数学之神──阿基米德 学案 (5)

《数学之神—阿基米得》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解阿基米得的主要数学成就，理解平衡法、穷竭法和阿基米得螺线。
二、自学内容提炼
（一）新知导入
1、生平经历
公元前287年，阿基米德诞生于希腊西西里岛叙拉古附近的一个小村庄，他出生于贵族，与叙拉古的赫农王（King Hieron）有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。阿基米德的意思是大思想家，阿基米德受家庭的影响，从小就对数学、天文学特别是古希腊的几何学产生了浓厚的兴趣。
阿基米德出生时，在当时古希腊的辉煌文化已经逐渐衰退，经济、文化中心逐渐转移到埃及的亚历山大城；但是另一方面，意大利半岛上新兴的罗马共和国，也正不断的扩张势力；北非也有新的国家迦太基兴起。阿基米德就是生长在这种新旧势力交替的时代，而叙拉古城也就成为许多势力的角斗场所。
公元267年，也就是阿基米德十一岁时，阿基米德被父亲送到埃及的亚历山大城跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习。亚历山大城位于尼罗河口，是当时世界的知识、文化贸易中心，学者云集，人才荟萃，被世人誉为“智慧之都”。举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达。
阿基米德在亚历山大跟随过许多著名的数学家学习，包括有名的几何学大师—欧几里德，阿基米德在这里学习和生活了许多年，他兼收并蓄了东方和古希腊的优秀文化遗产，对其后的科学生涯中作出了重大的影响，奠定了阿基米德日后从事科学研究的基础。
公元前218年罗马帝国与北非迦太基帝国爆发了第二次布匿战争。身处西西里岛的叙拉古一直都是投靠罗马，但是公元前216年迦太基大败罗马军队，叙拉古的新国王（海维隆二世的孙子继任），立即见风转舵与迦太基结盟，罗马帝国于是派马塞拉斯将军领军从海路和陆路同时进攻叙拉古。
叙拉古和罗马帝国之间发生战争，是在阿基米德年老的时候，罗马军队的最高统帅马塞拉斯率领罗马军队包围了他所居住的城市，还占领了海港。阿基米德虽不赞成战争，但又不得不尽自己的责任，保卫自己的祖国。阿基米德眼见国土危急，护国的责任感促使他奋起抗敌，于是阿基米德绞尽脑汁，日以继夜的发明御敌武器。
2、数学成就及其研究方法
（1）穷竭法和归谬法（即无限分割的思想和反证法）
例：圆面积计算的证明
（2）数学与力学结合
阿基米德作为数学力学家，他惯用数学与力学结合的方法来解决数学和力学难题。他说过，力学便于我们发现结论，而几何则能帮助我们对结论作出证明。
例如他用杠杆力矩原理和分割、求和、取极限的思想实质上是定积分雏形。
又如在求抛物线面积是也用到了相似的方法进行推测。
方法虽然精彩，但用力学的法方只能作为一种直观推测，不能作为证明。而且这种方法也不是万试万灵的。后来的这些推测大多都由“穷竭法”和“双重归谬法”证出。
（3）数学与运动学结合
什么是阿基米德螺线呢？想象有一根可以绕着一点转动的长杆，有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是ρ = aθ 。
运用阿基米德螺旋线能解决尺规作图3大古典难题的其中两个。但阿基米德螺旋线本身不能由尺规得出。
3、其他数学著作
《砂粒计算》是专讲计算方法的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙天体内的砂粒数量，提出了奇特的想象，提出了表示任何大数量的模式。（科学计数法）
《平面的平衡》讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。
《引集论》提到了很多有趣问题，其中一个“群牛问题”（8个未知数和8个方程求解）
尽管阿基米德现在流传下来的著作很多，且都具有里程碑意义，但还有接近一半的著作没有流传下来，仅在别的数学家作品中提到。
（二）选例讲解
证明圆的面积是该圆周长与半径乘积的一半，即圆面积= 1/2 圆周长×半径
他的证明用的反证法，用圆的外切与内接正方形逐次边数加倍的办法“穷竭”而使内接或外切正多边形的周长 逼近圆周的办法。
欧几里得在《几何原本》讨论了许多圆的性质，但没有提到圆周率的值和圆面积、圆周的计算方法。阿基米德却在科学是上首创使用上下界来解定一定量的近似值，而且提供了误差的计算。
阿基米德先作出了一个直径为1的圆并在圆周上作出了6个点等分圆周，然后把6个点连接起来，在圆内作出一个正六边形，即圆的内接正六边形。它的6条边长的总和一定比圆的周长短（阿基米德已证）。而圆内接6边形的周长容易求得。然后，阿基米德又以刚才的顶点作了一个圆外切正六边形。然后计算周长，然后得到一个 的范围。阿基米德最后作到了96边形，将 的范围缩小到3.1408到3.1429之间 。
阿基米德在《抛物线图形求积法》中用“穷竭法和归谬法”思想求得抛物线与一直线相交围成的面积是同底等高三角形面积的（以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的4/3）
后来他还用力学的方法进行了验证。
可见“穷竭法和归谬法”是黄金组合，阿基米德把两者运用得出神入化，解决了一个又一个难题。下面给出些例子：
命題 33：「球面积等于最大圆面积的 4 倍」
（三）提出疑点和解决
1、评价阿基米得的成就？
答：阿基米德的一生几乎解决了当时数学界无法回答的所有主要问题。他在估算面积时对穷竭法的完美使用以及利用螺旋线来确定切线的方法，使他发现微积分只有咫尺之遥，最终这个伟大的方法直到18个世纪以后才被发现；他使用实验模拟来解决几何问题的方法，是对当时被人们所认可的常识的巨大挑战；他对曲边图形面积和表面积的研究，极大地推动了几何学中这一分支的进步；他对很小和很大数的计算给算术带来了崭新的方法；他所做出的很多开创性的和重要的发现，都显示出他无与伦比的洞察力。数学家们把阿基米德、牛顿、高斯并称史上三大数学家。
2、设球的半径为时间t 的函数R（t）。若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）
A.成正比，比例系数为C
B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C
【答案】D