中国古代数学瑰宝 教案 (4)

中国古代数学瑰宝
教学目标分析：
1、了解中国古代数学主要著作《周髀算经》和《九章算术》以及几位对数学发展起到重要作用的数学家：刘微和祖冲之，了解中国传统数学的形成与兴盛。
2、培养学生分析、归纳、总结的能力。
3、感受到中国古代的数学魅力，增强民族自豪感，激发学生努力学习数学的热情
重难点分析：
重点：了解中国古代数学主要著作《周髀算经》和《九章算术》以及几位对数学发展起到重要作用的数学家：刘微和祖冲之。
难点：赵双弦图、割圆术、大衍求一术。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、周髀算经
《周髀》是西汉初期的一部天文、数学著作．髀是量日影的标杆(亦称表)，因书中记载了不少周代的天文知识，故名《周髀》．唐初凤选定数学课本时，取名《周髀算经》．
1．勾股定理
在中国，《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书．该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，
　
2．等差数列
《周髀算经》中的“七衡”便是一等差数列．七衡是七个等距离的
里，书中给出计算各圆径的一般法则：“欲知次衡径，倍而增内衡之径．二之以增内衡径，得三衡径．次衡放(仿)此．”这相当于给出通项公式
Dn＝D1＋(n-1)·2d，
其中d为相邻两圆间的距离．
3．内插法
所谓内插法，是已知若干自变量所对应的函数值，求这些自变量之间其他自变量对应的函数值的一种方法，古代常用来推算日、月、五星(即金星、木星、水星、火星、土星)的行度，为制订历法服务．内插分两种---等间距内插和不等间距内插．等间距指的是自变量的间距相等．设自变量x，等间距h，函数关系为f，若函数值之差
f(x＋nh)-f(x＋(n－1)h)(即一次差，其中n=1，2，…)为一不等于0的常数，则用一次内插法；若这些函数值之差的差(即二次差)为一不等于0的常数，则用二次内插法，依此类推．用现代数学的观点来看，n次内插法反映的是n次函数关系．
《周髀算经》中的内插法是最简单的等间距一次内插法．已经测得二十四节气中冬至、夏至的日影①长，推算其他节气的日影长．假定每两个节气的时间间隔相等，并以f(a)，f(b)表示夏至及冬至的日影长，则有
其中f(n)是从夏至到冬至的第n个节气的日影长，Δ被称为损益数．
4．相似形与测量术
《周髀算经》中记载着商高的“用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方．”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法．第二、三、四句是相似直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点间距离．下面以第二句为例说明测量方法：设AB为矩的一边，BC是矩的另一边由顶点到视线的一段，AD为图4．8所示之可测距离，DE
其中显然用到了相似原理，可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性质了．
二、《九章算术》
（一）成书背景
中国数学经过长期积累，到西汉时期已有了相当丰富的内容．除《周髀算经》外，西汉初期出现了第一部数学专著---《算术书》，用竹简写成．全书共60多个标题，如“相乘”、“增减”、“少广”、“税田”、“金价”、“合分”等，标题下列有各种问题．《九章算术》的体例便受到《算术书》的影响．另外，从甘肃居延等地出土的竹简发现，西汉已有初步的负数及比例概念，面积和体积计算的知识也增多了．这些都为我国初等数学体系的形成准备了条件．
《许商算术》和《杜忠算术》是《九章算术》之前不久成书的著作．许商，长安人，公元前32---前8年曾任西汉大司农、河堤都尉等官职．他参加过治水工作，精通天文历法和计算，著《许商算术》26卷．杜忠与许商同时代，著《杜忠算术》16卷．
现传本《九章算术》约成书于西汉末年，作者不详，可能经多人之手而成．它是一部承前启后的著作，一方面总结了西汉及西汉以前的数学成果，集当时初等数学之大成；另一方面又对后世数学发展产生了深远的影响．
（二）内容与体例
《九章算术》包括丰富的算术、代数和几何内容，全书共246题，几乎全是应用题．这些问题按不同的用途分为九卷，故名《九章算术》．下面简介各卷内容．
卷一“方田”，38问，主要讲平面图形的计算，包括系统的分数算法．
卷二“粟米”，46问，粮食交换中的比例问题．
卷三“衰(cuī)分”，20问，比例算法在分配物资等问题中的应用．
卷四“少广”，24问，开平方、开立方问题．
卷五“商功”，28问，土木工程中的体积计算．
卷六“均输”，28问，主要讲纳税和运输方面的计算问题，实际是比较复杂的比例算法．
卷七“盈不足”，20问，算术中盈亏问题的解法．
卷八“方程”，18问，主要讲线性方程组解法，还论及正负数概念及运算方法．
卷九“勾股”，24问，勾股定理的应用．
书中的各类问题都有统一解法，但没有证明．经后人验证，这些解法的绝大部分是正确的．各法以“术”名之，术文统御习题，这是本书体例的基本特点．例如，方田术“广从步数相乘得积步”，勾股术“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，便分别统御各方田问题及勾股问题．
（三）数学成就
1．算术
(1)分数运算
《九章算术》方田章系统给出了分数四则运算法则，以及通分、约分、化带分数为假分数的方法，其步骤与现代一致．
