九章算术 教案 (1)

《九章算术》
教学目标分析：
1、了解《九章算术》的主要内容。
2、培养学生探索解决问题的好习惯。
3、感受到九章算术的学术魅力，增强民族自豪感，激发学生努力学习数学的热情
重难点分析：
重点：了解《九章算术》的主要内容。
难点：理解比例算法、盈不足数、开方和线性方程组。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
（一）成书背景
中国数学经过长期积累，到西汉时期已有了相当丰富的内容．除《周髀算经》外，西汉初期出现了第一部数学专著---《算术书》，用竹简写成．全书共60多个标题，如“相乘”、“增减”、“少广”、“税田”、“金价”、“合分”等，标题下列有各种问题．《九章算术》的体例便受到《算术书》的影响．另外，从甘肃居延等地出土的竹简发现，西汉已有初步的负数及比例概念，面积和体积计算的知识也增多了．这些都为我国初等数学体系的形成准备了条件．
《许商算术》和《杜忠算术》是《九章算术》之前不久成书的著作．许商，长安人，公元前32---前8年曾任西汉大司农、河堤都尉等官职．他参加过治水工作，精通天文历法和计算，著《许商算术》26卷．杜忠与许商同时代，著《杜忠算术》16卷．
现传本《九章算术》约成书于西汉末年，作者不详，可能经多人之手而成．它是一部承前启后的著作，一方面总结了西汉及西汉以前的数学成果，集当时初等数学之大成；另一方面又对后世数学发展产生了深远的影响．
（二）内容
《九章算术》包括丰富的算术、代数和几何内容，全书共246题，几乎全是应用题．这些问题按不同的用途分为九卷，故名《九章算术》．下面简介各卷内容．
卷一“方田”，38问，主要讲平面图形的计算，包括系统的分数算法．
卷二“粟米”，46问，粮食交换中的比例问题．
卷三“衰(cuī)分”，20问，比例算法在分配物资等问题中的应用．
卷四“少广”，24问，开平方、开立方问题．
卷五“商功”，28问，土木工程中的体积计算．
卷六“均输”，28问，主要讲纳税和运输方面的计算问题，实际是比较复杂的比例算法．
卷七“盈不足”，20问，算术中盈亏问题的解法．
卷八“方程”，18问，主要讲线性方程组解法，还论及正负数概念及运算方法．
卷九“勾股”，24问，勾股定理的应用．
书中的各类问题都有统一解法，但没有证明．经后人验证，这些解法的绝大部分是正确的．各法以“术”名之，术文统御习题，这是本书体例的基本特点．例如，方田术“广从步数相乘得积步”，勾股术“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，便分别统御各方田问题及勾股问题．
（三）数学成就
1．算术
(1)分数运算
《九章算术》方田章系统给出了分数四则运算法则，以及通分、约分、化带分数为假分数的方法，其步骤与现代一致．
分子、分母有公约数时，可利用公约数来化简分数．《九章算术》提出一种“更相减损”法来求最大公约数：“副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也．”即用分子和分母中的大数减去小数，互相减，减到余数与减数相等为止，该数便是原来两数的最大公约数．然后
①从91减去49余42，如图4．9(2)；从49减去42余7，如图4．9(3)；从42依次减去7，到第5次余7，如图4．9(4)．
谓“欧几里得算法”在本质上是一样的．
②比例算法
《九章算术》的二、三、六、九各卷中，广泛使用比例算法来解决应用问题，并给出一般法则：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一．”即
这是由比例式
所求数：所有数=所求率∶所有率
得出的．书中称该算法为“今有术”，大概是因为这类问题的开头常冠以“今有”二字．例如：“今有丝一斤价值二百四十钱，今有钱一千三百二十八，问得丝几何？”依法列式
除了这种最简单的比例问题外，书中还有连比例、复比例、配分法等复杂的比例问题．例如：“今有贷人千钱，月息三十．今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？”这便是一个复比例问题，其中9日乘750钱为所有数，30钱为所求率，30日乘1000钱为所有率．实际上，《九章算术》几乎包括了算术中的全部比例内容．
③盈不足术
《九章算术》卷七专讲盈亏问题，解法称为盈不足术．例如：“人出八盈三，人出七不足四，求人数、物价各多少？”设每人出钱a1，盈b1；每人出钱a2，不足b2，人数为m，物价为n，则有
这就是盈不足术的现代形式，其中各字母都是正数，分母也是正数．若a1＜a2，则分母为a2-a1．将例题中数字代入，则
这种方法的正确性很容易用现代解方程组的行列式法验证．
（2）代数
