导数的概念
教学重难点:
重点：
1.理解导数的概念；
2.会运用导数的定义求解函数在处的导数值.
难点：
导数概念的突破.
一、导数概念的引入
提出问题:小明的家离学校只有2km，如果小明今天在路上所花的时间是0.1h；请问，小明上学的瞬时速度是不是20km/h？
例1. 一个小球从高空自由落下，其走过的路程s与时间t的函数关系式为:s=；试估计小球在t=5这个时刻的瞬时速度.
析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式：.
1.
2.
如果时间间隔进一步缩短，那会发生什么呢？
我们将时间间隔每次缩短为前面的,计算出相应的平均速度得到下表.
t0
t1
5
5.1
0.1
4.95
5
5.01
0.01
0.49049
5
5.001
0.001
0.04901
5
5.0001
0.0001
0.0049
5
...
...
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...
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t1
5
4.9
-0.1
-4.851
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-0.01
-0.4895
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-0.001
-0.048995
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-0.0001
-0.0048999
5
...
...
...
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总结：无论是从5的左侧趋近于5，还是从5的右侧趋近于5，平均速度都趋于______.49m/s就是自由落体在5s时的________.
二、导数的概念
函数关于的平均变化率: .
当，即，如果平均变化率趋于有一个固定的值，那么这个值就是函数在点的瞬时变化率.(这个值称为:当时,平均变化率的极限.) 21世纪教育网版权所有
(注释:在数学中,如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变化的量的极限.)
在数学中，称瞬时变化率为函数在点的导数.通常用符号 表示，记作:.
例2：一条水管中流过的水量(单位:m3)是时间(单位:s)的函数,求函数在处的导数,并解释它的实际意义.
解:平均变化率为:.
当趋于0时,平均变化率趋于3；
所以,水管中的水在2秒时的瞬时水量是3m3/s .
总结:反映函数在处变化____程度.
当堂练习:求函数在时的导数值.
导数符号语言
总结:导数是一种________定义.
导数符号语言的几种等价形式:
1.___________________
2.___________________
当堂检测:
1.设是可导函数,若,则( )
A. -1 B.1 C.0 D.-2
2.若函数在区间内可导,且,则
A. B. C. D.0
变式:
设是可导函数,若,则( )
-1 B.1 C.0 D.-2
课堂小结:
作业布置:
1.根据例2中的函数,求,并解释它的实际意义.
2.设(单位:km)表示从一条河流的某一处到其源头的距离, (单位:km)表示这一点的海拔高度, 是的函数.若函数在处的导数,试解释它的实际意义.
四、导数概念的拓展
1.如图所示，请试着描述割线(绿线)与切线(红线)的关系.
2.下面是四种容器的侧面图,分别向这四种容器中以相同的速度注水.
下面的图像中哪个图像可以大致刻画容器中水的高度h与时间s的函数关系:
《导数的概念》教学设计与点评
教学内容剖析:
本节内容是北师大版《选修2-2—第二章变化率与导数》第二课时的内容,
在本节内容之前教材设置的是《变化率与平均变化率》，为推导出本节内容提供了许多丰富的实例背景,
本节内容的设置为学习《导数的几何意义》、《导数与函数单调性》、《导数与极值》奠定了坚实的理论基础.
教学目标:
一、知识目标:
1.理解导数的概念,
2.会运用导数定义式求函数在处的导数值.
二、能力目标:
1.培养学生归纳推理能力,
2.发展学生辩证思维能力.
三、情感目标:
使学生进一步体会极限的思想，感受数学逻辑与形式之美.
教学重难点:
重点：
1.理解导数的概念；
2.会运用导数的定义求解函数在处的导数值.
难点：导数概念的突破.
学生学情分析:
1.学生学习过了《变化率与平均变化率》，已经有了一定的理论基础,
2.由于导数概念的高度抽象导致学生对于导数的概念理解乏力.
