数学之神──阿基米德 学案 (2)

《数学之神—阿基米得》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解阿基米得的主要数学成就，理解平衡法、穷竭法和阿基米得螺线。
二、自学内容提炼
（一）提出问题
1、阿基米得的主要数学成就有哪些？
2、说一说阿基米得的特点
（二）新知导入
1、阿基米德的著作
《圆的度量》: 利用圆的 与 96边形，求得圆周率π为： ＜π＜ ，这是数学史上最早的、明确指出误差限度的π值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是 法。
《球与圆柱》：熟练地运用 法证明了球的表面积等于球大圆面积的 倍；球的体积是一个圆锥体积的 倍，这个圆锥的底 球的大圆，高等于球的 。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的 。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”。
《抛物线求积法》：研究了曲线图形求积的问题，并用 法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的 。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。
《 》：是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。
《 》：是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。
《 》：是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。
《浮体》：是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。
《 》：讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。
2、阿基米德的数学成就
（1）平衡法求球的体积
球：
( 设球片半径r，则有)
圆柱：
圆锥：
2R (球体积＋圆锥体积)＝4R圆柱体积
2R (球体积＋=
球体积＝
（2）平衡法求抛物线弓形的面积
（3）用穷竭法计算平面图形面积
、
（4）阿基米德螺线
一条射线绕其固定端点匀速旋转，同时有一动点从端点出发沿射线匀速运动，那么这动点就描绘出一条平面螺线.
（三）提出疑点和解决
1、阿基米得的主要数学成就有哪些？
答：①著作：《砂粒计算》《圆的度量》《球与圆柱》《抛物线求积法》《论螺线》《平面的平衡》《浮体》《论锥型体与球型体》
②方法：平衡法、穷竭法
2、查资料了解阿基米得、说一说阿基米得的特点
答：和他的前辈及同时代的一些学者相比，阿基米德的学术活动有一个显著的特点，就是他既极为重视科学的严密性、准确性，要求对每一个问题都进行精确的、合乎逻辑的证明；又非常注意科学知识的实际应用，亲自设计制造过多种机械装置和建筑物，开创理论研究和实际应用密切结合的学风。