数学之神──阿基米德 学案 (4)

《数学之神—阿基米得》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解阿基米得的主要数学成就，理解平衡法、穷竭法和阿基米得螺线。
二、自学内容提炼
（一）新知导入
（1）简介
阿基米德（Achimedes 公元前约287～公元前约212）生于希腊叙拉古附近的一个小村庄．父亲费吉亚是一位数学家和天文学家，是叙拉古王希隆的亲戚．他11岁时去埃及，到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都”的亚历山大城学习，是著名数学家欧几里得的学生。
在亚历山大城期间，阿氏结识了许多同行好友，如科农、多西修斯等，在回到叙拉古之后，阿氏仍和他们保持密切的联系，因此阿氏也算是亚历山大学派的成员，他的许多学术成果就是通过和亚历山大学者的通信往来保存下来的。
公元前240年，阿基米德由埃及回到故乡叙拉古，并担任了国王的顾问。从此开始了对科学的全面探索，在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果，成为古希腊最伟大的科学家之一。他发明了各种各样的精巧机械，这些发明也使他远近闻名，不过他认为这些事情只是“研究几何学之余的消遣”，并不太看重它们。
阿氏还是一名爱国主义者，他曾发明许多机械有效地了罗马人对叙拉古城的围攻。据说，玛塞勒斯（罗马统帅）曾不无戏谑地对他的工程师和工匠们说了以下这段话，“难道我们就不能结束与这位几何学的百年巨人的战斗么？他悠闲地坐在海边，随意地摆弄我们的战舰，让我们莫名其妙，还向我们投掷大量的飞石，难道他真的比神话中的百年巨人还厉害吗？”阿氏一生发明了实用的机械共40多种，被誉为“力学之父”。
阿基米德死的时候，也像他活着的一样，正限陷于对数学的思考。公元前212年的一天，当叙拉古人民正在庆祝他们一年一度的阿尔杰米达节时，马赛拉斯乘机命令士兵通过一道冷僻的城甬用云梯偷偷爬进了城．罗马士兵冲入城内，闯进了阿基米德的房间．当时阿基米德正在全神贯注地研究一个几何图形、面对罗马士兵的屠刀、他毫不畏惧、镇静自若的对罗马士兵说，再给我一点时间，让我证完这条定理，以免给后人留下一道尚未证完的问题．并高声斥责罗马士兵说“不要碰我的图纸！”士兵认为这句话损害了他作为胜利者的威严，尽管在破城之后马赛拉斯曾下令不得伤害阿基米德，但凶残的罗马士兵还是以剑刺向这位75岁的老人，伟大学者倒在血泊之中．马赛勒斯为了笼络人心，下令处死了杀害阿基米德的凶手，对阿基米德的家属作了安顿，并为他修了一座颇为壮观的坟墓，根据其生前遗愿，在墓碑上铭刻了球内切于圆柱的图形．
此外，还有很多关于阿基米德的故事，它们大都耳熟能详，如澡盆里测出金冠的密度、豪言壮语“给我一个支点，我可以移动这个地球”（Give me a place to stand on ,and I can move the earth!）等等。
（2）主要著作及贡献
阿基米德留下的数学著作不下10种，著作的体例深受欧几里德《 》的影响，先设立若干 和 ，再依次 各个命题。各篇独立成章，虽然不像《原本》那样浑然一体，但所言均有依据，论证也是严格的。著作列举如下：
1.《 》 2.《 》 3.《 》
4.《 》 5 .《 》 6.《 》
7.《 》 8.《 》 9.《 》
10．《 》
其中包括以下我们较为熟悉的几个方面：
①开创计算 的古典方法：他应用安提丰的“ ”思想，用圆的外切与内切正96变形逼近的方法，求得 <π< ,这一结果是世界上最早的。
②最早发现三角形面积公式S=，其中p= ,一般称“海轮公式”，误认为是海伦是最早发现的。
