中国古代数学瑰宝 课件 (1)

课件39张PPT。中国古代数学瑰宝一、源远流长、成就卓著的中国古代数学 中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国.中国古代的四大发明曾经极大地推动了世界文明的进步.同样，作为中国文化的一个重要组成部分，中国古代数学，由于其自身的历史渊源和独特的发展过程，形成了与西方迥然不同的风格，成为世界数学发展的历史长河中的一支不容忽视的源头.
与世界上其他民族的数学相比，中国数学渊源深远流长，成就卓著.本章按照年代的顺序，巡视一下中国古代数学发展的状况.
（一） 先秦时期——中国古代数学的萌芽中国是世界著名的文明古国，和古巴比伦、埃及和印度一样，她也是人类文化的 发源地之一.数学作为中国文化的重要组成部分，它的起源可以追溯到遥远的 古代.根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽.一般认为，这一时期的数学成就主要有以下几点：（二） 结绳记事 中国古代记数方法的起源是很早的.
《易·系辞传》称：“上古结绳而治.”
《易·九家义》解释了这种方法：“事大，大结其绳；事小，小结其绳.结之多少，随物众寡.”
《史记》记载：“伏羲始画八卦，造书契，以代结绳之治.”（三） 规矩的使用 《周礼》、《荀子》、《淮南子》、《庄子》等古籍都有明确的记载：“圆者中规，方者中矩.”
《史记》记载，夏禹在治水时就“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道”.
汉武梁祠 中还有“伏羲手执矩，女娲手执规”的浮雕像，将这两种工具的最早使用归功于传说中的伏羲与女娲. （四）十进位制记数法、分数的应用及筹算 商代（公元前１６世纪到公元前１２世纪）甲骨文就已发展成熟.据对河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明，中国当时已采用了“十进位值制记数法”，并有十、百、千、万等专用的大数名称. 殷墟出土甲骨文中的数名记法 中国古代对分数概念的认识也比较早，分数的概念及其应用，在《管子》 、《墨子》、《商君书》、《考工记》等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载.
到了春秋战国时代,算术四则运算也已经发展成熟.据汉时燕人韩婴所撰的《韩诗外传》介绍，标志着乘除法运算法则成熟的“九九歌”在春秋时代已相当普及.《 吕氏春秋》所载 “齐桓公招贤” 的故事 ,从一个侧面说明了在当时九九歌已被人们广泛地应用了.算筹是中国古代的计算工具.相应的一套算法也就称为筹算.从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年.用算筹表示数有纵横两种摆法: 算筹记数的表示方法 （五） 精湛的几何思想战国时期（公元前475-221年）的诸子百家，他们和古希腊的数学学派一样其著作包含了理论数学的萌芽.其中最为杰出的是“墨家”和“名家”.
《墨经》记载了许多几何概念. 如“平，同高也”；“中，同长也”；“圜 ，一中同长也”等等.还涉及到有穷和无穷的概念 .“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也.”
《庄子》记载惠施曾提出：“至大无外谓之大一，至小无外谓之小一”. 还记载有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. “飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时” .
这些可以说与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙，也是世界数学史早期最光辉的数学思想之一.（六） 数学教育的开始《周礼·地官》中保氏称：“保氏掌谏王恶，而养国子以道.乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数.”
其中礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺，前者为大学所授，后者乃小学所习.并称：“六年教之数（shǔ），十年学书计.”
由此可见,早在周代国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一.对数学教学如此重视，且以典制的形式规定下来，这在世界历史上是罕见的.（七） 汉唐时期——中国传统数学体系的形成从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通的工程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力，数学也有了长足的发展，其主要标志是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成.二、 《周髀算经》与赵爽弦图《周髀算经》
该书原名《周髀》，大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周（公元前11世纪-公元前8世纪）.这是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用.卷首记述：“昔者周公问于商高曰：……古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方.圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩以为勾广三，股修四，径隅五.……故禹之所以治天下者，此数之所生也.”接着又借陈子之口又给出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下为勾 ，日高为股.勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日.”
