《周髀算经》与赵爽弦图 学案 (3)

《周脾算经与赵爽弦图》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解《周髀算经》的主要内容，理解赵双弦图，并能灵活运用。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
《 》是 初期的一部天文、数学著作．髀是量日影的 (亦称 )，因书中记载了不少周代的天文知识，故名《周髀》．唐初凤选定数学课本时，取名《周髀算经》．
1．勾股定理
在中国，《周髀算经》是第一部记载 定理的书．该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为 ，日高为 ， 各自乘，并而开方除之，得邪至日”即：
邪至日（弦）=
2．等差数列
《周髀算经》中的“七衡”便是一等差数列．七衡是七个等距离的同心圆，已知最里面的圆径为238000里，相邻两圆之间举例为19833。书中给出计算各圆径的一般法则：“欲知次衡径，倍而增内衡之径．二之以增内衡径，得三衡径．次衡放(仿)此．”这相当于给出通项公式
Dn＝D1＋(n-1)·2d，其中d为相邻两圆间的距离．
3．内插法
所谓内插法，是已知若干自变量所对应的函数值，求这些自变量之间其他自变量对应的函数值的一种方法，古代常用来推算日、月、五星(即金星、木星、水星、火星、土星)的行度，为制订历法服务．内插分两种---等间距内插和不等间距内插．等间距指的是自变量的间距相等．设自变量x，等间距h，函数关系为f，若函数值之差 f(x＋nh)-f(x＋(n－1)h)(即一次差，其中n=1，2，…)为一不等于0的常数，则用一次内插法；若这些函数值之差的差(即二次差)为一不等于0的常数，则用二次内插法，依此类推．用现代数学的观点来看，n次内插法反映的是n次函数关系．
《周髀算经》中的内插法是最简单的等间距一次内插法．已经测得二十四节气中冬至、夏至的日影①长，推算其他节气的日影长．假定每两个节气的时间间隔相等，并以f(a)，f(b)表示夏至及冬至的日影长，则有
其中f(n)是从夏至到冬至的第n个节气的日影长，Δ被称为损益数．
4．相似形与测量术
《周髀算经》中记载着商高的“用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方．”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法．第二、三、四句是相似直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点间距离．下面以第二句为例说明测量方法：设AB为矩的一边，BC是矩的另一边由顶点到视线的一段，AD为图4．8所示之可测距离，DE
其中显然用到了相似原理，可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性质了．
（二）典例选讲
赵双弦图
考察以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，其面积应有 ，如果将这合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到一个以原三角形之弦为边的正方形，其面积应为 ,因此
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（三）问题探究
1、《周髀算经》的主要内容有哪些？
答：勾股定理、等差数列、内插法、相似形与预测术.
2、中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是 。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的 证明了勾股定理。
答：赵爽、出入相补。