课件42张PPT。3.1.3《九章算术》 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。成书年代至迟在公元前1世纪,其中的数学内容,有些也可以追溯到周代。
《周礼》记载,西周贵族子弟必学的六门课程(“六艺”)中有一门是“九数”,刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九数”发展而来,并经过西汉张苍(?-公元前152)、耿寿昌等人删补。 《九章算术》采用问题集的形式,全书246个问题,分成九章。 中国古代数学体系形成
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结,就其数学成就来说,堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等,水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说,它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。 中国古代数学体系形成秦汉时期强调数学的应用性。成书于东汉初年的《九章算术》,排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论,偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法。
《九章算术》有几个显著的特点:采用按类分章的数学问题集的形式;算式都是从筹算记数法发展起来的;以算术、代数为主,很少涉及图形性质;重视应用,缺乏理论阐述等。
《九章算术》的内容是由周代的“九数”发展而来的。刘徽称:“周公制礼而有九数,九数之流则《九章》是矣”。《九章算术》标志着中国传统数学的知识体系已初步形成。 代表了中国传统数学体系和思想方法的特点:注重实际问题的数值计算方法,缺少抽象的理论和逻辑系统性,使用算筹,形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法明代刊印的《九章算术注》 中国古代数学体系形成《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本,并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯,并通过印度、阿拉伯传到欧洲,促进了世界数学的发展。 1.方田:主要是田亩面积的计算和分数的计算,是世界
上最早对分数进行系统叙述的著作。
2.粟米:组好事粮食交易的计算方法,其中涉及许多比
例问题。
3.衰(读作“翠”)分:主要内容为分配比例的算法。
4.少广:主要讲开平方和开立方的方法。
5.商功:主要是土石方和用工量等工程数学问题,以体
积的计算为主。
6.均输:计算税收等更加复杂的比例问题。
7.盈不足:双设法的问题。
8.方程:主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减
法,在世界数学史上是第一次出现。
9.勾股:勾股定理的应用。《九章算术》的内容(一)算术方面 (1)分数四则运算法则。《九章算术》“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。 “约分术:可半者半之.不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.” (2)比例算法。《九章算术》“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题,并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。 a: b=c: x设从比例关系求x, 《九章算术》称a为“所有率”,b为“所求率”,c为“所有数”,x为“所求数”。今有术相当于
“今有术曰:以所有数乘所求率为实,以所有率为法.实如法而一.” 以“今有术”为基础,“衰分”章处理正、反比例分配问题,“衰分”就是按一定级差分配。“均输”章则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配。 (3)盈不足术。“盈不足”术是以盈亏类问题为原型,通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。 《九章算术》中典型的盈亏类问题如:
今有共买物,人出八盈三;人出七不足四。问人数、物价各几何? 一般地假设人数为 ,物价为 ,每人出钱 盈 ,出钱 不足 。《九章算术》“盈不足术”相当于给出解法: “盈不足术曰:置所出率,盈、不足各居其下.令维乘所出率,并,以为实.并盈、不足为法.实如法而一.盈、不足相与同其买物者,置所出率,以少減多.余,以约法、实.实为物价,法为人数.”分两部分:第一部分是求每人出多少才不盈不朒,其公式是:.第二部分是求人数、物价的公式: 任何算术问题(不一定是盈亏类问题),通过两次假设未知量的值,都可以转换成盈亏类问题来求解。《九章算术》“盈不足”章就用这种方法解决了许多不属于盈亏类的问题。 “盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法”,即中国算法。(二)代数方面(1)方程术。“方程术”即线性联立方程组的解法。 以“方程”章第1题为例:
“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问:上、中、下禾实一秉各几何?” 答曰:上禾一秉,九斗、四分斗之一;中禾一秉,四斗、四分斗之一;禾一秉,二斗、四分斗之三. 方程术曰:置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗,于右方.中、左禾列如右方.以右行上禾遍乘中行而以直除.又乘其次,亦以直除.
然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除.左方下禾不尽者,上为法,下为实.实即下禾之实.求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实.