分子、分母有公约数时，可利用公约数来化简分数．《九章算术》提出一种“更相减损”法来求最大公约数：“副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也．”即用分子和分母中的大数减去小数，互相减，减到余数与减数相等为止，该数便是原来两数的最大公约数．然后
(1)，从91减去49余42，如图4．9(2)；从49减去42余7，如图4．9(3)；从42依次减去7，到第5次余7，如图4．9(4)．
谓“欧几里得算法”在本质上是一样的．
(2)比例算法
《九章算术》的二、三、六、九各卷中，广泛使用比例算法来解决应用问题，并给出一般法则：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一．”即
这是由比例式
所求数：所有数=所求率∶所有率
得出的．书中称该算法为“今有术”，大概是因为这类问题的开头常冠以“今有”二字．例如：“今有丝一斤价值二百四十钱，今有钱一千三百二十八，问得丝几何？”依法列式
除了这种最简单的比例问题外，书中还有连比例、复比例、配分法等复杂的比例问题．例如：“今有贷人千钱，月息三十．今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？”这便是一个复比例问题，其中9日乘750钱为所有数，30钱为所求率，30日乘1000钱为所有率．实际上，《九章算术》几乎包括了算术中的全部比例内容．
(3)盈不足术
《九章算术》卷七专讲盈亏问题，解法称为盈不足术．例如：“人出八盈三，人出七不足四，求人数、物价各多少？”设每人出钱a1，盈b1；每人出钱a2，不足b2，人数为m，物价为n，则有
这就是盈不足术的现代形式，其中各字母都是正数，分母也是正数．若a1＜a2，则分母为a2-a1．将例题中数字代入，则
这种方法的正确性很容易用现代解方程组的行列式法验证．
2．代数
(1)开方
《九章算术》中载有开平方、开立方的方法．例如，欲求55225的平方根，摆筹式如图4．10(1)(改用阿拉伯数码表示)，其中55225叫“实”(被开方数)，最下面的1叫“借算”，代表最高项系数．此式实际上表示方程
x2＝55225．
将“借算”向左移动，每一步移二位，移二步后停住，如图(2)．于是，原方程变为
10000x12＝55225．
议得x1大于2小于3，就在实的百位上置2，作为平方根的第一位数．以议得的2乘10000得20000，放在实之下，借算之上，叫法．再以2乘法得40000，从实中减去，余15225，如图(3)．
把法加倍，向右移一位，变为4000，叫定法．把借算向右移二位，变为100，如图(4)，这相当于方程
100x22+4000x2=15225．
议得x2大于3而小于4，就以3为平方根的十位数．以3乘100得300，加入定法得4300；以3乘4300，从实中减去，余2325，如图(5)．
再以300与4300相加，得4600，向右移一位变为460，这是第三位方根的定法．把借算向右移二位，变为1；如图(6)．这相当于方程
x32＋460x3＝2325．
议得x3＝5为平方根的个位，以5乘借算1，加入460得465．以5乘465，从实内减去，恰尽，得55625的平方根235，如图(7)．
从文字叙述来看，筹算开方法似乎很繁，实际摆筹运算是相当简便的．这种方法到宋代发展为增乘开方法，对高次方程解法产生了巨大影响．
(2)正负数
《九章算术》中不仅有正负数，而且还建立了正负数加减法则，即“正负术”．加法法则为：“异名相除，同名相益；正无入正之，负无入负之．”即异号两数相加，绝对值相减；同号两数相加，绝对值相加；0加正数为正，0加负数为负．类似地有减法法则：“同名相除，异名相益；正无入负之，负无入正之．”
(3)线性方程组
《九章算术》中的“方程”，实际是线性方程组．例如卷八第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上中下禾实一秉各几何？”(禾即庄稼，秉即捆，实即粮食．)依术列筹式如图4．11，它相当于三元一次方程组
其中x，y，z分别为上中下三等
禾每捆打粮食的斗数．按《九章
算术》解法，用(1)式x的系数3去乘(2)的各项，得
6x+9y＋3z＝102．
(4)
用(4)减(1)二次，得
5y＋z=24．
(5)
再用(3)×3，得
3x＋6y+9z＝78．
(6)
(6)减(1)，得
4y＋8z＝39．
(7)
中把这种方法叫“直除法”，即连续相减法．它的原理与现在加减消元法一致，只是比较烦琐．
《九章算术》中还有一道“五家共井”题，是说五户人家共用一口井，各家都有提水的绳子但都不够长，甲户的两条与乙户的一条合起来够用，乙户的三条和丙户的一条合起来够用，丙户的四条与丁户的一条合起来够用，丁户的五条与戊户的一条合起来够用，戊户的六条与甲户的一条合起来够用，问井深和各户的“一绳之长”．假定五户绳长依次为x，y，z，u，v，井深为a，则有
该方程组有五个方程，六个未知数，所以是不定方程组．书中给出了它的一组解．
3．几何
《九章算术》中给出正方形、长方形、三角形、梯形、圆、弓形等常见图形的面积公式．圆的面积公式有三个，即
其中c为周长，d为直径，取圆周率为3．
书中的体积公式很多，包括立方体、长方体、棱柱、梭锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台，其体积公式都与今一致．还给出一种比较复杂的几何体---刍童，即上下底面都是长方形的拟台体(图4．12)的体积公式
　
《九章算术》对勾股定理的应用很广泛．它首先给出勾股定理的三种形式，即
