义域为(0，＋∞)．
求导得f′(x)＝－1＋，(2分)
令f′(x)＝0，得x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
－1
?
(5分)
由表可知f(x)的最大值为f(1)＝－1.(7分)
(2)求导得f′(x)＝m＋.
①当m≥0时，f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(0，e]上单调递增，最大值为f(e)＝me＋1＝－3，解得m＝－，不符合要求；(9分)
②当m<0时，令f′(x)＝0，得x＝－，
若－≥e，此时f′(x)≥0在(0，e]上恒成立，此时f(x)在(0，e]上单调递增，最大值为f(e)＝me＋1＝－3，解得m＝－，不符合要求；(12分)
若－0在上成立，f′(x)<0在上成立，此时f(x)在(0，e]上先增后减，最大值为f＝－1＋ln ＝－3，解得m＝－e2，符合要求．(14分)
综上可知，m的值为－e2.(15分)
2．2016·天津十二区联考](本小题满分15分)已知函数f(x)＝ln x－，g(x)＝ax＋b.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若直线g(x)＝ax＋b是函数f(x)＝ln x－图象的切线，求a＋b的最小值．
解 (1)h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－－ax－b，则h′(x)＝＋－a，(2分)
∵h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴对?x>0，都有h′(x)＝＋－a≥0，(3分)
即对?x>0，都有a≤＋，(5分)
∵＋>0，∴a≤0，
故实数a的取值范围是(－∞，0]．(7分)
(2)设切点，则切线方程为
y－＝(x－x0)，
即y＝x－x0＋，亦即
y＝x＋，(10分)
令＝t>0，由题意得a＝＋＝t＋t2，b＝ln x0－－1＝－ln t－2t－1，
令a＋b＝φ(t)＝－ln t＋t2－t－1，则φ′(t)＝－＋2t－1＝，当t∈(0,1)时，φ′(t)<0，φ(t)在(0,1)上单调递减；
当t∈(1，＋∞)时，φ′(t)>0，φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，
∴a＋b＝φ(t)≥φ(1)＝－1，故a＋b的最小值为－1.(15分)
3．2017·山西怀仁模拟](本小题满分20分)设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，(3分)
当0当x>时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
综上，函数f(x)的单调增区间是(，＋∞)，减区间是(0，)．(6分)
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mln x，
x>0，
问题等价于求函数F(x)的零点个数，(7分)
F′(x)＝－，(9分)
当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，
注意到F(1)＝>0，F(4)＝－ln 4<0，
∴F(x)有唯一零点．(13分)
当m>1时，0m时，F′(x)<0,10，
∴函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)＝m＋>0，F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)<0，∴F(x)有唯一零点．(17分)
综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．(20分)
4．2017·河南八市质检](本小题满分20分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2－3x，函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．
(1)求a的值；
(2)求函数g(x)的极值；
(3)设斜率为k的直线与函数f(x)的图象交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1解 (1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2－3x，则g′(x)＝＋2ax－3，(2分)
g′(1)＝1＋2a－3＝0，a＝1.(5分)
(2)由(1)得g′(x)＝＝，(7分)
∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，令g′(x)＝0，得x＝或x＝1，(9分)
∴函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．故函数g(x)的极小值为g(1)＝－2，极大值为g＝－ln 2－.(12分)
(3)依题意得k＝＝?ln x2－kx2＝ln x1－kx1，(14分)
令h(x)＝ln x－kx，则h′(x)＝－k，(15分)
由h′(x)＝0，得x＝，当x>时，h′(x)<0，
当00，(17分)
∴h(x)在单调递增，在单调递减，又h(x1)＝h(x2)，
∴x1<5．2017·南昌联考](本小题满分20分)已知函数f(x)＝x2－mln x＋n(m∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为x－y－1＝0，求实数m，n的值；
(2)若－2≤m<0，对任意x1，x2∈(0,2]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤t恒成立，求t的最小值．
解 (1)∵f(x)＝x2－mln x＋n(m∈R)，∴f′(x)＝2x－.(3分)
