九章算术 教案 (5)

《九章算术》
教学目标分析：
1、了解《九章算术》的主要内容。
2、培养学生探索解决问题的好习惯。
3、感受到九章算术的学术魅力，增强民族自豪感，激发学生努力学习数学的热情
重难点分析：
重点：了解《九章算术》的主要内容。
难点：理解比例算法、盈不足数、开方和线性方程组。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、知识讲解：
（一）简介
《九章算术》是中国古代数学专著，是“算经十书”中最重要的一本。《九章算术》上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的整理、增删和修订，大约于东汉初年（公元1世纪）成书，是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成。后世的古代数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学的。许多人曾为它作过注释，其中比较著名的是刘徽（于公元263年）、李淳风（于公元656年）等人所作的注释。唐宋两代都由国家指定为教科书。公元1084年由当时的北宋朝廷进行刊印，是世界上最早的印刷版数学书。《九章算术》在隋唐时期就已传入朝鲜、日本．现在它已被译成日、俄、德、英、法等多种文字。
（二）主要内容：
《九章算术》收录246个数学问题，分为九章。它们的主要内容分别是：第一章“方田”，研究田亩面积计算；
第二章“粟米”，研究谷物粮食的按比例折换；
第三章“衰分”，研究比例分配问题；
第四章“少广”，已知面积、体积、求其一边长和径长等；
第五章“商功”，研究土石工程、体积计算；
第六章“均输”，研究合理摊派赋税；
第七章“盈不足”，即双设法问题；
第八章“方程”，研究一次方程组问题；
第九章“勾股”，利用勾股定理求解。
（三）《九章算术》的数学成就：
（1）提出分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则，比欧洲早1400多年；
（2）提出整套的比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法；
（3）介绍了开平方、开立方的方法，其解题程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则，它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础；
（4）采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵表示法。解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才提出完整的线性方程的解法法则；
（5）引进和使用了负数，并提出了正负数的加减法则，与现今代数法则完全相同；解线性方程组时还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪才认识负数。
（6）提出了勾股数问题的通解公式。在西方直到3世纪才取得相近的结果，比《九章算术》晚了约3个世纪；
（7）提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式。
二、问题探究：
请根据你所学的知识和查阅的资料，比较《几何原本》和《九章算术》。
答：如果要找两部在世界上流传最久的古代数学著作，那就是希腊的《几何原本》与中国的《九章算术》，它们都是世界数学史上极为珍贵的文献，分别在西方和东方的数学发展中产生过深远影响．但两书是各有特色的，从中可以看出东、西方数学的差异．
①在指导思想上，《九章算术》是把数学当作工具来用的．全书246题，几乎都是与生产、生活实际有关的应用问题，这说明作者在研究数学时，是以应用为目的，不大重视数学体系自身的完善．而《几何原本》则正好相反，全书没有一道应用题，全是“纯粹”的数学问题，表现出作者追求数学自身完善，“为数学而数学”的思想．
②从体例上来看，《九章算术》以术文统御习题，以计算为中心；《几何原本》则是一个演绎体系，以证明为中心．
③在几何研究方面，《九章算术》把重点放在几何量的研究上，把大量算术及代数知识用于长度、面积和体积计算；《几何原本》则把重点放在图形性质及相互关系的研究上，采用的是比较纯粹的几何方法．
总的来说，《九章算术》与《几何原本》相比，前者以实用性、计算性见长，后者以逻辑性、抽象性取胜．当然，《几何原本》对近代数学发展所起的作用无疑超过《九章算术》，因为它那种逻辑演绎体系更适合于近代数学．但《九章算术》在世界数学史上的地位也是不应忽视的．
小结：《九章算术》的成书，标志着中国初等数学体系的形成．该书包含了丰富的算术、代数和几何内容，形成一个以算筹为计算工具的、有自己特点的完整体系．《九章算术》中的一些成就具有世界水平．比例算法、盈不足术、开平方和开立方、负数的引入及正负数加减法则、线性方程组解法，都是世界上最早提出的．