然后解决了几十个应用题．例如：“今有圆材不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”(图4．13)以r为圆半径，由勾股定理得
r2＝52＋(r－1)2，
解得r＝13，倍之即圆径．
在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如52＋122＝132，62＋82＝102，72＋242＝252，82＋152＝172，202＋212＝292，282＋962＝1002，等等．后人在此基础上进一步研究，找到了整勾股数的一般规律．
（四）理论特色及意义
如果要找两部在世界上流传最久的古代数学著作，那就是希腊的《几何原本》与中国的《九章算术》，它们都是世界数学史上极为珍贵的文献，分别在西方和东方的数学发展中产生过深远影响．但两书是各有特色的，从中可以看出东、西方数学的差异．
在指导思想上，《九章算术》是把数学当作工具来用的．全书246题，几乎都是与生产、生活实际有关的应用问题，这说明作者在研究数学时，是以应用为目的，不大重视数学体系自身的完善．而《几何原本》则正好相反，全书没有一道应用题，全是“纯粹”的数学问题，表现出作者追求数学自身完善，“为数学而数学”的思想．
从体例上来看，《九章算术》以术文统御习题，以计算为中心；《几何原本》则是一个演绎体系，以证明为中心．
在几何研究方面，《九章算术》把重点放在几何量的研究上，把大量算术及代数知识用于长度、面积和体积计算；《几何原本》则把重点放在图形性质及相互关系的研究上，采用的是比较纯粹的几何方法．
总的来说，《九章算术》与《几何原本》相比，前者以实用性、计算性见长，后者以逻辑性、抽象性取胜．当然，《几何原本》对近代数学发展所起的作用无疑超过《九章算术》，因为它那种逻辑演绎体系更适合于近代数学．但《九章算术》在世界数学史上的地位也是不应忽视的．
《九章算术》的成书，标志着中国初等数学体系的形成．该书包含了丰富的算术、代数和几何内容，形成一个以算筹为计算工具的、有自己特点的完整体系．《九章算术》中的一些成就具有世界水平．比例算法、盈不足术、开平方和开立方、负数的引入及正负数加减法则、线性方程组解法，都是世界上最早提出的．
由于《九章算术》的实用性强，它对当时的社会有很大影响．早在东汉时期，政府就把它当作校对度量衡的数学依据．书中的数学知识被用于解决各种实际问题，例如当时的历法(《四分历》、《乾象历》)便采用了书中的正负数加减法则，田亩测量及土木工程则离不开各种面积和体积公式．
在中国数学史上，《九章算术》的影响是极为深远的．首先，它的体例在一千多年的时间里起到了“示范”的作用．从汉至明，大部分算书遵从《九章算书》的体例．有些甚至直接冠以“九章”之名，如杨辉《详解九章算法》、秦九韶《数书九章》、吴敬《九章算法比类大全》等．其次，《九章算术》重应用、重计算的特点被后世数学家所继承，形成中国古代数学的传统，即从实际问题出发，寻求数学解决办法．最后，《九章算术》中的许多理论，直接为中国数学的发展奠定了基础．如开方法对于高次方程，线性方程组对于四元术，都有一定的奠基作用．
自隋唐至宋，《九章算术》曾长期作为中国的数学教科书．实际上，《九章算术》成书后，历代研究数学的人几乎没有不读该书，不从中吸取营养的．它对于培养数学人才具有不可忽视的价值．
《九章算术》传到日本、朝鲜等东方国家后，也曾被当作教科书使用．越南的数学家在研究此书的基础上，写出若干书名冠以“九章”的数学著作．《九章算术》的某些内容还曾传到印度和阿拉伯国家，并辗转传到欧洲，对世界数学的发展起了一定作用．例如《九章算术》勾股章中的一些问题几乎原封不动地出现在后来的印度数学著作中，盈不足术与比例算法也先后传入阿拉伯和欧洲．
三、
刘徽的数学成就
（一）刘徽生平
刘徽是中国古代最伟大的数学家之一．
他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年．刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家．
刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览．
观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注．”刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想．《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作．
刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题．他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今．
从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入，堪称数学史上的一代楷模．
（二）《九章算术注》
此为刘徽的力作，反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献．
1．算术
(1)十进分数
刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值．这种记数法与现代
刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细．”这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致，即