教学策略:
为了使本节课的内容丰满而立体，教师选择将《变化率与平均变化率》中的瞬时速度例题后移，成为本节内容的例1；如此设置可以使得导数概念的推导更加完整而及时.在导数概念的推导中，教师加入了割线的极限位置，通过ppt的形象演示，利用视觉观感加深学生对于极限的理解.由两者共性出发，再结合多种实例，归纳推理出导数的概念. 一静一动,层层推导的设置可以帮助教师引领学生突破本节的教学难点.21世纪教育网版权所有
对于导数的概念认真而细致的解读,有助于学生理解导数的概念,掌握相关的数学符号的使用,并加强学生做题严谨性这一数学素质的培养.21教育网
讲解完导数的概念及相关数学符号后，需先将知识内容进行推进深化，从导数的概念过渡到导数的定义式，实现学以致用这一实用性的转化.接着设置例2，对导数定义式的用途赋予丰满的形象说明；从而使得导数的概念实现第一次的螺旋上升.通过对例2的学习，学生大致掌握了导数定义式的使用，此时，教师及时设置当堂练习，巩固学习成果，并为导数概念实现第二次螺旋上升提供准备.由于不同学生对于导数定义式的理解，当堂训练出现了多种解法.教师要求学生对不同解法共性的挖掘，实现了导数概念的第二次螺旋上升，得到了导数是一种形式定义这一结论.21cnjy.com
学以致用，数往知来,设置当堂检测；教师选择具有针对性的习题，加固学生对导数是形式定义的理解.通过不同层次习题的设置，完成导数概念的螺旋上升，让学生多角度体会数学之美.
课堂的最后，教师先选择学生对本节内容进行小结，再设置了不同的课后作业，为导数的后续知识埋下伏笔.21·cn·jy·com
教学过程
一、导数概念的引入
提出问题:小明的家离学校只有2kg，如果小明今天在路上所花的时间是0.1h；请问，小明上学的速度是不是20km/h？
例1. 一个小球从高空自由落下，其走过的路程s与时间t的函数关系式为:s=；试估计小球在t=5这个时刻的瞬时速度.
析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式：.
可以求出从5s到6s的这段时间的平均速度:
为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5-5.1s这段时间的平均速度:
如果时间间隔进一步缩短，那么平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.我们将时间间隔每次缩短为前面的,计算出相应的平均速度得到下表.www.21-cn-jy.com
t0
t1
5
4.9
-0.1
-4.851
5
4.99
-0.01
-0.4895
5
4.999
-0.001
-0.048995
5
4.9999
-0.0001
-0.004899
5
...
...
...
...
t0
t1
5
5.1
0.1
4.95
5
5.01
0.01
0.49049
5
5.001
0.001
0.04901
5
5.0001
0.0001
0.0049
5
...
...
...
...
定值49m/s就是自由落体在5s时的瞬时速度.
总结：无论是从5的左侧趋近于5，还是从5的右侧趋近于5，平均速度都趋于49m/s.
二、导数的概念
函数关于的平均变化率:
当，即，如果平均变化率趋于有一个固定的值，那么这个值就是函数在点的瞬时变化率.
在数学中，称瞬时变化率为函数在点的导数.通常用符号 表示，记作:.
例2：一条水管中流过的水量(单位:m3)是时间(单位:s)的函数,求函数在处的导数,并解释它的实际意义.
解:当从2变到2+时,函数值从3×2变到3(2+),函数值关于的平均变化率为:.
当趋于2,即趋于0时,平均变化率趋于3,所以,水管中的水在2秒时的瞬时水量是3m3/s .
当堂练习:求函数在时的导数值.
导数符号语言
总结:导数是一种________定义.
导数符号语言的几种等价形式:
1.___________________
2.___________________
当堂检测:
1.设是可导函数,若,则( )
A. -1 B. 1 C.0 D.-2
2.若函数在区间内可导,且,则
A. B. C. D.0
变式: 设是可导函数,若,则( )
-1 B.1 C.0 D.-2
课堂小结:
作业布置:
1.根据例2中的函数,求,并解释它的实际意义.