①开方
《九章算术》中载有开平方、开立方的方法．例如，欲求55225的平方根，摆筹式如图4．10(1)(改用阿拉伯数码表示)，其中55225叫“实”(被开方数)，最下面的1叫“借算”，代表最高项系数．此式实际上表示方程
x2＝55225．
将“借算”向左移动，每一步移二位，移二步后停住，如图(2)．于是，原方程变为
10000x12＝55225．
议得x1大于2小于3，就在实的百位上置2，作为平方根的第一位数．以议得的2乘10000得20000，放在实之下，借算之上，叫法．再以2乘法得40000，从实中减去，余15225，如图(3)．
把法加倍，向右移一位，变为4000，叫定法．把借算向右移二位，变为100，如图(4)，这相当于方程
100x22+4000x2=15225．
议得x2大于3而小于4，就以3为平方根的十位数．以3乘100得300，加入定法得4300；以3乘4300，从实中减去，余2325，如图(5)．
再以300与4300相加，得4600，向右移一位变为460，这是第三位方根的定法．把借算向右移二位，变为1；如图(6)．这相当于方程
x32＋460x3＝2325．
议得x3＝5为平方根的个位，以5乘借算1，加入460得465．以5乘465，从实内减去，恰尽，得55625的平方根235，如图(7)．
从文字叙述来看，筹算开方法似乎很繁，实际摆筹运算是相当简便的．这种方法到宋代发展为增乘开方法，对高次方程解法产生了巨大影响．
②正负数
《九章算术》中不仅有正负数，而且还建立了正负数加减法则，即“正负术”．加法法则为：“异名相除，同名相益；正无入正之，负无入负之．”即异号两数相加，绝对值相减；同号两数相加，绝对值相加；0加正数为正，0加负数为负．类似地有减法法则：“同名相除，异名相益；正无入负之，负无入正之．”
③线性方程组
《九章算术》中的“方程”，实际是线性方程组．例如卷八第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上中下禾实一秉各几何？”(禾即庄稼，秉即捆，实即粮食．)依术列筹式如图4．11，它相当于三元一次方程组
其中x，y，z分别为上中下三等
禾每捆打粮食的斗数．按《九章算术》解法，用(1)式x的系数3去乘(2)的各项，得
6x+9y＋3z＝102． (4)
用(4)减(1)二次，得5y＋z=24． (5)再用(3)×3，得3x＋6y+9z＝78． (6)
(6)减(1)，得4y＋8z＝39． (7)
中把这种方法叫“直除法”，即连续相减法．它的原理与现在加减消元法一致，只是比较烦琐．
《九章算术》中还有一道“五家共井”题，是说五户人家共用一口井，各家都有提水的绳子但都不够长，甲户的两条与乙户的一条合起来够用，乙户的三条和丙户的一条合起来够用，丙户的四条与丁户的一条合起来够用，丁户的五条与戊户的一条合起来够用，戊户的六条与甲户的一条合起来够用，问井深和各户的“一绳之长”．假定五户绳长依次为x，y，z，u，v，井深为a，则有
该方程组有五个方程，六个未知数，所以是不定方程组．书中给出了它的一组解．
（3）几何
《九章算术》中给出正方形、长方形、三角形、梯形、圆、弓形等常见图形的面积公式．圆的面积公式有三个，即
其中c为周长，d为直径，取圆周率为3．
书中的体积公式很多，包括立方体、长方体、棱柱、梭锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台，其体积公式都与今一致．还给出一种比较复杂的几何体---刍童，即上下底面都是长方形的拟台体（4）的体积公式
　
《九章算术》对勾股定理的应用很广泛．它首先给出勾股定理的三种形式，即
然后解决了几十个应用题．例如：“今有圆材不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”(图4．13)以r为圆半径，由勾股定理得
r2＝52＋(r－1)2，
解得r＝13，倍之即圆径．
在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如52＋122＝132，62＋82＝102，72＋242＝252，82＋152＝172，202＋212＝292，282＋962＝1002，等等．后人在此基础上进一步研究，找到了整勾股数的一般规律．
（四）理论特色
《九章算术》具有实用性、计算性见长，后者以逻辑性、抽象性取胜等特色．
小结：《九章算术》的成书，标志着中国初等数学体系的形成．该书包含了丰富的算术、代数和几何内容，形成一个以算筹为计算工具的、有自己特点的完整体系．《九章算术》中的一些成就具有世界水平．比例算法、盈不足术、开平方和开立方、负数的引入及正负数加减法则、线性方程组解法，都是世界上最早提出的．