其中a1，a2，…，an是0至9之间的一位整数．
(2)齐同术
《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善．他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”．前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变．另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题．
2．代数
(1)对正负数的认识
《九章算术》成书后，正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及．刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”就是说以正负数表示得失相反的量．他还进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多．”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大．另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数．这两种方法，对后世数学都有深远影响．
(2)对线性方程组解法的改进
《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法．例如方程组
刘徽是这样解的：
(1)×2，(2)×5，得
(4)-(3)，得
21y＝20(下略)．
显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算．刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也．”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法．
(3)方程理论的初步总结
刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组．他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程．”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以叫方程．”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件．若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例．刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”．
对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解．很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了．不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的．
3．几何
(1)割圆术
刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值．他认为圆内接正多边形的边数越多，其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法---割圆术．具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，从而简化运算．他利用公式
(ln为内接正n边形边长，S2n为内接正2n边形面积)来求各正多边形面积．至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的．例如，由以下三式即可求得正12边形边长(图4．14)：
　
TR＝OR-OT，
后，便根据
S192＜S＜S192＋(S192－S96)
刘徽舍弃分数部分，取圆面积为314平方寸，从而得到π＝3．14、这种方法可以求得任意精度的圆周率近似值，刘徽对这一点是很清楚的．不过，他根据当时的需要，运算中只取到两位小数．
割圆术的创立是数学史上的一件大事．古希腊的阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)也曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻烦一些．刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的．
(2)几何定理的证明
刘徽采用出入相补原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理．例如，他在证明三角形面积公式时，思路如下：把三角形的高h二
自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂．”可惜的是原图失传，所以不知刘徽怎样“出入相补”．