③阿氏还提出一个流传至今的在数学课内外书中的世界著名问题，即“鞋匠的刀形问题”：过半圆ABCD的直径AC上一点D引AC的垂线交半圆于B，再分别以AD、BC的直径作半圆AFD、DHC，证明SAFDHCB等于以BD为直径的圆的面积（如图）。
④（著名的圆柱容球）以球的大圆为底，以球的直径为高的圆柱体，其体积是该球的体积的 （后面有阿氏当时的推导过程），其表面积包括上下底是球表面积的 。
⑤阿氏当时用几何方法求出了前个自然数的平方和公式，用今式表示为：。
阿氏用穷竭法和杠杆原理得到所测面积和体积的结果，然后用归谬法给出严格的证明，他的这种方法已经具有近代积分思想的雏形，对17世纪微积分的产生很大影响，他和牛顿、欧拉、高斯并称为“数坛四杰”。
阿氏在其他科学中，以“阿基米德原理”、杠杆定律、平面图形中重心求法、天文仪器及螺旋水泵的制作等成就彪炳史册，被誉为将熟练的计算机能和严格的证明融为一体，将抽象理论与工程技术的具体应用紧密结合的典范。
（3）思想方法
阿氏注意理论与实际的结合，常常通过实践直觉地洞察到事物的本质，然后运用逻辑方法使经验上升为理论（如浮力问题），再用理论去指导实际工作。
（二）选例讲解
《阿基米德方法》（简称《方法》，来源于阿氏的一封信）记录了阿氏研究问题的独特方法。方法包括15个命题，下面以第2个命题为例阐明阿基米德的独特方法，第2个命题是利用圆柱体求球的体积，推导过程十分简洁，极富启发性。
命题2 球体积是以此求的大圆为底，以球的半径为高的锥体体积的2倍；以球的大圆为底，球的直径为高的圆柱体的体积是球的体积的倍。
AC与BD是⊙O两条正交的直径，延长AB、AD，分别交过C点的切线于E、K，过A点作切线I J ，完成长方形EKJI，延长CA至H，使AH=CA，任作GT∥EK，交各线于G、L、P、Q、N、T，如右图所示。
现以CA为轴，将整个图形旋转一周，长方形EKJI形成一个圆柱体V1，地面直径为EK，⊙O形成一个球V，△AEK形成一个以A为顶点的圆锥V2，地面直径为EK。
AH : AP=CA : AP=CA2 : CA·AP=CA2 : AN2 (直角△ANC中的比例关系)
=CA2 :（AP2+PN2） （勾股定理）
= CA2 :（PQ2+PN2）
PT、PN、PQ分别是图形旋转后形成的圆的三个不同的半径。
设以S(PT)表示以PT为半径的圆的面积，同样S(PN) 、S(PQ)表示以PN、 PQ为半径的圆的面积。
通过GT作平面垂直于CA，这个平面与圆柱体V1、球V、圆锥体V2相截，截面分别是S(PT)、S(PN)、S(PQ)，圆面积之比等于半径的平方之比，上面比例式可写成：
AH : AP = S(PT) :［S(PN)+S(PQ)］
假想这些截面都有重量，而且重量与面积成正比，又CH是以A为支点的杠杆，根据比例式将S(PN)和S(PQ)放在H上，S(PT)不动，则杠杆平衡。三个立方体V1、V、V2可以看作由这些截面组成，而GT的位置是任意的。将所有的这些截面S(PN)、S(PQ)都放在H上，就可以和圆柱体V1平衡，V1的重心在O上，AO=AH，因此
V1 = 2 ( V + V2 ) = 2 ( V + V1 )
V1底面半径与高都是2r，r是半径，于是得到
球体积V=
若将外切于球的圆柱体体积写成就得到命题2结论的后一部分，就是刻在阿基米德墓碑上的那个著名论断。
（三）提出疑点和解决
1、阿基米得的主要数学成就有哪些？
答：①著作：《论球与圆柱》《圆的度量》《劈锥曲面与回转圆柱体》《论螺线》《平面图形的平衡与其重心》《数沙器》《抛物线图形求积法》《论浮体》《引理集》《群牛问题》
②方法：平衡法、穷竭法
2、关于球体积公式