中国古代数学瑰宝 课件 (4)

课件30张PPT。《周髀算经》是我国最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要内容是周代传下来的有关测天量地的理论和方法。
《周髀算经》也是中国最古的算书，成书确切年代没有定论，一般认为在公元前2、3世纪。李约瑟认为：“最妥善的办法是把《周髀算经》看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。” 第三讲 中国古代数学瑰宝《周髀算经》中的勾股定理 周公问商高关于计算的问题，商高答曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”
荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，…” 《周髀算经》还记载了商高的用矩之法：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。” 九章算术 《九章算术》成书于公元前后，是我国最重要、影响最深远的一本数学著作。后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳风等人均对《九章算术》作过注。特别是刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解，阐述了重要的数学理论。《九章算术注》是《九章算术》得以流芳百世的重要补充和媒介。 对《九章算术》的评价日本数学家小苍金之助把《九章算术》说成是中国的《几何原本》。吴文俊教授也认为，《九章算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与希腊的《几何原本》东西辉映，各具特色。
1968年德国沃格尔（Vogel）把《九章算术》译成德文出版时加的评论认为：“在古代算术中，包含如此丰富的246个算题，现存的埃及和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。以希腊而论，所保存的古算题为我们所熟知者，也属于希腊化时代。” 第一章“方田”讲述有关平面图形（土地田亩）面积的计算方法，包括分数算法，38个问题。
[一]今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩。
[二]又有田广十二步，从十四步，问为田几何？答曰：一百六十八步。
方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一倾。 [五]今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。
[六]又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。
约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第二章“粟米”讲述有关粮食交换中的比例问题。书中的“今有术”给出比例式中已知三数求第四数的方法，欧洲迟至15世纪才出现。第三章“衰分”讲述配分比例和等差、等比等问题。
第四章“少广”讲述由田亩面积求边长，由球体积求经长的算法，这是世界上最早的多位数开平方、开立方法则的记载。 开方术今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。
开方术曰：置积为实，借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副从定法。复除折下如前。 第五章“商功”讲述各种土木工程中的体积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、修渠等土建工程积累了丰富的经验，创造了许多有关土方体积计算和估算的方法，本章即为经验和方法的理论总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式都与现在一致，只是圆周率取3，误差较大。
第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计算问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。
第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题的解法。盈不足术实际上是一种线性插值法。该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”。后来传入欧洲，13世纪意大利数学家斐波那契的《算经》一书中专门有一章讲“契丹算法”。 第八章“方程”讲述线性方程组的解法，还论及正负数概念及运算方法。
中算的方程，本意是指多元一次方程组（线性方程组）。刘徽在《九章算术注》中指出：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。” 方程术例题今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？
正负术李文林在《数学史教程》中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。”
国外首先承认负数的是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。 勾股术第九章“勾股”在《周髀算经》中勾股定理的基础上，形成了应用问题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。
术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。 刘徽的数学成就刘徽的《九章算术注》包含了他本人的许多创造，其中最突出的成就是“割圆术”和求积理论。
若设圆面积为 ，内接
正n边形边长为 ，面积为
则OABCD圆周率刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正192=6×25边形，得到 “徽率”3.14。
推测祖冲之可能也是沿用了“割圆术”，计算到圆内接正24576=6×212边形，即可得祖冲之的结果。刘徽的求积理论刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是“出入相补原理”。刘徽用这条原理成功地证明了《九章算术》中的许多面积公式。
刘徽在推证《九章算术》中的一些体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。比如，“阳马” 体积公式便是用极限方法推导出来的，而球体积公式的推导则使用了不可分量方法。
为计算球体积，刘徽提出“牟合方盖”。算经十书 出于官方数学教育的需要，唐高宗亲自下令对以前的数学著作进行整理。公元656年由李淳风负责编定了算经十书：《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张邱建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《海岛算经》、《五经算术》和《缀术》，后因《缀术》失传，而以《数术记遗》替代。 孙子算经 [鸡兔同笼]今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。
术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。
[物不知数]今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。 孙子歌 明代数学家程大位的《算法统宗》中所载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。”
这一问题的解法后经秦九韶推广到一般情形，被称为“孙子定理”，又称为“中国剩余定理”。 宋元数学 宋元时期（960-1368）的杰出数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰被称为“宋元四大家”。
宋元时期的数学代表著作有《数书九章》（秦九韶）、《详解九章算法》（杨辉）、《益古演段》（李冶）和《四元玉鉴》（朱世杰）等 大衍总数术 问题：求满足

的最小自然数N。
◆设 ，
求乘率 使
则总数中国剩余定理秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术”相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的，因此关于这一算法被称作“中国剩余定理”。 《缀术》 圆周率计算 球体体积公式 古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。 宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。《缀术》 密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。 1913年起称355/113为祖率。 所著之书,名为《缀术》,学官莫能究其深奥，是故废而不理。《缀术》《缀术》 圆内接正
12288边形和24576边形 3.14159261<π<3.14159271《缀术》体积计算谢谢观赏！