刘徽在研究立体几何时，发现“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．即“过对角面分割堑堵为一个阳马(图4·16中ABCDE)和一个鳖臑(图4·16中DEFC)，则阳马与鳖臑的体积之比恒为二比一．”为叙述方便，我们称之为阳马定理．刘徽从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式．另外，他还发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数．这一原理可称为“刘徽原理”．在《九章算术注》中，刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积∶外切正四梭台体积=圆面积∶外切正方形面积=π∶4．书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的．
(3)对球体积的研究
刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式．他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图4．17)．于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切．刘徽只保留两圆柱的公共部分，取名“牟合方盖”．(图4．18)根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体体积，整个问题就迎刃而解了．刘徽没有成功，只好“以俟能言者”．但他的思路正确，为后人解决这一问题打下了基础．
4．刘徽的极限观念
从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的极限思想．他把极限用于代数和几何研究，取得重要成果．这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展．
例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上．他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形面积的极限便是圆的面积．他还把割圆术用于求弓形面积．如图4．19，刘徽在弓形内
　
　
为弓形面积．显然，用此方法可使弓形面积达到任何需要的精确度．
刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需耍，求到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度．刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的．他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指出，极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算．
（三）刘徽的重差术
重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离．刘徽对这一理论进行了总结和提高，写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》)．他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差．”全书只有九道题，但很有代表性．
例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐．从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？
按题意画图如下：
因当时1步为6尺，故标杆高5步．由刘徽术文，得
若用字母表示，则
因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比，所以叫重差术．这是书中最简单的一题，只须测望二次．其他问题往往要测望三次或四次，但原理与本题相同．刘徽曾著《重差图》和《重差注》，可能是用来推导术文的，已佚．估计刘徽的推导方法不外两种，一是利用出入相补，二是利用相似三角形．
如果用三角知识去解重差问题，结果也是一样的．中国传统数学无三角，重差术便起着与西方平面三角类似的作用，这是中国数学的特色之一．
（四）刘徽的学术思想
刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的．概括起来，他的学术思想有如下特点．
1．富于批判精神．刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见．他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种泥守古人“周三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失．”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神，才在研究《九章算术》时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》．
2．注意寻求数学内部的联系．刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已．”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这一思想．例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体现．
