《周髀算经》与赵爽弦图 学案 (1)

《周脾算经与赵爽弦图》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解《周髀算经》的主要内容，理解赵双弦图，并能灵活运用。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
（一）中国古代数学的萌芽
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。
儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以《周易》象数学宇宙论为哲学依托.
墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨经》的逻辑学为其论说的工具。
名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。
《九章算术》中的名题：“女子善织，日子倍”。
墨家认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。
墨家是中国古代主要哲学派别之一，约产生于战国时期。创始人为墨翟。墨家是一个纪律严密的学术团体，其首领称“矩子”，其成员到各国为官必须推行墨家主张，所得俸禄亦须向团体奉献。墨家学派有前后期之分，前期思想主要涉及社会政治、伦理及认识论问题；后期墨家在逻辑学方面有重要贡献 。
（二）《周髀算经》简介
在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。作者不祥，成书年代应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前11世纪-前8世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“ ”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是 运算、 定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。
《周髀算经》:
数学著作,天文学著作.“盖天说”的代表.，约成书于西汉时期(公元前2世纪).
数学内容:学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等.
注：“周髀”是测量日影的工具—八尺长竿
（三）《周髀算经》主要内容
1、盖天说
盖天说认为大地像个 ，天像口 扣在地上。
注：到西汉时期，有盖天说、浑天说和宣夜说。
浑天说认为天是球形的，大地在中间。
宣夜说认为宇宙是无限的空间，天体浮生于其中，其运动需要“气”的作用。
2、商高定理—— 定理
第一卷　叙述了西周开国时期（约公元前1100年）周公商高的问答：昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”
“勾广三,股修四,径隅五”
“……以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日.”
3、 术
4、叙述陈子荣方的对话。
陈子是周代的天文算学家，荣方是当时天文算学的爱好者。荣方对陈子的数学才能很羡慕，十分虚心地向陈子求教。陈子教给荣方学习和研究数学的方法，同时还教给荣方具体解决问题的方法。
①关于数学特点
荣方请教陈子：“今者窃闻夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广，夫子之道皆能知之。其信有之乎？”
陈子曰：“然，引皆算术之所及。”陈子又曰：“……此亦望远起高之术，……夫道术，言约而用博……”
②关于学习数学的方法
陈子对荣方说：“思之未熟。……则子之于数，未能通类。……问一类而以万事达者，谓之知道。”
“夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。既博矣，患其不习。既习矣，患其不能知。”
③关于学习态度
“夫学同业而不能入神者，此不肖无智而业不能精习。”
（四）赵双弦图
中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的 （吴）。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的 证明了勾股定理。
（五）古代数学家赵爽
赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。赵爽的《周髀算经注》逐段解释《周髀》经文。
赵爽自称负薪余日，研究《周髀》，遂为之作注，可见是一个未脱离体力劳动的天算学家。
（二）典例选讲
1、赵双弦图
考察以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，其面积应有 ，如果将这合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到一个以原三角形之弦为边的正方形，其面积应为 ,因此
2、日照术
周人的测日影表
古代认为夏至时立一8尺高的标竿，它的影长正好是6尺。
“求邪至日者，以日下为勾，以日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日从髀所旁至日所十万里。”
（三）问题探究
1、《周髀算经》的主要内容有哪些？
答：①盖天说②用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等，如日照术③学习数学的方法。
2、中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是 。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的 证明了勾股定理。
答：赵爽、出入相补。