这就是我国有关勾股定理的最早记录. 中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的.
赵爽是中国历史上首次对《周髀》 进行认真研究和注释的学者.他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图.其中最为精彩的是 “勾股圆方图注”: “按弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘，为中黄实.加差实一，亦成弦实.”另外，在这篇注文中，赵爽还给出并证明了有关解直角三角形的27个命题。此外，在《周髀算经》中还介绍了许多种利用勾股定理进行测量的方法，如测量太阳的直径、太阳的高等.同时，在勾股测量与计算中，还涉及到十分复杂的分数计算，这在以前的著作中是没有的.三、《九章算术》 标志着中国传统数学理论体系的形成.
该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元一世纪初.
中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功.也许正是这种原因，决定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系.宋刻本《九章算术》书影 全书采用问题集的形式，每题大致由“问”、“答”、“术”三部分组成，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则。
全书共有246个应用题。大多数都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题.
这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章. 第一章.“方田” 本章主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则.其中，平面图形有方田（长方 形田地）、圭田（三角形田地）、邪（斜）田（直角梯形田地）、箕田（ 等腰梯形田地）、圆田（圆形田地）、宛田（说法不一，未有定论）、弧田（弓形田地）、环田（圆环或环缺形田地）的面积算法，除宛田、弧田是近似计算方法外，其他各种图形的面积算法都是正确无误的.分数运算法则包括约分术（约分与通分）、合分术（分数加法）、减分术（分数减法）、课分术（两个分数的大小比较）、平分术（求几个分数的算术平均值）、乘分术（分数乘 法）、经分术（分数除法）和大广田术（带分数除法），这些算法也都是正确的，且与现今的计算方法在理论上是一致的.第二章.“粟米” 该章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦 、面、饭等之间的兑换比率及四项比例算法.四项比例算法当时称为“今有术”，其计算方法是：所求数＝（所有数×所求率）／所有率，这里，所有率、所求率、所有数与所求数是比例算法的四个专用名词.如“已知麦与米的比率是３∶２，现有麦子６０斤，问能兑换大米多少斤？” 在这个问题中，所有率是麦子的比率３，所求率是大米的比率２，所有数是已有麦子的斤数，所求数就是欲求的大米斤数，这样，按上述公式，能兑换大米的斤数为（６０×２）÷３＝４０(斤)，《九章算术》还将这一算法用于解决一些更复杂的问题. 第三章.“衰分” 主要论述配分比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关.
例如:“今有大夫、不更、簪niao 、上造、 公士五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各几何？”
分配原则是“位高者多得，位卑者少得” 第四章.“少广” 主要成就包括开平方、开立方的算法. 第五章“商功” 主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题. 第六章“均输” 主要论述较为复杂的配分比例问题.其中最引人注目的是“均输术”.这是我国古代实行的“均输制”在数学上的反映，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题. 第七章“盈不足” 主要论述盈亏问题的解法.盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出a1钱，则多出b1钱;若 每人出a2(a2人数=(b1+b2)/(a1-a2).
物价=(a1b2+a2b1)/(a1-a2).
这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似解法.
例如“双鼠穿垣”题 第八章“方程” 主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元.在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元，这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”.
“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究. 第九章“勾股” 主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量. 四、中国古代数学家刘徽，魏晋时期人，祖籍淄乡（今山东临淄或淄川一带），生卒年月不详，他年轻时十分好学，尤其喜爱数学.公元263年（魏陈留王景元四年），刘徽的《九章算术注》问世， 书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献. 1、刘徽的数学贡献在算术方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论.他的分数的意义、表示 方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平.他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足”方法等.
