《周髀算经》与赵爽弦图 学案 (2)

《周脾算经与赵爽弦图》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解《周髀算经》的主要内容，理解赵双弦图，并能灵活运用。
二、自学内容提炼
（一）知识回顾
勾股定理可以说是人类最早发现、最基本的同时也是应用最广的一条数学定理。古代中国《周髀算经》中有关于勾股定理的记载。古埃及人没有留下这样明显的记录，但他们建造了蔚为奇观的 。古巴比伦则不乏有关勾股定理的记载，巴比伦泥版文书中甚至出现有系列的“ ”，即：a2+b2=c2
（二）新知导入：
1、赵爽 图
赵爽，东汉末至三国时代人，其生平已无从详考。他在《 》序言中说自己根据《 》的文字内容画了一组图——“勾股圆方图”，其中第一幅即“ 图”。
弦图证明勾股定理
“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。”
如果用a表示“勾”，b表示“股”，c表示“弦”这句话就相当于说:
2、勾股定理与量天测地—— 术
商高答周公
周公问：没有梯子可供我们上天，又没有一把合适的尺子可供我们量地那么，怎样确定天有多高、地有多厚呢？
商高答：办法是有的，那就是利用勾、股、弦之间的关系，即勾三、股四、弦五。
又说：“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是为积矩。”
这段话引发了许多讨论，赵爽弦图给出的勾股定理的证明，很有可能是对商高这段文字的诠释。
根据《周髀算经》，影周公测日方法大致是这样的：先后两次测量同一圭表在不同处的日影长然后用公式：
日高=（ 高× 距）/ 长+ 高
3、《周髀算经》
在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。 作者不祥，成书年代应不晚于公元前2世纪 时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前11世纪-前8世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“ ”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是 运算、 定理及其在天文测量中的应用，其中关于 的论述最为突出。
（三）典例选讲
赵爽和刘徽作为证明勾股定理基础的出入相补原理——一个平面（立体）几何图形被分割成若干部分后，面积（体积）的综合保持不变。
事实上赵爽“勾股圆方图说”，可以说是一篇运用个出入相补原理的杰作，借助出入相补原理证明了数十条命题或公式，举例说，其中有一个已知长方形长宽之和及其面积求该长方形的长和宽的问题。假设长方形的宽和长分别为x、y。已知x+y=2c，面积xy=a2，即x（2c-x）=a2，根据下图，赵爽首先推出长宽差值平方为：
解得：
这相当于给出了二次方程：
的以公式：
表示两个根。