《周髀算经》与赵爽弦图 教案 (2)

《周脾算经与赵爽弦图》
教学目标分析：
1、了解《周髀算经》的内容。
2、理解赵双弦图，并能灵活运用。
3、激发学生的学习热情，培养积极进取的精神
重难点分析：
重点：了解《周髀算经》的内容和赵双弦图
难点：理解赵双弦图证明勾股定理的过程。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、导入：
勾股定理证明异趣
勾股定理可以说是人类最早发现、最基本的同时也是应用最广的一条数学定理。古代中国《周髀算经》中有关于勾股定理的记载。古埃及人没有留下这样明显的记录，但他们建造了蔚为奇观的金字塔。古巴比伦则不乏有关勾股定理的记载，巴比伦泥版文书中甚至出现有系列的“勾股数”，即：a2+b2=c2
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二、知识讲解
（一）赵爽弦图
赵爽，东汉末至三国时代人，其生平已无从详考。他在《周髀算经》序言中说自己根据《周髀算经》的文字内容画了一组图——“勾股圆方图”，其中第一幅即“弦图”。
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弦图证明勾股定理
“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。”
如果用a表示“勾”，b表示“股”，c表示“弦”这句话就相当于说:
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（二）勾股定理与量天测地——日高术
商高答周公
周公问：没有梯子可供我们上天，又没有一把合适的尺子可供我们量地那么，怎样确定天有多高、地有多厚呢？
商高答：办法是有的，那就是利用勾、股、弦之间的关系，即勾三、股四、弦五。
又说：“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是为积矩。”
这段话引发了许多讨论，赵爽弦图给出的勾股定理的证明，很有可能是对商高这段文字的诠释。
根据《周髀算经》，影周公测日方法大致是这样的：先后两次测量同一圭表在不同处的日影长然后用公式：
日高=（表高×表距）/影长+表高
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（三）出入相补原理
赵爽和刘徽作为证明勾股定理基础的出入相补原理——一个平面（立体）几何图形被分割成若干部分后，面积（体积）的综合保持不变。
事实上赵爽“勾股圆方图说”，可以说是一篇运用个出入相补原理的杰作，借助出入相补原理证明了数十条命题或公式，举例说，其中有一个已知长方形长宽之和及其面积求该长方形的长和宽的问题。假设长方形的宽和长分别为x、y。已知x+y=2c，面积xy=a2，即x（2c-x）=a2，根据下图，赵爽首先推出长宽差值平方为：
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解得：
这相当于给出了二次方程：
的以公式：
表示两个根。
（四）《周髀算经》
在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。 作者不祥，成书年代应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前11世纪-前8世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天说”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。
小结：
1、《周髀算经》的数学内容主要有:学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等.
2、中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽（吴）。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。