在代数方面，给线性方程组解法以及正负数加减运算这两项算法以完整的理论说明，给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理. 并把正与负看成是相对存在的数的两种情况，并把数的正负与加减运算关系统一起来.还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法作出了直观解释.此外，他由取 平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法.
在几何方面，以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明， 这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法 ”等等. 刘徽对球体积计算的研究 <九章算术>少广章的“开立圆术”给出的球体积(V3)计算方法相当于公式
(这里的D为球直径)
刘徽对这一公式的正确性产生了怀疑，他使用截面法进行验证，发现内切圆柱的体积（V2）与正方体的体积（V1）之比为 ，在《九章算术》取的情况下，只有在内切球与圆柱的体积之比也是 时，上述近似公式才成立，而实际上后者是不成立的.为此，刘徽又以正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割，剔除外部，剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”（如图 )证明内切球与“牟合方盖” 的体积之比为 而明显地可以看出，“牟合方盖”的体积比圆柱要小， 故上述公式是错误的. 显然，如果能求出牟合方盖的体积，球的体积就自然可以求出了，但对于牟合方盖的体积如何求出，刘徽百思不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俟能言者”. 2、祖氏父子对球体积计算的贡献祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下的如何计算“牟合方盖”的体积问题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索.经父子两代人不懈的努力，终于由祖日恒解决了牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切正方体的体积比为2/3. 祖日恒还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般的命题：“缘幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体体积相等. 《算经十书》从隋开始，中国有了专门的数学教育机构，在其最高学府——国子监中，设立算学科，专门从事数学教学.
唐在隋的基础上，继续在国子监中设立数学教育机构，他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科。
明算科设有算学博士与算学助教各二人，并招收算学生80人.
由数学家李淳风等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著作是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》和《缉古算经》，这就是历史上著名的“算经十书”，其记载了汉唐的数学成就，并成为后人数学教学与研究的重要源泉. 宋元时期——中国传统数学的兴盛 这一时期包括宋元两代，即900年至1368年.众所周知，宋代结束了五代十国的封建割据的局面以后，出现了社会稳定、生产发展、经济繁荣的景象。
统治者鼓励发展科学技术，同时改革旧的科举制度，极大地推动了科学文化技术的发展.闻名于世的中国古代“四大发明”中的指南针、火药和活字印刷这三大发明就都是在宋代完成并获得广泛的应用的.
到了元代，蒙古骑兵占领了欧亚广大地区，促进了中外交流，印刷术的发展也推动了数学教育与研究，再加上前一时期数学知识的大量积累，诸多因素的汇集，促使中国以算筹为主要工具的传统数学出现了极其辉煌的成就，到达了兴盛时期.高次方程的数值解法《九章算术》、《缉古算经》等著作中所载的开平方、开立方方法已具备了解二次、三次方程的雏形，宋代以前，也曾经有人尝试将这种方法推广到解更高次的方程.但目前明确记载并保存下来的应是北宋数学家贾宪创造的“增乘开方法”.
秦九韶《数书九章》推广传统的 “开方法”，创立了“正负开方术”. 中国剩余定理主要见于秦九韶<数书九章>“天元术”和“四元术”李冶的《测圆海镜》和《益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作.
元代数学家朱世杰推广了“天元术”，提出用“四元术”来解四元方程，可以说这是中国筹算代数学的顶峰. 明清时期——中国传统数学的衰落与复苏从明代起，中国封建社会开始衰落，资本主义因素开始慢慢地萌发了，但由于根深蒂固的封建帝王统治的抑制，使资本主义的幼芽未能顺利得以发展.统治阶级为了维护其统治地位，规定科举制必须采用 “八股”文体，使得大批的知识分子“皓首穷经”，而鄙夷天文、数学等专门学问为“奇技淫巧”，加上生产水平低下与数学理论高度发展相脱节 的实际状况，致使中国数学由宋元时期的蓬勃发展而突然走向衰落.中国传统数学的特点(１)追求实用
(２)注重算法
(３)寓理于算小结：