数学之神──阿基米德 学案 (3)

《数学之神—阿基米得》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解阿基米得的主要数学成就，理解平衡法、穷竭法和阿基米得螺线。
二、自学内容提炼
（一）新知导入
1、数学之神----阿基米德
公元前 年，阿基米德诞生于西西里岛的叙拉古(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城跟随欧几里得的学生学习、 以后与亚历山大的学者保持密切联系。后世流传大量关于阿基德的传说，后人称他为 。
（二）阿基米德的主要著作
《 》；《 》；《 》；《论球和圆柱》；《 》；《 》； 《 》；《 》；《 》；《 》；《牛群问题》
《论球和圆柱》：一个球体的体积，是一个以球体的大圆为底，以球体的半径为高的圆锥体积的四倍.
《牛群问题》：太阳神在西西里岛上有一群牛，其中公牛、母牛，白、黑、花、棕四色俱全。在公牛中，白牛比棕牛多了黑牛数的二分之一又三分之一；黑牛比棕牛多了花牛数的四分之一又五分之一；花牛比棕牛多了白牛数的六分之一又七分之一。在母牛中，白牛是全部黑牛（包括公牛，下同）数的三分之一又四分之一；黑牛是全部花牛数的四分之一又五分之一；花牛是全部棕牛数的五分之一又六分之一；棕牛是全部白牛数的六分之一又七分之一。又全部黑、白公牛数的和是正方形数，全部花、棕公牛数的和是三角形数。问八种牛各有多少头？
（三）阿基米德的主要数学成就
1、 法
为了求得一图形的面积或体积，首先将这个图形分成平行窄条或平行薄片，把分成的这些部分吊在一个给定的杠杆一端，使之同一个面积（或体积）和重心己知的图形相平衡.
例 “平衡法”推导球的体积公式
2、 法
阿基米德用平衡法求出一个面积或体积后，必再用 法给以严格的证明.这种发现与求证的双重方法，是阿基米德独特的思维方式.
这方面典型例子是抛物线弓形的求积.
3、 螺线
一条射线绕其固定端点匀速旋转，同时有一动点从端点出发沿射线匀速运动，那么这动点就描绘出一条平面螺线.
阿基米德探讨了螺线所围的面积，也研究了螺线的切线，给出作图方法及种种性质.
（二）例题选讲
“平衡法”推导球的体积公式
（三）提出疑点和解决
1、阿基米得的主要数学成就有哪些？
答：①著作：《砂粒计算》《圆的度量》《球与圆柱》《抛物线求积法》《论螺线》《平面的平衡》《浮体》《论锥型体与球型体》
②方法：平衡法、穷竭法
2、查资料了解阿基米得、说一说阿基米得的数学地位
答：美国的E.T.贝尔在《数学大师》上是这样评价阿基米德的：全部历史上任何三个“最伟大”的数学家的名单都将包含阿基米德的名字。通常与他相联系的另外两个名字是牛顿和高斯。要是考虑到在这些巨人各自生活的时代，数学和物理学的相对充足或贫瘠，并依据他们所处的时代背景来评价他们的成就，一些人会将阿基米德排在首位。