∵曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为x－y－1＝0，
∴2－m＝1，f(1)＝0，∴m＝1,1＋n＝0，∴n＝－1，
∴m＝1，n＝－1.(7分)
(2)∵f′(x)＝2x－，－2≤m<0，∴f′(x)＝2x－>0在(0,2]上恒成立，故函数f(x)在(0,2]上单调递增．(9分)
不妨设0设h(x)＝f(x)＋＝x2－mln x＋n＋，则h(x1)≥h(x2)，
∴h(x)为(0,2]上的减函数，即h′(x)＝2x－－≤0在(0,2]上恒成立，等价于2x3－mx－t≤0在(0,2]上恒成立，即t≥2x3－mx在(0,2]上恒成立．(16分)
又－2≤m<0，∴2x3＋2x≥2x3－mx，对于函数y＝2x3＋2x，∵y′＝6x2＋2>0在(0,2]上恒成立，故y＝2x3＋2x在(0,2]上是增函数，即ymax＝2×23＋2×2＝20，∴2x3－mx≤20，
∴t≥20，即t的最小值为20.(20分)
6．2017·江西七校联考](本小题满分20分)记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max{3，}＝，已知函数f(x)＝max{x2－1,2ln x}，g(x)＝max{x＋ln x，ax2＋x}．
(1)求函数f(x)在上的值域；
(2)试探讨是否存在实数a，使得g(x)解 (1)设F(x)＝x2－1－2ln x，
F′(x)＝2x－＝，(2分)
令F′(x)>0，得x>1，F(x)递增，令F′(x)<0，得0∴F(x)min＝F(1)＝0，∴F(x)≥0，
即x2－1≥2ln x，∴f(x)＝x2－1，(5分)
故函数f(x)在上的值域为.(8分)
(2)①当a≤0时，
∵x∈(1，＋∞)，∴x＋ln x－(ax2＋x)＝ln x－ax2>0，
∴x＋ln x>ax2＋x，∴g(x)＝x＋ln x，(11分)
若g(x)则ln x－x<4a对x∈(1，＋∞)恒成立，
设h(x)＝ln x－x，
则h′(x)＝－＝，
令h′(x)>0，得12，h(x)递减，
∴h(x)max＝h(2)＝ln 2－1，∴4a>ln 2－1，∴a>.
∵a≤0，∴a∈.(16分)
②当a>0时，由①知x＋ln x0时，不满足g(x)故存在实数a，使得g(x)7．2017·广东六校联考](本小题满分20分)已知函数f(x)＝x－，函数h(x)＝bxln x的图象经过点(e,2e)(a，b∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1解 (1)因为函数h(x)＝bxln x的图象经过点(e,2e)，
所以b＝2，所以函数h(x)＝2xln x，
故函数f(x)＝x－－2ln x，
f′(x)＝1＋－＝，(2分)
令f′(x)＝0，得x2－2x＋a＝0，其判别式Δ＝4－4a，
①当Δ≤0，即a≥1时，x2－2x＋a≥0，f′(x)≥0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)
②当Δ>0，即a<1时，方程x2－2x＋a＝0的两根为x1＝1－，x2＝1＋>1，
若a≤0，则x1≤0，则当x∈(0，x2)时，f′(x)<0，当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，
此时f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增；
若00，则当x∈(0，x1)时，f′(x)>0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，
此时f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．(8分)
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,1＋)上单调递减，在(1＋，＋∞)上单调递增；当0(2)证明：由(1)可知，函数f(x)有两个极值点x1，x2，等价于方程x2－2x＋a＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，故0由(1)得当0f(x2)－x2＋1＝x2－－2ln x2－x2＋1＝x2－2ln x2－1.(14分)
令g(t)＝t－2ln t－1，则g′(t)＝1－＝，(16分)
当1故g(t)所以f(x2)－x2＋1＝g(x2)<0，
即f(x2)8．2017·湖南长沙模拟](本小题满分20分)已知函数f(x)＝aln x＋x2－ax(a为常数)有两个极值点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设f(x)的两个极植点分别为x1，x2.若不等式f(x1)＋f(x2)<λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．
解 (1)f′(x)＝＋x－a＝(x>0)，(2分)
于是f(x)有两个极值点需要二次方程x2－ax＋a＝0有两个不等正根，
设其两根为x1，x2，则解得a>4，(6分)
不妨设x10，(x1，x2)上f′(x)<0，(x2，＋∞)上f′(x)>0，因此x1，x2是f(x)的两个极值点，符合题意．
所以a的取值范围是(4，＋∞)．(8分)
(2)f(x1)＋f(x2)＝aln x1＋x－ax1＋aln x2＋x－ax2＝aln (x1x2)＋(x＋x)－a(x1＋x2)＝aln (x1x2)＋(x1＋x2)2－x1x2－a(x1＋x2)＝a，(12分)
于是＝ln a－a－1，令φ(a)＝ln a－a－1，则φ′(a)＝－，(15分)
因为a>4，所以φ′(a)<0，于是φ(a)＝ln a－a－1在(4，＋∞)上单调递减，
因此＝φ(a)<φ(4)＝ln 4－3，
且可无限接近ln 4－3，(18分)
又因为x1＋x2>0，故不等式f(x1)＋f(x2)<λ(x1＋x2)等价于<λ，所以λ的最小值为ln 4－3.(20分)