余如中禾秉数而一,即中禾之实.求上禾亦以法乘右行下实,而除下禾、中禾之实.余如上禾秉数而一,即上禾之实.实皆如法,各得一斗.” 题中“禾”为黍米(黍,音“署”),“秉”指捆,“实”是打下来的粮食。设上、中、下、禾各一秉打出的粮食分别为 (斗),则问题就相当于解一个三元一次联立方程组: 《九章算术》没有表示未知数的符号,而是用算筹将 的系数和常数项排列成一个方阵(如图,其中已将筹算数码换作阿拉伯数码),这就是“方程”一词的来源。 “方程术”的关键算法叫“遍乘直除”,在本例中演算程序如下: 用图(i)右行上禾 的系数3“遍乘”中行和左行各数,然后从所得结果按行分别“直除”右行,即连续减去右行各数,就得到图(ii)所示的新方程。 其次以图(ii)中行中禾 的系数5遍乘左行各数,从所得结果直除中行并约分,右得到图(iii)所示的新方程。其中左行未知量系数只剩一项,以4除11,即得下禾 (斗)。 为求上禾 和中禾 ,重复“遍乘直除”程序。以图(iii)左行下禾 的系数4遍乘中行和右行各数,从所得结果按行分别直除左行并约分,最后得到图(iv)所示的新方程。由此方程计算得 上禾 ,中禾 ,下禾 。 《九章算术》方程术的遍乘直除算法,实质上就是我们今天所使用的解线性联立方程组的消元法,西方文献中称之为“高斯消去法”。 (2)正负术。《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献是负数的引进。 《九章算术》正是在“方程”章中提出了“正负术”,即正、负数的加减运算法则:
“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。” 对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现,那么如前所述可以看到,中算负数则是算法思维的产物。 (3) 开方术。《九章算术》“少广”章有“开方术”和“开立方术”,给出了开平方和开立方的算法。《九章算术》开方术本质上是一种减根变换法,开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。 《九章算术》开方术实际上包含了二次方程 的数值求解程序,称为“开带从平方法”。 稍后的刘徽在“开方术注”中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法,他称之为求微数法,并指出在开方过程中,“其一退以十为母,其再退以百为母,退之弥下,其分弥细,则朱幂虽有所弃之数,不足言之也.” 《九章算术》开方术中特别令人惊异之处,是指出了存在有开不尽的情形:“若开之不尽者,为不可开”,并给这种不尽根数起了一个专门的名字—“面”。 开方术: 开平方和开立方的算法 本质: 减根变换二次方程的数值求解算法称为“开带从平方法”.
“开方术” 指出了开方有开不尽的情形:
“若开之不尽者,为不可开”。
不尽根数专门的名字——面(三)几何方面 《九章算术》“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题。其中“方田”章讨论面积问题,“商功”章讨论体积问题,“勾股”章则是关于勾股定理的应用。 各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源。如平面图形有“方田”(正方形)、“直田”(矩形)、“圭田”(三角形)、“箕(ji)田”(梯形)、“圆田”(圆)、“弧田”(弓形)、“环田”(圆环)等;立体图形则有“仓”(长方体)、“方亭”(平截头方锥)、“阳马”(底面为长方形而有一棱与地面垂直的锥体)以及“刍童”(上、下底面都是长方形的棱台)等等。
第一章名为”方田“,列题38个,立术21条,主要讲平面几何图形面积的计算方法,包括分数算法。
《九章算术》例 “有田广二里,从三里。问为田几何。”
答曰:二十二顷五十亩。
里田术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。注:当时称长方形为方田或直田 《九章算术》例 “今有圭田广十二步,正从二十一步。问为田几何?”
答曰:一百二十六步。
术曰:半广以乘正从。注:当时称三角形为圭田 《九章算术》例 “今有邪田,一头广三十步,一头广四十二步,正从六十四。问为田几何?”
答曰:九亩一百四十四步。
术曰:并两邪而半之,以乘正从若广。又可半正从若广,以乘并。亩法而一。注:直角梯形称为“邪田”(即斜田) 《九章算术》例 “今有箕田,舌广二十步,踵广五步,正从十步。问为田几何?”
答曰:一亩一百三十五步。
术曰:并踵、舌而半之,以乘正从。亩法而一。古典数学的形成与发展时期例 “今有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一。问为田几何?”
答曰:十一亩九十二分步之一。
术曰:半周半径相乘得积步。
又术曰:周、径相乘,四而一。
又术曰:径自乘,三之,四而一。
又术曰:周自相乘,十二而一。古典数学的形成与发展时期例 “今有宛田,下周三十步,径十六步。问为田几何?”
答曰:一百二十步。
术曰:以径乘周,四而一。
注:“宛田”是山头上的球冠形田地,犹如一只扣着的碗,故名宛田;即球冠的表面积。古典数学的形成与发展时期例 “今有弧田,弦三十步,矢十五步。问为田几何?”
答曰:一亩九十七步。
术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。古典数学的形成与发展时期例 “今有环田,中周九十二步,外周一百二十二步,径五步。问为田几何?”
答曰:二亩五十五步。
术曰:并中、外周而半之,以径乘之,为积步。古典数学的形成与发展时期第五章名为“商功”,列题28个,立术24条。商功意为关于土方工程问题的思考。本章主要讲述以立体问题为中心的各种形体体积计算公式。
楔的平截体(城、垣、堤、沟、堑、渠)古典数学的形成与发展时期角锥体(方锥、阳马)古典数学的形成与发展时期方台(方亭)古典数学的形成与发展时期楔(堑堵)古典数学的形成与发展时期楔(鳖臑)古典数学的形成与发展时期楔(羡除)古典数学的形成与发展时期长方台(刍童、盘池、冥谷)古典数学的形成与发展时期楔(刍甍)谢 谢!