3．注意把数学的逻辑性和直观性结合起来．刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是说问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用．他认为只有这样才能使数学既简又明．实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重要数学概念，都给出明确定义．他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密．例如，他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱台的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的．另一方面，刘徽也很注意数学的直观．他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来研究开立方和推导体积公式，称为棋验法(刘徽称特定的立体模型为棋)．有时，他还在证明过程中辅之以剪贴和涂色的方法．总之，他在数学研究中既注意逻辑推理，又注意运用直观手段，所以他的理论明白易懂．
四、祖冲之父子的数学工作
1．祖冲之父子生平
祖冲之(429---500)，河北人，后迁居江南，生活于南朝的宋、齐之间．父亲祖朔之曾在刘宋朝中为官．祖冲之自幼好学，尤喜历、算．青年时曾任南徐州(今镇江)从事史，后来回建康(今南京)任公府参军．他的行政事务虽多，仍利用工余时间进行大量科学研究．他对前代历法进行仔细的分析比较，对八尺高标杆的日影长度坚持观测达十年之久，在此基础上于大明六年(462)完成《大明历》，书中首次应用了岁差理论，是当时中国最先进的历法．但他把该历呈送朝廷后，由于保守势力的阻挠，未能及时推行．大明八年(464)后，祖冲之出任娄县(今江苏昆山)令，刘宋末年再度被调回建康，任谒者仆射(一种司礼节的官)．齐灭宋后又在齐为官，晚年升到长水校尉，享受四品奉禄．曾造指南车、千里船、水碓磨、刻漏等，远近驰名．数学方面，他曾给《九章算术》作注，并与其子祖暅共同完成数学史上的名著---《缀术》(已佚)．
祖暅曾在梁朝先后担任员外郎、材官将军等职．他多次向朝廷建议修改历法，采用他父亲的《大明历》，经太史令实测天象、考验新旧历法后，政府终于在天监九年(510)采用了《大明历》．天监十三年(514)，祖暅奉命在淮河上指挥修筑浮山堰，因被洪水冲毁而获罪入狱．他出狱后不久，在南朝边境被北魏军队俘获，软禁于元延明家，在那里遇到北魏天文学家信都芳，两人常在一起讨论天文和数学．梁普通七年(526)，祖暅南还．他除了和父亲共同完成《缀术》外，还自著《天文录》、《权衡记》等，已失传．
2．祖冲之的圆周率
继刘徽之后，祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力．据《隋书》记载，他已算得
3．1415926＜π＜3.1415927．
祖率和密率，都是当时世界上的最好结果．祖率已精确到七位小数，保持世界纪录近千年．至于密率，堪称数学史上的奇迹．它的特点是既都是准确的．比密率更接近π的分数，其分母比113大得多．可以证明，
祖冲之是怎样求圆周率的？这个问题至今还是个谜．因为他的数学著作《缀术》已失传，《隋书》中则只有结论而无求法．据一些史料推测，他可能继承了刘徽的割圆术，通过增加圆内接正多边形的边数来求得更精确的圆周率值．实际上，只要用割圆术求得圆内接正24576(即3×213)边形面积，就可以得到祖率．祖冲之用不足近似值和过剩近似值两数来限定π，这种思想可能也受到刘徽的影响．
3．祖暅原理与球体积公式
刘徽开辟了通向球体积公式的正确道路但没有达到目标．祖冲之父子在这条路上继续前进，终于完成了刘徽的未竟之业．祖冲之与戴法兴辩论时曾说：“至若立圆旧误，张衡述而弗改……此则算氏之剧疵也．”可见他对球体积问题进行过深入研究．至于他是否解决了这一问题，不见记载．但根据唐代李淳风注《九章算术》“开立圆术”时引用的资料来看，祖暅确实解决了这一问题．他很可能是在父亲工作的基础上取得突破的．
祖暅在研究球体积时继承了刘徽的思想，抓住关键性的牟合方盖的体积计算．但他吸取了刘徽的教训，不再直接求方盖体积，而是首先研究立方体内除去牟合方盖的部分．他利用了图形的对称性，着重研究这
面面积为R2－h2(图4．23(1))，因为内外棋截面和等于R2，所以高h处的外棋截面为h2(图4．23(2))．再作一个底边和高都是R，且有一条棱垂直于底面的倒立四棱锥，则梭锥在高h处的截面也是h2(图4．23(3))．祖暅研究了各体积的关系，提出“幂势既同，则积不容异”的原理．其中“幂”是面积，“势”是关系，“积”是体积．这句话的意思是：在两立体中作与底平行的截面，若截面积处处相同，则两立体体积相等．这一原理可称为“祖暅原理”，是刘徽原理的特例．西方称此为“卡瓦列里原理”，因为它曾被17世纪的意大利数学家卡瓦列里(B．Cavalieri，1598---1647)重新发现．
根据祖暅原理，很容易得到外棋与倒立四棱锥体积相等的结论，而
　
这便是正确的球体积公式．自《九章算术》以来，历经四个多世纪，这一问题终于得到圆满解决．在祖暅之前，阿基米德曾用平衡法求得球体积公式，两人的工作是各具特色、殊途同归的．
小结：中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。分成三个阶段：《周髀算经》与《九章算术》、刘徽与祖冲之、宋元数学，这反映了中国传统数学发展的三次高峰，简述9位中国科学家的数学工作。