2.设(单位:km)表示从一条河流的某一处到其源头的距离, (单位:km)表示这一点的海拔高度, 是的函数.若函数在处的导数,试解释它的实际意义.
五、导数概念的拓展
1.如图所示，请试着描述割线(绿线)与切线(红线)的关系.
2.下面是四种容器的侧面图,分别向这四种容器中以相同的速度注水.
下面的图像中哪个图像可以大致刻画容器中水的高度h与时间s的函数关系:
【点评】
许姬老师执教的本节课，从其教学设计和课堂教学的实施过程看，有以下明显的特点：
1.教师准确的把握了新课程标准的要求和教材的编写意图.从教学目标的设置及课堂活动过程看，由平均速度与瞬时速度平稳过渡到平均变化率到瞬时变化率，使学生较好的体验了极限，教师在课堂上结合了庄子的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”强化了学生对极限的印象，从平均变化率的极限得到导数的概念，切实突出了本节的重点．通过循序渐进的
2.教师对教学活动的系列问题的设计与实施，充分为学生的自主学习与合作学习创设了良好的氛围，课堂活动严谨有序，对于学生导数概念的形成提供了科学的学习方式，并为学生日后的学习提供了行而有效方法的指导.
3.教师对当堂练习与当堂检测的梯度设置，有效的促进了学生的自主学习；教师适度的点评与精讲，既符合本节知识内容的抽象性特点，又在时机上把握的恰到好处，切实体现了新课标对教师的要求．
4.教师充分利用ppt与投影仪辅助教学，不仅丰富了学生的直观感悟与经历，化解了教学难点，较好的提高了课堂教学的效益．
5.教师在最后在作业的设置中，教师精心挑选了两道导数的图像题（割线的极限位置与水高与时间关系图），从导数的相关的图像给予学生最直观的知识反馈。
我们将时间间隔每次缩短为前面的,计算出相应的平均速度得到下表.
t1
t0
t1
48.51
-4.851
-0.1
4.9
5
5.1
0.1
4.95
49.5
48.95
-0.4895
-0.01
4.99
5
5.01
0.01
0.49049
49.049
48.995
-0.048995
-0.001
4.999
5
5.001
0.001
0.04901
49.01
48.999
-0.0048999
-0.0001
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课件30张PPT。导数的概念一、导数概念的引入提出问题：
小明的家离学校只有2公里(km)，如果小明今天在路上所花的时间是0.1小时(h)；请问，小明上学的瞬时速度是不是20km/h？瞬时速度？一、导数概念的引入析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式：一、导数概念的引入析：时间间隔进一步缩短，那么平均速度会出现什么变化?一、导数概念的引入总结：
无论是从5的左侧趋近于5，还是从5的右侧趋近于5，平均速度都趋于49m/s.49m/s就是自由落体在5S时的瞬时速度.一、导数概念的引入归纳物体在t0时刻的平均速度为:二、导数的概念极限二、导数的概念∴ 水管中的水在2秒时的瞬时水量是3m3/s .解:总结:二、导数的概念当堂练习:解:三、导数符号语言导数符号语言的几种等价形式:总结:导数是一种形式定义.三、导数符号语言当堂监测:BC三、导数符号语言A课堂小结:作业:四、导数概念的拓展播放割线的极限位置四、导数概念的拓展旧曲新唱: 下面是四种容器的侧面图,分别向这四种容器中以相同的速度注水. 下面的图像中哪个图像可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系: 《必修一——函数的单调性》四、导数概念的拓展旧曲新唱:《必修一——函数的单调性》四、导数概念的拓展旧曲新唱:《必修一——函数的单调性》谢谢大家！四、导数概念的拓展割线的极限位置四、导数概念的拓展割线的极限位置四、导数概念的拓展割线的极限位置四、导数概念的拓展割线的极限位置四、导数概念的拓展割线的极限位置四、导数概念的拓展割线的极限位置四、导数概念的拓展割线的极限位置四、导数概念的拓展割线的极限位置四、导数概念的拓展割线的极限位置四、导数概念的拓展割线的极限位置四、导数概念的拓展割线的极限位置
